Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
Размеры Земли. Эратосфен
Как уже было сказано, Аристарх определил лишь относительные расстояния между Землей, Солнцем и Луной, а также их относительные размеры, но у него не имелось точных сведений о величине окружности Земли (измерить непосредственно Луну или Солнце было по понятным причинам затруднительно). Этим вопросом решил заняться уже известный нам Эратосфен Киренский, который, возможно, даже успел познакомиться с самим Аристархом, когда в 245 году до нашей эры перебрался из Афин в Александрию, чтобы обучать детей Птолемея III.
Сам Эратосфен называл себя филологом (что неудивительно, поскольку основу работы Музея всегда составляла литература), но в реальности был разносторонним человеком, обучавшимся у лучших грамматиков, поэтов и художников, а также у мудрых стоиков и платоников. Его блестящая карьера руководителя Александрийской библиотеки сочеталась с умением польстить членам царской фамилии, написать удачную эпиграмму, красивую поэму или философский трактат на актуальную политическую тему. Кроме того Эратосфен был дружен с Архимедом, и вместе они увлеченно обсуждали самые трудные вопросы математики и физики. Все основные труды Эратосфена утрачены, но на него часто ссылались более поздние авторы, благодаря чему мы хорошо понимаем, как он измерил окружность Земли.
Стоик Клеомед, живший полтора века спустя, сообщает следующее. Эратосфен знал, что в египетском городе Сиене (ныне Асуан) полуденное Солнце в день летнего солнцестояния находится прямо над головой, и предметы не отбрасывают тени. В этот же самый день в Александрии полуденное Солнце отклонено от вертикали на 1/50 круга, то есть на 7,2° или 7°12’. Эту цифру Эратосфен получил лично, проводя измерения с гномоном.
Поскольку предполагалось (несколько ошибочно), что Сиена расположена строго на юге от Александрии, то расстояние между этими городами должно составить 1/50 от всей окружности Земли. Путь от одного города до другого оценивали в 5000 стадиев, и эта цифра считалась установленной достаточно твердо, поскольку была определена профессиональными шагомерами – людьми, которые долго учились совершать шаги строго одинаковой длины (впрочем, едва ли возможно, чтобы расстояние точно оказалось кратным тысяче). Так или иначе, но отсюда следовало, что длина всего земного круга составляет 5000·50 = 250 000 стадиев. Позднее Эратосфен увеличил это значение до 252 000 стадиев, вероятно, для того, чтобы получить ровно 700 стадиев на один градус земной дуги. В данном случае мы видим очередное проявление твердой греческой веры в то, что мир обязательно устроен гармонично.
Непросто оценить точность результата, полученного Эратосфеном, ведь у греков отсутствовал общепринятый стандарт длины, а стадий понимался как расстояние, которое человек успевает пройти спокойным шагом за время восхода. Поскольку солнечный диск полностью появляется из-за горизонта примерно за две минуты, то человеку при средней скорости ходьбы удается пройти в среднем 170-210 метров. Судя по всему, уже Клеомед не мог сказать, какой же стадий использовал Эратосфен: вавилонский, греческий, аттический, египетский или принятый в системе фараонов. Указанный разброс дает нам значения радиуса Земли от 6900 до 8400 километров. При этом необходимо уточнить, что в действительности Сиена находится примерно на 3° к востоку от Александрии, но это невозможно было определить тогда никакими средствами. Если учесть данное отклонение, то рассматриваемая длина меридиональной дуги уменьшится на 7,7%, что существенно приблизит ее к истинному значению в 6371 километр. Учитывая это, мы должны признать, что выполненная Эратосфеном оценка размеров нашей планеты была проведена с удивительно высокой точностью.
Астрономические работы Архимеда
Нет сомнений, что Эратосфен обсуждал тайны вселенной со своим другом и коллегой Архимедом, однако о взглядах последнего на устройство космоса известно немногое. Выше мы уже рассказывали, каким образом он сумел определить, что угловой размер солнечного диска составляет 1/720 круга или 0,5°, а вот информации о том, как именно Архимед рассчитал расстояние до Луны, Солнца, всех известных планет и до сферы неподвижных звезд, не сохранилось. Едва ли нужно сомневаться, что геометрические построения и вычисления были выполнены на высочайшем уровне, но точность исходных данных, очевидно, оставляла желать лучшего. Длина экватора по Архимеду в 12 раз больше истинной, а отношение размеров Солнца и Луны определено как 30:1, тогда как в реальности оно составляет примерно 400:1. Расстояние до Солнца переоценено более чем в 5 раз. Ошибочность этих цифр (особенно касательно размеров Земли) была понятна уже некоторым современникам. Более того, Архимед оценил продолжительность года ровно в 365 дней, хотя к тому времени даже консервативные египетские жрецы согласились, что год длится 365 суток с четвертью.
Впрочем, большинство из указанных вопросов (кроме продолжительности года) не входили в круг непосредственных интересов античной астрономии, которой Архимед, безусловно, в должном объеме обучился у своего отца Фидия. В первую очередь требовалось определять положение планет в том виде, как они наблюдаются с Земли, и здесь талант Архимеда-механика проявил себя во всем своем великолепии. Изготовленная им небесная сфера (а судя по всему, было собрано несколько механизмов такого рода) моделировала фазы Луны, движения пяти планет, а также солнечные и лунные затмения. Для работы такого устройства требовалось изготовить искусный привод и точные зацепления деталей, аккуратно подобрав передаточные числа между колесами и сферами, а вот удаленность планет друг от друга была почти неважна, и ей можно было пренебречь.
Уточнение расстояний до Луны и Солнца. Гиппарх
Впрочем, раз уж вопрос о размере мира оказался поднят, то не могло случиться так, чтобы никто не попытался отыскать на него ответ. Самое точное в античном мире измерение расстояния между Землей и Луной было проведено Гиппархом, человеком, о котором нет практически никакой информации. Непонятно даже, когда он родился и умер, однако сделанные им астрономические наблюдения охватывают период с 162 до 127 годов до нашей эры, и это дает хоть какую-то привязку по времени. Вероятно, Гиппарх родился в Никее, но большую часть жизни провел на Родосе, где изучал небо и вел обширную переписку с учеными Александрии и Вавилона. Возможно, он даже посещал эти города, однако убедительных данных об этом нет. Из его огромного научного наследия сохранилась только критика поэмы, написанной Аратом на основе наблюдений Евдокса, но некоторую информацию удается почерпнуть в «Географии» Страбона, «Альмагесте» Клавдия Птолемея и «Математическом собрании» Паппа Александрийского.
Гиппарх написал две книги, в которых излагал различные способы определения расстояний до Луны и Солнца. В первой книге рассматривалось солнечное затмение 129 года до нашей эры. В тот день Луна полностью закрыла Солнце при наблюдении из Никеи (обозначена H на чертеже), но одновременно с этим в Александрии (обозначена A) Солнце было закрыто лишь на 4/5 своего диаметра. Поскольку ранее Гиппарх установил, что видимые размеры Луны и Солнца почти одинаковы, и составляют 1/650 часть круга (примерно 0,55° или 33’), то несложно понять следующее: в момент затмения разность углов между направлениями на Луну от Никеи и Александрии составляла 1/5 от 0,55°, то есть 0,11°.
Здесь Гиппарх исходил из того, что Солнце находится очень далеко и его параллакс пренебрежимо мал (это действительно так, поскольку смещение Солнца при наблюдении из различных точек Земли невозможно заметить невооруженным глазом). Для Луны же параллакс оказывается весьма значительным, и в зависимости от положения наблюдателя Луна кажется смещенной от расчетного положения относительно звезд и Солнца. Греки объясняли это тем, что движение Луны происходит относительно центра Земли, а наблюдатели всегда находятся на ее поверхности, поэтому расстояние от них до Луны заметно изменяется (это можно считать верным даже с точки зрения современной физики).
Поскольку полагалось (и это близко к истине), что Александрия и Никея находятся на одном меридиане, а их широты (31° и 40° северной широты соответственно) были твердо установлены из наблюдений за Солнцем и сомнений не вызывали, то был известен и угол ϕ = 9° между H и A. Также были тщательно измерены направления на Луну в момент затмения. Иными словами в системе треугольников между точками T, L, A и H были известны все углы, а кроме того отрезки TH и TA являлись радиусами Земли. Далее оставалось лишь произвести трудоемкие, но вполне понятные тригонометрические вычисления, для которых Гиппарх самостоятельно составить подробную таблицу хорд (аналог таблицы двойных синусов). Также Гиппарх учел обнаруженное им ежемесячное изменение видимого размера Луны (для Солнца этот эффект не наблюдался), после чего установил, что расстояние от Земли до Луны изменяется в диапазоне от 71 до 83 радиусов Земли (реальная средняя величина составляет 60 радиусов Земли).
В другой своей книге Гиппарх приводит метод определения расстояния до Луны, практически аналогичный тому, что использовал Аристарх, но с учетом ряда уточнений:
– суточный параллакс Солнца принят максимально возможным и равный 7′ (большую величину, по мнению Гиппарха, уже можно заметить без специальных оптических инструментов), что дает нам минимально возможное расстояние;
– во время лунного затмения ширина земной тени составляет 2,5 диаметра Луны.
В результате вычислений получалось, что расстояние до Луны находится в пределах от 62 до 72,66… радиусов Земли. Расстояние до Солнца при этом составило 490 земных радиусов (у Аристарха получилось 392 радиуса).
Поскольку самое большое расстояние до Луны, определенное вторым методом, оказалось лишь чуть больше самого малого значения для первого метода, Гиппарх был вынужден признать наличие некоторых неточностей в своих построениях и исходных данных. В первую очередь указанная проблема была вызвана слишком большой величиной, принятой для Солнечного параллакса, а если уменьшать его значение, то среднее расстояние до Луны в схеме Гиппарха будет стремиться к 59 земным радиусам при истинном значении в 60. Цифра 7′ была выбрана из общих соображений и не имела под собой никаких серьезных оснований, причем Гиппарх это понимал, но ему не пришло в голову повторить свой расчет для иных исходных данных.
Геометрические построения, которые требуется произвести для определения расстояния до Луны по ее параллаксу, не так уж и просты. В качестве исходных данных примем угол между широтами Александрии и Никеи ϕ, а также углы α и β направлений на Луну, отмеренные от вертикалей в точках наблюдения. Обозначим центр Земли как Т, а центр Луны как L. Введем также вспомогательную точку K в месте пересечения прямых TA и HL.
Как легко увидеть, в треугольнике THK угол при вершине H будет равен 180°-β, а угол при вершине K будет составлять 180°-(180°-β)-ϕ = β-ϕ. Аналогично, в треугольнике AKL угол при вершине K будет равен 180°-β+ ϕ, а угол при вершине L составит β-ϕ-α.
Поскольку Т является центром земли, то TH = TA = RT, и мы можем воспользоваться теоремой синусов (чего не мог сделать Гиппарх, поскольку в античности не знали этой теоремы и применяли куда более сложные преобразования), согласно которой в любом треугольнике длина каждой стороны пропорциональна синусу противолежащего угла. Иными словами
и
Теперь для треугольника TAL мы можем применить теорему косинусов (которую Гиппарх также не знал) и определить расстояние до Луны
В последней формуле нам известны уже все величины, выраженные через радиусы Земли, поэтому необходимо лишь подставить их под корень и произвести расчет.
Что касается вычислений, то перед Гиппархом стояла еще одна трудность. Дело в том, что в арсенале античных математиков отсутствовали не только тригонометрические теоремы, но и понятия синуса и косинуса. Вместо них использовали понятие хорды угла, которое определялось следующим образом. Пусть имеется угол θ, и через его вершину проведена окружность единичного радиуса. Хордой называться отрезок, соединяющий точки пересечения лучей угла с окружностью.
Несложно увидеть, что хорда угла 
поэтому ясно, что для тригонометрических вычислений достаточно составить подробную таблицу хорд углов (проделав огромное число построений и расчетов), и она вполне сможет заменить таблицу синусов, хотя пользоваться ей будет не так удобно.
В большинстве случаев длины хорд будут выражаться достаточно сложными дробями, для работы с которыми грекам подходили только лишь вавилонские цифры. Именно поэтому в античных астрономических расчетах, и вообще в любых расчетах, связанных с делением круга на части, обычно использовали шестидесятеричную систему счисления. Так, например значение хорды для угла 45° записывалось как 45 55 19, и это необходимо было понимать (из контекста полагалось очевидным, что речь идет о числе меньше единицы) следующим образуемом
Истинное значение указанной хорды составляет 0,7653669…, так что точность античных вычислений была выше любых возможных практических потребностей.
Звездный каталог Гиппарха. Продолжительность года. Прецессия
Если говорить о других астрономических достижениях Гиппарха, то величайшим из них, бесспорно, является звездный каталог, в котором указаны небесные координаты более 800 звезд. К этому моменту ученые Александрии уже полтора века вели точнейшие наблюдения и накопили немало данных, но когда в 134 году до нашей эры в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда, Гиппарх понял, что необходимо детально описать надлунный мир, в котором, как оказалось, тоже возможны изменения. Положение и яркость каждой звезды требовалось тщательно зафиксировать, чтобы мудрецы будущего могли безошибочно определить, не появилось ли на небесах новое светило, не исчезло ли какое-либо из старых, не изменилась ли их светимость, не переместились ли они в другое место. Последний момент особо важен, поскольку Гиппарх, очевидно, допускал возможность движения отдельных звезд, что несовместимо с античным представлением об их жестком закреплении на особой сфере.
До недавнего времени считалось, что звездный каталог Гиппарха утерян (хотя и предполагалось, что Птолемей полностью скопировал его себе, добавив лишь некоторое число новых данных), однако в 2022 году часть текста удалось восстановить со средневековой христианской рукописи, которая была написана поверх смытого каталога.
Также Гиппарх определил продолжительность тропического (солнечного) года в 365+1/4-1/300 суток, что всего на 6 минут длиннее истинного значения (такого, каким оно было во II веке до нашей эры, поскольку эта величина постепенно меняется). Данный результат, вероятно, был получен исходя из промежутка времени между двумя летними солнцестояниями, одно из которых в 280 году до нашей эры наблюдал Аристарх (или его ученики) в Александрии, а другое – сам Гиппарх на Родосе в 135 году до нашей эры. Впрочем, вполне убедительна и такая версия, что Гиппарх просто подставил в метонов цикл (235 лунных месяцев равны 19 солнечным годам) продолжительность лунного месяца в 29 дней 31'50''08'''20'''' (в шестидесятеричной системе счисления), которую позаимствовал у вавилонских астрономов.
Одновременно с этим Гиппарх установил, что продолжительность сидерического года составляет 365+1/4+1/144 суток, то есть он на 14,8 минут длиннее тропического (эта величина очень близка к истине). Иными словами, когда Земля сделает полный оборот вокруг Солнца, наблюдатель увидит его, а также звезды в другом месте неба, и причиной этого явления является прецессия Земли.
На этом моменте следует остановиться подробнее. Измерения Гиппарха оказались столь точны, что он обратил внимание на одно незамеченное прежде явление. Небесная долгота (или прямое восхождение, то есть длина дуги небесного экватора от точки весеннего равноденствия до небесного меридиана, на котором находится наблюдаемый объект) звезды Спики – самой яркой в созвездии Девы – на целых 2° отличалась от той, которую полтора века назад зафиксировал александрийский астроном Тимохарис. При этом положение Спики относительно других звезд осталось прежним, а, значит, переместилось именно положение Солнца во время равноденствия. Предположение о собственном движении звезд пришлось отвергнуть, поскольку их широты за прошедшие века никак не поменялись, то есть смещение произошло строго вокруг земной оси (конечно, это могло означать как смещение Солнца, так и звездой сферы, либо их совместные движения, но для земного наблюдателя тут нет никакой разницы).
Несложно посчитать, что следовало из полученных данных: точка равноденствия смещается на 1° за 75 лет, а полный круг по зодиаку она совершает за 75·360 = 27 000 лет. Истинное значение составляет примерно 25 776 лет (1° примерно за 72 года), и можно лишь восхищаться тем, насколько точным оказался прогноз Гиппарха касательно события, которое занимает десятки тысяч лет. Впрочем, механизм данного явления был тогда совершенно непонятен, и оставался таковым до работ Исаака Ньютона. На самом же деле равноденствия происходят в те дни, когда отрезок Земля-Солнце перпендикулярен земной оси, но поскольку Земля полагалась неподвижной, то едва ли кто-нибудь в античности мог предположить, что земная ось медленно прецессирует, отчего ее направление постоянно изменяется, и равноденствие каждый раз наступает чуть раньше, чем в предшествующий год.
Любопытно также, что именно из-за прецессии точек равноденствия мореходам во времена Гиппарха приходилось определять направление на север приближенно по созвездиям Большой и Малой Медведицы, а не по Полярной звезде, поскольку она располагалась достаточно далеко от полюса мира. Две тысячи лет назад земная ось еще не была направлена на Полярную звезду, хотя и сейчас их совпадение, разумеется, не абсолютно, поскольку нет никакого закона природы, предписывающего какой-либо звезде совпадать с осями вращения планет.
Промежуточные итоги развития греческой астрономии
Со времен примерно соответствующих жизни Платона шарообразность Земли считалась общепризнанной среди всех образованных людей. Исключение составляли разве что последователи школы Эпикура, который отказался практически от всех достижений современной ему натурфилософии, причем в большинстве случаев это было вполне разумно, ибо астрономия была одной из немногих областей знания, где эллины сумели по-настоящему понять некоторые явления природы. Впрочем, знания о небе по большей части использовались для астрологических гаданий и составления гороскопов, так что эпикурейцы в любом случае потеряли немного.
Что же касается основной массы грамотного населения Средиземноморья, которое плохо разбиралось в астрономических премудростях, то для этих людей Земля по-прежнему оставалась плоской. Полагалось вполне достоверным, что в Индии, где Солнце встает, оно кажется в десять или даже в сто раз больше привычного размера. То же самое можно было якобы наблюдать и на западе от Гадеса (Кадиса), где происходили закаты. Опускаясь в океан, Луна и особенно Солнце заставляют воду кипеть, а твердый купол неба не позволяет ветру унести облака прочь в космос. Многие писатели и поэты описывали мир в таком или подобном свете, выдавая народные суеверия и фантазии за точную истину. Даже философы, хоть и приводили вслед за Аристотелем множество доказательств шарообразности Земли, но обычно пренебрегали самым весомым его аргументом о том, что падающая на Луну земная тень неизменно имеет идеально круглые края. Сложно сказать, в чем тут причина: в том, что последующие авторы не понимали данного объяснения (это странно, поскольку оно весьма очевидно), или не считали его убедительным, но в ход обычно шли любые иные доводы – от метафизических до религиозных.
Общий масштаб размеров нашей планеты тоже стал понятен достаточно рано. Аристотель без всяких ссылок на источник приводит длину экватора в 400 000 стадиев, а Архимед, видимо, опираясь на чьи-то ранние и неточные вычисления, снижает ее до 300 000 стадиев. Посидоний придерживался того же мнения, а Эратосфен с помощью достаточно точных расчетов уменьшил эту цифру до 252 000 стадиев. Хотя все эти результаты являются несколько завышенными, но они, тем не менее, давали довольно верное представление о величине Земли.
Определить размеры других планет, а также расстояния между ними оказалось на порядок сложнее. Этому препятствовало как отсутствие точных инструментов, так и закрепившаяся в умах философов пифагорейская идея о музыкальной гармонии, что управляет космосом (от этой мысли начали отказываться лишь к концу Средневековья). Уже Аристарх вычислил, что Солнце намного больше Земли и удалено от нас на почтенное расстояние, однако его цифры были много меньше истинных. Эратосфен и Гиппарх увеличили точность своих вычислений, но не внесли в общее понимание проблемы ничего принципиально нового. Если диаметр Луны и расстояние до нее оценивались более ли менее правильно, то удаленность и размеры Солнца определялись на основании почти произвольных допущений. Проблема находилась попросту вне досягаемости инструментальных возможностей античных астрономов, большинство которых вообще не верили, что Солнце может располагаться очень уж далеко.
Так или иначе, но фантастические идеи ранних философов об устройстве Космоса постепенно сменились механистическим моделям, основанным на реальных фактах, точных наблюдениях и сложных вычислениях. Если египетские и вавилонские жрецы рассматривали только плоские движения светил по небу, то греки сделали безусловный шаг вперед и начали строить орбиты небесных тел в пространстве. В этом вопросе, безусловно, лидировала александрийская школа, собиравшая лучшие умы со всего эллинистического, а затем и римского мира. Для всех, кто хоть немного разбирался в астрономии, стало очевидно, например то, что кометы никак не могут образовываться при соединении планет, поскольку последние всегда находятся на огромном расстоянии друг от друга, даже если нам визуально кажется, что они сблизились. С другой стороны вселенную все еще представляли как относительно небольшое пространство, ограниченное звездной сферой (хотя это и не означало, что за ней совсем ничего нет).
А самое важное, что все астрономические достижения эллинов обладали одной неприятной особенностью – они не позволяли делать точных расчетов, а, следовательно, составлять правильные гороскопы. Математики не могли дать астрологам (в основном это были одни и те же люди) точных положений планет в прошлом и будущем, а потому требовались принципиально иные геометрические модели, которые обеспечили бы, наконец, необходимую точность. И такие модели были построены.