Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
Расчет сложных механизмов у Герона
Вторую книгу «Механики», – где рассматриваются пять основных механизмов, позволяющих перемещать грузы малой силой: ворот, рычаг, блок, клин и винт, – Герон, вероятно, почти целиком заимствовал из какого-то одного источника, поэтому она изложена достаточно стройно, однако в ней еще яснее проявляется теоретическая беспомощность автора. Сперва даются краткие описания всех указанных приспособлений, а затем предпринимается попытка объяснить сущность их действия. Никаких хотя бы условно научных соображений мы, однако же, не увидим. Так, например, заявляется, что и рычаг, и ворот имеют в себе две окружности с различными диаметрами, а такой случай, как доказал еще Архимед, равнозначен весам, равновесие в которых достигается если грузы обратно пропорциональны расстояниям до точки опоры. Таким образом, рычаг объясняется через круговое движение, свойства которого определяются через весы, то есть, фактически, через закон рычага. Весьма характерно, что Герон не видит в своих рассуждениях никакого порочного круга. Впрочем, сама по себе работа всех пяти разбираемых механизмов описана, в общем-то, правильно: Герона никак нельзя упрекнуть в некомпетентности касательно практических вопросов.
Отдельно разбираются случаи, когда с помощью рычага поднимают груз целиком и когда одним своим краем он остается лежать на земле. Далее, совершенно правильно указывается, что неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а при использовании подвижного блока на рабочий трос достаточно приложить силу равную половине от поднимаемой тяжести. Также для полиспаста второго рода (тали) выводится следующее правило: рабочая сила определяется отношением тяжести груза к числу подымающих его тросов. Все эти абсолютно верные заключения, вероятно, получены в первую очередь из практического опыта, поскольку теоретическое обоснование работы блока выполнено неудовлетворительно. Герон понимает, что необходимо определить условия равновесия подвешенного груза, но скорее подгоняет решение под заранее известный ответ, а не решает задачу. Иные более простые виды полиспастов почему-то не разбираются вовсе.
В случае клина Герон вообще очень смутно представляет себе, что именно ему нужно доказывать, поэтому ни о каком законе равновесия тела на наклонной плоскости речи не идет. Заявляется, что если некоторый клин можно подвинуть заданной силой N на определенное расстояние S, то всегда можно разделить этот большой клин на несколько малых клиньев, у которых будет такая же длинна, но меньшая высота. И во сколько раз высота малого клина будет меньше высоты большого, во столько же раз меньшая сила потребуется, дабы загнать малый клин на такое же расстояние S. Иными словами, клин с очень малым углом можно подвинуть хоть на какое-то расстояние сколь угодно ничтожной силой. Этот вывод верен лишь качественно, но для малых углов раствора, какие обычно и встречаются на практике, количественная точность оказывается достаточно удовлетворительной, ведь в таком случае угол α ≈ sin(α).
Отметим, как легко в данном случае Герон отступился от теории кругового движения, ведь на самом деле ему (хоть он и заявляет обратное) совсем неинтересно проникать в сущность рассматриваемых явлений и связывать их в цельную основанную на единых принципах картину мироздания, как это делал автор «Механических проблем». Перед Героном стоит задача дать хоть какое-то объяснение известному из ремесленного опыта факту, и потому приводится самое простое и почти беспомощное доказательство, которое может послужить практическим целям.
Поскольку винт описывается как накрученный на цилиндр клин, то и объяснение его работы сводится к уже известным нам соображениям, только движение тут вызывается не ударом, а вращением от рычага.
Завершив описание пяти простых механизмов, Герон переходит к системам зубчатых колес, то есть воротов, заем – к сложным комбинациям блоков и рычагов, а также соединениям нескольких разнородных механизмов. Для всех случаев показывается, что выигрыш в силе всегда сопровождается равнозначными потерями в скорости. Более того, делается важное замечание, касательно того, что на практике все прилагаемые к машинам силы необходимо несколько увеличивать по сравнению с расчетными значениями, поскольку в любых механизмах присутствует трение.
Последняя третья книга «Механики» является самой краткой, но и самой важной. В ней описывается конструкция различных строительных машин, а также прессов для масла и вина. Изложение не содержит никаких теоретических или геометрических элементов, хотя рассматриваемые механизмы достаточно сложны и, безусловно, подразумевалось, что ученики и последователи Герона будут создавать эти конструкции на основе прочитанного текста.
Греческая философия, ввиду своей отвлеченности и, разумеется, неверности, оказалась уже совершенно неприменимой к реальной технике, которую римляне использовали для активного преобразования окружающего мира. Громоздкая и абстрактная эллинистическая наука, пожалуй, даже в свои лучшие времена не смогла бы дать правдоподобных разъяснений к тем сложнейшим механизмам, которые рассматривает Герон. Требовалось пересмотреть саму суть теоретического подхода, и построить новую механическую систему на основе работающих практических критериев. Римское общество, однако, было нацелено сугубо на материальный результат и потому вполне довольствовалось поверхностными объяснениями, наспех собранными из отдельных кусков старой греческой учености.
Попытки сохранить античное наследие. Папп Александрийский
Несколько иную попытку соединить древнюю мудрость и современную практику мы встречаем и в последней античной книге, к которой обратимся в этой главе – в «Математическом собрании» Паппа Александрийского. О биографии этого ученого практически ничего неизвестно, а годы его жизни весьма условно относят к концу III и первой половине IV веков нашей эры. От Герона его отделяло почти триста лет, а от Архимеда – более половины тысячелетия. Будучи, несомненно, весьма талантливым математиком, Папп не занимался архитектурной или инженерной деятельностью, а потому почти не понимал, чем именно греческая абстрактная философии может быть полезна в реальной жизни. Империя неумолимо клонилась к своему закату, и недостижимыми уже казались не только идеалы строгой эллинской науки, но даже и ранней римской механической теории. В своем грандиозном трактате Папп, как и другие энциклопедисты той эпохи, постарался собрать и сохранить всё доступное ему античное математическое наследие.
Текст «Математического собрания» дошел до нас не полностью, но основная его часть сохранилась. О многих достижениях (в том числе и несохранившихся) других античных авторов нам известно только лишь из этого сочинения, снабженного, кроме прочего, и некоторыми историческими справками. Первые семь книг трактата охватывают чисто математические вопросы, достаточно трудные и взятые в основном из более ранних работ, хотя приводятся и отдельные результаты самого Паппа. Нужно признать, что масштаб и глубина рассмотренных проблем говорят о незаурядных способностях автора: многие теоремы были им дополнены, а доказательства улучшены и упрощены, но без потери строгости. Совсем иначе выглядит посвященная механике восьмая книга «Математического собрания», где наглядно проявляются как отсутствие единой научной системы, так и слабая компетентность Паппа.
Вводный параграф восьмой книги говорит о том, что механика сама по себе рассматривает непосредственно материю, изучая положение тел и исследуя причины естественных движений, а также движений, осуществляемых против природы. За этим вполне аристотелевским определением следует перенятая у Герона классификация, подразделяющая механику на теоретическую (геометрия, арифметика, астрономия, физика) и практическую (обработка металлов и дерева, строительные умения и живопись). Далее Папп справедливо отмечает, что каждый желающий овладеть перечисленными техническими искусствами должен усвоить необходимые именно для него разделы математики, поскольку изучить всю геометрию и одновременно стать хорошим инженером не под силу ни одному человеку.
Изложение собственно механики начинается с учения о центре тяжести, который определяется как точка внутри тела, при мысленном подвешивании за которую это тело сохраняет свое положение. Далее по большей части повторяется текст Герона со ссылкой на несохранившуюся работу Архимеда «О равновесии». Общие метафизические определения понятий «тяжесть», «легкость», «верх» и «низ» не рассматриваются вовсе, а сообщается лишь, что обо всем этом можно прочитать у Птолемея. Весьма характерно, что Папп с одной стороны не считает необходимым касаться абстрактных философских вопросов, а с другой – отсылает всех интересующихся не к первоисточникам, но к трудам другого работавшего в Александрии энциклопедиста.
Наиболее же интересной и оригинальной у Паппа является задача о подъеме тела по наклонной плоскости. Рассмотрение этой проблемы у Герона выполнено совершенно неудовлетворительно безо всякого математического анализа, поэтому представляется особенно любопытным, насколько в этом вопросе продвинулись античные механики за последующие три века. Здесь нас сразу же ждет разочарование: по непонятной причине Папп полагает, что для движения по горизонтальной поверхности к телу необходимо приложить силу пропорциональную его весу и явно несводимую к трению. Это тем более удивительно, что ложность данного тезиса, как мы уже знаем, была убедительно обоснована еще Героном, у которого Папп кропотливо переписывал целые разделы. Сложно сказать, в чем тут причина: в недостаточном непонимании физического явления или же в использовании иного источника, но предлагаемое Паппом решение оказывается полностью ошибочным, хоть и выглядит достаточно наукообразно. Само рассуждение ведется (в современных обозначениях) следующим образом.
Пусть имеется некоторый вес M, который может быть движим по горизонтальной плоскости силой F. Также имеется подобная плоскость, наклоненная к горизонту под углом α. Необходимо определить, силу P, которая сможет поднять груз по наклонной плоскости.
Для дальнейших построений Папп заменяет тело аналогичным по весу шаром, центр которого O совпадает с центром тяжести исходного груза. Шар касается наклонной плоскости в точке K. Проведем перпендикуляр KO, затем – горизонтальный отрезок OJ и вертикальный отрезок KH. Легко доказать, что все прямоугольные треугольники на чертеже подобны, и, поскольку нам известен угол α и радиус шара KO, то мы знаем и все остальные стороны. Далее предполагается безо всяких доказательств, что если шар находится в равновесии на наклонной плоскости, то его можно полагать уравновешенным на рычаге OJ с точкой опоры H (это просто-напросто неверно). Из закона рычага следует, что на J необходимо разместить груз M1 равный
Постулируется, что дополнительная сила N, эквивалентная грузу M1 (то есть отвечающая за удержание тела на наклонной плоскости), пропорциональна весу этого груза и потому имеем также
Тогда для движения по наклонной плоскости необходима итоговая сила
Очевидно, Папп полагает, что сила P складывается из части, которая отвечает за само движение по плоскости (компонент F), и части, которая позволяет удержать тело на наклонной плоскости (компонент N).
Как легко убедиться, приведенное выше соотношение противоречит и опыту и здравому смыслу. В самом деле, при α = 0° получаем OH = 0 и HJ = ∞, откуда P = F, что соответствует начальным условиям. Однако для α = 90° (фактически это просто вертикальный подъем тела вдоль стены) получим OH = OK и HJ = 0, поэтому сила P окажется бесконечно большой, что абсурдно, ведь очевидно, что в данном случае необходима сила равная весу груза M (данная величина вообще не присутствует в приведенном выражении). Фактически, рассмотренное доказательство пытается лишь внешне уподобиться стилю Архимеда, тогда как на самом деле не поддается даже элементарной проверке.
Классическое решение рассматриваемой задачи выглядит так (не будем рассматривать трение качения, ограничившись случаем скольжения тела по поверхности, о котором на самом деле и говорит Папп). Для движения по горизонтальной плоскости к телу массой M (напомним, что греки не различали массу тела и его вес) необходимо приложить силу
где μ – коэффициент трения скольжения.
Если то же самое тело необходимо поднять по плоскости, наклоненной к горизонту на угол α, то в этом случае требуется сила
Здесь первое слагаемое отвечает за сопротивление трению, а второе – за ту часть веса тела, которую требуется поднимать вверх. Очевидно, что по мере роста угла α влияние трения уменьшается, а часть поднимаемого веса увеличивается.
Формулу Паппа, напротив, можно после несложных тригонометрических преобразований записана как
причем использование коэффициента трения представляется не совсем правомерным, ибо сила F напрямую с трением не связывалась.
Закончив разбирать задачу равновесия тела на наклонной плоскости, Папп описывает далее подъемный механизм, состоящий из множества осей с насаженными на них шестернями различных диаметров. Даются соотношения для расчета такого рода передач, после чего следует числовой пример. Чуть дальше показывается, что скорости сцепленных шестерней находятся в прямой пропорции с числом их зубьев, а также решается задача о подборе диаметра шестерни под требуемую передачу. Затем следует описание и способы изготовления червячного зацепления.
Таково в общих словах содержание механической составляющей «Математического собрания» Паппа Александрийского, который уже не имел ни стройной философской системы, подобно Аристотелю, ни страсти к математической и физической строгости, как у Архимеда, ни даже живого технического интереса, который столь явственно читается у Витрувия и Герона. Цель Паппа – собрать и спасти (а также дополнить в меру собственных сил) наиболее ценные научные результаты античного мира, закат которого едва ли осознавался, но, несомненно, предчувствовался всеми думающими людьми.
Почему греки не смогли создать теоретическую механику
Механическое мышление античности неизменно следовало за эволюцией общества, как в зеркале отражая все его особенности. Уже древние философы пытались свести немногие знания, полученные из наблюдений за простейшими и примитивными приспособлениями, в единую космологическую систему. Постепенно на базе рабовладельческого общества складываются чисто спекулятивные теоретические концепции, в которых учения о механизмах играют далеко не главную, а скорее подчиненную роль. В эпоху наивысшего расцвета (и заката) Эллады создаются канонические работы Аристотеля, которые на века и даже тысячелетия закрепляют этот констатирующий взгляд на механику (и науку в целом). Представитель рабовладельческой верхушки, убежденный, что единственным достойным занятием свободного человека является интеллектуальный труд ради собственного удовольствия, Аристотель дает стройную и завершенную картину мироздания, отвечающую строгим эстетическим и логическим требованиям. Результат оказался грандиозным, привлекательным и обманчиво наукообразным. У него имелся, пожалуй, лишь один серьезный недостаток – он был неверен. Древнегреческое общество знало лишь примитивную технику и почти не зависело от нее, а всеми необходимыми вещами – как то строительство кораблей или сооружение зданий – занимались ремесленники, которые обычно имели низкий социальный статус, не писали и не читали философских книг. Законы перипатетической механики не получали проверки практикой, а их критика если и имела место, то носила такой же спекулятивный характер.
Возникновение крупных монархий и перенос центра античной культуры из Эллады на Восток и африканское побережье, изменили характер греческой механики – она превращается в математически точную науку, стремящуюся вывести все свои положения из нескольких самых простых тезисов, которые хоть и перенимаются из практики, но формулируются как полностью отвлеченные геометрические аксиомы. У Архимеда эта евклидова строгость достигает своего апогея, превзойти который человечество не сможет еще две тысячи лет. В XVI веке, когда создавалась современная наука, на этот формализм смотрели с благоговением, и он давал невероятные результаты, однако в эпоху эллинизма все изощренные построения Архимеда не имели практического значения. Да, и он, и многие другие александрийские ученые занимались созданием сложных механизмов, которые могли даже иметь не только развлекательное, но и вполне реальное практическое применение, однако именно этот технический опыт и служил источником для новых теоретических изысканий, но сами они почти не использовались для воздействия на природу и практику. Более того, трудно говорить даже о новых теоретических результатах, поскольку отточенный метод геометрических доказательств использовался в основном для безупречного обоснования уже готовых решений, полученных иными не столь совершенными средствами. Новые идеи черпались из техники, но обратно в нее не возвращались, и она развивалась как бы сама собой, методом проб и ошибок, а также за счет смекалки и гениальности отдельных мастеров.
Эллинистическая механика все еще базировалась на фундаменте Аристотеля, но ее формальные методы оказались столь совершенными, что могли бы дать действительно богатые плоды, если бы оказались созданы в иных исторических условиях. В реальности же античная наука выродилась в безукоризненно точную систему геометрических спекуляций, стремящихся дать этому миру не только философское, но и математическое описание. Это проявляется еще и в том, что в основе механики Аристотеля, как и почти всей древнегреческой мысли, лежит понятие движения, объясняющее и космические, и физические, и социальные процессы, тогда как учение Архимеда и почти всех александрийцев в основном статично.
Для античного мировоззрения было совершенно естественным полагать, будто бы наука должна оставаться «чистой», но все же греческая мысль остро нуждалась в жесткой проверке практикой, которая дала бы, наконец, надежные критерии истины. Увы, но это могло стать нормой лишь при иных более прогрессивных социальных отношениях, когда занимающийся наукой человек одновременно видит свою выгоду и престиж не только лишь в объяснении мира, но и в способности управлять им. Пришедший на смену эллинизму римский мир оказался не таков. Будучи еще более жестокими рабовладельцами, чем греки, римляне одновременно с этим полагались на дороги, мосты, краны, прессы, водяные колеса, корабли и стенобитные орудия. А вот изящная греческая ученость оказалась малополезна для прагматичных римлян: они неумело пытались приспособить ее к своей технике, но делали это скорее из восхищения древними, чем из какой-то реальной необходимости. На самом деле такой необходимости не могло возникнуть, ведь лишь немногие из филигранных эллинских шедевров могли действительно принести какую-то ощутимую пользу. В целом же античная механика требовала полной фундаментальной переработки, которая не могла быть осуществлена римлянами. Витрувий компетентен и по-хозяйски точен, но приземлен, Герон по-настоящему разбирается лишь в своих машинах, а Папп хоть и способен понять Евклида с Архимедом и даже добавить к их наследию крупицу своего творчества, но совершенно лишен физического чутья и бессильно повторяет ошибочные тезисы псевдо-Аристотеля.
Лишь перенос разработанных эллинами методов и результатов на иную историческую почву позволил в результате создать классическую механику. До этого момента, однако, оставалось еще много веков.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. УГОЛ ЗРЕНИЯ
Теории греков о зрении и свете
Существовала, впрочем, одна научная область, изучение которой шло непрерывно на протяжении как эллинистического, так и римского периода античности. Речь идет об оптике, которая с одной стороны имела определенное практическое значение, а с другой – идеально подходила для исследования средствами греческой математики. Собственно, до Нового времени никакой иной оптики, корме геометрической, человечество не знало.
Первыми известными нам сочинениями по данному вопросу являются «Оптика» и «Катоприка» Евклида. На самом деле авторство второго трактата вызывает сомнения, но его текст в любом случае не сохранился. В полном соответствии с правилами классической греческой науки, обе книги начинаются с «самоочевидных» постулатов, за которым следуют постепенно усложняющиеся теоремы, доказательства которых строятся с опорой на чертежи. Фактически в «Оптике» излагается теория перспективы, а в «Катоптрике» рассказывается о зеркальных отражениях. Высокий уровень этих произведений дает основания предполагать, что они, как и «Начала», создавались на основе каких-то иных более ранних работ, посвященных тому, как человеческий глаз воспринимает предметы.
Здесь необходимо сразу же сказать, что начиная с Эмпедокла, у эллинов стала популярной следующая концепция, объясняющая сам феномен зрения. Якобы, внутри глаза содержится огонь, который может вылетать через крошечные отверстия в зрачке и двигаться строго прямолинейно сквозь поры воздуха или воды. Встретив на своем пути твердую непрозрачную преграду, такой огонь отражается от нее и возвращается обратно в глаз человека. Таким образом, получается, что из глаз входят некие зрительные лучи, которые будто бы ощупывают окружающий мир. Данное учение сразу же вызвало немало возражений, но, тем не менее, осталось довольно популярным, поскольку позволяло применить к оптике методы геометрии.
Сам факт возможности глубокого геометрического анализа физических явлений должен говорить в пользу того, что принятая теория не являлось для своего времени беспомощной или нелепой. Греки почти ничего не знали об устройстве глаза, равно как не умели получать действительных изображений с помощью оптических устройств, поэтому толкование зрения по аналогии с осязанием казалось вполне разумным. Тем более что гипотеза об исходящих из глаза лучах позволила построить сложную теоретическую систему, дающую верные количественные выводы, а это, как мы уже знаем, само по себе было огромным достижением для спекулятивной и описательной (то есть качественной) античной науки.
Впрочем, постоянно возникали и другие, не получавшие широкого распространения толкования природы зрения. Кроме собственно теории зрительных лучей, можно выделить следующие объяснения:
– атомистическая теория Демокрита и Эпикура;
– теория Платона о взаимодействии зрительных и внешних лучей;
– концепция Аристотеля о посредничестве прозрачной среды;
– теория стоиков о воздушном напряжении;
– соображения неоплатоников о психическом дальнодействии (о телепатии).
Атомисты считали зрительные лучи вздорной фикцией, а их мнение по данному вопросу известно нам от Лукреция, который хоть и приписывал свету корпускулярную природу, но при этом говорил о призраках, слетающих с поверхностей всяких объектов и реющих затем повсюду. Весьма сомнительно, что на базе подобных воззрений можно построить хоть сколько-нибудь внятную математическую теорию.
Платон полагал, что мы видим предметы благодаря тому, что лучи дневного света встречаются с лучами бьющего из наших глаз внутреннего огня. От возникшего соударения в глаз передается упругое давление, которое затем и распознается нами как изображение какого-либо объекта. С геометрической точки зрения это объяснение ничем не отличается от взглядов Евклида.
Аристотель решительно отвергал любые представления о зрительных лучах, утверждая, что свет не есть истечение из другого тела, но и не огонь, а лишь актуализация прозрачной среды за счет присутствия в ней огня. Впрочем, этот вопрос рассмотрен у Аристотеля очень скупо, и потому его мнение не было понято и принято современниками.
Отдельно нужно отметить достаточно оригинальное мнение стоиков, полагавших, что до предметов доходят не сами зрительные лучи, но лишь их воздействия (колебания) на промежуточный воздух. Данная «волновая» теория, пожалуй, могла бы оказаться весьма перспективной, если бы стоики по-настоящему серьезно продолжали заниматься вопросами естествознания, а не сместили свои интересы в сторону этики.
В действительности же во всех античных текстах, где встречается хотя бы мало-мальски научный или инженерный подход к вопросам оптики, мы встречаем только и исключительно теорию об исходящих из глаз лучах. Далее в этой главе, разбирая геометрические теоремы, мы не станем делать различий между истинными лучами света и зрительными лучами древних греков, как зачастую не делали этих различий и они сами.