полная версия

Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты

Полная версия

Разгром атомистической математики

После открытия несоизмеримых величин математика атомистов быстро потеряла почти всех сторонников. Поражение в области геометрии привело к тому, что всё учение Демокрита было предано забвению как ошибочное. Сочинения атомистов почти перестали копировать и читать.

Атомистическая математика действительно не была достаточно строгой, поэтому против нее и ранее выдвигался целый ряд возражений, часть из которых оказывалось не так-то просто опровергнуть. Рассмотрим одно из таких. Предположим, что треугольник действительно состоит из множества приложенных друг к другу прямых. Пусть они будут параллельны одному из катетов. Тогда, каждая из этих прямых пересечет другой катет и гипотенузу в точке, причем ясно, что таких точек окажется равное число и на катете, и на гипотенузе. Но, поскольку прямые линии состоят из точек, то получается, что катет равен гипотенузе, а это абсурдно.

Теперь математикам идеалистического лагеря – пифагорейцам и примкнувшим к ним платоникам – потребовалось дать новый взгляд на геометрию, который в итоге оказался основополагающим на два следующих тысячелетия. Эта новая математика рождалась в ходе яростной борьбы с материализмом, поэтому изменился сам характер аргументации. Геометры V века до нашей эры видели в читателях своих соратников, с которыми можно было делиться мудростью в форме дружеской интеллектуальной беседы. Теперь же всё изменилось – читатель превратился в яростного противника, который готов ухватиться за любую неточность и обрушить на соперника жестокую критику. А потому авторы математических работ перестали делиться секретами своего мастерства и рассказывать о том, как им удалось получить ту или иную теорему. Требовалось лишь безукоризненно строго доказать, что предлагаемое решение является истинным.

Тут математикам как нельзя лучше подошли проверенные временем риторические приемы, которые греческие софисты разрабатывали для юридических целей. К этому моменту накопилось множество примеров эффектных судебных речей, где обвиняемый тщательно разбирал предполагаемую картину своего преступления, рассматривал ее со всех сторон и доказывал, что она в принципе невозможна, ибо каждое логическое следствие из неё приводит к противоречию, то есть – к абсурду.

Античные математики стали выстраивать аргументацию подобным же образом. Они выдвигали некоторый тезис, а затем начинали доказательство от противного: полагали данный тезис ложным и делали цепь логических выводов, которая приводила к невозможному следствию или противоречию с исходными данными – то есть сводили начальное допущение к абсурду. В результате не оставалось ничего иного, кроме как признать, что изначально выдвинутый тезис является верным.

В результате математика стала более строгой, но потеряла созидательную составляющую. Метод сведения к абсурду годился для проверки уже известных либо угаданных решений, но никак не помогал в нахождении новых истин. Боле того, со временем начали забываться даже старые способы получения уже существующих теорем, ведь в новых книгах они не рассматривались, а готовое решение давалось безо всякой связи с другими задачами.

Также под влиянием пифагорейцев и Платона из новой математики были изгнаны всякие прикладные вычисления и расчеты реальных длин, площадей и объемов. Все это стало уделом презираемого ремесла – логистики. Геометрия же превратилась в науку об отношениях (пропорциях), но не об измерениях.

Математика и музыка

Учение о пропорциях само по себе являлось достаточно мощным инструментом для познания мира. Важно было лишь найти ему верное применение. Так, судя по всему, первым физическим явлением, которое действительно серьезно изучили с математической стороны, оказалась музыка. В поздние времена эту заслугу стали приписывать Пифагору, но, вероятнее всего, исследования все же проводили его ученики и последователи. Они обратили внимание, что две одинаковые и равно натянутые струны лишь тогда издают совместное приятное звучание, когда их длины соотносятся как небольшие целые числа. Особенно, если отношения равны 1:2, 2:3 и 3:4. В первом случае, когда одна струна вдвое короче другой, обе они издают одну и ту же ноту в соседних октавах. В двух других случаях получаются различные, но гармонично звучащие ноты с интервалом соответственно в квинту или в кварту. Всё это, как говорят музыканты, идеальные созвучия – консонансы (или по-гречески «симфонии»). Если же длины струн имеют более сложные пропорции, либо вовсе не попадают в отношения целых чисел, то получаются менее приятные или даже резкие и режущие ухо звуки – диссонансы (диафонии). Кроме того оказалось, что консонансы достигаются в случаях, если одинаковые струны натягивать с помощью грузов, чьи веса соотносятся как квадраты небольших целых чисел.

Это было поразительное открытие: оказывается, естественные процессы (колебания струн) и ощущения прекрасного (реакция наших органов чувств) напрямую связаны с математикой. Сейчас мы понимаем, что дело тут в частоте колебаний каждой струны и совпадении обертонов, но пифагорейцы ничего из этого не знали. Суть рассматриваемого явления оставалась непонятной вплоть до XVII века, когда исследования французского священника и естествоиспытателя Марена Мерсена позволили, наконец, дать верное объяснение. Впрочем, всё это не помешало пифагорейцам уверовать в то, что вселенную можно описать математически. Такая, казалось бы, здравая идея, на деле получила весьма ограниченное воплощение – никто не считал нужным отыскивать в природе еще какие-либо виды числовых соотношений. Наоборот, математика оказалась на века крепко связана с музыкой, а всё мироустройство заведомо помещено в рамки простых числовых пропорций. Их пытались увидеть везде, где только можно, и любые результаты безжалостно подгонялись под «музыкальную гармонию». Такой сомнительный подход имел долгую жизнь и особенно сильно повлиял на астрономию, о чем мы поговорим в соответствующей главе.

Платонизм в математике

Вообще говоря, влияние Платона на геометрию (как и на всю философию в целом) носило сугубо реакционный характер. Сам он не проявил особых способностей в этой области, однако, с восторгом относился к математикам. По легенде над входом в Академию висело предупреждение «Не геометр да не войдет!» (этот текст, вероятно, носил во многом сословный характер, намекая и на то, что арифметика – удел простонародья и купцов, а не почтенных землевладельцев). Для Платона, считавшего геометрические истины врожденными нашей душе, математика стала основанием для всяческих мистических построений. В центре внимания его оказались правильные многогранники (не имеющие почти никакого реального значения), теория пропорций и учение о несоизмеримых величинах. Последний вопрос особо занимал Платона, считавшего постыдным общее невежество в этой области.

Самый талантливый математик Академии и ученик Платона по имени Теэтет открыл октаэдр и икосаэдр, а также доказал, что существует лишь пять правильных многогранников. Позже увлечение правильными многогранниками найдет отражение и в книгах Евклида.

Друг Платона, пифагореец, государственный деятель и военачальник Архит Тарентский нашел невероятно изящное решение задачи об удвоении куба, отыскав точку пересечения цилиндра, конуса и тора. Переход к стереометрическим построениям, разумеется, требовал отказа от использования только лишь циркуля и линейки, но зато позволял графически решать уравнения высших степеней (линия пересечения тора с цилиндром является кривой восьмого порядка). Таким путем Архит открыл конические сечения: параболу и гиперболу (об эллипсе знали и раньше).

Геометрическая теория чисел. Метод исчерпывания. Евдокс

Однако наиболее выдающимся математиком IV века до нашей эры оказался Евдокс из города Книда. Несмотря на бедность, голод и нужду, он находил средства, чтобы обучится математике в Египте у жрецов, в Италии у Архита, в Афинах у платоников и еще в ряде мест античного мира. Сочинения самого Евдокса не сохранились, но он упоминается у ряда поздних авторов, а многие его результаты приведены в «Началах» Евклида.

Главной целью Евдокса стало создание такого геометрического аппарата, который бы сделал все рассуждения и доказательства неоспоримыми и убедительными для каждого человека. Для этого без всякой опоры на какую-либо философскую концепцию давался ряд аксиом, из которых далее логически выводилось всё остальное.

Выбранный Евдоксом подход оказался плодотворным. До него греки оперировали лишь целыми числами, а он постулировал, что величины имеют отношение, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. Это снимало открытую пифагорейцами проблему несоизмеримости и фактически являлось геометрической интерпретацией вещественных чисел. Сам Евдокс, впрочем, работал лишь с отрезками, площадями или объемами и не рассматривал их отношения как количества, которыми считают предметы.

Однако важнейшим достижением Евдокса являлась разработка метода исчерпывания (название появилось лишь в новое время, а у греков этот метод не имел отдельного наименования). Суть всех построений тут была сходной с тем, что предложил еще Антифонт – в фигуру вписывались многоугольники со все большим числом сторон, пока вся ее площадь не исчерпывалась – однако само решение получалось как бы из ниоткуда, а его верность обосновывалась путем ложного предположения и приведения к абсурду. Таким способом Евдокс сумел дать логически точное доказательство формул для объема пирамиды, конуса и шара, которые ранее были найдены атомистами.

За основу метода исчерпывания Евдокс взял следующую аксиому: Избыток, на который большая величина превышает меньшую, можно сделать, складывая его с самим собой большим, чем какая бы то ни было заранее заданная конечная величин. Из этой аксиомы вытекала теорема: Если от данной величины мы отнимем половину или большую часть, и будем продолжать так поступать раз за разом, то, в конце концов, получим остаток, который будет меньше сколь угодно малой величины. Иными словами, если а больше b, то имеется такое целое число n, что (a/2n)<b. Отсюда прямо следует важное положение античной геометрии: линия не состоит из точек и величины могут быть делимы до бесконечности.

Метод исчерпывания иногда приводит к точному результату, а иногда лишь к сколь угодно близкому приближению. Для примера рассмотрим доказательство того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Рассмотрим два круга ABCD и EZHG. Обозначим их площади буквой S.

Предположим, что

тогда, очевидно, имеем

где K либо больше, либо меньше S_EZHG.

Допустим, что K меньше EZHG. Впишем в круг EZHG многоугольник W (вся заштрихованная область на рисунке), последовательно полученный из вписанного квадрата, и равнобедренных треугольников, достроенных на каждой стороне квадрата, а также – множества равнобедренных треугольников, достраиваемых на каждой получаемой стороне.

Несложно показать, что на каждой итерации достраивания многоугольника W мы заштриховываем больше половины оставшейся площади круга. На основании приведенной выше теоремы достраивание можно продолжать до тех пор, пока площадь многоугольника W не станет больше чем K (то есть разница между площадью круга и многоугольника W не станет меньше, чем разница между площадью круга и K).

Теперь впишем в круг ABCD многоугольник V, подобный многоугольнику W. Известно, что площади подобных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных окружностей

Поскольку умы предположили, что

то теперь имеем

или же

Но площадь многоугольника V в любом случае хоть немного, но меньше описанной вокруг него окружности ABCD, а вот площадь многоугольника W просто по построению больше K. Таким образом левая часть пропорции меньше единицы, а правая часть – больше единицы, что абсурдно.

Аналогичным способом можно доказать, что K также не может быть больше S_EZHG, а значит K = S_EZHG, что и требовалось доказать.

Конические сечения

Ученик Евдокса и член Афинской Академии по имени Менехм первым дал связное учение о конических сечениях, хотя, как мы помним, многое о них уже было известно и ранее. В зависимости от того, как именно мы будем рассекать конус, можно получить в сечении окружность, эллипс, параболу или гиперболу. Изначально кривые второго порядка вводились как параллельное образующей плоское сечения отдельно прямоугольного (парабола), тупоугольного (гипербола) и остроугольного (эллипс) конусов.

Занимаясь удвоением куба, Менехм дал два решения: пересечением двух парабол и пересечением параболы и гиперболы. Понять эти решения несложно. Для удвоения куба необходимо извлечение корня третьей степени, которое невозможно осуществить с помощью циркуля и линейки, однако, если мы добавим к прямым и окружностям еще и конические сечения, то проблема разрешится довольно легко. Так, если нам требуется получить корень уравнения x³ = a, то в первом случае необходимо найти точку пересечения двух парабол x² = ay и y² = 2ax. Во втором случае нужно отыскать точку пересечения параболы y = x² и гиперболы y = a/x. В обоих случаях решением будет точка с абсциссой x = a^1/3.

Правда, греки не пользовались алгебраическими обозначениями и не записывали уравнения кривых, однако их словесные описания и графические построения были достаточно близки к современным.

Краткие итоги первого этапа развития греческой математики

Такова была, в общих чертах, та математическая традиция, с которой греки вступили в эпоху эллинизма. Некоторая сложность изложенного материала не должна смущать читателя, но наоборот – призвана показать, насколько высоко поднялась античная геометрическая мысль (мы коснулись здесь лишь немногих самых интересных моментов). Именно на этом фундаменте создавали свои труды такие заслуженные мастера, как Евклид, Архимед и Аполлоний, о которых мы поговорим в следующей главе. Конечно, полная геометризация всей математики являлась, с современной точки зрения, неудачным решением, которое чрезмерно усложнило всякие операции и преобразования. Евклиду приходилось отдельно доказывать для чисел всё то же самое, что перед этим было доказано для длин отрезков. Однако, поскольку адекватной арифметической теории несоизмеримых величин просто не существовало, то выбранная дорога казалась наилучшей из возможных. Когда Рене Декарт, два тысячелетия спустя, вновь возвращал арифметику на первое место, он просто предположил, что проблему несоизмеримости решат когда-нибудь в будущем.

Другим важным следствием открытия иррациональных величин оказалось забвение примитивных методов анализа, которые хоть и были неточны, но зато позволяли получать новые знания. Отказ от метафизических «неделимых» в пользу логической строгости имел результатом то, что процедура математического творчества оказалась полностью выхолощенной. Метод исчерпывания хоть и являлся мощнейшим инструментом для безупречных доказательств, но при этом сам по себе не обогатил геометрию ни одной новой истиной. Отныне математикам оставалось лишь до блеска отшлифовывать аргументацию, выстраивая безупречные обоснования старых теорем. Времена математического созидания и поиска сменились долгим периодом обобщения и подведения итогов.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. СВЕДЕНИЕ К АБСУРДУ

«Начала» Евклида

Само становление греческой математики служит яркой иллюстрацией того, как творческая научная мысль становится лишь отражением протекающих в обществе процессов. В нескольких предыдущих главах мы проследили историю античной геометрии как раз до времени походов Александра, после которых мир эллинов радикально преобразился. Наступило время подведения промежуточных итогов. И отныне не было иного места, где условия для подобной работы оказались бы лучше, чем в Александрии.

Уже первый математик Музея – Евклид, о жизни которого ничего неизвестно, – составил так называемые «Начала», объединившие почти всю накопившуюся геометрическую мудрость в единый учебный курс. Данный труд опирался на сочинения Гиппократа Хиосского и Евдокса, поэтому содержал мало нового, зато отличался логической последовательностью и стройностью изложения, а потому быстро вытеснил все предыдущие руководства и учебники. Старые математические сочинения (включая разнообразные «Начала» более ранних авторов) больше не переписывались, и уже к первому веку нашей эры они полностью исчезли из обращения. Лишь от некоторых сохранились краткие отрывки, чаще всего в виде цитат и упоминаний.

Общая цель Евклида заключалась в том, чтобы дедуктивно построить систему рассуждений на базе небольшого числа определений и аксиом. Для своего времени он блестяще справился с поставленной задачей: на две тысячи лет его работа стала настольной книгой для каждого европейского математика. Современному же читателю «Начала», скорее всего, покажутся сухим и переусложненным текстом, в котором полностью отсутствуют общие слова и авторские замечания, зато много повторений и непривычные термины. Методология Евклида не подразумевала никакой проверки исходных предположений, но текст «Начал» оказался настолько удачным, что принятые там аксиомы и постулаты считались единственно возможными вплоть до XIX века, когда Лобачевский, наконец, показал, что только наблюдение способно помочь нам определить каковы же они в действительности.

Структурно «Начала» разделены на 13 книг (глав), каждая из которых посвящена своему вопросу.

Книга I содержит основные определения, постулаты (допущения), аксиомы (интуитивно понятные положения) и предположения (задачи, где нужно что-либо построить, или теоремы, в которых требуется что-либо доказать). Особо большой интерес представляет пятый постулат Евклида, звучащий следующим образом: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние углы суммой меньше двух прямых, то будучи неограниченно продолженными эти две прямые пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых».

Из данного утверждения непосредственно следует, что через не лежащую на какой-либо прямой точку, можно провести лишь одну прямую параллельную исходной. На отрицании именно этого положения и построена геометрия Лобачевского.

Другие четыре постулата Евклида почти банальны, поскольку гласят, что через две точки можно провести прямую, что всякая прямая не имеет концов, что вокруг любой точки можно описать круг, а все прямые углы равны между собой. Пятый же постулат, как видно, совсем не так прост. Необходимо признать большую прозорливость того грека (едва ли это был сам Евклид), который впервые осознал необходимость внести это нетривиальное положение в число обязательных допущений.

Предложения книги I начинаются с построения равностороннего треугольника на заданной стороне и заканчиваются теоремой Пифагора (безо всякого указания ее авторства), причем показывается именно равенство площадей квадратов, построенных на гипотенузе и катетах. Заметим заодно, что под равенством фигур Евклид всегда понимает именно равенство площадей, тогда как то, что считаем равенством мы, называлось у него «равенством и подобием».

II книга Евклида посвящена геометрической алгебре, то есть графическим вычислительным приемам, которые мы уже достаточно подробно рассмотрели в предыдущих главах. Напомним еще раз, что это был единственный известный грекам способ «работы с формулами», если не считать их словесного описания.

В III книге говорится о свойствах окружностей, хорд, касательных и построенных на них углов; IV книга посвящена правильным многоугольникам; V книга рассказывает о теории пропорций, учитывающей несоизмеримые величины (то есть приводит теорию Евдокса об иррациональных); в VI книге рассматриваются в основном задачи о площадях параллелограммов (здесь же приводится уже известный нам графический способ решить квадратное уравнение); книги VII-IX посвящены теоретической арифметике, причем затрагивают лишь натуральные числа; книга X рассматривает различные виды иррациональностей.

Книга XI посвящена основам стереометрии, а также тем телам, для вычисления объемов которых не требуется использовать предельный переход (то есть обращаться к математике атомистов). Поскольку для пирамиды, конуса и шара невозможно определить объемы (либо их отношения) без использования понятия бесконечно малых, то в XII книге Евклид решает эти задачи классическим методом исчерпывания: вписывает фигуры со всё увеличивающимся числом сторон, а затем сведением к абсурду показывает, что заранее известное ему решение является верным. Последняя XIII книга посвящена правильным Платоновым многогранникам.

Во всех тринадцати книгах «Начал» мы не встретим ни единого слова о практическом использовании геометрии или о прикладных приемах счета. Там опущены даже весьма популярные у греческих математиков вопросы квадратуры круга и отношения длинны окружности к ее диаметру, поскольку интерес к ним возник из практических вопросов измерения. Более того, Евклид отказывается от привычного тогда слова «тело», заменяя его новым и менее приземленным термином «твердая форма». Отсутствует и понятие наложения фигур, ведь оно предполагает движение. Также в «Началах» отсутствует понимание того, что одни фигуры являются просто предельными формами других: для Евклида треугольник не является многоугольником с тремя углами, а квадрат не считается параллелограммом, поэтому многие общие теоремы повторно доказываются для частных случаев.

Все эти признаки явно говорят нам о глубоком влиянии Платона и Аристотеля на мышление Евклида, и именно так далее станут думать почти все эллинистические геометры. Сами же «Начала» можно рассматривать как развернутое учение о построении пяти правильных многогранников, играющих важную роль в идеалистическом платоновском учении. Как мы помним, согласно диалогу «Тимей», они соответствуют четырем основным элементам и вселенной.

Практичные римляне проявляли мало интереса к теоретической геометрии, поэтому первый латинский перевод «Начал» появился лишь спустя несколько столетий – это так называемая «Геометрия» Боэция, который жил в V-VI веках нашей эры. Впрочем, сам перевод Боэцию не принадлежит и возможно был сделан намного позже. Восточные народы, напротив, оказались более предрасположены к абстрактным наукам, и после того как византийский император подарил арабскому халифу экземпляр книги Евклида, ученые из багдадского Дома мудрости сделали перевод на арабский язык, распространив его по всему исламскому миру.