Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
Вычисления в Египте и Вавилоне
Для ясности рассмотрим задачу №R52 из знаменитого египетского папируса Ахмеса – древнего учебного руководства, составленного в первой четверти второго тысячелетия до нашей эры. Текст задачи таков: «Какова площадь усеченного треугольника, если его высота 20 хет, основание 6 хет, а верхнее основание 4 хета? Сложите нижнее основание с верхним. Получите 10. Разделите 10 пополам. А затем 5 умножьте на 20. Помните, что 1 хет равен 100 локтей. Посчитайте ваш ответ».
Несложно понять, что под усеченным треугольником подразумевается трапеция, площадь которой египтяне определяли как произведение половины суммы оснований на высоту, то есть идентично современной школьной формуле. Впрочем, вычисление ответа само по себе являлось непростым делом, ведь в древнем Египте еще не знали таблицы умножения, а вместо нее применяли метод последовательного удвоения, поэтому даже относительно простые подсчеты получались достаточно громоздкими.
Предположим, что, как и в нашем случае, требовалось перемножить 20 на 5. Для этого сперва записывали вспомогательный ряд чисел, где каждое следующий член был вдвое больше предыдущего, например: 1, 2, 4, 8 и так далее. Затем составлялся второй ряд чисел – напротив единицы писалось наибольшее число из рассматриваемого произведения (в нашем примере это 20), а следующие члены ряда также получались удвоением предыдущего. Далее выбирались те числа из первого ряда, которые в сумме дают наименьший множитель, а искомое произведение получалось как сумма соответствующих членов из второго ряда. Выглядело это (с поправкой на то, что сами цифры, разумеется, записывались иначе) следующим образом:
✓.....1.....20
........2.....40
✓.....4.....80
........8.....160
................100
Поскольку 5 = 1 + 4, то 5 х 20 = 20 + 80 = 100.
Конечно, мы сейчас рассмотрели довольно простой и часто встречающийся вычислительный пример, поэтому хороший писец, наверняка, помнил ответ наизусть. Однако несложно убедиться, что описанный способ позволяет вполне успешно заменять умножение сложением и в намного более трудных случаях. Особенно, если учесть, что в конкретных задачах для удобства можно было начинать первый ряд не только с единицы, а с любого удобного числа. Отношения последующих членов ряда также выбиралось исходя из удобства счета.
Ни в одном сохранившемся папирусе, ни в одной расшифрованной клинописной табличке нет ничего похожего на доказательство правильности предлагаемых рецептов. Разумеется, египетские и вавилонские мудрецы должны были каким-то образом получить свои решения и убедиться, что они дают верный результат, однако, вероятно, используемые методы оставались профессиональной тайной узкой группы специалистов высочайшего класса. Лишь отдельные случайные намеки позволяют нам в редких случаях предположить, как был обнаружен тот или иной ответ. Так, например, иной раз мы встречаем в папирусах пояснения, что величину площади треугольника необходимо удвоить, чтобы сделать из него четырехугольник, а нахождение полусуммы оснований трапеции позволяет превратить ее в прямоугольник.
Обычные писцы не вникали в данные тонкости, а просто-напросто заучивали математические книги наизусть, полагая их священной истинной. Кроме того активно использовались всякого рода вспомогательные таблицы: произведений чисел, обратных величин, квадратов, кубов, корней распространенных уравнений и всякое подобное этому. Все это специально вычислялось заранее и тщательно фиксировалось, чтобы в дальнейшем ускорить и облегчить трудоемкие расчеты. У вавилонян имелась даже специальная «логарифмическая» таблица для расчета процентов по кредиту с помощью которой можно было находить показатель степени n, если дано число вида 2n.
Скорее всего, многие формулы находили с помощью наглядных графических способов. Рассмотрим, например, последовательность 1 + 2 + 3 + … + n. Ее можно представить в виде ступенчатой фигуры, каждая клеточка которой равна 1. Из двух таких фигур легко складывается прямоугольник со сторонами n и n + 1, откуда получаем площадь одной ступенчатой фигуры равной n·(n+1)/2.
С помощью трехмерных фигур, составленных из кубиков, вавилонянам удалось даже определить, что сумма ряда 12 + 22 + 32 + … + n2 равна (2n3 + 3n2 + n)/6.
Достижения древних математиков. Площади. Число пи. Объемы
Учитывая всё сказанное, уровень математических познаний древности поражает. Египтяне и вавилоняне умели решать квадратные уравнения, знали арифметическую и геометрическую прогрессии, могли вычислить сумму квадратов последовательных чисел, разбирались в подобии и пропорциях, причем имелся даже специальный термин для тангенса (отношения катетов прямоугольного треугольника). При этом имеются определенные сомнения касательно того, что в реальной практике действительно встречались ситуации, требующие всех перечисленных сложных математических выкладок. Вероятно, некоторые «бытовые» задачи (например, как поделить пшеницу в соответствии с арифметической прогрессией) были помещены в учебные папирусы специально, дабы оправдать изложение дополнительного сложного материала.
Но особенно большие успехи были достигнуты в мастерстве определения площадей различных фигур. Использовались точные формулы для вычисления площадей треугольников, прямоугольников и трапеций, а также приближенные соотношения для площадей любых четырехугольников. Также было найдено достаточно точное выражение для определения площади круга.
В уже известном нам папирусе Ахмеса имеется задача №R52 следующего содержания: «Есть окружность в 9 хетов. Какова площадь окружности? Нужно вычесть от 9 единицу. Останется 8. Умножьте 8 на 8. Это будет равняться 64. Вот перед вами и ответ – площадь круга равна 64 сечатам. Подробный ход вычисления:
..............9.......9
✓......1/9.......1
.......................1
После вычитания получается 8.
..............1.......8
..............2.......16
..............4.......32
✓...........8.......64
........................64
Площадь круга составляет 64».
Текст задачи написан не совсем ясно, поэтому поясним его. Речь идет об окружности с диаметром равным 9 хетам. Поскольку нам уже известно, как считали древние египтяне, то из вспомогательных арифметических выкладок мы можем заключить, что на самом деле из диаметра вычитали не единицу, а 1/9 диаметра. Теперь можно записать следующую египетскую формулу для площади круга
Это выражение легко преобразовать следующим образом
Таким образом, можно заключить, что египтяне определили число π с очень высокой точностью, хотя у них не существовало конкретного понятия о такой константе.
Вопросы определения объемов также исследовались вавилонянами и египтянами с величайшей тщательностью. Они знали способы точно вычислять объемы куба, параллелепипеда, призмы (с трапецией в поперечном сечении), а также правильной усеченной четырехугольной пирамиды. Последнюю формулу едва ли можно вывести, не зная предварительно, что объем пирамиды равен трети от объема призмы с равновеликими основанием и высотой. Этот факт, в свою очередь, никак нельзя установить без использования хотя бы примитивных методов интегрирования, поэтому его строгое обоснование в Египте или Вавилоне представляется сомнительным. Надо полагать, что формула для объема пирамиды была получена эмпирическим путем (например, с помощью взвешивания), а уже затем с помощью математических преобразований удалось вывести выражение и для объема усеченной фигуры.
Усеченной призме посвящена задача № M14 Московского математического папируса, хранящегося в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Ее текст таков: «Скажут тебе: вот усечённая пирамида высотой 6 локтей, стороной внизу 4, а вверху – 2. Исчисли квадрат 4. Это будет 16. Удвой 4. Это будет 8. Исчисли квадрат 2. Это будет 4. Сложи вместе эти 16, 8 и 4. Это будет 28. Исчисли 1/3 от 6. Это будет 2. Исчисли 28 дважды. Это будет 56. Смотри: это 56. Ты нашёл правильно».
Текст задачи слегка запутан, но если обозначить высоту усеченной пирамиды за h, а стороны оснований за a и b, то предлагаемое решение соответствует следующей современной формуле
Вавилоняне знали эту же формулу в ином виде, который позже переняли греки
Также для этой задачи вавилоняне могли использовать приближенную формулу
которая в нашем случае дает величину объема равную 60 кубических локтей, что несколько больше истинного значения.
Влияние восточной математики на греческую
Как теперь должно быть понятно, древнейшие греческие математики действительно могли ездить за мудростью в Египет или Вавилон – там было чему обучаться. С другой стороны, известно, что даже местные писцы постигали вычислительное искусство несколько лет, так что за время короткой поездки едва ли можно было усвоить многое. Другое дело, если греки обучались основам математики у себя на родине, а на берега Нила приезжали уже для того, чтобы повысить уровень своих знаний. Причем едва ли Фалес, Пифагор или Демокрит предпринимали долгие путешествия просто ради нескольких прикладных формул – видимо, за плату или подарки жрецы предоставляли вполне солидную образовательную программу, включавшую и некоторую теоретическую часть. Известно, что Демокрит не без доли тщеславия утверждал, будто бы никто не превзошел его в складывании линий с доказательствами, даже египетские гарпедонапты. Таким образом, можно заключить, что какого-то рода геометрические доказательства использовались и до греков, но история не сохранила об этом никакой информации.
Сами гарпедонапты (греческий термин, который можно перевести как «натягивающие веревку») это египетские чиновники-жрецы, отвечавшие за размежевание земельных участков посредством их обмера особыми шнурами с узлами. Для точности измерений такие шнуры требовалось как можно сильнее натягивать. Именно отсюда произошли современные термины «гипотенуза» (от «ὑποτείνουσα» – натянутая), а также «линия» (от латинского «linea» – полотняная). Само слово «геометрия», как мы уже говорили, по-гречески буквально означает «измерение земли».
Однако тут нужно сделать ряд важных оговорок и пояснений. Известная нам греческая математика коренным образом отличается от восточной, поскольку эллины ставили исследовательскую часть выше прикладной. Не нужно, конечно, думать, будто греки не занимались прямыми подсчетами и измерениями – это, разумеется, составляло основную часть всей их математической деятельности, – но именно отделение доказательной части от занятия числами знаменовало переход от «донаучного» этапа к собственно науке. Конечно, такое разделение является условным, но, когда мы используем одно и то же слово «математика» для обозначения и восточных вычислений, и греческой геометрии, мы должны при этом подразумевать различные вещи. Собственно, сами греки под математикой понимали в первую очередь именно теоретическую деятельность.
Впрочем, вопрос о заимствованиях является дискуссионным. К сожалению, не существует никаких источников, рассказывающих о раннем уровне греческой математики в VIII-VI веках до нашей эры. Косвенно, по остаткам архитектурных сооружений, мы должны заключить, что определенный уровень знаний, несомненно, имелся уже тогда, но нам неизвестны какие-то учебники или хозяйственные книги той эпохи. Похоже, что подобных текстов вообще никогда не существовало, поскольку сами эллины считали, будто достижения Фалеса или Пифагора возникли едва ли не на пустом месте. Более того, греческая геометрия развевалась столь стремительно (от Фалеса до Евклида прошло менее трехсот лет), что греки попросту не поверили в силу своего интеллекта и решили, будто переняли свою науку у египтян и вавилонян, не разобравшись даже в том, насколько это вообще было возможно.
Дело тут даже не в том, что восточная математика была по большей части индуктивной, а греческая развивалась дедуктивно. Важнее то, что уровень вавилонской и особенно египетской геометрии всегда оставался достаточно низким по сравнению с тем, чего в итоге сумели добиться эллины. Определенные заимствования действительно имели место, но лишь в самом начале становления ранней греческой науки. Впрочем, даже тогда они в основном относились к области конкретных фактов и арифметических приемов. Хотя и такого рода примеров крайне мало, но они действительно есть. Так, дроби вида 1/n, а также метод последовательного удвоения греки прямо называли египетскими, но эти простейшие знания были нужны в первую очередь купцам и мореплавателям, которые часто оказывались в чужих краях и перенимали местные приемы счета. Тем более что в торговом деле каждой стороне необходимо уметь производить вычисления не хуже партнеров, иначе останешься внакладе. Подобный вид культурных контактов представляется более вероятным, чем реальные образовательные путешествия греческих мыслителей на Восток. Тем более что и Фалес, и Пифагор являлись уроженцами богатых купеческих ионийских городов, и оба были причастны к восточной торговле.
Не менее важным (возможно даже важнейшим) препятствием в деле заимствования восточной мудрости должен был оказаться языковой барьер. Для того чтобы обстоятельно разобраться в египетской или вавилонской математике, эллинам сперва потребовалось бы овладеть чужим языком и сложнейшей системой письма. При этом известно, что греки никогда не испытывали желания понимать чужую речь. Разумеется, отправившийся на Восток наемник или купец мог научиться говорить на чужом языке, но нет свидетельств, что хотя бы один греческий автор действительно понимал египетскую письменность или аккадскую клинопись. В работах Евклида, Архимеда, Эратосфена и Аполлония нет никаких следов восточного влияния, хоть эти ученые долгое время жили и трудились в Александрии и Пергаме. Похоже, что этих ученых попросту не интересовала мудрость покоренных македонцами народов. Отчетливое восточное влияние начинает наблюдаться лишь со II века до нашей эры, когда вавилонские астрономы сами начинают писать на греческом языке.
Бесспорно, что Фалес занимался геометрией и путешествовал в Египет: об этом говорят все поздние источники, включая даже комедии Аристофана. Но какие именно знания были приобретены во время этих поездок – большой вопрос. Согласно сведениям Евдема Родосского (ученика Аристотеля и автора трудов по истории греческой науки) Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам, что построенный на диаметре угол всегда будет прямым, что две пересекающиеся прямые образуют равные углы, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, а также вывел теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Для всего этого не требовалось куда-либо ездить, поскольку до греков никто и нигде не брался доказывать такие вещи.
Открытия Фалеса, связанные с углами треугольников тем более нельзя соотносить с восточной математикой еще и потому, что геометрия египтян и вавилонян была линейной: они вообще не измеряли углы и не занимались их сравнением. Всем известное деление круга на 360° возникло не ранее III века до нашей эры.
Причины особого пути греческой математики
Таким образом, складывается следующая картина рассматриваемых событий. Изначально греки, вероятно, получали вполне приемлемую математическую подготовку у себя на родине, обучаясь счету и основам геометрических построений. Эти знания частично развились сами из простых бытовых потребностей общества, а частично проникли из соседних государств, тем более что ионийские города лежали на перекрестке торговых путей, а это всегда способствует культурному обмену. Далее отдельные наиболее любознательные эллины (обычно состоятельные купцы) могли получить дополнительное образование в Египте или Вавилоне, узнав там много дополнительных фактов, формул и методов, а также некоторые приемы, помогающие угадать или подобрать решения новых задач.
Несомненно, что накопленная за долгие века восточная мудрость заметно превосходила то, что греки изначально узнавали у себя дома, однако даже самые сведущие жрецы и писцы едва ли могли много поведать о том, как именно были получены знания, зафиксированные на папирусах и глиняных табличках. Для египтян и вавилонян это были просто священные тексты, обеспечивающие влияние и власть для образованных людей.
Греки смотрели на вещи иначе. Древние царства, величественные и неизменные, существовали, буквально застыв в истории, но в молодых торговых полисах кипела жизнь. Развитие происходило быстрее, чем эллины успевали его осознать. Раз уж существовали некие работающие формулы, значит, каким-то образом их можно было получить. При этом у эллинов просто не было времени на то, чтобы ждать веками и копить мудрость по крупицам. Скорее всего, они даже не могли осознать саму возможность подобного подхода. Неуемная социальная энергия греков требовала найти решение немедленно – и они попробовали логически доказать геометрические истины. Не было никакой гарантии, что дедуктивные умозаключения окажутся полезными в вопросах геометрии, но никто не мешал хотя бы попытаться. Тем более что начинать пришлось с самого «простого» – с доказательства очевидных фактов. Идея оказалась верной и плодотворной. Возможно, делались и какие-то иные шаги, но они не принесли результатов, поэтому мы о них ничего не знаем. В любом случае был найден метод, который собственно и явил собой переход от практической математики к теоретической науке.
Как считали греки. Геометрическая математика. Делосская задача
До наших дней сохранилось множество любопытных, но, вероятно, вымышленных историй о том, как насущные проблемы якобы привели к развитию греческой геометрии. Так, например, есть легенда, что египетский фараон лично попросил Фалеса определить высоту пирамиды. Также говорят, что Агафарх первым изучил законы перспективы, поскольку хотел создать реалистичные декорации к пьесам Эсхила.
Особый интерес вызывает предание о задаче, связанной с удвоением куба. Однажды на острове Делос началась эпидемия чумы, и дельфийский оракул сообщил, что для спасения от болезни необходимо установить в храме кубический жертвенник объемом вдвое больше существующего. С тех пор делосской задачей занимались многие античные математики, которым, как легко понять, требовалось просто извлечь кубический корень из 2. Оказалось, что это проблематично сделать существующими на тот момент средствами. Попробуем разобраться, в чем именно состояла трудность.
Если вавилоняне являлись прекрасными вычислителями, которые имели даже аналог современных десятичных дробей (правда их дроби, как и сама система счисления, были шестидесятеричными) и освоили простейшие алгебраические приемы, то греки понимали математику в основном геометрически. Все их представления об арифметике, алгебре, тригонометрии и анализе всегда оставались очень ограниченными.
С современной точки зрения античная геометрическая математика выглядит невероятно громоздкой и неудобной. Мало того, требовалось, чтобы всякие построения осуществлялись исключительно циркулем и линейкой (без делений), что сильно ограничивало круг поддающихся решению задач. Данное ограничение возникло из-за того, что с помощью своих веревок землемеры могли строить только прямые линии или окружности. С помощью циркуля и линейки можно графически осуществлять все четыре арифметических действия, а также извлекать квадратные корни, поэтому решению поддавались лишь такие задачи, которые сводились к линейным либо квадратным уравнениям. Ничего иного таким способом решить нельзя. Об этом, конечно, еще не могли знать, а потому тратили колоссальные усилия на проблемы, справиться с которыми невозможно без использования более изощренных инструментов.
Конечно, иной раз графическая интерпретация действительно бывает полезной, поэтому и сегодня в школах для выражений вроде
приводят вспомогательные чертежи
однако мы все же воспринимаем их как вспомогательный и разъясняющий материал. Построить всю математику на основе подобного геометрического подхода – чрезвычайно трудная задача, которую, впрочем, удалось блестяще решить.
Так, рассмотрим для ясности античную процедуру решения квадратного уравнения вида
Сразу отметим, что свободный член изначально мыслится тут как некоторая квадратная площадь, а не простое число. Сама задача формулировалась (и понималась) следующим образом: к данному отрезку необходимо приложить такой прямоугольник, чтобы, имея избытком квадрат, он был равновелик данному квадрату. Неподготовленный человек, даже и умеющий хорошо решать квадратные уравнения, едва ли сможет понять, что вообще от него хотят. Попробуем разобраться.
Пусть дан отрезок АВ длинной a, требуется найти такой отрезок x, чтобы заштрихованная площадь на чертеже равнялась площади квадрата со стороной m.
Решалась эта задача так. Отрезок AB делили пополам в точке C, после чего в этой точке восстанавливали перпендикуляр CD равный a/2. Далее в квадрате со стороной m строился прямоугольный треугольник, катеты которого равнялись m и a/2, что давало гипотенузу MP. Затем от точки D в сторону точки С откладывали отрезок DF, равный МР. Получающийся в результате отрезок CF как раз и является искомым отрезком x.
Докажем правильность полученного решения. Заметим, что все остальные линии на чертеже достраиваются элементарным образом, и нам нужно показать лишь, что сумма площадей прямоугольника ABB’A’ и квадрата AA’GK равны m2.
Поскольку DF = MP, то по теореме Пифагора имеем
Тогда площадь гномона (Г-образной геометрической фигуры) LGFCAE будет равна
Поскольку из построения прямоугольники LEAK и CBB’F равны, то общая площадь прямоугольника KBB’G также равна m2. Но этот большой прямоугольник, как нетрудно видеть, как раз и состоит из приложенного к исходному отрезку AB прямоугольника и построенного рядом избыточного квадрата, чья суммарная площадь должна равняться m2. Таким образом, наше решение верно.
Еще раз подчеркнем, что описанные построения не являлись графическим способом решить алгебраическое квадратное уравнение. Сама задача изначально мыслилось и появлялась именно в таком геометрическом виде. Читателю предлагается самостоятельно соотнести приведенное греческое решение с современной школьной формулой для нахождения корней квадратного уравнения.