Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
Определение размеров деферента и эпицикла. Величина эксцентра
Пусть Венера V расположена на эпицикле ε, движущемуся по деференту D, центр которого E не совпадает с Землей T. Мы помним, что центр эпицикла всегда расположен на прямой Земля-Солнце. Из двух симметричных наблюдений Венеры, обозначенных на чертеже как VP и VP’, когда она была сильнее всего удалена от Солнца, легко провести линию апсид A-P для деферента D. Поскольку радиус эпицикла принят постоянным, то максимальный угол элонгации означает, что центр эпицикла P в этот момент расположен ближе всего к Земле, а точка P является перигеем. В таком случае Земля T расположена где-то между точек E и P. Долгота апогея Венеры составила 55°, а перигея, соответственно – 235°.
Очевидно, что точка P совпадает с видимым положением Солнца в моменты наблюдений VP и VP’ (в действительности их произвели с интервалом в 8 лет). Теперь необходимо дождаться, когда Солнце будет располагаться в точке A, то есть с противоположной стороны от P, и отметить угол самой большой элонгации Венеры VA в апогее. Сделать это не так просто, как может показаться, поскольку точки A и P, во-первых, разделены половиной года, а, во-вторых, из-за несогласованности периодов на деференте и эпицикле (разной продолжительности года на Земле и на Венере) иногда оказывается так, что в окрестностях апогея и перигея Венера почти не удаляется от Солнца. Кроме того Венеру можно наблюдать лишь утром и вечером (далеко не каждый раз), а погода при этом должна быть ясной. Так или иначе, но Птолемей установил, что максимальное значение угла ATVA = 444/5°, а угла PTVP = 471/3°.
Далее необходимо воспользоваться несложными геометрическими соображениями. Поскольку в точках VA и VP Венера наблюдается под максимальным углом от центра эпицикла, то отрезки TVA и TVP должны быть касательными к своим эпициклам. Поскольку касательные всегда перпендикулярны радиусам, проведенным к точке касания, то треугольники ATVA и PTVP являются прямоугольными. Кроме того, AVA = PVP, ведь эпицикл не меняет своих размеров, а PT+TA = 2·EA, что видно из построения. Воспользовавшись теперь тригонометрическими таблицами можно установить, что AVA/EA = Rε/RD = 0,7194, а эксцентриситет составляет ET/EA = ET/RD = 0,021 (столь малое отклонение практически невозможно отобразить на чертеже без потери его наглядности, поэтому точку T мы поместили не в масштабе).
Для других планет использован аналогичный принцип определения отношения Rε/RD и величины эксцентриситета ET, а вычисленные Птолемеем значения приведены в таблице ниже.
Уточнение первого неравенства в движении планет. Эквант
К сожалению, наблюдения показывали, что простое равномерное перемещение эпицикла по эксцентрическому деференту не в полной мере объясняет первое неравенство в движении планет. Кроме неравномерной скорости перемещений по эклиптике наблюдались также различия в ширине ретроградных дуг и угловых расстояниях между ними. Так, например, для Марса их величина вблизи перигея и апогея отличается вдвое, что наглядно показано на соответствующей схеме, где заштрихованные сектора соответствуют положению и ширине видимых дуг попятного движения в различные годы. Данный эффект легко понять, если взглянуть на реальные эллиптические орбиты Земли и Марса: видно, что в моменты противостояний (когда и возникают ретроградные движения) расстояние между двумя планетами могут отличаться практически вдвое.
Чтобы исправить данное несоответствие Птолемей воспользовался тем же средством, которое уже помогло ему при работе над лунной теорией – эквантом, – однако придал ему несколько иной геометрический смысл. В моделях движения планет эквант W лежит на линии апсид A-P, но располагается еще дальше от Земли Т, чем эксцентр E. Именно эквант является центром равномерного движения эпицикла на деференте. Иными словами центр эпицикла C движется по деференту D таким образом, что отрезок WC за равные промежутки времени поворачивается вокруг точки W на одинаковые углы.
Из чертежа очевидно, что теперь за одно и то же время центр эпицикла проходит различные дуги на деференте – ближе к апогею точка C замедляется, а у перигея ее скорость существенно возрастает. Данное физическое неравенство линейных скоростей дополнительно усиливается тем, что ускорение эпицикла происходит ближе к Земле, а потому наблюдаемая угловая скорость около перигея окажется еще выше (а у апогея, наоборот, еще сильнее уменьшится). Исходя из разницы в ширине ретроградных дуг Марса, а также сравнив наибольшие элонгации Венеры к западу и к востоку от Солнца, Птолемей заключил, что ET = EW, то есть точка E делит полный эксцентриситет TW ровно пополам, и это правило получило название бисекции эксцентриситета.
Модели с эквантом давали уже вполне хорошее соответствие наблюдениям, однако, строго говоря, движение планет на деферентах переставало быть равномерным, что противоречило любым античным представлениям об устройстве космоса.
Теория движения Меркурия у Птолемея
Всего сказанного оказалось недостаточно при описании движения Меркурия, для которого Птолемей ввел еще один промежуточный эксцентр F. Если принять Землю в точке T, а эквант в точке W, то по уже известному правилу бисекции эксцентриситета имеем TW = WF = 0,05·RD = 1/20RD. Точка F, однако же, не связана непосредственно с деферентом D, центр которого E обращается вокруг F за период TD = 1 году, но в направлении противоположном вращению деферента. Радиус FE = 1/21RD, а скорости вращений согласованы так, что всегда соблюдается равенство угла AFE и угла AWC. Чтобы скомпенсировать обратное годовое вращение точки Е, скорость обращения самого деферента должна быть увеличена вдвое, то есть его период будет равен TD/2, и тогда с Земли будет визуально казаться, что он движется с периодом TD, совершая один оборот за год. Точка A лежит на прямой T-W-F и является апогеем деферента, а точка C это центр эпицикла. В моменты, когда точка C совпадает с A (на схеме это состояние показано пунктирными линиями, соответствующими положению деферента D’ и эпицикла ε’), Меркурий не всегда попадает строго в положение M’ поскольку периоды его обращения на деференте и на эпицикле не согласованы (TD/Tε = 365,25/88 = 4,15).
Таким образом, получается, что эквант W является центром равномерного вращения (аномалия на эпицикле отсчитывается от точки a лежащей на прямой WC), эксцентр E является центром равных расстояний (радиус деферента EC всегда остается постоянным), а солнце S всегда наблюдается на прямой TC.
Сложно сказать, из каких соображений потребовалось усложнять теорию вторым экцентром, поскольку он отнюдь не повышает точность, а наоборот – снижает ее. Нельзя, конечно, забывать, что наблюдать Меркурий очень сложно, но у Птолемея имелось достаточно данных, и предложенная модель им не соответствует, а некоторые цифры попросту были вычислены неверно. Более того, оказывается, что при указанной комбинации движений центр эпицикла движется вокруг Земли по траектории с двумя перигеями (симметричными между собой, но не противостоящими апогею). Посмотрим, как это получилось. На координатной сетке представлены годовые орбиты центра эпицикла C и планеты Меркурий M за один год, причем полагается, что и эпицикл, и Меркурий начинают движения из апогеев. Точка C, что естественно, совершает полный оборот и возвращается в исходное положение – в апогей A, а вот сама планета спустя год в исходное положение не возвращается, что тоже вполне соответствует реальности. Видно, что за один год Меркурий сделал четыре ретроградных петли, то есть, на самом деле, четырежды обернулся вокруг Солнца, что также совершенно правильно. Тем не менее, из-за того, что эксцентр деферента E сам вращается вокруг другого эксцентра F, траектория точки C напоминает эллипс, вытянутый вдоль линии апсид AP. Пунктиром на чертеже показана окружность с центром в точке T (это Земля), и видно, что она касается нашего эллипса в двух точках P’, симметричных относительно линии апсид, но достаточно сильно удаленных от точки P, которая перигеем не является, поскольку удалена от Земли на большее расстояние, чем точки P’.
Наличие двух перигеев никак не вытекало из приведенных в «Альмагесте» наблюдений, а сам Птолемей не объясняет этот факт, но, как мы уже видели на примере с Луной, его мало заботили пространственные координаты небесных тел, если широта и долгота определяются верно. Другое дело, что положения Меркурия на небесной сфере весьма отличаются от тех, что дает модель с подвижным эксцентром, но тут имеется один важный нюанс. Теоретически за год можно увидеть шесть максимальных элонгаций Меркурия (некоторые элонгации в ретроградных петлях невозможно наблюдать физически), но на практике это совсем не так. Нужно успеть сделать наблюдения в краткие периоды восхода и заката Солнца, от которого Меркурий никогда не удаляется далеко, а плохая погода или облака сведут все усилия на нет. Кроме того часто Меркурий почти не виден из-за того, что его затмевает солнечный свет. Неудивительно поэтому, что Птолемей оказался вынужденным использовать не самые удобные из наблюдений, а те, которые удалось получить, причем часть из них сделал он сам, а другие произвел некий Дионисий, живший за четыре века до написания «Альмагеста». Для Венеры Птолемею хватило всего восьми наблюдений, но они были выполнены в наиболее удобные моменты максимальных элонгаций, а для Меркурия потребовалось целых шестнадцать записей, и все они были сделаны, когда получилось. Для точки P вообще не была измерена видимая угловая ширина эпицикла, поскольку Птолемей наблюдал лишь восточную элонгацию, и попросту умножил ее на два. Полученная ширина эпицикла оказалась сильно заниженной по отношению к точкам P’, для которых удалось добросовестно определить отклонения Меркурия в обе стороны от Солнца. На самом деле восточная и западная элонгации Меркурия несимметричны (из-за сильной эллиптичности истинной его орбиты), и в точке P видимая ширина эпицикла должна оказаться самой большой, но Птолемей не разобрался в этом вопросе.
Теория движения Меркурия у Птолемея дает хорошее совпадение с теми наблюдениями, которые использовались в качестве исходных данных, но для всех иных положений ее точность оставляет желать лучшего, и она существенно уступает всем прочим моделям из «Альмагеста».
Модели Птолемея для описания движений планет по широте
До сих пор мы рассматривали планетарные движения так, будто бы они всегда остаются плоскими, однако в действительности это не так: планеты изменяют свою широту достаточно сложным образом. Впрочем, наклоны их орбит к эклиптике невелики, и Птолемей просто пренебрегает ими при вычислении движений по долготе. Такое упрощение действительно вполне допустимо, поскольку сильно упрощает модели и почти не дает ошибки. Однако Птолемей не мог полностью проигнорировать расчет широты, хотя и признавал этот вопрос хлопотным и трудным. Общее решение предполагало пространственное расположение отдельных элементов кинематических моделей, причем различным образом для внешних и внутренних планет.
Рассмотрим сперва модель для внешних планет – Марса, Юпитера и Сатурна. На схеме точка T соответствует центру Земли, а прямая n-s отмечает направление север-юг на эклиптике. Плоскость деферента D наклонена к эклиптике под малым углом α (равен 1° для Марса, 1,5° для Юпитера и 2,5° для Сатурна) и пересекает ее по линии U-U. Центр деферента E удален от Земли на величину эксцентриситета ET, а проекция линия апсид AP на плоскость эклиптики (прямая F-F’) образует с линией n-s угол γ, который и определяет долготу апогея A. Сама линия апсид деферента A-P наклонена к прямой U-U под углом β, который для Марса равен ровно 90°, для Юпитера составляет 70° (наклон на запад), а для Сатурна – 140° (наклон на восток). Одновременно с этим эпицикл ε всегда остается параллелен эклиптике, а линия, соединяющая центр эпицикла C с планетой N оказывается параллельна направлению от Земли T на Солнце S. Впрочем, точность такой модели не удовлетворила Птолемея, и он все же ввел небольшие углы наклона для эпициклов.
Для Меркурия и Венеры пространственная система оказалась несколько иной (не считая того факта, что Меркурий потребовал введения второго подвижного эксцентра). Их деферент D лежит в плоскости эклиптики и его линия апсид A-P образует с линией n-s угол γ, определяя тем самым долготу апогея A. Центр эпицикла C всегда лежит на прямой T-S. За годовой период обращения эпицикла ε на деференте D сам деферент совершает одно малое колебание на оси U-T-U, амплитуда которого составляет ±10′ для Венеры и ±45′ для Меркурия. Причем, когда центр эпицикла C находится в точках K и K’, угол между деферентом и эклиптикой равен 0°, а когда точка C находится в апогее A или перигее P – наклон максимален. Сам эпицикл также не лежит в плоскости деферента, и угол между ними плавно изменяется таким образом, что при прохождении центра эпицикла C через точки A и P в плоскость деферента попадает диаметр эпицикла a-p, тогда как при прохождении центра эпицикла C через точки K и K’ в плоскость деферента попадает диаметр эпицикла k-k’. Меркурий в апогее A находится южнее (ниже) эклиптики, а Венера – севернее.
Несмотря на все использованные геометрические ухищрения, Птолемей оказался вынужден признать, что задача вычисления широт не получила у него достойного разрешения, и точность моделей осталась достаточно низкой. Основная сложность тут состояла в том, что в действительности плоскости планетарных орбит проходят через Солнце, а не через Землю, поэтому все колебания нужно отсчитывать именно от Солнца, но в рамках геоцентрической модели предположить подобное было нереально. Ошибки Птолемея в определении долготы можно было исправить за счет уточнения параметров моделей или введения дополнительных кругов, чем, собственно, и занимались многие астрономы более позднего времени, но вот движения по широте так и не получили никакого внятного объяснения до тех пор, пока Солнце не оказалось перемещено в центр мира. Впрочем, до этого события оставалось еще четырнадцать столетий, на протяжении которых «Альмагест» оставался надежным фундаментом всех астрономических знаний человечества.
Современному читателю может показаться странным, что другие астрономы так долго не делали очевидных (казалось бы) выводов из прочно установленных связей между движениями Солнца и планет. В самом деле, как уже было показано, Венере и Меркурию не нужны деференты, ведь центры эпициклов можно просто совместить с Солнцем, а эпициклы Марса, Юпитера и Сатурна всего лишь воспроизводят истинную годовую орбиту Земли. Однако нельзя забывать и тот факт, что в неравномерности лунного движения также оказались зависимыми от положения Солнца, и этому имелись твердые доказательства. Иными словами, если Луна обращается вокруг Земли и одновременно связна с положением Солнца, то почему бы и другим планетам не поступать сходственным образом. Здесь требовались более надежные аргументы, чем простое математическое удобство, но они потребовали бы пересмотра всех физических представлений, что как минимум не являлось целью, которую ставил перед собой Птолемей – дать математический аппарат для точного описания небесных движений.
Объем проведенных Птолемеем расчетов
Несмотря на отмеченные недостатки, нужно признать, что изложенная в «Альмагесте» система является удивительным достижением античной мысли. В следующий раз человеческий гений сумеет подняться на сопоставимую высоту лишь полтора тысячелетия спустя. Из рук Птолемея астрономы получили инструмент составления таблиц движения Солнца, Луны и планет, который хоть и не всегда давал точные результаты, но во многих (наиболее важных) случаях вполне соответствовал уровню наблюдений и потребностям того времени.
Сам Птолемей осторожно заявлял, что лишь показывает, какие гипотезы могут объяснить каждое из небесных движений с помощью воображаемых кругов, а ранние комментаторы прямо говорили, что деференты и эпициклы являются не более чем способом вычисления положений планет. Что же касается экцсентров и эквантов, то они никак не могли быть приняты в качестве реально существующих явлений, оставаясь исключительно математическими допущениями, которые спасают явления, нарушая при этом фундаментальный принцип мироздания – принцип равномерности круговых космических движений.
Модели «Альмагеста» для своего использования требовали большого числа геометрических построений и множества вспомогательных вычислений, но в силу слабого развития античной алгебры (точнее почти полного ее отсутствия) не могли быть сведены к привычным для нас уравнениям, оставаясь во многом просто графическим инструментом, который, однако же, обладал немалой наглядностью. В любом случае производить расчеты по теории эпициклов – невероятно трудоемкое занятие. Сам Птолемей приводит таблицы с определенными им параметрами средних движений (без учета обращения на эпицикле) пяти планет, вычисляя по шесть величин (по теории простого эксцентра и с поправкой на правило бисекции, то есть на введение экванта) для 45 значений аргумента средний аномалии, что дает нам 5·6·45 = 1350 расчетов. И всё это делалось исключительно с помощью циркуля, линейки и таблицы хорд. Насколько реально выполнить всю эту работу в одиночку – до сих пор открытый вопрос.
Но и это еще не все. Изложение теории движения планет Птолемей начинает с того, что по результатам наблюдений определяет средние смещения планет по долготе и по аномалии за год, за месяц, за сутки и за час. После этого для всех планет приводятся таблицы средних смещений по долготе и по аномалии на 45 циклов по 18 лет каждый, на каждый год одного 18-ти летнего цикла, на 12 месяцев одного года, на 30 суток одного египетского месяца, и на каждый час суток. Таким образом, имеем следующий объем расчетов:
– 5 планет;
– 2 параметра (смещения по долготе и по аномалии);
– 45 циклов по 18 лет (т.е. смещение планеты за каждые 18 лет);
– 18 лет в одном цикле;
– 12 месяцев в году;
– 30 дней в месяце;
– 24 часа в сутках;
что в сумме дает нам 5·2·(45+18+12+30+24) = 1290 значений, вычисленных Птолемеем вплоть до шестого шестидесятеричного разряда (абсолютно избыточная точность). В данном случае, разумеется, не требовалось строить комбинаций кругов, поскольку все значения получались простым сложением и умножением исходных величин, но масштаб выполненной работы все равно поражает.
«Планетарные гипотезы». Расстояния до небесных тел и их размеры у Птолемея
Поскольку теория эпициклов с самого начала создавалась для объяснения видимых движений на небесной сфере, то она не могла дать ответов ни на вопрос о расстояниях до планет, ни на вопрос об их размерах. Действительно, все решения в «Альмагесте» получены в форме отношений радиусов деферентов к радиусам эпициклов, либо – к размерам эксцентров. Сами по себе радиусы деферентов могут быть любыми, и это никак не повлияет на визуально наблюдаемые с Земли угловые перемещения. Для удобства вычислений Птолемей обычно принимает радиус каждого деферента за 60’, но при этом очевидно, что он не считает деференты небесных тел одинаковыми, хотя такое решение и могло бы представлять определенный интерес.
Свое решение данного вопроса Птолемей приводит в труде «Планетные гипотезы», который был написан позже «Альмагест», и фактически являлся его кратким пересказом, но с некоторыми дополнениями. За основу рассуждений берется сформулированный еще Аристотелем априорный принцип о том, что природа не терпит пустоты (и всего бесполезного либо ненужного). Отсюда делается такой вывод, что каждое небесное тело обязано занимать свою сферическую оболочку, ширина которой определяется из максимального и минимального удаления этого небесного тела от Земли. Эти оболочки плотно подогнаны друг к другу, и между ними не должно иметься никаких зазоров. Если как-либо установить порядок расположения планет, Солнца и Луны, то их оболочки окажутся строго совпадающими между собой. В такой формулировке задача могла дать лишь относительные расстояния до Земли, но Птолемей привлек еще некоторые соображения.
Во-первых, Птолемей знал реальные размеры Земли, определенные Эратосфеном. Во-вторых, он понимал, что Луна единственная имеет наблюдаемый параллакс, и потому ближе всего расположена к Земле, что подтверждается еще и тем фактом, что она регулярно затмевает Солнце и планеты. При этом расстояние до Луны может быть с высокой точностью определено уже известным нам способом. С несколько меньшим основанием Птолемей предположил, что небесные тела удалены от Земли тем дальше, чем длиннее их период обращения. Эта гипотеза не имела под собой исключительно эстетические основания, но дала условно верную последовательность Солнце-Марс-Юпитер-Сатурн в порядке их удаления от Земли (на самом деле Марс иногда оказывается существенно ближе к Земле, чем Солнце). Для Меркурия и Венеры, однако же, этот довод не работал, поскольку они, как и Солнце, совершают оборот вокруг Земли в среднем за один год. Здесь уже потребовалась вычислительная подгонка результатов, а кроме того, Птолемей, очевидно, исходил из общего принципа о том, что Солнцу следует находиться строго в середине всей системы. В результате он пришел к следующей последовательности
Земля-Луна-Меркурий-Венера-Солнце-Марс-Юпитер-Сатурн-Сфера звезд
а вычисленные им размеры небесных оболочек представлены в таблице.
Первое, что бросается в глаза при анализе размеров небесных оболочек, это то, Луна теперь действительно почти вдвое меняет свое удаление от Земли, что полностью противоречит наблюдениям. Если в «Альмагесте» излагалась просто вычислительная теория, которую современники именно так и воспринимали, то в «Планетарных гипотезах» Птолемей прямо говорит о реальном физическом мироустройстве. Противоречие с фактами игнорируется.
Вторым важным моментом является максимальный радиус оболочки Сатурна, равный 19865 радиусам Земли. Данное расстояние являлось одновременно и размером сферы звезд, то есть очерчивало границу всей вселенной. Даже если не говорить о том, что космос необозримо больше Солнечной системы, то и ее размеры Птолемей недооценил более чем в десять раз, хотя, разумеется, полученная им цифра все равно говорила о колоссальных расстояниях.
Более важным, однако, является то, что между Венерой и Солнцем у Птолемея остался небольшой зазор в промежутке между 1079 и 1160 земными радиусами. Дело в том, что максимальное расстояние до Луны было вычислено уже достаточно точно (истинное значение составляет 63,836), и сомневаться в нем не приходилось. Далее Птолемей взял свои же результаты из «Альмагеста» и совместил апогей Луны с перигеем Меркурия, а апогей Меркурия – с перигеем Венеры. Числа здесь выстраиваются в твердо определенную последовательность, и апогей Венеры приходит на 1079 радиусов Земли (это число не изменится, даже если поменять Меркурий и Венеру местами). Однако сам Птолемей ранее показал, что расстояние до Солнца никак не может быть меньше, чем 1160 радиусов Земли, и таким образом возник указанный зазор.
Птолемей честно признал, что не может объяснить причину возникшего противоречия: оболочки должны идеально плотно прилегать друг к другу, не оставляя никакого пустого пространства, однако цифры говорят о том, что оно есть. Далее выдвигается гипотеза, что, возможно, расстояние до Луны всё-таки несколько больше, чем это получалось из расчетов. Для такого предположения не имелось никаких оснований, но оно могло помочь, поскольку в таком случае Венера немного удалялось от Земли, а Солнце, наоборот – приближалось, ведь расстояние до него определялось с помощью метода затмений и зависело от положения Луны.
На самом деле нет никакого закона природы, согласно которому получаемые по теории деферента-эпицикла апогеи и перигеи планет должны четко выстраиваться между Луной и Солнцем, тем более Птолемей расположил последнее в двадцать раз ближе к Земле, чем оно находится в действительности. В самом деле, если в отношении Луны метод определения расстояний был весьма точным, то для Солнца он являлся боле чем сомнительным, почти спекулятивным, и мог дать сколь угодно большое значение. Однако в случае с зазором между Венерой и Солнцем проблема остается полностью на совести самого Птолемея.
Начать следует с того, что в «Альмагесте» лунный апогей оценен не в 64 радиуса Земли, а в 64,1667 (то есть 64 и 10/60), но для «Планетных гипотез», видимо, было решено использовать более «круглые» числа. Точно так же и для Венеры в «Альмагесте» приводится отношение апогея к перигею как 10425/60 к 1535/60, равное 6,70, а в «Планетных гипотезах» взяты округленные значения 104 к 16, дающие 6,5 (откуда и 1079/166 = 6,5). Такая погрешность в 0,2 единицы может показаться незначительной, однако в рассматриваемых масштабах только она одна дает дополнительно 33,2 земных радиуса. Впрочем, самое странное, что для Меркурия в «Альмагесте» указано отношение 9130/60 к 334/60, равное 2,767, но в «Планетарных гипотезах» Птолемей принимает 88/34 = 2,588 (64·2,588 = 165,647), и совершенно непонятно, как 91,5 превратилось в 88, а 33 в 34. Можно, конечно, предположить ошибку переписчика, но получается, что, ошибившись с цифрой, переписчик затем заново произвел все расчеты и заменил старые результаты на свои новые. Это кажется сомнительным. Наиболее вероятно, что геометр Птолемей просто не понимал всей важности аккуратных арифметических вычислений. В самом деле, если принять отношения в строгом соответствии с «Альмагестом», то максимальное расстояние до Венеры составит 1190 земных радиуса, что даже больше чем нужные 1160, и при незначительных округлениях можно было бы без труда идеально совместить все небесные оболочки. Даже удивительно, насколько хорошо согласуются числа, при том, что, как мы уже говорили, для этого нет никаких реальных физических оснований.
Что касается размеров небесных тел, то из видимых размеров Луны и Солнца, а также из вычисленных расстояний до них было совсем нетрудно определить их радиусы. Здесь было достаточно воспользоваться простой таблицей хорд. Размер Луны Птолемей оценил верно, и мог бы получить еще лучший результат, если бы принял очевидный факт того, что среднее расстояние до нее не меняется так сильно, как получалось в «Альмагесте». Угловой размер Солнца Птолемей также принял с приемлемой точностью, но оно было ошибочно помещено в двадцать раз ближе к Земле, чем следует, поэтому и его диаметр оказался в 20 раз меньше истинного.
К планетам, однако же, подобный подход применить было нелегко, поскольку на небесной сфере они выглядят просто точками. Из общих соображений вытекало, что Меркурий и Венера намного меньше Солнца, ведь они располагались (как считалось) ближе к Земле, но не имели при этом видимых дисков. По той же причине Марс, Юпитер и Сатурн не могли оказаться намного больше Солнца, ведь тогда у них имелись бы наблюдаемые угловые размеры. Больше никаких обоснованных выводов в данном случае сделать было нельзя. Телескопа греки не изобрели, хотя имели для этого все необходимые теоретические знания. Однако же Птолемей решил предложить свои значения для угловых диаметров планет, опираясь именно на исследования античных оптиков, одним из которых являлся и он сам.
Греки хорошо знали, что человеческий глаз способен различать объекты, чей угловой размер составляет не менее 1’. Это действительно так: все более мелкие источники света кажутся нам точками. В этой связи еще Гиппарх говорил, что видимые размеры самых тусклых звезд составляют 1/30 солнечного диска. А вот это уже совершенно неверно, поскольку достаточно яркие объекты будут отчетливо восприниматься в виде точечного источника света, даже если их угловой размер многократно меньше. Птолемей же исходил из того, что размеры планет обязательно должны быть больше, чем 1’, и потому в соответствии с их яркостью постулировал для них следующие угловые диаметры: для Венеры – 1/10 солнечного, для Юпитера – 1/12, для Меркурия —1/15, для Сатурна – в 1/18, для Марса – в 1/20. Эти цифры катастрофически велики по отношению к истинным, но поскольку удаленность планет полагалась намного меньше реальной, то оценка их размеров оказалась наоборот вполне приемлемой.
Меркурий по расчетам Птолемея оказался в 11,6 раз меньше, чем на самом деле, и в данном случае это была самая большая ошибка. Венера получилась сопоставимой по размерам с Луной, хотя в действительности она почти так же велика, как и Земля (ошибка в 3,5 раза). Марс оказался чуть больше Земли, хотя он почти вдвое меньше. Сатурн и Юпитер у Птолемея превосходили Землю примерно в четыре раза, тогда как истинные цифры 9,1 и 11 соответственно (ошибка в 2,2 и 2,6 раз), причем Юпитер оказался все же самой большой из всех планет, что соответствует действительности. Никаких метафизических проблем в том, что вокруг Земли обращаются столь большие небесные тела, Птолемей не увидел.