полная версия

Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты

Полная версия

Геометрическое деление. Геометрическое извлечение квадратного корня

Более полно проникнуть в суть греческой геометрии можно даже с помощью такой простой операции как деление. Собственно, греки не использовали слова «разделить», а говорили «приложить». Далее в книге для упрощения текста будет употребляться привычная для нас терминология, однако сейчас мы все-таки рассмотрим процедуру «приложения» подробно.

Допустим, нам нужно разделить 35 на 6. Представим 35 в виде прямоугольника со сторонами 7 и 5 (длины тут не важны, поэтому такое представление всегда осуществимо, если одна из сторон равна 1). Если мы теперь построим рядом другой равновеликий исходному прямоугольник со стороной 6, то вторая сторона нового прямоугольника будет, разумеется, равна 35/6. Таким образом, мы получим отрезок, длина которого является результатом требуемого деления.

Выполнялось это следующим образом. К первому прямоугольнику ABDC прикладывался отрезок BE с длиной 6. Затем строилась точка F, лежащая на пересечении продолжений прямых ED и АС. Чертеж дополнялся параллельными линиями, чтобы получился прямоугольник DHGJ, который оказывается равновеликим исходному прямоугольнику ABDC. В последнем утверждении легко убедиться, если заметить, что диагональ EF делит большой прямоугольник AFGE на равные части, причем полученные малые треугольники также попарно равны. Таким образом, площадь DHGJ равна 35, сторона DJ = 6, а, следовательно, сторона DH равна 35/6, что и требовалось получить. Данный способ деления приводит, например, Евклид в своих знаменитых «Началах».

Еще более поучительным является античный метод приближенного извлечения квадратного корня. В «Метрике» Герона Александрийского (жившего, как предполагают, в самом начале нашей эры) приводится следующее правило:

«Извлеки корень из 720… Так как у 720 нет рационального корня, то мы извлечем корень с минимальной погрешностью следующим образом. Поскольку ближайший к 720 полный квадрат есть число 729, имеющее корень 27, то раздели 720 на 27:

720:27=26 и 2/3;

27+26 и 2/3=53 и 2/3;

53 и 2/3:2 = 26 и 5/6.

Итак, приближенный корень есть 26 и 5/6. В самом деле, (26 и 5/6)² = 720 и 1/36, так что погрешность равна всего 1/36. Если мы пожелаем, чтобы погрешность была менее 1/36, то надо вместо 729 подставить 720 и 1/36, проделать ту же процедуру, и тогда получится гораздо меньшая погрешность, чем 1/36».

В оригинальном тексте, разумеется, используется греческая математическая символика и числовая запись, а сама задача формулируется, как необходимость найти сторону квадрата по заданной площади. Никаких пояснений к столь нетривиальной формуле Герон не приводит, хотя почти все теоремы «Метрики» сопровождаются доказательствами. Видимо, данное правило являлось общеизвестным и не требовало особых комментариев, а в книге оно появилось лишь для того, чтобы напомнить читателю порядок вычислений. Заметим, что уже в работах Архимеда (жившего на несколько веков раньше) извлечение корня всегда осуществлялось без всяких пояснений, так что, вероятно, эта процедура действительно была известна всем математикам. Разберемся в ней и мы.

Пусть необходимо извлечь квадрат из числа a, причем ближайший полный квадрат есть b², тогда, согласно Герону, имеем следующую формулу

Геометрически это можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть ABDC есть исходный квадрат, имеющий заданную площадь a. Построим два одинаковых равновеликих данному квадрату прямоугольника AKPM и AHJF с основанием равным b. При этом один прямоугольник расположим вертикально, а второй горизонтально. Вторая сторона этих прямоугольников будет, разумеется, равна a/b. Точка B неизбежно лежит между точками H и K, то есть длина стороны исходного квадрата находится между b и a/b (рассуждение сохраняет свою силу независимо от того, будет ли ближайший полный квадрат больше или меньше исходного). Античная формула предлагает принять приближенное значение искомой стороны квадрата как среднее арифметическое между верхней и нижней границами (то есть разделить отрезок HK пополам и получить отрезок AQ ≈ a^0,5).

Если точность такого решения нас не устраивает, то мы повторим описанное построение еще раз (пунктирные линии на чертеже), но теперь уже вместо b примем известный отрезок AQ. Из рисунка ясно, что на втором шаге приближение окажется существенно лучшим. При необходимости данную процедуру можно повторять сколь угодно много раз, добиваясь любой требуемой точности, хотя описанное решение сходится достаточно быстро и для практических нужд обычно хватает одной-двух итераций.

Описанный геометрический метод представляет собой не что иное, как графическое представление последовательного приближения при разложении в ряд. Если числитель и знаменатель в выражении a/b являлись большими числами, то грекам требовалось изрядно потрудиться, чтобы привести его к сумме дробей вида 1/n (поскольку других они не знали), но с этой неизбежной трудностью справиться было можно.

Формулу Герона для корня из a легко преобразовать следующим образом

В последнем виде это выражение было известно уже вавилонянам, причем они понимали, что ответ получается неточным. Нас, однако же, не должна вводить в заблуждение простота приведенных алгебраических преобразований, поскольку в те времена еще не существовало аналогичной символьной записи, а все операции над пропорциями осуществлялись графически либо устно. Скорее всего, вавилоняне получили свою формулу независимо с помощью каких-то элементарных геометрических выкладок.

В «Началах» Евклида, а также в комментарии Теона к «Альмагесту» мы находим простое объяснение для такого способа извлечения корня. Пусть необходимо найти сторону AB квадрата ABCD, если его площадь равна a.Разложим этот квадрат на два меньших квадрата и два равных прямоугольника, как это показано на чертеже, причем b² примем ближайшим полным квадратом к a.Легко видеть, что площадь гномона, состоящего из двух прямоугольников и заштрихованного квадрата, равна a – b². Для удобства выпрямим гномон (пунктирные линии на рисунке), после чего высоту h можно определить, поделив площадь полученного длинного прямоугольника на 2b (малым заштрихованным квадратом пренебрегаем). Сама искомая сторона AB, что очевидно, равна сумме b + h. Заметим, что если b² принять большим, чем исходный квадрат ABCD, то логика приведенных рассуждений практически не изменится, зато будет получена вторая оценка значения квадратного корня из a.

Эта формула в точно таком же виде (естественно, описанная словами безо всякой символики) встречается у жившего в XIII-XIV веках византийского математика армянского происхождения Николая Артавазда Рабды. Проиллюстрировав процедуру извлечения корня числовым примером, Рабда заключает: «Вот изложение простейшего нахождения квадратного корня. Более же точный способ нелегок для понимания, даже под руководством учителя».

Очень часто в книгах по истории науки опускаются все излагаемые тут подробности о сути греческой геометрической математики. Из-за этого может возникнуть недопонимание: как получилось, что античные и средневековые математики не смогли открыть «элементарных» вещей и произвести «простейших» преобразований, понятных любому современному смышленому школьнику. Ответ, как теперь должно быть ясно, достаточно прост – в графическом виде такие преобразования являются чрезвычайно трудными или вовсе невозможными. Одновременно с этим становится еще более удивительным то, сколь многого удалось достичь греческим математикам, пользуясь столь неудобными средствами.

Добавим еще, что теперь уже должно стать понятно, почему ни Фалес, ни другие древнегреческие философы-материалисты не создали ничего похожего на современную физику. Даже если бы они захотели сравнивать результаты наблюдений с выводами из своих метафизических теорий, то эта задача оказалась бы им не по силам. Виной всему – ограниченность античной математики.

Разумеется, привычный для нас последовательный и строгий вид геометрия приняла далеко не сразу. Так, в V веке до нашей эры первые греческие математики творили в основном для близкого круга друзей или учеников, поэтому считалось вполне достаточным, чтобы читатели просто поняли общую суть рассуждения. Причем вместо готовых окончательных решений автор зачастую описывал весь путь своих поисков, делился ошибками и неудачными попытками. Позже, вместе с общим ростом культуры, математические тексты обрели свою классическую стройность.

На самом деле нам не так уж много известно непосредственно о геометрии эллинов V и IV веков до нашей эры. Хоть эти столетия и сохранили нам целый ряд литературных памятников, но все имеющиеся тексты практически не касаются математики: встречаются лишь редкие и разрозненные свидетельства. Самые древние труды по греческой геометрии, которыми мы располагаем, созданы после походов Александра Македонского и принадлежат Евклиду, Архимеду и Аполлонию (а также Автолику из Питаны, о котором мы поговорим в главах, посвященных астрономии). Все эти люди творили, опираясь на длительную и развитую математическую традицию, и мы сейчас попробуем дать ее краткий очерк, понимая, впрочем, что некоторые вопросы до сих пор остаются спорными.

Выше уже говорилось о том, что и Фалес из Милета, и Пифагор из Самоса являлись крупными общественными деятелями, которые ездили в Египет и, видимо, обучались там геометрии, чем и снискали себе особую славу и влияние. Однако сочинения Фалеса быстро исчезли из обращения, а Пифагор вовсе ничего не писал, так что оба этих философа являются полулегендарными фигурами, и поэтому нельзя в точности понять – что именно является результатом их собственной работы, а что было приписано им задним числом. Считается, что Фалес умел исчислять высоту сооружений по длине их тени, а также мог определять расстояние от берега до корабля, то есть в совершенстве владел теорией подобия треугольников. А вот упомянутую выше теорему о том, что треугольник, построенный на диаметре окружности, всегда получается прямоугольным, приписывают не только Фалесу, но и Пифагору. О последнем мы знаем в основном лишь различные мифические истории, причем о его авторстве в отношении знаменитой «теоремы Пифагора» нам впервые сообщает (весьма неуверенно) только неоплатоник Прокл, живший почти тысячу лет спустя.

В середине V века до нашей эры геометрия у греков уже становится предметом споров и обсуждений. Зенон Элейский подвергает ее остроумной критике, вскрывая логическую противоречивость примитивных математических взглядов, допускающих возможность делить пространство и время на мельчайшие непротяженные элементы. Протагор из Абдеры и вовсе доказывает, что отвлеченные геометрические понятия не нужны и даже вредны, поскольку не соответствуют реальной действительности (в самом деле, в быту мы едва ли ожидаем встретить линию, не имеющую вовсе никакой ширины).

С другой стороны, Анаксагор уже тогда решает уточнить перенятое у египтян значение числа π, для чего пытается (разумеется, безрезультатно) строить квадрат с площадью равной площади заданного круга.

Первые идеологические споры о математике. Бесконечно малые

Настоящий расцвет ранняя греческая геометрия пережила благодаря работе Демокрита и основанной им атомистической школы. Судя по всему, все свои математические изыскания атомисты вели на безе нескольких предпосылок (лемм). Приведем здесь некоторые из них:

– сумма бесконечно большого числа любых, даже чрезвычайно малых, протяженных величин бесконечно велика;

– сумма любого, даже бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю;

– точка есть то, что не имеет частей;

– прямая есть такая линия, которая имеет то же самое направление, что и лежащие на ней точки;

– плоскость есть такая поверхность, которая имеет то же направление, что и лежащие на ней прямые;

– прямая состоит из точек, плоскость состоит из приложенных друг к другу прямых, тело состоит из наложенных одна на другую плоскостей;

– если через все точки кривой провести прямые и получить ломаную линию, то эта ломаная будет тождественна исходной кривой;

– если некоторая величина путем прибавления или вычитания может достигнуть требуемой величины, то можно утверждать, что она состоит из частиц, а все величины, состоящие из частиц, относятся друг к другу как целые числа.

Как признавал еще Архимед, с некоторыми из этих лемм «нелегко согласиться», однако они оказались очень мощным инструментом в деле поиска и доказательства новых истин. Из двух первых лемм Демокрит выводил необходимость существования неделимых величин «амеров» (эти математические объекты не следует путать с атомами, которые являлись физически неделимыми, но могли обладать любыми размерами и допускали мысленное деление на части). Таким образом, фактически вводились понятия для примитивного интегрального исчисления.

Атомистический подход позволял легко доказать, что две любые пирамиды с равновеликими основаниями и одинаковыми высотами будут иметь равный объем. В самом деле, если нарезать пирамиду на тончайшие слои, то каждый из получившихся многоугольников одной пирамиды окажется равновеликим соответствующему многоугольнику другой. Получается, что суммы всех многоугольников, из которых состоят обе пирамиды, равны, а, следовательно – одинаковы и их объемы. Тут важно уточнить, что у сравниваемых пирамид основания могут иметь различающуюся форму, и важно лишь равенство их площадей. Аналогичные рассуждения можно привести и для призм с равновеликими основаниями и равными высотами. А поскольку, с точки зрения атомистов, круг являлся многоугольником с очень большим числом сторон, то все сказанное оказывалось справедливым также для конуса и цилиндра.

Поскольку треугольную призму легко разделить на три равновеликих пирамиды, тот объем каждой такой пирамиды равен трети объема этой призмы или же – в более общем виде – объем пирамиды и конуса равен трети произведения площади их основания на высоту. Хотя греки не вычисляли объемы по современным нам формулам, а говорили именно об отношении объемов одних тел к объемам других.

Если теперь разбить круг (бесконечноугольник) на множество чрезвычайно узких треугольников с вершиной в центре, то можно легко увидеть, что площадь круга равна половине произведения его периметра на радиус. Аналогично можно и шар (бесконечногранник) представить как совокупность тончайших пирамид с вершинами в центре, и тогда объем шара окажется равен трети произведения площади его поверхности на радиус. Вопрос о том, как определить периметр круга и площадь поверхности шара пока что оставался открытым.

Похожим образом атомисты подходили к вопросу о площади эллипса, который, вслед за древними египтянами, понимался просто как сплющенный круг, все ординаты которого относятся к абсциссам как n/m (греки еще не знали декартовой системы координат, но рассуждали в точности так же). При таком определении круг и эллипс можно мысленно разделить на тончайшие вертикальные полоски, сумма которых и даст общую площадь исходных фигур. Поскольку высота каждой полоски эллипса относится к соответствующей полоске круга как n/m, то и площади фигур находятся в таком же соотношении между собой.

Кроме сказанного, можно косвенно предположить, что знаменитый парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе был направлен именно против атомистов, которые занимались суммой ряда 1/2+1/4+1/8+1/16+… и, похоже, пришли к выводу, что она равна единице.

Первые «Начала». Квадратура круга.

Уже в конце V века до нашей эры Гиппократ из Хиоса (неудачливый торговец, но талантливый математик, которого не следует путать его со знаменитым врачом), перебирается в Афины и составляет «Начала» – первый свод всех имеющихся геометрических знаний – который, к сожалению, дошел до нас лишь в нескольких отрывках. Из комментариев Симпликия (преподавал в Академии, когда император Юстиниан закрыл ее в 529 году) к Аристотелю мы знаем, что в центре интересов Гиппократа стояла проблема квадратуры круга. Этот ученый сумел доказать, что для некоторых серповидных фигур (луночек), ограниченных двумя круговыми дугами, можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликие треугольники, а, значит, и квадраты.

На чертеже заштрихованы подобная луночка (возможны и другие варианты ее построения) и равновеликий ей треугольник. Докажем равенство их площадей. Из рисунка видно, что диаметр малой окружности и радиус большой связаны соотношением AB² = 2·OB². Тогда половина площади малой окружности будет равна π·AB²/8 = π·OB²/4, но площадь четверти большой окружности тоже равна π·OB²/4. Если исключить общую часть рассматриваемых площадей, то останутся именно заштрихованные области, чье равенство и требовалось доказать.

Предполагалось, что, следуя этим путем, будет возможно построить квадрат равновеликий всему кругу, но, разумеется, эту задачу Гиппократ решить не смог.

Текст Гиппократа по стилю уже напоминает Евклида: перед нами не философская беседа, а последовательное изложение со ссылками на чертеж и ранее доказанные положения. Из этих ссылок можно заключить, что в те времена уже было известно всё, что позже войдет в I и II книгу Евклида, а также частично в III, IV и VI книги, однако постулаты и аксиомы, от которых отталкивался Гиппократ, нам неизвестны. Тем не менее, он упоминает, что площади кругов относятся как квадраты диаметров, а этот факт тогда мог быть доказан лишь атомистическим способом.

Кроме того, Гиппократ занимался и проблемой удвоения куба, указав лишь, что она сводится к необходимости вставить между двумя отрезками, один из которых вдвое длиннее другого, еще двух таких отрезков, чтобы все они находились в непрерывной пропорции. В самом деле, если имеются два отрезка с длинами a и 2a, и мы сумеем найти такие x и y, что

то, следовательно, имеем

Разумеется, Гиппократ не смог получить точного ответа, однако сумел найти достаточно точное приближенное значение

Бесконечное приближение. Трисекция угла. Сложные кривые

Не менее интересными являются и математические достижения двух уже известных нам по предыдущим главам мыслителей-софистов второй половины V века до нашей эры: Антифона и Гиппия.

Так, Антифон, исходя из явно атомистических предпосылок, пытался определить площадь круга, для чего вписывал в него многоугольники, последовательно удваивая число их сторон. Данную процедуру следовало продолжать до тех пор, пока стороны многоугольника не уменьшатся до минимальных частиц, из которых состоит как прямая, так и окружность. Следующие поколения античных математиков разовьют этот подход до метода исчерпывания.

Эрудит Гиппий занимался задачей трисекции угла и, по-видимому, впервые вычертил по точкам «квадратрису». Это довольно интересная и необычная кривая, которая получается следующим образом. Пусть имеется квадрат ABCD, в котором вписана четверть дуги окружности. Точка E равномерно движется по этой дуге от D к B, а отрезок A’B’ равномерно опускается из положения DC в положение AB, причем оба этих движения начинаются и заканчиваются одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A’B’ и опишет квадратрису. Важным свойством данной кривой является то, что ординаты ее точек относятся как их полярные углы, так что с помощью данной линии легко разделить любой угол на необходимое число равных частей.

Конечно же, осуществить описанное построение с помощью лишь циркуля и линейки невозможно, поэтому предложенный Гиппием способ не являлся решением в античном смысле.

Позже было показано, что эту же кривую можно успешно использовать и для задачи о квадратуре круга, благодаря чему линия и получила свое название. Тем не менее, имелись серьезные возражения против ее использования. Во-первых, оказывалось невозможно построить точку G, ведь в самом конце радиус AE полностью совпадает с отрезком A’B’, поскольку они оба ложатся на AB, то есть – у них нет конкретной точки пересечения. Фактически для квадратрисы точка G является пределом, но у греков отсутствовало такое понятие. Во-вторых, само построение кривой являлось приближенным, ведь для точного согласования движений точки E и отрезка A’B’ требовалось заранее знать длину дуги окружности, что было невозможным до решения проблемы квадратуры круга.

Пифагорейская математика. Иррациональные числа

Начиная с IV века до нашей эры, ведущая роль в греческой математике перешла к последователям Пифагора. Далеко не все из них занимались геометрией, но главные открытия были сделаны представителями именно этой философской школы. Более поздние источники приписывают пифагорейцам доказательство того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, а также построение додекаэдра (тетраэдр и куб люди знали издревле), создание музыкальной теории и связанного с ней учения о пропорциях.

Сегодня мы осуществляем преобразования пропорций без особого труда, но это удается нам благодаря удобной и наглядной алгебраической записи, которая является относительно новым изобретением. В античности действия с пропорциями осуществлялись устно без буквенных обозначений, что требовало огромной сосредоточенности и умения держать в голове большие объемы информации.

Попробуйте на досуге описать словами следующие правила

если a/b = c/d, то а/с = b/d;

если a/b = c/d, то b/a = d/c;

если a/b = c/d, то (a+b)/b = (c+d)/d;

если a/b = c/d, то (a-b)/b = (c-d)/d;

если а/b = c/d = e/f = g/h, то а/b = (а+с+е+g)/(b+d+f+h).

С помощью теории пропорций легко доказать теорему Пифагора, которая хоть и является самой знаменитой во всей планиметрии, но точная ее история неизвестна. Итак, рассмотрим треугольник ABС с прямым углом при вершине C.

Опустим перпендикуляр CP к гипотенузе AB. Теперь исходный треугольник разделен на два меньших прямоугольных треугольника APC и BPC, причем оба они подобны исходному. В самом деле, как легко видеть, все три угла у них одинаковы. Ну, а поскольку соответствующие стороны подобных треугольников всегда пропорциональны, то мы можем записать следующие пропорции

и

Отсюда следует, что AC² = AP·AB и BC² = PB·AB. Складывая два этих уравнения вместе, получаем AC² + BC² = (AP + PB)·AB = AB², что и требовалось доказать.

В «Началах» Евклида дается более сложное доказательство.

Но, пожалуй, самым важным открытием пифагорейцев оказались иррациональные числа, и прежде всего – доказательство иррациональности квадратного корня из двух. Важно помнить, что греки признавали и понимали только целые числа или целочисленные дроби. Фактически длина понималась как некоторое количество единичных отрезков. Дроби также мыслились с позиции соизмеримости. Так, например, если два отрезка находятся в отношении 3/5, то для греков это означало, что один из них состоит из трех единиц длины, а другой – из пяти. Открытие несоизмеримости буквально потрясло античных математиков, ведь оказалось, что за единичный эталон нельзя принять никакую, даже самую малую, длину. Обнаружение этого факта потребовало использования нового метода – доказательства от противного с последующим сведением к абсурду. Вот как это выглядело.

Из теоремы Пифагора получается, что если у квадрата длинна стороны равна 1, то длина диагонали будет равна квадратному корню из 2, который невозможно выразить целочисленной дробью. Действительно, предположим, что все же существуют такие целые числа p и q, что (p/q)² = 2. Также предположим, что p и q являются наименьшими числами, для которых верно данное равенство.

Очевидно, что p² = 2q², значит p² – четное число, но тогда p тоже должно быть четным, и мы можем записать его в виде p = 2p'. Подставим это выражение в исходное равенство и получим q² = 2p'². Повторив все предыдущие рассуждения, мы получаем, что число q также четное и может быть записано как q = 2q', откуда теперь получаем p'² = 2q'² или (p'/q')² = 2. Мы получили противоречие исходному положению, ведь p' и q' вдвое меньше p и q, и, значит, такие числа не могут существовать вовсе, то есть квадратный корень из 2 невозможно представить целочисленной дробью.

Приведенные рассуждения легко обобщаются, так что таким же способом можно легко доказать, что, если квадратный корень из любого числа не извлекается нацело, то он иррационален.

В любом случае по геометрической концепции атомистов был нанесен удар сокрушительной силы. В самом деле, получалось, что существуют отрезки, которые не находятся в точном числовом отношении ни к какой единице длинны, то есть нет таких двух целых чисел p и q, что данный отрезок, взятый p раз, был бы равен единице длины, взятой q раз.

Положение о том, что существуют несоизмеримые величины, привело греческих математиков к убеждению, что числа являются не совсем «хорошими» вещами, поэтому геометрию следует развивать независимо от них. Пифагорейцы же посчитали, что информацию о существовании иррациональности вовсе не следует сообщать другим людям, и, по легенде, даже убили своего соратника Гиппаса за то, что тот все-таки разгласил эту тайну.