полная версия

Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты

Полная версия

Деференты и эпициклы. Теория Солнца

Если мы еще раз взглянем на модель с подвижным эксцентром, то сможем переформулировать ее следующим образом: планета движется по круговой орбите (назовем ее эпициклом), центр которой (то есть, собственно, эксцентр) расположен на другом круге (назовем его деферентом), концентричным с Землей. В данном случае мы никак не поменяли геометрическое содержание, но теперь нам больше не требуется условная точка, которая почему-то перемещается в пустоте. Уже Аполлоний показал, что модель с неподвижным эксцентром и модель с деферентом-эпициклом полностью эквивалентны. Также и Гиппарх сразу поясняет, что его решение для Солнца одинаковым образом получается из двух различных гипотез:

Гипотеза 1: Солнце движется по кругу с радиусом R_D с периодом в один год, причем центр этого круга E находится на расстоянии R_E = R_D/24 от Земли T (этот вариант движения мы уже рассмотрели выше).

Гипотеза 2: Солнце с периодом в один год движется по эпициклу с радиусом R_E, а центр данного эпицикла также за один год движется по концентричному Земле деференту с радиусом R_D. Направление вращения на деференте совпадает с направлением вращение на эксцентре, а вот вращение на эпицикле совершается в противоположную сторону.

Из чертежа легко увидеть, что описанные модели действительно эквивалентны. Пусть в начальный момент времени Солнце находится в положении S₁. Направления вращения всех кругов обозначены стрелками. Когда эксцентрическая орбита повернется на четверть оборота против часовой стрелки относительно точки E (то есть – эксцентра), расположенное на ней Солнце перейдет в положение S₂. Одновременно с этим деферент также повернется на четверть оборота в том же направлении, но относительно точки T (то есть – Земли). Если бы эпицикл был жестко закреплен на деференте, то размещенное на эпицикле Солнце переместилось бы в положение S₁’, однако в нашей системе эпицикл сам повернулся на четверть оборота, только уже по часовой стрелке, и поэтому Солнце также перейдет в положение S₂. Обе системы совпали. Аналогичные рассуждения можно повторить для любой точки солнечной траектории, хотя построения могут оказаться чуть более сложными.

Деференты и эпициклы. Теория для внешних планет

Всё сказанное о Солнце, эксцентре и эпицикле можно с тем же успехом распространить и на траектории планет, причем уже Аполлоний показал, что с помощью системы деферент-эпицикл успешно объясняются ретроградное движение и стояния, если направления вращений на деференте и эпицикле совпадают. Покажем это на чертеже сперва для внешней планеты, то есть – Марса, Юпитера либо Сатурна. Пусть планета N равномерно движется на круговом эпицикле ε, центр которого C совершает равномерное движение на деференте D, концентричном с центром Земли T. Движение по деференту происходит в направлении следования знаков зодиака на эклиптике и называется движением по долготе. Движение на эпицикле называется движением по аномалии и осуществляется в том же направлении. Теперь назначим точке С время обращения вокруг Земли T равное сидерическому периоду для соответствующей планеты (у Марса это 1,88 года; у Юпитера – 11,87 лет; у Сатурна – 29,46 лет), а самой планете N назначим время обращения по эпициклу равное ровно одному году (то есть 365,25 суток). Иными словами, скорость вращения у эпицикла намного больше, чем у деферента, и при правильном подборе их радиусов можно добиться высочайшей точности в описании небесного движения.

В самом деле, скорость планеты V складывается из векторной суммы скорости на деференте V_D и скорости на эпицикле V_ε. Причем составляющая V_ε всегда постоянна, а V_D возрастает пропорционально удаленности от Земли. Когда планета достигнет некоторой точки α, обе ее скорости сложатся так, что результирующий вектор V окажется направленным строго на наблюдателя T. Визуально покажется, что планета остановилась. Отметим, что линия от точки T до планеты является линией зрения, а наблюдаемое движение по небесной сфере воспринимается как перпендикулярное к линии зрения. При этом скорость V_D всегда будет направлена именно перпендикулярно линии зрения, тогда как направление скорости V_ε непрерывно изменяется. Точка α имеет такую особенность, что проекция скорости V_ε на перпендикуляр к T-α оказывается равной V_D, но направленной в противоположную сторону.

После того, как планета пройдет точку α, ее видимое из T движение станет попятным, поскольку обратная скорость на эпицикле превысит прямую скорость на деференте. Так будет продолжаться до тех пор, пока планета не достигнет точки β (симметричной α относительно C, хотя нужно помнить, что сам центр эпицикла за это время сместится по деференту), где суммарный вектор V окажется направленным строго от наблюдателя T, и произойдет очередное стояние. Далее планета начнет постепенно ускоряться и продолжит свое прямое перемещение по эклиптике.

Разобравшись с ретроградной петлей, продолжим совершенствовать нашу модель. Орбиту Солнца представим в виде круга с неподвижным эксцентром E_S, хотя не будем забывать, что такую же траекторию можно получить с помощью деферента и эпицикла. Когда планета окажется на максимальном удалении от Земли (в точке N), то она должна одновременно находиться и в противостоянии с Солнцем S, которое будет располагаться строго на линии TN. Аналогично, когда планета окажется ближе всего к Земле (в точке N’), то она одновременно должна находиться в соединении с Солнцем S’, которое будет располагаться строго на линии TN’, причем дальше от Земли, чем сама планета. Поскольку период обращения Солнца вокруг Земли Т совпадает с периодом обращения планеты по эпициклу, то радиус планеты на эпицикле всегда параллелен линии Земля-Солнце. Например, в момент, когда планета находится в точке α, Солнце находится в точке S_α, причем радиус C-α параллелен отрезку T-S_α. В античной традиции движение на эпицикле всегда отсчитывали от положения, когда планета находится на максимальном удалении от Земли.

Деференты и эпициклы. Теория для внутренних планет

Для Меркурия и Венеры система окажется несколько иной. Движение центра эпицикла C по деференту в обоих случаях занимает год, причем линия TC всегда проходит через Солнце S. А вот движение на эпицикле происходит за гелиоцентрический период (для Меркурия это примерно 88 суток, а для Венеры – 225 суток). Тут нужно пояснить, что в современной астрономии гелиоцентрический период как раз и является сидерическим – промежутком времени, за который планета совершает оборот вокруг Солнца, – но в античности под сидерическим понимали кажущийся период обращения вокруг Земли. Мы вслед за греками и дабы не создавать путаницы продолжим придерживаться древней терминологии.

Эквивалентность моделей с подвижным эксцентром и моделей с деферентом-эпициклом

Несложно показать, что для всех планет систему из концентрического деферента и эпицикла можно заменить на систему с подвижным эксцентром. Радиусы деферента D и эксцентричного круга K, а также эпицикла ε и круга e, по которому обращается подвижный эксцентр E, принимаются равными. Периоды обращения эпицикла ε и эксцентричного круга K принимаются одинаковыми и равными T1. Тогда, если период обращения деферента принять за T2, то период обращения эксцентра E по кругу e должен быть равным (T1·T2)/(T1+T2). В физическом смысле последняя формула означает, что круг e вращается по эклиптике с частотой, равной сумме частот деферента (равна 1/T2) и эпицикла (равна 1/T1), то есть совершает одновременно и движение по долготе (сидерическое), и по аномалии (солнечное), а круг K затем компенсирует лишнее солнечное движение. Так или иначе, но в обоих случаях траектории окажутся одинаковыми не только для наблюдателя с Земли, но и для стороннего наблюдателя, поскольку обе гипотезы являются геометрически тождественными. Основное отличие тут будет заключаться не в периодах, а в том, что обращения на деференте и эпицикле совершаются в одном направлении – вдоль эклиптики в направлении зодиака; тогда как движение на эксцентрическом круге будет осуществляться против зодиака, хотя сам эксцентр будет оборачиваться по элиптике в прямом направлении. Впрочем, едва ли данное различие представлялось древним астрономам важным.

До Аполлония и еще некоторое время после него (а во многом – именно благодаря ему) античные астрономы работали с обеими вариантами построений, но постепенно гипотеза подвижного эксцентра уступила место системе деферента-эпицикла. Этому способствовало две причины. Первая из них носила скорее терминологический характер, поскольку считалось, будто подвижные эксцентры применимы лишь для внешних планет, но не могут быть использованы при описании движения Меркурия и Венеры, а вот эпициклы одинаково хорошо работают во всех случаях. Такое мнение греческих геометров не совсем верно, поскольку мы уже показали, что оба варианта построения траекторий полностью тождественны. Более того, они всегда имеют тривиальный вариант обращения друг в друга: принять траекторию эксцентра E (то есть круг e) за деферент D, а эксцентричный круг K принять за эпицикл ε. Другое дело, что деферент и эпицикл – это когда малый круг движется по большому (эпицикл это буквально надкруг), тогда как в случае подвижного эксцентра всё наоборот: большой круг обращается по малому.

Для древних астрономов, однако же, ситуация выглядела так, что изначально найденные для Меркурия и Венеры решения с годовым периодом на первом круге и гелиоцентрическим периодом на втором круге, сами по себе сразу воспринимались именно как деферент и эпицикл. Пересчитывать их на подвижный эксцентр не имело смысла, поскольку в таком случае при построениях терялась бы непосредственная связь с Солнцем, от которого эти планеты никогда не отходили далеко. Конечно, в результате все равно получилось бы, что Меркурий и Венера всегда оказываются в нужном месте, однако промежуточные построения вычерчивались бы независимо от Солнца, а ведь его положение тоже нужно было определять.

И здесь мы вплотную подошли ко второй причине: теория эпициклов намного проще. Она наглядно и даже «физично» (хотя натурфилософы бы с этим не согласились) иллюстрирует стояния и ретроградные движения планет, а сами деференты и эпициклы существенно легче вычерчивать, особенно если одновременно строить еще и траекторию Солнца. Относительная простота станет особенно важным фактором, когда для повышения точности моделей потребуется вносить в систему дополнительные эпициклы.

Лунная теория Гиппарха

Что касается Гиппарха, то он определенно отдавал предпочтение эпициклам, поскольку полагал, что мир устроен симметрично, и едва ли разные планеты должны описываться различными гипотезами. Впрочем, движения всех пяти планет оказались настолько сложными, что никакого численного решения отыскать не удавалось, и Гиппарх ограничился общими подходами к построению траекторий. У него хватило интеллектуальной честности признать, что имеющихся наблюдений хватает лишь на создание теорий Солнца и Луны, в движении которых имеется лишь одно неравенство – переменная скорость перемещения по небу. Здесь мы наблюдаем весьма редкое для античности явление, когда автор признавал свою некомпетентность в чем-либо, однако имелось уже достаточно наблюдений, которые позволяли твердо заключить: планеты не только описывают петлю (второе неравенство), но также изменяют скорость своего движения (первое неравенство). Обе эти особенности планетарных траекторий приводят к тому, что дуга попятного движения меняет свою длину (в действительности это вызвано тем, что планета движется по эллиптической орбите с переменной скоростью), а такой эффект уже не удавалось объяснить с помощью эпицикла или подвижного эксцентра.

Предшественники Гиппарха, очевидно, еще не знали о переменных скоростях планет на зодиаке, однако новые данные явственно говорили, что старые математические теории не соответствуют явлениям. Этот факт не вызывал сомнений, но Гиппарх еще плохо понимал, что же конкретно ему необходимо объяснить. Неравномерности планетарного движения трудно зафиксировать, но даже самые точные инструменты не могли дать быстрого результата, ведь Юпитер совершает полный круг по небу за двенадцать лет, а Сатурн – почти за тридцать. Сбор числовых данных требовал многих десятилетий тщательных наблюдений, которые нужно было еще суметь организовать: подготовить оборудование и специалистов, наметить план работ, получить финансовую поддержку. Гиппарх сформулировал проблему, но оставил ее решение своим последователям.

Для Луны, напротив, наблюдений имелось в избытке, поэтому Гиппарх смог использовать записи о различных затмениях при работе с гипотезой эксцентра и с гипотезой эпицикла, что привело к несколько разнящимся результатам. Как мы уже знаем, ускорения и замедления лунных движений приходятся каждый раз на новые созвездия, поэтому Гиппарх назначил ей периоды обращения по деференту и эпициклу не в точности равными одному лунному месяцу, но несколько отличными друг от друга. При этом деферент D и эпицикл ε были наклонены относительно плоскости эклиптики на 5° (что также имело место и в теории с эксцентром). Но самое важное, что согласно наблюдениям узлы лунной орбиты U, то есть точки ее пересечения с эклиптикой (а именно рядом с этими точками по понятным причинам и происходят затмения, как солнечные, так и лунные), не стоят на месте. Причиной данного явления является прецессия лунной орбиты, но Гиппарх по понятным причинам не мог этого знать, и просто назначил узлам U обратное обращение по эклиптике с периодом 18⅔ года (что очень близко к истинному значению в 18,612958 лет). Центр эпицикла C движется по деференту в том же направлении, что и Солнце, а сама Луна обращается по окружности эпицикла в обратном направлении. За один лунный месяц изменение долготы (движение на деференте) должно превышать изменение аномалии (движение на эпицикле) примерно на 3°.

Разница в результатах, о которой было сказано выше, заключалась в следующем. Отношение радиусов эпицикла и деферента было определено Гиппархом через максимальное видимое отклонение Луны от теоретического положения центра эпицикла C и оценено как R_ε/R_D = 0,0793…, что дает максимальное отклонение в 4°33’’ (это значение намного меньше истинного). Для другой своей модели Гиппарх определил отношение эксцентриситета к радиусу эксцентрической орбиты как 0,1042 и получил максимальное отклонение уже в 5°59’’. Такая большая разница в отклонениях вызывает некоторые вопросы. Поскольку греки не знали десятичных дробей, то указанные отношения были в оригинале записаны как 247½ к 3122½ и 327⅔ к 3144 соответственно, причем сам способ получения именно таких необычных цифр не указывался. Однако мы можем предположить, что различия в результатах объясняются в первую очередь тем, что из-за необходимости решать обратную задачу – построить два круга по заданному отклонению – Гиппарху требовалось произвести достаточно сложные геометрические построения и вспомогательные вычисления, в которых для упрощения допускались слишком грубые округления. В любом случае обе теории

Поскольку в работе о лунных движениях Гиппарх опирался на вавилонские и александрийские данные о затмениях, то в этом вопросе (а умение предсказывать затмения являлось одним из важнейших для астролога), равно как и во всем, что касается полнолуний и новолуний, его теория работала достаточно хорошо. Казалось бы, что таким образом, удалось объяснить первое неравенство, связанное с изменением видимой скорости из-за эллиптичности орбиты, однако уже для фаз первой и последней четверти модель далеко не всегда показывала приемлемую точность. Выяснилось, что существует еще какое-то второе неравенство, определяемое расположением Луны относительно Солнца. В этом месте Гиппарх был вынужден сдаться, оставив дальнейшие исследования своим будущим последователям. При этом твердо установленный факт, говорящий о том, что абсолютно все блуждающей небесные тела – и пять планет, и Луна – находятся в какой-то связи с Солнцем, никак не повлиял на общие соображения об устройстве космоса. Математическая астрономия уже давно занималась исключительно расчетами положений планет, не претендуя на какой-либо голос в вопросах натурфилософии. Считалось, что Гиппарх, лучший астроном своей эпохи, плохо знал метафизику и не понимал, каковы должны быть настоящие небесные движения.

Физические представления эллинизма об устройстве космоса

Если же говорить о структуре вселенной, которую античная мысль соглашалась признавать истинной, то речь шла лишь о какой-либо адаптации системы концентрических сфер, ведь ее принял Аристотель, а следом за ним – стоики. С середины III века до нашей эры начинается подъем этой философской школы, которую можно считать естественной реакцией на кризис переусложнившейся метафизики. Если среди профессиональных интеллектуалов был более популярен неоплатонизм, то простые образованные люди не желали и не могли вникать в тонкости абстрактных учений. Требовалась какая-то простая и стройная картина мира, построенная на твердой почве понятных физических явлений. В этом смысле учение стоиков, ориентированное на приобретение добродетели посредством умственного развития, стало наиболее влиятельным философским направлением эллинистического мира и лишь укрепило свои позиции при владычестве прагматичных римлян. Физическую основу для своих воззрений стоики взяли у Аристотеля, но в целом вопросы естествознания их мало волновали, потому, сформировав простое и связное учение, они окончательно переключились на логику и этику.

Полагалось, что мир является живым божественным организмом, который управляется единым законом – логосом. Высшая власть исходит с небес в виде первичной субстанции – эфира (иногда эту роль отводили огню или огненной пневме), – различной концентрацией которого объясняются свойства земных веществ. Таким образом, все существующее телесно и даже сила представляет собой тончайшую материю, и вся она (то есть весь мир) являет единое целое с Божеством. Можно сказать, что физика стоиков представляла собой пантеизм. Мир описывался ими как система вложенных друг в друга концентрических сфер с Землей в центре. Вся эта конструкция имела конечную протяженность, за границами которой находилась пустота: безграничная либо же просто очень большая. Шарообразные небесные тела состояли из огненных земных испарений, а Солнце поднималось и опускалось по небу, чтобы захватить как можно больше этого питания. Здесь мы видим апелляцию даже не к Аристотелю (который решительно отвергал столь наивные воззрения), а к более древним мыслителям, чья позиция, очевидно, была недалека от простых народных верований.

Об орбитальном движении Солнца стоики не знали: летом оно поднималось выше, а зимой – ниже, и, пожалуй, это все, что замечает обычный человек. Попятное движение планет также представлялось чем-то неважным: блуждающие звезды просто оборачивались вокруг Земли медленнее обычных, да еще замысловато колебались вверх-вниз, каждая в своем интервале. Разумеется, ни о каких серьезных попытках доработать теорию гомоцентрических сфер речи не шло, да и не могло идти. Большинство приверженцев стоицизма не владели геометрией, тем более на таком уровне, чтобы понять построения Евдокса и Калиппа.

Многие современные авторы видят здесь чудовищный шаг назад, ведь уже пифагорейцы знали, что у каждой планеты имеется не только суточное, но еще и собственное замысловатое движение по наклонной орбите. Платон и Аристотель соглашались с этим фактом, хотя и не являлись профессиональными астрономами. Последние к тому моменту и вовсе занялись установлением различных аномалий в перемещениях небесных светил. Здесь, однако же, нужно понимать следующее. Как бы мы не относились к учениям Платона и Аристотеля, но оба этих человека, безусловно, являлись умнейшими и образованнейшими людьми своего времени. У них обоих было много последователей, но лишь немногие могли встать с ними на одну ступень, охватив своим интеллектом сразу столь многое. Если же говорить об античных математиках, которые развивали астрономические теории, то это всегда были люди с исключительными способностями к вычислениям и геометрии, а таких людей во все времена рождается немного. В античности просто не могло быть много людей, способных разобраться в небесных движениях. К тому же астрология все равно не зависела от точности любых построений, и если требовалось не только предсказать затмение, но и узнать, что именно говорят звезды касательно какого-либо вопроса, то здесь большим успехом пользовался харизматичный демагог, а не талантливый математик.

Иными словами, весь объем древних астрономических знаний держался на записях вавилонских и египетских жрецов, которые не занимались построением осмысленных теорий, а также – на работе относительно небольшого числа талантливых эллинов, которые сумели получить щедрое содержание при Александрийском Музее либо где-то еще. Большинство греков и римлян не имели ни способностей, ни времени, ни средств, чтобы просто изучить геометрию на том уровне, который позволил бы вычерчивать траектории планет с помощью эпициклов. Даже такие просвещенные римские авторы как Цицерон (I век до нашей эры) или Сенека (I век нашей эры), а также греческие доксографы – составители многочисленных популярных энциклопедий – не были знакомы с современными математическими теориями и принимали взгляды стоиков на устройство Космоса, как единственно разумные.

Сложившаяся ситуация не менялась затем многие века: профессиональные математики продолжали придерживаться теории эпициклов, тогда как все остальные чаще всего отдавали предпочтение концентрическим сферам. Для того чтобы примирить обе этих концепции, античные астрономы предложили следующую трактовку. Если допустить существование двух полых концентричных сфер, а между ними установить малый перекатывающийся шар, на котором закреплена планета P, то ее движение относительно Земли окажется точно таким же, как и в системе деферент-эпицикл. При этом уже не требовалось разбираться в обращениях воображаемых кругов, поскольку вся конструкция выглядит вполне материальной. В результате стоики смогли принять идею эпициклов, не отказываясь при этом от сфер Аристотеля.