полная версия

Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты

Полная версия

Площадь параболы. Механическое доказательство Архимеда

Что касается механического определения площади сегмента параболы, то в этом случае Архимед воспользовался открытым им же законом рычага. Исследуемый сегмент мысленно подвешивался на одном плече симметричных (AO = OQ) весов так, чтобы ось параболы шла вертикально, а край плеча Q совпадал с одним из концов сегмента, тогда как другой конец сегмента R находился бы строго под точкой опоры O. На то же самое плечо весов подвешивается треугольник QRE, причем QE должна быть касательной к параболе. Основание QR делится на равные участки, проводятся вертикальные линии, а затем из Q строятся прямые, проходящие через точки пересечения вертикальных линий и параболы.

Далее, пользуясь свойствами подобия, Архимед показывает, что каждая из длинных вертикальных трапеций может быть уравновешена соответствующей огибающей параболу короткой трапецией, подвешенной в точке A. В самом деле, каждая большая трапеция во столько раз длиннее соответствующей малой, во сколько плечо AO длиннее расстояния до точки подвеса этих трапеций. Если обратиться к чертежу, то уже на примере самого правого треугольного кусочка должно быть понятно, что плечо AO необходимо слегка укоротить, однако, при разделении треугольника QRE на очень большее число трапеций это укорочение стремится к нулю. Одновременно с этим – короткие трапеции начинают стремиться к точному повторению формы параболы.

Иными словами, треугольник QRE может быть, по сути, уравновешен набором грузов (которые в сумме составляют параболический сегмент), подвешенным в точке A. В таком случае, как уже было известно, вес этого набора грузов (сегмента параболы) должен равняться 1/3 от веса уравновешиваемого треугольника. Последний факт почти очевиден, если вспомнить, что центр масс треугольника лежит в точке пересечения медиан, а сама эта точка делит медианы в отношении 1:2, то есть отсекает треть медианы от соответствующего основания (в нашем случае – от основания RE). Иными словами, центр масс треугольника лежит на 1/3 плеча OQ, и может быть поэтому уравновешен третью своего веса на плече AO. Поскольку вес грузов справа равен 1/3 от веса треугольника, то и их площадь должна составлять 1/3 от его площади.

Полное механическое доказательство со всеми выкладками является чересчур громоздким, чтобы приводить его целиком (это верно даже для нашей современной записи пропорций, а для их оригинального словесного описания – тем более), зато гораздо важнее сделать ряд важных замечаний. Во-первых, у Архимеда P1, P2,…, Pn являются просто некоторыми грузами, а вовсе не тонкими сегментами параболы, перенесенными на другую сторону весов, поскольку в противном случае слишком явственным оказался бы атомистический подход, согласно которому площадь состоит из линий. Во-вторых, Архимед использовал не только описанную вокруг параболы ломанную из малых трапеций, но и другую – вписанную, – получив, разумеется, такой же результат. В-третьих, нигде прямо Архимед не заявляет, что по мере увеличения числа зубцов обе ломанные стремятся к параболе, но лишь показывает, что разницу между площадями всех вписанных и всех описанных трапеций можно сделать сколь угодно малой. Затем, по уже привычному шаблону, показывается, что площадь параболического сегмента не может отличаться от ¹/₃ площади QRE, ибо любое такое отличие всегда приводит к абсурду.

Теорема Архимеда о шаре и цилиндре

Вскоре, вслед за сочинением «О квадратуре параболы», Архимед отправил Досифею свою новую работу «О шаре и цилиндре», в которой, помимо прочего доказывалось, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга, и что, если вокруг шара описать цилиндр, то площадь и объем полученного цилиндра окажутся в полтора раза больше соответствующих величин для шара. Архимед с гордостью замечает, что ни один из геометров прошлого не заметил этих соотношений, которые, однако же, столь удивительны, что могут быть поставлены в один ряд с великими теоремами Евдокса об объемах пирамиды и конуса. Полные рассуждения Архимеда по данным вопросам займут чересчур много места, поэтому ниже мы рассмотрим лишь их общую идею, которая, впрочем, и сама по себе непроста для уяснения.

Сперва показывалось, что если конус имеет образующую длиной L и радиус основания R, то площадь боковой поверхности конуса равна π·R·L. Истинность этой формулы понять несложно. Опишем вокруг основания конуса правильный многоугольник и построим поверх конуса пирмиду равной с ним высоты. Боковая поверхность пирамиды складывается из суммы площадей равнобедренных треугольников, высота каждого из которых равна L. Если мы станем неограниченно увеличивать число сторон описанного многоугольника, то его периметр (а значит и сумма оснований всех боковых треугольников) будет стремиться к длине исходной окружности, а сами боковые треугольники устремятся к поверхности конуса, площадь которой, теперь станет можно вычислить как (2·π·R)·L/2 = π·R·L.

Уже должно быть понятно, что описанный нами «атомистический» подход, не подходил для обоснования точного решения, хотя, вероятнее всего, использовался Архимедом для того, чтобы заранее понимать, к какому выводу необходимо прийти с помощью метода исчерпывания. Кроме того обозначение для числа π Архимед не употребил. В реальности описанное выше соотношение формулировалось им в следующем виде: площадь боковой поверхности конуса равна площади некоторого круга, радиус которого имеет величину (R·L)^0,5, то есть длина радиуса является средней пропорциональной между L и R. Доказывалось это за счет ложного предположения (будто площадь боковой поверхности конуса больше либо меньше площади указанной окружности), которое неизменно приводило к нарушению каких-либо соотношений, получаемых из условия подобия рассматриваемых фигур. Фактически все рассуждения в очередной раз сводились к очень долгому и скрупулезному способу избежать предельного перехода при заранее известном ответе.

В любом случае теперь уже несложно вывести соотношение для определения площади боковой поверхности усеченного конуса: она равна π·(r₁+r₂)·l = π·r₁·l + π·r₂·l, где под l понимется образующая усесенного конуса, а r₁ и r₂ являются радиусами верхнего и нижнего основания.

Доказав теорему для конуса, Архимед приступает к вычислению площади боковой поверхности шара. Для этого потребовалось вписать в круг правильный многоугольник с четным числом сторон, провести вспомогательные линии (кроме BC) и мысленно повернуть весь чертеж вокруг диаметра AB. В результате получался шар и вписанное в него сложное тело, составленное из двух конусов (сверху и снизу) и множества усеченных конусов. Очевидно, что поверхность шара всегда окажется несколько больше поверхности сложного тела. Кроме того важно заметить три вещи. Во-первых, у всех конусов и усеченных конусов будет одинаковая образующая, равная AC, так как наш многоугольник правильный. Во-вторых, все конусы и усеченные конусы имеют по одному общему основанию. В-третьих, треугольник ACB всегда является прямоугольным, независимо от числа сторон многоугольника (именно это говорит нам теорема Фалеса).

Формулу для поверхности сложного тела записать нетрудно, достаточно лишь проссумировать все выражения для поверхностей отдельных конусов и усеченных конусов. Она будет равна проихзведению числа π на образующую AC и на сумму всех диаметров в основании конусов (диаметров, а не радиусов, поскольку радиус каждого основания войдет в общую сумму дважды). То есть S = π·Σ(D_i)·AC.

Затем Архимед рассматривает заштрихованные прямоугольные треугольники и показывает, что они подобны между собой, а также подобны треугольнику ACB. Из условий подобия можно получить, что сумма длинн всех диаметров в основаниии конусов так относится к AB, как BC к AC. То есть Σ(D_i)/AB = BC/AC или Σ(D_i) = AB·BC/AC. Отсюда получается, что поверхность искомого сложного тела равна S = π·AB·BC, а, поскольку хорда BC меньше диаметра AB, то площадь поверхности тела меньше π·AB² (то есть меньше π·D² или 4·π·R²).

На втором этапе доказательства Архимед описывает вокруг круга правильный многоугольник и, рассуждая полностью таким же образом, показывает, что площадь поверхности сложного тела, описанного вокруг шара, всегда будет больше, чем 4·π·R². Поскольку, увеличивая число сторон вписанного и описанного многоугольников, можно сделать разницу между их площадями сколь угодно малой, то далее Архимед по уже привычному для нас шаблону показывает, что площадь поверхности шара не может отличаться от 4·π·R², иначе это приводит к абсурду. Таким образом, доказано, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга

Для определения объема шара Архимеду пришлось воспользоваться другим изящным приемом. Он вновь вписал в круг правильный многоугольник с четным числом сторон, однако поделил его на сектора уже по-иному (как это показано на левом чертеже). Затем и круг, и все сектора мысленно поворачивались вокруг диаметра AB. В результате получался шар и уже знакомое нам вписанное в него сложное тело. Однако же теперь это тело состояло из осесимметричных кусочков, подобных тому, который показан на центральном чертеже. Только ближайшие к диаметру сектора давали тела, состоящие из двух конусов, как показано на нижнем чертеже.

Далее Архимед доказал вспомогательную теорему, гласящую, что объем тела, составленного из двух конусов с общим основанием (как показано на нижнем чертеже), равен произведению площади боковой поверхности одного из этих конусов на треть высоты, опущенной на эту поверхность из вершины второго конуса. В нашем случае для нижнего чертежа принимается поверхность верхнего конуса, а высота на нее опускается из вершины нижнего (высота не обязательно попадет на саму поверхность, но вполне может пересекать ее мысленное продолжение). Данный неочевидный факт несложно вывести из уже известных нам соотношений, и мы оставим читателям удовольствие сделать это самостоятельно.

Чтобы определить объемы остальных кусочков (аналогичных показанному на центральном чертеже), Архимед предлагает мысленно достроить каждый из них до тела, состоящего из двух конусов, как это показано на правом чертеже. Объем рассматриваемого кусочка равен объему полученного тела за вычетом объема заштрихованной части, которая также составлена из двух конусов. Причем и у целого тела на правом чертеже, и у заштрихованной его части будет одна и та же высота h. Воспользовавшись только что рассмотренной теоремой, мы можем легко увидеть, что объем нашего кусочка равен произведению площади его боковой поверхностью (образованной образующей m) на треть высоты h. Нужно заметить, что высота h будет одинаковой для каждого из кусочков. Более того, поверхность сложного тела складывается из боковых поверхностей каждого кусочка.

Общий объем сложного тела определим как сумму объемов всех составляющих его частей, и получим, что он равен произведению площади всей поверхности тела на треть высоты, то есть. При увеличении числа сторон первоначального вписанного в круг многоугольника высота h стремится R, но всегда остается меньше радиуса, так что объем вписанного в шар тела всегда будет несколько меньше объема шара.

То же самое доказывается и для тела, описанного вокруг шара (разумеется, теперь объем тела всегда получается больше, чем у шара), а затем показывается, объем шара не может быть больше или меньше, чем произведение площади его поверхности на треть радиуса, то есть (4πR²)·R/3 = 4πR³/3.

Теперь уже легко вычислить площадь и объем цилиндра, чтобы убедиться, что они действительно в полтора раза больше соответствующих величин для вписанного шара. Это элементарно доказывается, если учесть, что высота такого цилиндра равна его диаметру (то есть двум радиусам). Архимед был настолько впечатлен собственным открытием, что завещал высечь изображение шара вписанного в цилиндр на своем надгробном камне.

Если верить Цицерону, то спустя 137 лет после захвата Сиракуз римлянами, он сумел отыскать заброшенную могилу ученого именно по такому изображению.

По иронии судьбы европейские математики, создававшие современное интегральное исчисление в XVII-XVIII веках, не знали об этом сочинении Архимеда, поскольку текст письма к Эратосфену был утерян. Лишь в 1906 году в константинопольской библиотеке Иерусалимской православной церкви обнаружилась литургическая книга, написанная на пергаменте, с которого были смыты более ранние греческие записи. Датский филолог и историк науки Йохан Любвиг Герберг (создавший, кроме прочего классическую реконструкцию «Начал» Евклида) изучил уникальный палимпсест и сумел почти полностью прочесть и издать первоначальные византийские тексты, записанные еще в X веке. Среди прочего пергамент содержал и следующие произведения Архимеда: «О равновесии плоских фигур, или о центрах тяжести плоских фигур», «О спиралях», «Измерение круга», «О шаре и цилиндре», «О плавающих телах», «Метод механических теорем», «Стомахион» (трактат о настольной игре-головоломке, целью которой было сложить квадрат из различных фигур). Последние три работы до того были известны лишь по упоминаниям у других авторов.

Отметим, что для христианской книги были использованы не все листы из рукописи письма к Эратосфену, и потому там отсутствуют доказательства теорем методом исчерпывания – к счастью, именно они не представляют для нас особого интереса.

Атомистические и механические идеи в математике Архимеда

Важно еще раз отметить, что, несмотря на всю свою гениальность, Архимед продолжал осмыслять математику геометрически, осуществляя преобразования пропорций с помощью слов, а вместо формул использовал отношения между различными телами или фигурами. Если какая-либо задача сводилась, например, к кубическому уравнению, Архимед просто констатировал, что необходимо отыскать две средние пропорциональные и останавливался. Нестрогих решений, которые нельзя получить с помощью циркуля и линейки, он не признавал, хотя иногда и рассматривал частные случаи, в которых отыскать точный ответ все-таки возможно.

Подобная щепетильность, на первый взгляд, противоречит смелому введению в математику механических методов, однако Архимед полагал, что сумел безукоризненно строго обосновать закон рычага на уровне «Начал» Евклида. Другое дело – атомистические приемы, от их следов приходилось тщательнейшим образом избавляться. В самом деле, считалось общепризнанным, что не существует большей ереси перед математикой, чем составлять линии из точек, плоскости – из линий, а тела – из плоскостей. Платон в «Законах» прямо утверждал, что это невозможно. Аристотель в сочинении «О небе» упрекал Демокрита и Левкиппа в том, что они, постулируя неделимые, впали в противоречие с основами математики, а ведь даже самое малое отступление от истины при дальнейших рассуждениях может увеличиться в десятки тысяч раз. Аналогичного мнения придерживались и Евдем Родосский, и Эратосфен. Любое знание считалось истинным лишь потому, что не предполагало, будто непрерывное состоит из неделимых.

Сам Архимед во время своего пребывания в Александрии, вероятно, еще не был знаком с атомизмом, хотя в знаменитой библиотеке почти наверняка имелись сочинения Демокрита. Видимо, никто из старших коллег не указал молодому сиракузцу на то, что в этих «ошибочных» работах присутствуют интересные для математика вещи. Вернувшись на родину, Архимед, уже не имел доступа к такому большому числу книг, и поэтому тщательно изучал все тексты, которые мог раздобыть. По случайности в Сиракузах обнаружились и такие сочинения, где излагались истоки атомистического «интегрирования», намеки о котором Архимед наверняка встречал и у других авторов. Оказалось, что разложение математических величин на элементы – мощный и эффективный математический инструмент. Более того, величайшие теоремы Евдокса об объеме конуса и пирамиды, как оказалось, доказаны именно Демокритом.

Конечно же, Архимед понимал, что рассуждения атомистов едва ли можно признать безупречными, но для опытного геометра не составляло никакого труда построить нужное доказательство по шаблону метода исчерпывания и последующего сведения к абсурду. Важно, что теперь оказалось возможным, пусть и нестрогим способом, но устанавливать новые интересные факты, а уж их окончательное обоснование – дело техники. Причем даже сам путь окончательного строгого доказательства можно перенять из последовательности атомистического интегрирования. В самом деле, всегда легче построить решение, уже имея определенные знания об исследуемых вещах, чем искать ответ без какого-либо начального знания. И действительно, коллеги Архимеда, которым тот посылал свои новые теоремы, обычно не могли найти доказательства, поскольку не представляли, как вообще подступиться к предложенным задачам.

В своих первых книгах Архимед старался не упоминать о том, что использует атомистические походы. Даже механические решения с помощью закона рычага уже являлись достаточно смелым шагом. Однако, убедившись в эффективности использования неделимых, Архимед написал об этом Эратосфену – главе Александрийской библиотеки и одному из сильнейших математиков своего времени. Данное послание известно нам под названием «Метод механических теорем» или просто «Метод» (либо «Эфод», от греческого «ἔφοδος» – метод).

Письмо (по сути это книга, имеющая форму послания) начинается с обычного в те времена пожелания здоровья адресату, после чего мы узнаем, что ранее Архимед уже отправлял Эратосфену несколько своих новых теорем с предложением отыскать их доказательства самостоятельно. Перечень задач был следующим:

– доказать, что сегмент параболоида вращения в полтора раза больше объема конуса с теми же основанием и высотой;

– доказать, что если сегменты одного параболоида вращения образованны параллельными сечениями (не обязательно перпендикулярными оси), то объемы этих сегментов относятся как квадраты осей;

– доказать, что эллипсоид вращения имеет объем равный 2/3 объема описанного цилиндра;

– доказать, что центр тяжести параболоида находится на оси вращения и удален на 1/3 от основания;

– определить объем тела, составленного из двух вписанных в куб цилиндров с перпендикулярными осями;

– доказать, что если в прямую квадратную призму вписать цилиндр и провести плоскость через верхнее ребро куба и нижний центр цилиндра, то малая отсеченная часть цилиндра будет иметь 1/6 от объема всей призмы.

Судя по всему, глава Александрийской библиотеки – блестящий геометр и выдающейся философ – не сумел справиться ни с одной из предложенных задач, поэтому Архимед и посчитал необходимым раскрыть собственные решения, а также и метод своей работы. В письме к Эратосфену все теоремы, кроме последней, доказываются сперва с помощью закона рычага (то есть механически), а затем уже – классическим методом исчерпывания. Для демонстрации возможностей механического метода, Архимед предварительно приводит несколько лемм из механики, а затем решает уже известные нам задачи о площади параболы и объеме шара.

Выше мы уже говорили о том, как Архимед определял объем шара, однако будет любопытным кратко коснуться и решения, описанного в «Эфоде», поскольку там оно получено с помощью закона рычага.

Пусть имеется некоторый шар. Построим дополнительно конус и цилиндр так, как это показано на чертеже: у конуса и цилиндра будет общее основание с диаметром, который вдвое превышает диаметр шара. Если провести какую-либо вертикальную плоскость, то в сечении каждого из этих трех тел мы получим по кругу с различными диаметрами: NM для цилиндра, KL для шара и PQ для конуса. Вид этих сечений показан под чертежом, причем, в зависимости от положения секущей плоскости, диаметр сечения конуса PQ может быть как меньше, так и больше диаметра сечения шара KL.

Предположим, что точка O является точкой опоры равноплечего рычага AH. Если аккуратно составить пропорции между площадями сечений и длинами подвеса, то окажется, что круговые элементы шара и конуса, подвешенные в точке H, уравновесят соответствующий элемент цилиндра, подвешенный в исходном положении (то есть в точке B). Проделав эту операцию для всех плоскостей, из которых составлены тела, мы установим, что цилиндр, подвешенный за свой центр масс (середина плеча AO) уравновешивается шаром и конусом, подвешенными в точке H. Учитывая полученное соотношение плеч, равное 2:1, и зная формулу для объема конуса (он равен трети от объема цилиндра), мы легко можем вычислить объем шара.

Читателю предлагается самостоятельно проделать все необходимые вычисления, а также убедиться, что рассматриваемый рычаг действительно оказывается в равновесии.

Мы не станем подробно останавливаться на основных задачах из «Эфода», поскольку это отняло бы излишне много времени, при том, что общий принцип механического метода должен быть уже достаточно хорошо понятен. Во всех случаях прямое интегрирование методом неделимых заменялось разложением на слои с целью распределения их по плечам рычага. Эта искусственная процедура создавала видимость логической непротиворечивости, перенося доказательство из области геометрии в область механики, причем решение заметно удлинялось, хотя его результат был известен изначально. Лишь последнюю самую сложную задачу (единственную во всем своем обширном наследии), про рассечение призмы и цилиндра Архимед решает чистым методом неделимых безо всякого рычага.

Особый интерес в письме к Эратосфену представляет и общий характер изложения. Сохраняя все нормы вежливости и уважения к адресату, Архимед, тем не менее, резко критикует взгляды математиков идеалистической платоновской школы. Для него абсолютно очевидно, что никто в Александрии, включая и Эратосфена, не может решать задачи аналогичные присланным. Причем, если просто сообщать доказательства, оформленные с помощью общепризнанного метода исчерпывания, то пользы от этого будет немного, ведь никто так и не узнает способа отыскивать новые теоремы.

Поэтому Архимед решается, наконец, поделиться истинным методом своей работы. Ссылаясь на Демокрита, он безо всяких оговорок и допущений излагает основы математики атомистов, разделяя геометрические тела на чрезвычайно тонкие пластины, из которых эти тела, по его мнению, и состоят. Любые умозаключения, полученные для таких пластинок, распространяются на все тело, поскольку оно целиком ими заполнено. Точно также и фигуры у Архимеда целиком состоят из линий.

Раз уж атомистический подход полезен, то им, по твердому мнению Архимеда, необходимо пользоваться. Если имеются сомнения в его достоверности и убедительности, то готовый результат всегда можно проверить логически безупречными методами. А разного рода идеологические предрассудки и философские возражения (многие из которых выдвинул и сам Эратосфен) следует попросту игнорировать.

По иронии судьбы европейские математики, создававшие современное интегральное исчисление в XVII-XVIII веках, не знали об этом сочинении Архимеда, поскольку текст письма к Эратосфену был утерян. Лишь в 1906 году в константинопольской библиотеке Иерусалимской православной церкви обнаружилась литургическая книга, написанная на пергаменте, с которого были смыты более ранние греческие записи. Датский филолог и историк науки Йохан Любвиг Герберг (создавший, кроме прочего классическую реконструкцию «Начал» Евклида) изучил уникальный палимпсест и сумел почти полностью прочесть и издать первоначальные византийские тексты, записанные еще в X веке. Среди прочего пергамент содержал и следующие произведения Архимеда: «О равновесии плоских фигур, или о центрах тяжести плоских фигур», «О спиралях», «Измерение круга», «О шаре и цилиндре», «О плавающих телах», «Метод механических теорем», «Стомахион» (трактат о настольной игре-головоломке, целью которой было сложить квадрат из различных фигур). Последние три работы до того были известны лишь по упоминаниям у других авторов.

Отметим, что для христианской книги были использованы не все листы из рукописи письма к Эратосфену, и поэтому там отсутствуют доказательства теорем методом исчерпывания – к счастью, именно они не представляют для нас особого интереса.