Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
Лунная теория у Птолемея. Первая итерация. Сизигии
Птолемей, впрочем, располагал лишь многочисленными данными с координатами Луны, а также записями о солнечных и лунных затмениях, которые наблюдали астрономы Вавилона, Греции, Родоса и Александрии за предыдущие девятьсот лет. Имелись также некоторые наработки Гиппарха – точная длительность лунного месяца и простые кинематические модели. Поскольку солнечная теория уже была построена, Птолемей решает опереться именно на нее, и вычислить положения Луны по датам лунных затмений, которые, в отличие от солнечных, наблюдаются в одно и то же время из всех точек Земли. В самом деле, поскольку Луна находится относительно недалеко, то для жителей различных городов она закрывает Солнце неодновременно, да еще и покрывает различные его части. А вот падение земной тени на Луну все люди увидят сразу же, как только это событие произойдет. Очевидно, что в момент своего затмения Луна располагается диаметрально противоположно Солнцу, поэтому теперь, зная продолжительность лунного месяца и период обращения узлов луной орбиты, можно, начав от какого-либо древнего затмения, построить таблицу средних движений Луны, просто прибавляя нужные периоды и повороты. На самом деле уже здесь мы обнаружим некоторые несоответствия расчетов и имеющихся записей о последующих затмениях, но в данном случае странным оказалось бы как раз обратное, ведь лунные движения неравномерны. Но и здесь кое-что уже было сказано.
Гиппарх построил довольно хорошую кинематическую схему, объясняющую первое лунное неравенство – неодинаковость скорости на траектории. В этом пункте Птолемей пошел по стопам своего великого предшественника, повторно показав эквивалентность моделей с эксцентрической окружностью и с системой деферент-эпицикл, обращающихся в противоположные стороны, но с одинаковым периодом. Модель с эксцентром предполагает строго равномерное движение по кругу, а непостоянными будут казаться лишь наблюдаемые с Земли угловые перемещения. В системе с эпициклом, которую Птолемей выбрал для дальнейшей работы, скорости на деференте D и эпицикле ε складываются, поэтому суммарная скорость Луны в апогее действительно будет минимальной, а в перигее максимальной. Период времени между повторным прохождением перигея равен аномалистическому месяцу, то есть примерно 27,554 суткам. Необходимо лишь определить соотношения радиусов деферента RD и эпицикла Rε.
Эта задача была решена следующим образом. Птолемей выбрал три лунных затмения, которые наблюдались вавилонскими астрономами в VIII веке до нашей эры, причем интервал между ними составлял от полугода до полутора лет. Поскольку затмения происходят лишь в новолуния (в интервалы кратные 29,53 суток), то можно было быть уверенным – за столь короткий период времени Луна находилась в различных точках на эпицикле (оборот на нем совершается за 27,554 суток, и совпадение синодических и аномалистических положений происходит каждые 384,22 дня). Моменты затмений были зафиксированы достаточно точно, и Птолемей без труда вычислил для них необходимое положение Луны по своим солнечным таблицам, однако таблицы среднего движения Луны (то есть положения центра эпицикла C) давали несколько иные координаты. Эти отличия (а также виртуозное владение теоремами Евклида) как раз и позволили определить соотношение Rε/RD = 0,087 (на самом деле оно записывалось в шестидесятеричной системе как 5’13’’ к 60’). Далее Птолемей берет уже собственные наблюдения лунных затмений, выполненные спустя 850 лет после вавилонских, и для них получает отношение Rε к RD равное 5’14’’ к 60’. Точность оказалась настолько высокой, что необходимая поправка к ранее принятому движению Луны на эпицикле составила 1/300 угловой секунды за сутки (для устранения расхождения в 17’’ за 854 года).
Для уточнения периода обращения узлов лунной орбиты Птолемей выбрал два одинаковых затмения, с разницей в 615 лет и 134 дня (одно наблюдалось в Вавилоне, а другое в Александрии). Полученное значение драконического месяца (периода времени, за который Луна вновь проходит через один и тот же узел своей орбиты) составило 27,212 суток (и это очень точное значение), что меньше звездного месяца, поскольку узлы орбиты движутся навстречу Луне. В данном случае старое решение Гиппарха потребовалось уточнить лишь на 1/450 угловой секунды смещения по широте в сутки.
Лунная теория у Птолемея. Вторая итерация. Квадратуры. Эвекция
Поскольку описанная модель строилась по лунным затмениям, то она очень хорошо работала именно в сизигиях, то есть в таких положениях, когда Земля, Луна и Солнце выстраиваются в одну линию (или близко к этому, поскольку плоскости орбит Земли и Луны не совпадают). Именно в сизигиях происходят новолуния и полнолуния, а значит и затмения, но при других положениях Луны система из деферента и эпицикла требовала серьезных уточнений. Это понимал уже Гиппарх, который начал проводить соответствующие наблюдения, но не сумел или не успел разобраться в вопросе до конца. Птолемей же отыскал решение и здесь.
Выяснилось, что наибольшую ошибку модель с эпициклом дает в квадратурах, то есть тогда, когда отрезки, соединяющие Землю с Луной и Солнцем (на схеме ниже обозначены соответственно точками T, L и S), расположены под прямым углом. Но даже здесь всё оказалось не так просто, ведь погрешность не оставалась постоянной каждую квадратуру: иногда ее не было вовсе, а порой она достигала целых 2°39′ (это более чем пять угловых размеров лунного диска, причем на весь эпицикл приходится всего лишь около 10°). В конце концов, подробный анализ показал Птолемею следующее. Если Луна находилась в квадратуре и одновременно в апогее или перигее эпицикла (точки T, C и L выстраивались на одной прямой), то теория Гиппарха отлично совпадала с наблюдениями. Если же в момент квадратуры отклонение на эпицикле, напротив, оказывалось максимальным (точки T, C и L располагались под прямым углом), то и ошибка принимала наибольшее значение. Поясним сказанное на чертеже.
Пусть Земля T расположена в центре лунного деферента D, по которому движется эпицикл ε, причем центр эпицикла C всегда расположен на деференте. И эпицикл, и деферент оборачиваются за одинаковое время, но в противоположных направлениях (незначительной разницей периодов пока пренебрежем). В таком случае, как мы уже убедились ранее, траектория Луны L будет представлять собой круг, равный деференту D, но смещенный относительно точки T на величину эксцентра, равную радиусу эпицикла (на чертеже показан штрихпунктирной линией). Сразу оговоримся, что все построения выполнены нами не в масштабе, поскольку вычисленный Птолемеем размер эпицикла оказался достаточно малым, и сделать корректный и одновременно наглядный рисунок оказалось бы затруднительно.
Также назначим Солнцу S круговое движение вокруг Земли. В данном случае мы пренебрегаем тем, что у Птолемея оно движется по эксцентричной траектории, а сам солнечный круг на 5° наклонен по отношению к лунной орбите, и потому должен проецироваться на нее в форме эллипса. Все перечисленные погрешности никак не повлияют на дальнейшее изложение, тем более что они в любом случае невелики.
Допустим, что в начальный момент Луна находится в положении L1, то есть в апогее эпицикла (C1 лежит на прямой T-L1), а солнце в этот же момент расположено в точке S. Поскольку T-L1-S лежат на одной прямой, то с Земли наблюдается новолуние, то есть сизигия. Далее, когда центр эпицикла переместится в точку C2, Луна окажется в положении L2 и окажется в квадратуре (на самом деле угол L2-T-S несколько меньше прямого, но из-за малости эпицикла почти равен ему, хотя, разумеется, истинная квадратура произойдет несколько в ином месте траектории, и Птолемей определял ее верно). Поскольку для земного наблюдателя Луна в положении L2 максимально отклонена от центра эпицикла C2, то именно в этом случае возникает максимальное расхождение с теорией Гиппарха, поскольку на самом деле Луна наблюдается на небе в точке L2’.
После того, как эпицикл уйдет из точки C2 и пройдет через точку C3 и C4, а затем вернется в точку C5, которая совпадает с изначальным положением C1, то Луна окажется в точке L5, которая совпадет с точкой L1 (на самом деле L1 и L5 не совсем совпадут из-за некоторого отличия периодов на деференте и на эпицикле). Полный оборот занял 27,554 суток, однако повторного новолуния в точке L5 не произойдет, ведь всё это время Солнце тоже двигалось по своей орбите (иными словами, для абсолютной точности все уже проделанные нами построения требуют еще некоторых корректировок на движение точки S, которые делал Птолемей, но не станем сейчас производить мы). Как уже говорилось ранее, Луна повторно нагонит Солнце лишь через 29,53 суток, когда оно переместится в положение S1, поэтому в момент новой сизигии точка L6 уже не будет находиться в апогее своего эпицикла. Аналогично, в следующую квадратуру Луна L7 окажется для земного наблюдателя мало удалена от центра эпицикла C7, а потому и несоответствие с теорией Гиппарха уменьшится.
Указанное расхождение имеет вполне физическую природу. Дело в том, что кинематическая модель из деферента и эпицикла (равно как и эксцентрическая круговая орбита) достаточно хорошо описывает видимое на небесной сфере положение небесного тела при его движении по правильной эллиптической орбите, однако реальная орбита Луны не такова. В периоды новолуний Луна находится ближе к Солнцу, чем Земля, и поэтому Солнце сильнее притягивает Луну, несколько отдаляя ее от Земли. В полнолуния, напротив, Солнце отдаляет Землю от Луны, но эффект оказывается таким же – расстояния между Землей и Луной увеличиваются. Во время квадратур действие Солнца производит противоположный эффект и немного сближает Луну и Землю. Иными словами эксцентриситет эллипса лунной орбиты непостоянен. Данный эффект называется эвекцией (термин был введен значительно позже и происходит от латинского «унос») и составляет второе лунное неравенство.
Разумеется, Птолемей не мог рассуждать в таких категориях, но пришел к равнозначному выводу – в квадратурах радиус эпицикла увеличивается по отношению к своему же размеру в сизигиях. Такое решение неплохо работает, ведь положение точки L2’ начинает соответствовать теории, а если в квадратуре Луна попадает в апогей и перигей эпицикла (когда точки T, C и L лежат на одной прямой) то для земного наблюдателя размер эпицикла вообще неважен. Единственная проблема заключалась в том, что Птолемей принципиально не мог допустить решения с непостоянными радиусами кругов, а поэтому решил выбрать иной способ геометрической интерпретации явлений. Для этого потребовалось добавить в модель подвижный эксцентр.
Лунная теория у Птолемея. Третья итерация. Подвижный эксцентр деферента
Пусть имеется эксцентричный деферент D, центр которого (точка E) смещен относительно Земли T на некоторое расстояние TE. Очевидно, что точка A на деференте является его апогеем (наиболее удалена от Земли), а точка P – перигеем (ближе всего к Земле). Назначим теперь центру деферента E совершать оборот вокруг Земли в попятном относительно движения Солнца направлении (траектория показана пунктиром) за период времени TE, равный периоду Tε, за который Луна L оборачивается на эпицикле ε. Одновременно с этим скорость обращения самого деферента (то есть скорость движения центра эпицикла по деференту) увеличим вдвое по сравнению с теорией Гиппарха. Иными словами можно записать следующее соотношения между периодами TE = Tε = 2·TD (в действительности по уже упомянутым причинам эти равенства у Птолемея являются нестрогими, поскольку периоды не совсем совпадают). Расстояние TA оставим таким же, каким оно было ранее (соответствует радиусу TC1 на предыдущем чертеже), и в этом случае новый эксцентрический деферент окажется несколько меньше того, который использовался в предыдущей модели (старый деферент показан штрихпунктирной окружностью).
Пусть в начальный момент центр эпицикла находится в апогее А деферента, а Луна L1 располагается в апогее эпицикла. В это же время солнце S расположено таким образом, что T-E-A-L1-S выстроились на одной прямой. Очевидно, что в таком случае будет иметь место новолуние, то есть сизигия. В качестве допущения пока что примем, что Солнце неподвижно, поскольку это сильно упростит построения, не повлияв на общий смысл. Через четверть синодического месяца, то есть через 27,554/4 суток центр деферента E повернется относительно Земли T на 90° в сторону обратную движению Луны (против часовой стрелки). Поскольку сам деферент теперь обращается вокруг E с вдвое большей скоростью, чем раньше, то за то же время центр эпицикла пройдет по деференту 180° по часовой стрелке, то есть половину круга, и переместится в перигей деферента P. Луна при этом совершит на эпицикле только четверть оборота против часовой стрелки и переместится в положении L2, оказавшись в квадратуре (на самом деле – лишь близко к ней, но сам Птолемей все чертил верно и сдвигал эпицикл на нужный угол).
На правом чертеже штрихпунктиром показаны деферент и эпицикл из предыдущей модели для той же сомой квадратуры, а точка LG соответствует положению Луны согласно теории Гиппарха. Поскольку в новой усовершенствованной модели квадратура наступила в перигее деферента P, то Луна на построениях оказывается ближе к точке T, а потому наблюдатель с Земли увидит ее на небесной сфере расположенной дальше от центра эпицикла (как раз там, где раньше мы обозначали истинное положение Луны в точке L2’).
Лунная теория у Птолемея. Четвертая итерация. Эквант
Фактически Птолемей построил модель из трех кругов, но поскольку радиус вращения точки E достаточно мал, то постулировалось, что деферентом по-прежнему является большой круг, просто его центр подвижен и смещен относительно Земли (она всегда остается в центре мира).
Если теперь вспомнить, что Солнце S непрерывно движется по своей орбите, то необходимо внести следующее уточнение в период обращения эксцентра E вокруг точки T. Угол ATC, то есть угол между линией апсид AP лунного деферента и направлением TC от Земли до центра эпицикла, всегда должен быть равен удвоенному углу STL, то есть углу между направлениями с Земли на Солнце и на Луну. В таком случае обе сизигии всегда приходятся на апогей деферента (центр эпицикла C находится в точке A), а обе квадратуры – на перигей (центр эпицикла C находится в точке P). В самом деле, в сизигиях угол STL= 0° или 180°, а значит угол ATC = 2·0° = 0° или 2·180° = 360° = 0°, то есть точка C совпадает с точкой A. В квадратурах угол STL= 90° или 270°, а значит угол ATC = 2·90° = 180° или 2·270° = 540° = 360° + 180° = 180°, то есть точка C совпадает с точкой P.
Поскольку радиус эпицикла должен по-прежнему удовлетворять первому лунному неравенству, то Птолемей оставляет его величину такой же, какой она была в предыдущей теории, а за единичную длину (то есть за 60’) принимает расстояние TA (расстояние от Земли до апогея, а не радиус деферента). Зная истинный угол, под которым видна Луна в квадратурах, Птолемей находит эксцентриситет деферента TE/EA = 0,20765 (то есть TE = 10’ 19’’).
Теперь эвекция учтена: в сизигиях и в квадратурах модель согласуется с наблюдениями, однако в промежуточных положениях все еще обнаруживались некоторые расхождения. Птолемей не сумел четко выделить третье лунное неравенство – вариацию, – но все же отыскал достаточно оригинальный способ повысить точность своих построений. Во всех предыдущих моделях аномалия (то есть движение по эпициклу) отсчитывалось от истинного апогея эпицикла a, который лежит на прямой TC. Иными словами, угол поворота Луны на эпицикле всегда отмерялся относительно точки a. Птолемей же предложил отсчитывать аномалию от среднего апогея a’, который лежит на прямой WC, причем точка W называется эквантом и располагается на прямой AT с противоположной относительно эксцентра E стороны Земли.
Опираясь на несколько наблюдений Птолемей показал, что TE = TW, причем в сизигиях и квадратурах угол aСa’ = 0°, тогда как при 2φ = 114° угол aСa’ принимает максимальное значение 13°09'. Таким образом, истинный апогей a постоянно колеблется относительно среднего a’, что вызывает ускорение Луны по мере приближения к новолунию и полнолунию, а также замедление по мере приближения к первой и последней четверти. Поправку к аномалии следовало вычислить заранее и прибавлять к уравнению центра перед построением положении Луны на эпицикле.
Такова была (с некоторыми оговоренными нами упрощениями) полная лунная теория Птолемея, и она позволяла определить широту и долготу Луны в любой момент времени. Если вычерчивать круги достаточно аккуратно, то погрешность модели оставалась в рамках точности доступных в то время астрономических инструментов, а даты затмений удавалось определять по упрощенной схеме без эксцентра и экванта.
Почему лунная теория Птолемея противоречит наблюдениям
Имелась, впрочем, серьезная проблема, которая проистекала из построений Птолемея: его модель хорошо описывала движение центра лунного диска по небесной сфере, но не положение самой Луны в пространстве. В самом деле, рассмотренная нами комбинация круговых движений приводит к чересчур сильному изменению расстояний между Землей и Луной. Если обратиться к чертежу, то можно легко увидеть: максимальная величина этого расстояния T-La практически вдвое превышает минимальную T-Lp. На основании древних вавилонских наблюдений Птолемей определил, что видимый угловой диаметр Луны в положении La (в апогеях эпицикла и эксцентра) составляет 31’20’’ или 35’20’’ (для разных затмений получались несколько отличные результаты). Но в таком случае в положении Lp (в перигеях эпицикла и эксцентра) видимый размер Луны должен составлять целый градус, а это категорически противоречит наблюдениям. Даже безо всяких инструментов совершенно ясно, что величина лунного диска почти не изменяется (не более чем на 14%), и античные астрономы отлично об этом знали.
Расстояние до Луны Птолемей определил в диапазоне от 54 до 64 земных радиусов в сизигиях, а также – от 34 до 44 земных радиусов в квадратурах. Диапазоны возникают оттого, что Луна может занимать различные положения на эпицикле. Истинные же значения лежат в пределах от 55,9 до 63,8 земных радиусов, откуда можно заключить, что Птолемей очень хорошо оценил размеры лунной орбиты, но ее форму представлял совершенно неверно.
Что касается несоответствия теоретической и наблюдаемой величины лунного диска в квадратурах, то Птолемей едва ли мог не заметить этой проблемы, однако никак ее не прокомментировал, и вообще не стал приводить видимых размеров Луны для первой и последней четверти. Поскольку античная астрономия не претендовала на то, чтобы собственными средствами получить знания об истинной картине мира, то и теория эпициклов являлась лишь инструментом для вычисления широты и долготы небесных тел. Физический механизм круговых движений оставался вне рамок «Альмагеста», а потому не требовалось объяснять такие несоответствия, которые изначально и не предполагалось исследовать. Однако данное поведение Птолемея плохо вяжется с его дотошностью во всех прочих случаях, и это косвенно доказывает, что о неудобном вопросе было попросту решено умолчать.
На самом деле Птолемей допускал и менее явные ошибки. Так, определяя видимые размеры Луны, он полностью игнорирует собственную теорию движения Солнца и полагает его размер всегда строго постоянным, хотя для орбиты с эксцентром такое невозможно. Также нередко в качестве исходных данных принимаются наблюдения, описание которых явно говорит об их неточности или даже ошибочности. В других местах своего труда Птолемей все же обнаруживает некоторые расхождения теории и фактов, но безо всякого объяснения отдает предпочтение то первой, то вторым.
Важно, однако же, понимать, что для греческой философской мысли основным недостатком лунной теории Птолемея являлось не противоречие явлениям, но введение подвижного эксцентра и экванта. Из-за этих математических уловок круговые движения фактически переставали быть равномерными, и это делало «Альмагест» полностью неприемлемым с точки зрения античной физики, хотя для вычислений подобные допущения полагались допустимыми.
Теории движения планет Птолемея
Геометрические наработки, использованные для улучшения моделей Солнца и Луны, позволили Птолемею приступить к описанию движения оставшихся планет, тем более что какой-либо сносной теории их перемещений не существовало вовсе. При этом он всегда четко выделял Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн как пять блуждающих звезд, хотя в античности обычно просто говорили о семи планетах.
Естественно, что все планетарные движения предполагалось рассматривать относительно плоскости эклиптики, а различные наблюдаемые неравенства выводить из комбинации круговых обращений. В первую очередь требовалось объяснить первое зодиакальное неравенство планет, то есть неравномерную скорость их перемещения по зодиаку (вызванную эллиптической формой орбит), и для этого все деференты принимались эксцентрическими относительно Земли. Второе неравенство, то есть стояния и ретроградные движения моделировались эпициклом, который вращался в том же самом направлении, что и деферент. Если учесть еще и то, что планеты несколько отклоняются от эклиптики (поскольку реальные орбиты не расположены в одной плоскости), то общие принципы их движений согласно «Альмагесту» можно изложить в нескольких достаточно простых тезисах:
1. Центры эпициклов Меркурия и Венеры всегда лежат на прямой Земля-Солнце, поэтому периоды их обращения на деферентах строго равны одному году.
2. Период обращения Меркурия на эпицикле равен 88 суткам, а Венеры – 225 суткам.
3. Марс обращается на деференте за 1,88 года, Юпитер за 11,87 лет, а Сатурн за 29,46 лет.
4. Отрезки, соединяющие Марс, Юпитер и Сатурн с центрами их эпициклов всегда параллельны прямой Земля-Солнце, а, значит, периоды их обращения на эпициклах равны одному земному году.
5. Деференты Меркурия и Венеры лежат в плоскости эклиптики, а их эпициклы наклонены к ней под небольшими углами.
6. Деференты Марса, Юпитера и Сатурна наклонены к плоскости эклиптики на небольшие углы, а их эпициклы всегда параллельны ей.
Всё перечисленное, кроме эксцентров и углов наклона, пока что ничем не отличается от теории Гиппарха. Для каждой планеты мы по-прежнему наблюдаем жесткое согласование с движениями Солнца, из которого не делается никаких выводов. Тем не менее, Птолемей решил перейти от качественного описания к точным числовым решениям, а для этого ему потребовалось вычислить отношения размеров эпициклов и деферентов для каждой планеты. Причем оказалось, что как выбрать в древних таблицах необходимые опорные наблюдения так же трудно, как и выполнить сами расчеты. Покажем для примера, как эта задача была решена в случае Венеры.