Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
«Оптика» Евклида
Евклид, без всякого сомнения, придерживался эмпедокловской концепции, поскольку семь постулатов его «Оптики» формулируются следующим образом:
1. Исходящие из глаза прямые лучи расходятся в бесконечность.
2. Исходящие из глаза зрительные лучи образуют конус, вершина которого расположена в глазу, а основание – на поверхностях видимых объектов.
3. Мы видим лишь те объекты, на которые падают зрительные лучи, а все прочие объекты мы не видим.
4. Видимые под большими углами объекты кажутся нам больше тех, которые видимы под меньшими углами. Объекты, видимые под равными углами, кажутся нам одинаковыми по размеру.
5. Объекты, охватываемые верхним лучом зрения, кажутся нам выше, а охватываемые нижним лучом зрения – ниже.
6. Аналогично, объекты, охватываемые правым лучом зрения, кажутся нам правее, а охватываемые левым лучом зрения – левее.
7. Чем больше зрительных лучей падает на объект, тем отчетливее он виден.
На основании этих действительно очевидных и, несомненно, взятых из опыта положений делается множество нетривиальных выводов о том, как именно мы видим различные предметы, в каких случаях они кажутся нам больше или меньше, как меняется наше восприятие при движении, а также исследуются вопросы остроты зрения и измерения расстояний. Рассмотрим для примера несколько таких теорем Евклида, чтобы читатель мог получить представление о том, чем в действительности являлась греческая оптика.
Положение 3. Любой видимый объект можно отдалить настолько, что он станет неразличим для глаза. Пусть глаз находится в точке A, а лучи зрения AB и AC являются двумя ближайшими друг к другу. Рассмотрим объект K. Если K расположен дальше, чем отрезок BC, то ни один из лучей зрения не попадет в K, а, значит, согласно постулату 3, такой предмет мы не увидим.
Здесь по умолчанию предполагается, что из глаза выходит ограниченное число зрительных лучей, количество которых, очевидно, определяется отверстиями в зрачке.
Положение 18. Если погода солнечная и необходимо узнать высоту объекта, то следует поступать следующим образом. Пусть требуется узнать высоту MN. Расположим глаз D так, чтобы луч солнца ED проходил через вершину объекта M, и тень от MN составила бы ND. Возьмем теперь объект известной величины PL и расположим его так, чтобы луч солнца ED проходил через вершину P. Таким образом, имеем два подобных треугольника MND и PLD, причем длина PL известна, а тени ND и LD можно измерить. В результате получаем MN = PL·ND/LD.
Положение 28. Если глядеть на цилиндр одним глазом, то видно меньше половины. Пусть имеется цилиндр, ось которого проходит через точку O. Из глаза W выходят лучи, которые касаются круга в точках X и Y. Очевидно, что обращенная к глазу дуга XY меньше полукруга, а на все точки цилиндра, расположенные правее отрезка XY, лучи зрения не попадут. Поэтому всегда видно меньше половины цилиндра. Указанные рассуждения справедливы и для конуса.
Причины развития теоретической оптики у эллинов
Предполагается, что столь скрупулезный анализ оптических эффектов возник из необходимости создания достоверных театральных декораций. Уже в древних Афинах театр являлся важным элементам общественной жизни: оформление сцены для постановок трагедий Эсхила или Софокла требовало от художников умения правдоподобно изображать элементы пейзажа или городской архитектуры, и мы точно знаем, что зрители были впечатлены результатом. Известно, что Демокрит и Анаксагор написали книги о геометрических принципах создания театральных декораций, и, весьма вероятно, что Евклид многое почерпнул именно из этих работ.
В эллинистической Александрии искусство, в том числе и драматическое, уже не могло затрагивать остросоциальных вопросов, и потому, дабы не утратить эффектности, оказалось вынужденным обратиться к поиску изощренных изысканных форм для описания простых вещей и бытовых проблем. Могущественные Птолемеи желали прославить себя и свое правление, а потому оказывали щедрое покровительство талантливым художникам, писателям и поэтам. Придворные драматурги не могли говорить обо всем, но выигрывали за счет пышности, яркости и блеска своих спектаклей. Мастера-декораторы научились создавать на тканях и досках удивительные по реалистичности изображения на самые разные темы.
И здесь мы вынуждены признать, что Евклид не в полной мере справился со своей задачей, поскольку его трактат объясняет лишь то, как мы видим предметы, но ничего не говорит нам о том, как следует изображать объекты на плоскости для получения достоверных зрительных впечатлений.
«Катоптрика» Архимеда
О дальнейшем развитии античной оптики мы можем косвенно судить по отдельным отрывкам и кратким описаниям несохранившейся работы Архимеда «Катоптрика». В этом фундаментальном труде рассказывалось, в частности, почему плоские зеркала дают отражения предметов в их натуральную величину, выпуклые – уменьшают размеры, а вогнутые – увеличивают; отчего в зеркале меняются местами право и лево; каким образом вогнутое зеркало способно собирать солнечный свет и даже поджигать что-либо; из-за чего в небе видна радуга; как преломляются лучи в различных средах, и почему погруженные в воду предметы кажутся больше, а также многое иное подобного же рода. Точный и ответственный подход Архимеда к научным исследованиям не оставляет сомнений, что все указанные проблемы были разобраны с большой тщательностью, но от всего указанного многообразия до наших дней сохранились лишь отдельные отрывки, переписанные другими авторами в свои книги.
Например, мы точно знаем, что в «Катоптрике» Архимед показал, что для отраженного в зеркале светового луча угол падения равен углу отражения. Этот факт совсем неочевиден, ведь существует множество способов построить путь от источника до глаза наблюдателя. Рассмотрим плоское зеркало, источник света A и глаз B (Архимед бы сказал, что луч зрения идет от глаза к объекту A). Полагаем, что луч света отражается от зеркала в точке O так, что α = β. Допустим, что в действительности луч света движется по какому-либо иному пути, например, отражается от зеркала в точке K, и тогда α’ > β’, то есть угол падения больше угла отражения. Мысленно поместим источник света в точку B, а глаз – в точку A, и получим, что угол падения стал меньше угла отражения, а это противоречит изначальному допущению. Единственным случаем, когда противоречия не возникает, это ситуация когда углы падения и отражения равны.
На самом деле приведенное доказательство не выглядит безупречным. Очевидно, оно исходит из постулата о том, что если пометь местами видимый предмет и глаз, то ход лучей никак не изменится, но это совсем не очевидное допущение, более того – интуитивно хочется предположить как раз обратное. Возможно, что переписчик, не сумел понять настоящее доказательство Архимеда, и привел его в сильно искаженном виде, сохранив лишь общий принцип сведения альтернативных версий к абсурду.
Другой, сохранившийся фрагмент «Катоптрики» выглядит намного убедительнее. В этом отрывке Архимед рассказывает о том, как смог определить угол, который занимает на небосводе солнечный диск. Для этого на длинной горизонтальной линейке Архимед разместил небольшой цилиндрик (на чертеже он обозначен как A) и, дождавшись восхода, когда на Солнце еще можно спокойно смотреть, поместил свой глаз у одного конца линейки, а цилиндрик переместил так, чтобы тот едва-едва начал заслонять Солнце. Если бы человеческий зрачок являлся точкой, что проведя касательные к цилиндру, можно было бы получить угол α, соответствующий искомой величине. Архимед, однако же, справедливо отмечает, что необходимо учесть поправку на размер зрачка, для чего на линейке устанавливается специальная пластинка B, размер которой равен размеру зрачка. Теперь, проведя касательные одновременно к цилиндру A и пластинке B, мы получим угол β, который окажется меньше искомой величины.
В данном случае мы встречаем, пожалуй, первый в истории случай оценки погрешности для экспериментально определяемой величины. Из своих опытов Архимед определил, что угловой размер Солнца составляет от 1/200 до 1/164 прямого угла, то есть от 27’ до 32’55’’. Поскольку истинное значение составляет примерно 30’, то можно лишь поразиться мастерству Архимеда, учитывая, сколь примитивными были его инструменты.
Популярность «Катоптрики» в античности была достаточно велика (это означает, что ее прочитало несколько сотен человек), и, вероятно, именно эта книга послужила источником легенды, о том, что Архимед будто бы сумел уничтожить римский флот при помощи огромных зажигательных зеркал. В реальности едва ли это было возможным даже при самых благоприятных погодных условиях, а данную историю наверняка сочинили намного позже, опираясь на исследования Архимеда о небольших параболических отражателях, с помощью которых удавалось воспламенить сухую ткань или щепки.
Оптические работы Герона Александрийского
В более поздних работах Герона Александрийского говорится, что оптика, как наука подразделяется, на учение о том, как мы видим предметы, учение об отражениях и учение о визировании на местности и земельной съемке. В последнем деле Герон особенно преуспел и даже написал книгу о диоптре – сконструированном им самим геодезическом приборе для измерения и фиксирования горизонтальных и вертикальных углов между различными объектами. Так, например, если требовалось определить расстояние от точки A до недоступного объекта K, то Герон предлагал выбрать доступную точку B на прямой AK, а затем еще две доступные точки C и D, такие, чтобы треугольник KBC получился прямоугольным. Теперь необходимо измерить длины отрезков AD, BC и AB, а затем составить пропорцию
откуда получаем искомое расстояние
Если же требуется определить расстояние между точками N и M, которые невозможно наблюдать одну из другой, то в таком случае Герон предлагает провести серию дополнительных построений, построив на местности ломаную линию, все звенья которой расположены перпендикулярно друг к другу. Измерив затем все прямолинейные участки, можно, хоть это и потребует некоторых вычислений, определить длину отрезка NM.
Диоптра позволяла также определять расстояние между кораблями в море, измерять расстояние деревьев и зданий, вычислять площади различных территорий, в том числе и таких, на которые невозможно зайти, а также вести работы по строительству туннелей, соединяя, например, две заданные точки с противоположной стороны горы.
Если же вернуться непосредственно к оптическим сочинениям Герона, то особый интерес представляет его доказательство того, что исходящие из глаз зрительные лучи движутся с бесконечной скоростью. В самом деле, расстояние до звезд очень велико, но если мы закроем и откроем глаза, то сможем увидеть звезды сразу же, лишь только взглянем на небо. Получается, что зрительные лучи достигли звезд и вернулись обратно за очень малое время. Данный аргумент, к слову, использовался и для опровержения теории зрительных лучей, поскольку возможность столь быстрого движения многим представлялась совершенно невероятной. Схожие сомнения высказывал даже Евклид, который, как мы помним, поддерживал теорию о зрительных лучах.
Закон отражения у Герона
Не менее интересно и то, как Герон в своем трактате «Катоптрика» доказывает закон отражения, опираясь на тезис о том, что Природа не напрягает силы без нужды. Данное утверждение неявно содержит в себе принцип минимизации потенциальной энергии, и в самом общем виде оно формулировалось еще Аристотелем, однако именно Герон (либо же автор источника, из которого Герон переписывал) сумел использовать его для плодотворных научных рассуждений. Так, сразу же оказывается необходимым сделать заключение о прямолинейности зрительных лучей, ведь любое движение с постоянной скоростью должно происходить по кратчайшему расстоянию между точками, поскольку движущая сила не позволит терять время на более долгий путь. Теперь уже нетрудно доказать и сам закон отражения.
Пусть объект находится в точке A, а глаз наблюдателя – в точке B. Луч зрения вышел из глаза B и достиг объекта A, отразившись от зеркала KM в некоторой точке O. Мы, в отличие от Герона, разумеется, говорим, что луч света идет от предмета к глазу, но на суть дальнейшего доказательства это никак не повлияет. Вопрос заключается в том, где именно должна находиться точка O, чтобы путь B-O-A оказался наименьшим?
Начертим прямую AC перпендикулярную плоскости зеркала, причем точка C расположена так, что AK = KC. Иными словами в точке C находится зеркальное изображение объекта A. Кратчайшим расстоянием между B и C, естественно, является прямая, и очевидно, что BOM = KOM = θ. Теперь заметим, что у прямоугольных треугольников AOK и COK равны оба катета, и, следовательно, они полностью одинаковы. Таким образом, AO = OC, а путь B-O-A равен наикратчайшему пути B-O-C, и при этом AOK = θ. Равенство углов падения и отражения доказано, ведь только в таком случае путь зрительных лучей окажется минимальным.
Приведенные рассуждения Герона дают нам один из самых ранних примеров того, как частный физический закон выводится из некоторого общего принципа исключительно с помощью математики. Попытки сделать нечто подобное уже предпринимались в «Механических проблемах», но там они выглядели по большей части неубедительно, тогда как в данном случае перед нами образец чистого научного доказательства. Впрочем, сами греки едва ли ощущали тут хоть какую-то значимую разницу. По крайней мере, никаких указаний на это нет.
Оптические исследования Клавдия Птолемея
Несмотря на все политические и исторические потрясения, в Александрии никогда не прекращались исследования особенностей зрения и законов движения света. Во II веке нашей эры знаменитый астроном Клавдий Птолемей написал книгу «Оптика», отрывки которой известны нам в искаженном латинском переводе с утерянного арабского текста, который был основан на греческом оригинале. Весьма вероятно, что этой цепочке присутствовал еще и промежуточный перевод на древний сирийский язык.
Точно так же, как Евклид и Герон, Птолемей придерживается концепции об исходящих из глаза зрительных лучах. В своей книге он приводит множество измерений, подтверждающих закон о равенстве углов падения и преломления, причем это правило распространяется в том числе и на кривые зеркала. Делается абсолютно верное заключение, что для неровной поверхности равенство углов необходимо определять по отношению к нормали, проведенной в точке отражения.
Также в работе Птолемея мы находим самые ранние сохранившиеся таблицы преломления света при переходе световых лучей из одной среды в другую. Само по себе данное физическое явление было известно с далекой древности (уже в комедии Аристофана «Облака» зажигательное стекло упоминается как нечто общеизвестное), однако именно Птолемей впервые провел целенаправленное и систематическое исследование преломления. Для своей работы он изготовил специальный измерительный прибор, состоящий из диска, на оси которого были закреплены две вращающиеся линейки. Размещенный вертикально диск наполовину погружался в воду, после чего одна из линеек устанавливалась произвольным образом, а вторая поворачивалась до тех пор, пока визуально не начинало казаться, будто они обе расположены на одной прямой. После этого прибор вынимался из воды и по специальным делениям измерялся реальный угол между линейками.
Хоть описанное устройство и представляется достаточно простым, но с его помощью Птолемею удалось получить весьма точные значения углов при переходе света из воздуха в воду, а также – из воздуха в стекло и из воды в стекло. Очень долго считалось, что все приведенные в «Оптике» цифры были получены экспериментально, однако современные исследователи склоняются к тому, что Птолемей провел лишь несколько опытов, а большинство значений в диапазоне от 10° до 80° вычислил теми же методами, которыми астрономы определяли промежуточные положения небесных светил.
Размышляя о том, отчего при отражении углы движения зрительных лучей равны, а при преломлении – не равны, Птолемей заключает, что здесь имеет место удивительное свойство природы сохранять активность силы. К сожалению, последующая часть книги, где разъясняется данная цитата, до нас не дошла.
Успех античной оптики
Таковы, вкратце, были античные знания в области оптики. Безусловно, мы должны дать им достаточно высокую оценку, хотя они и базировались на совершенно неверном представлении об исходящих из глаз зрительных лучах. Именно в греческой оптике мы впервые в истории человечества встречаем вполне четкое понимание и строгое использование принципа наименьшего действия, который, впрочем, не был тогда взят на вооружение в иных областях науки, да и не совсем понятно, как можно было бы использовать его где-либо еще. В самом деле, оптика сама по себе идеально подходила для исследований средствами чистой геометрии, тогда как, например, механика требовала уже совсем иных математических подходов и методов.
Весьма характерно, что Папп Александрийский полагал изучение «Оптики» Евклида обязательным для всех, кто собирается заняться астрономией, а особенно – трудами Клавдия Птолемея. На самом деле Папп дает большой список книг, предварительное постижение которых необходимо для освоения науки о небе, и «Оптика», на первый взгляд, сильно выделяется из этого перечня сугубо астрономических трактатов (так, например, там присутствуют еще и «Явления» Евклида, в которых излагаются основы сферической геометрии). В самом деле, в «Оптике» ничего не говорится о звездах и небесных телах, а есть лишь несколько теорем о том, как человеческий глаз видит сферические объекты. Впрочем, даже эти соображения почти не имеют никакой значимости для наблюдений Луны и Солнца ввиду малого углового размера последних.
Логику Паппа можно понять, если учесть, что он не посчитал нужным упомянуть «Оптику» самого Птолемея, которая в физическом плане намного превосходит работу Евклида. Книга Евклида в данном случае рекомендовалась скорее из методологических соображений Греческие работы по оптике наглядно показывали, как чистые математические построения позволяют исследовать реальные физические явления и получать достоверную информацию об окружающем мире. В гораздо большем масштабе это пыталась сделать и античная астрономия. С этой точки зрения Евклид, несомненно, превосходит других греческих авторов, демонстрируя всю мощь и пользу геометрического доказательства для обоснования реальных оптических явлений. Быть может, Евклиду недостает глубины в понимании общих физических принципов, зато он говорит о многих вещах и исключительно на языке математики. Также о многом говорила и античная астрономия, а ее успехи благодаря геометрическим методам оказались грандиозными.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ДНИ НЕДЕЛИ И ВРЕМЕНА ГОДА
Общая характеристика древних воззрений на астрономию
Приступая к разговору о древней астрономии, хочется сразу оговориться, что даже краткий ее обзор потребовал бы книги, не уступающей по размерам этой. В популярной литературе обычно приводят отрывочные и очень упрощенные сведения, которые не столько разъясняют, сколько запутывают и вызывают удивление некомпетентностью вавилонских и греческих астрономов, которые, как может показаться, оказывались беспомощными в самых простых вопросах. Такое мнение, разумеется, никак не соответствует истине. На самом деле чаще всего именно современный читатель мало осведомлен касательно основ астрономии и структуры календарей, и поэтому плохо представляет себе, с каким обширным материалом на самом деле работали древние. В этой связи мы постараемся в нескольких главах дать достаточно глубокий, но при этом доступный неспециалисту материал (то есть все равно опустим многие частные и важные моменты), который показал бы общую эволюцию человеческих знаний о небе – на пути от чистого мифа до грандиозного математического построения Клавдия Птолемея.
Часто говорят, что из всех прочих наук древности именно астрономия получила, пожалуй, наибольшее развитие, но этот тезис все же представляется несколько спорным. Античная математика едва ли уступала современному ей уровню познаний о небе. Кроме того, как мы уже говорили, в той же Александрии, где работал Птолемей, основное внимание уделялось в основном литературным вопросам, ведь восемь муз из девяти, так или иначе, отвечали именно за литературу (муза истории Клио занимала нишу исторических произведений и гимнов, прославляющих великие деяния правителей). Имеет смысл задуматься, почему покровительствовавшая астрономии Урания вообще оказалась в таком окружении, и в какой мере чтение небесных посланий считалось именно натурфилософией. В любом случае по-настоящему правильным будет сказать, что древняя астрономия являлась наиболее развитой из всех естественных наук. Это объясняется сразу несколькими причинами. Во-первых, небесные явления существенно проще понять и описать математически (до какого-то определенного уровня точности), чем большую часть из того, что происходит на поверхности Земли. Разумеется, здесь мы имеем в виду лишь видимую составляющую происходящего – звезды, Луна, Солнце и планеты перемещаются вполне упорядоченным образом, поэтому их движение можно попытаться изучить и рассчитать. Во-вторых, все небесные тела полагались либо божествами в буквальном смысле этого слова, либо же каким-то явным проявлением сверхъестественных сил, а потому людям казалось вполне разумным и даже необходимым разобраться в установленном свыше порядке.
Впрочем, обе указанные причины сами по себе не могли стать надежным фундаментом развития древней астрономии, как науки. В самом деле, мы уже видели, как даже известный и понятный на практике закон рычага не привел к формированию хоть сколько-то внятной механической теории. Точно также и попытки постичь волю небес приводили только лишь к созданию астрологических систем, которые хоть и базировались на точных астрономических наблюдениях, но представляли собой абсолютно фантастические измышления. Конечно, уже сам факт того, что гороскопы не сбывались, некоторым образом подталкивал древних жрецов к мысли, что возможно их звездные таблицы недостаточно точны, а потому необходимо провести более тщательные наблюдения и расчеты. Но путь этот, очевидно, был тупиковым – точность гороскопов зависела в основном от везения астролога, а также от его умения разобраться в придворных интригах и геополитической обстановке, но вовсе не от умения вычислять положения планет в зодиаке на конкретную дату.