Дмитрий Александрович Фёдоров
Природа боится пустоты
Механика при римлянах
Наступление римского владычество полностью изменило направление развития античной науки. Впрочем, на первый взгляд, поменялось немногое: достижения греческой мысли были переняты Римом, который в полной мере осознавал культурное и превосходство эллинов. Александрийский Мусейон перешел под личное покровительство императоров, а членство в нем стало почитаться за особую привилегию. Впрочем, как и раньше, там занимались в основном литературой и филологией, дабы догматизировать олимпийскую мифологию и позволить общине греков и римлян сохранить себя в иноязычной египетской среде. Естественнонаучная деятельность выступала лишь как дополнительный инструмент, с помощью которого ученые-жрецы служили музам.
Новые хозяева Средиземноморья, однако же, не имели склонности к абстрактному философствованию – ошеломляющий успех римлян обеспечивался в первую очередь их приземленной и циничной практичностью. Мода на греческую культуру носила во многом декоративный характер, не отличаясь ни глубиной, ни по-настоящему живым интересом. Большая часть эллинского наследия так никогда и не будет переведена на латынь, а сами римляне почти не учили чужих языков. Кроме того, неустойчивая структура Империи с ее грандиозной столицей и громадными плохо управляемыми территориями, непрекращающимися социальными волнениями и внешними нашествиями, экономической нестабильностью и разложением общества – всё это требовало не отвлеченного теоретизирования, а работающих решений.
Колоссальное по масштабам строительство нуждалось существенно усилило интерес непосредственно к технике, которая и до того хоть и медленно, но непрерывно развивалась усилиями мастеров и ремесленников, а теперь еще и превратилась в предмет серьезного научного анализа. Греческая наука, однако же, оказалась чрезмерно громоздкой и неоправданно сложной, поэтому ее пришлось упростить и приспособить для хозяйственных нужд. Не только лишь военная мощь, но во многом (если не в главном) именно повсеместное использование разнообразных механизмов, равно как и способность организовать сложнейшие строительные работы, обеспечили долгие века римского могущества.
Архитектура. Витрувий
Одним из первых и достаточно характерных примеров римского подхода к сочетанию науки с техникой является классическое сочинение Марка Витрувия Поллиона «Десять книг об архитектуре», посвященное императору Октавиану Августу. О самом авторе данного трактата известно немногое (даже полное имя вызывает сомнение у историков) и в основном с его же собственных слов. Получив с юности профессиональное образование, он занимался сооружением военных машин в войсках Юлия Цезаря и немало попутешествовал вместе с ним по Европе. Не обладая, однако же, должной хваткой и настойчивостью, Витрувий не сумел извлечь выгоды из близости к будущему властителю Рима и потому, уже при Августе, служил скромным гражданским инженером, почти не получая крупных денежных заказов. Время для литературной деятельности появилось у него лишь после того, как, пользуясь покровительством сестры императора, он сумел выхлопотать себе кое-какую пенсию.
Нужно отметить, что в середине I века до нашей эры, когда жил Витрувий, архитектура Рима еще не достигла своего величия. В городе существовал всего один каменный театр, а общественных терм и амфитеатров не было вовсе. Гладиаторы бились прямо на площадях. Здания из обожженного кирпича только начали появляться, а кирпично-бетонных сводов Витрувий не знал вовсе. Латинских книг по архитектуре существовало очень мало, но потребность в них имелась, ведь Империя росла и богатела, а ее столица нуждалась в новых величественных постройках. Стремительное военное расширение позволило временно унять раздиравшие страну социальные противоречия, а череда кровавых диктаторов сменилась, наконец, фактическим установлением монархического строя при Августе. Предстояло грандиозное строительство, дабы Рим мог соответствовать божественному статусу нового Императора. Кроме того сразу же возникла необходимость обеспечить жильем толпы пролетариата, стекавшегося в богатую столицу, а также благоустроить город, провести водопровод, проложить дороги и возвести множество административных зданий. Античность еще не знала столь масштабных и стремительных строительных проектов, однако Рим, несмотря на всю его политическую, военную и экономическую мощь оставался в плане архитектуры и техники лишь провинцией эллинистического мира. В своей книге Витрувий добросовестно ссылается на многих греческих авторов и одновременно упоминает лишь нескольких соотечественников.
Очевидно, Витрувий сумел осознать происходящие на его глазах перемены и потому написал максимально полную энциклопедию всех существовавших тогда технических знаний. Собственно, архитектура в его понимании это не только само строительное искусство, но в равной степени изготовление часов, а также сооружение различных механизмов и военных машин. Все это требует в равной степени как практических навыков, позволяющих выполнить здание по чертежу, так и теоретической подготовки, позволяющей исполнить работу по всем требованиям искусства и целесообразности. Лишь те мастера, которые одинаково хорошо постигли и практику, и теорию, смогли добиться признания.
Так, грамотность позволяет поддерживать память записями, а знание живописи и геометрии помогает создавать чертежи и планы. Арифметика нужна для составления сметы и вычисления размеров постройки. Знание истории дает возможность правильно украсить здание и выдержать его в необходимом стиле. Изучение философии возвышает архитектора нравственно и приучает стремиться к поддержанию достоинства своего имени, а не к наживе. Также именно философия изучает основные физические явления, без понимания которых работа архитектора просто невозможна. Музыка способствует лучшему усвоению математики, равно как позволяет на слух определить точность натяжения веревок и тросов. Умение выбрать места для зданий и спланировать город невозможно без понимания основ гигиены, физиологии, а также учета особенностей климата. Чтобы разбираться в строительных материалах, следует изучить геологию, минералогию и ботанику. Колодцы и водопроводы нельзя построить без знания почвоведения. Возведение театров подразумевает использование правил акустики и гармонии, а для создания солнечных часов требуются знания астрономии. Сооружение подъемников и метательных машин базируется на учении о рычагах. Наконец, правильное освещение и красота зданий выводятся из законов оптики, а также пропорций человеческого тела, заключающего в себе (и это являлось несомненным для античности) все числовые пропорции вселенной. Также полезно знать и юриспруденцию, дабы у владельцев построек не возникало поводов для тяжб, а городские законы не оказались нарушены. Завершив данный перечень, Витрувий отмечает, что у многих людей возникает сомнение, будто бы одному человеку под силу изучить все перечисленные науки, однако при должных способностях и старании это все-таки вполне возможно, тем более что нет необходимости достигать везде совершенства, но достаточно лишь усвоить самое необходимое.
Как можно видеть, теория тут всецело ставится на службу практике. Впрочем, сам Витрувий далеко не в полной мере владеет теми знаниями, которые требует от архитекторов. О древних натурфилософах он пишет весьма поверхностно, а его рассуждения об эстетике туманны и неконкретны. Расчет зданий понимается исключительно в бухгалтерском смысле, а также в исчислении размеров и объемов построек. Единственные рекомендации касательно прочности заключаются в совете заглублять фундамент и не экономить на качественном материале. Особенно же любопытной для нас является десятая книга трактата, которая посвящена учению о машинах, то есть тому, что и составляло для римлян всю механику как таковую.
Согласно Витрувию, машина есть соединение деревянных частей, обладающее огромными силами для перемещения тяжестей. Это, чересчур общее определение, включает и строительные леса, и подъемные механизмы, и метательные орудия, и пневматические устройства. Поскольку всякое движение любой машины сводится у Витрувия к круговому, то совершенно очевидно, что общие теоретические сведения он черпал из «Механических проблем». При этом весь математический аппарат оказался выкинут, а словесные пояснения переписаны весьма расплывчато. Так, например, выигрыш в силе объясняется соединением в рычаге таких абсолютно различных вещей, как прямая и круговая линии, каждая из которых по-отдельности неспособна совершить какой-либо работы. Интересно, однако, то, что даже такое туманное обоснование, по сути, никак не используется. Слепо следуя за греческим первоисточником, Ветрувий, похоже, совсем не понимает теоретической концепции «Механических проблем». Все машины он сводит к рычагу, но сам рычаг – не просто к кругу, но к реальным весам (концы которых движутся по окружностям), причем их устройство описывается достаточно подробно. Римский инженер-практик оказывается бессилен перед мощью греческого анализа, и потому закон рычага объясняется простым эмпирическим примером. Здесь автор даже не замечает логической ошибки: механизм объясняется через круговое движение, а оно само – снова через механизм (весы). Но и этого мало – все примеры сведения простых приспособлений к рычагу Витрувий переписывает из тех же «Механических проблем», хотя они не имеют ни малейшего отношения к строительному делу.
Закончив это краткое теоретическое отступление, наличие которого в «Десяти книгах об архитектуре» нельзя объяснить ничем, кроме моды на эллинистическую мудрость, Витрувий начинает обстоятельно и со знанием дела описывать конструкцию и способы изготовления различных водяных колес, насосов, метательных машин и осадных орудий. В целом весь трактат является сборником полезных инструкций, советов и рецептов, проверенных на опыте и гарантированно дающих надежный результат. Практическая ценность данного текста была огромной – его читали, на него ссылались, его копировали. Научная же составляющая, хоть на словах теория и ставилась высоко, но в действительности являла собой огромный шаг назад. Тем не менее, поскольку данный трактат оказался единственным сохранившимся античным текстом об архитектуре, он был достаточно хорошо известен в Средневековье, а его влияние на мыслителей ренессанса оказалось поистине колоссальным.
Вершина античной механики. Герон Александрийский
Следующую попытку соединить достижения римской ремесленной механики с омертвевшей греческой наукой мы находим в трактатах Герона Александрийского, который жил и работал веком позже Витрувия. На самом деле точных сведений о биографии Герона нет, а наиболее обоснованная версия, что он жил в первом веке нашей эры, опирается на попытки датировать описанные им лунные затмения (точность тут составляет буквально плюс-минус двести лет). Косвенным подтверждением также может выступать описываемый Героном уровень развития техники. В его произведениях «Пневматика», «Об автоматах», «Беллопоэтика» и «О диоптре» рассмотрено множество хитроумных устройств: механизм для открывания дверей, пожарный насос, водяной орган, различные военные машины, геодезические приборы и даже небольшая паровая турбина. Подобное разнообразие сложных приспособлений наиболее ожидаемо встретить именно в период расцвета Империи.
Научное наследие Герона чрезвычайно обширно – он писал работы по математике, физике, технике и архитектуре, создавая понятные и доступные для всех энциклопедии, позволяющие как приобщиться к научной мудрости, так и получить полезные практические советы. Слава Герона-инженера была огромной. В своем труде «Механика» он постарался собрать воедино все известные на тот момент технические сведения. Хотя трактат и носит в основном прикладной характер (во многом это просто отражение запросов времени), но, поскольку автор работал не в Риме, а в эллинистическом Египте, то греческая наука включена в текст чуть более органично, чем это получилось у Витрувия. Впрочем, большинство положений дается безо всяких доказательств, как готовый результат, уже обоснованный другими авторами, чей авторитет не подвергается сомнению. Сама «Механика» дошла до нас лишь в арабском переводе и состоит из трех малосвязанных и разнородных по содержанию книг, лишенных какой-либо традиционной для античности вводной части, где разъяснялись бы цели и методы работы автора. Хотя, быть может, введение просто не сохранилась.
В первой книге, составленной из множества различных источников, Герон приводит основы механики как науки, но делает это плохо, поскольку не понимает самой сути строгих научных построений, а все теоретические положения принимает догматически, поскольку они уже разобраны «древними». Вместо перечисления аксиом и постулатов книга начинается описанием лебедки с зубчатым зацеплением, а затем следуют некоторые вопросы, плохо и нечетко переписанные из «Механических проблем». Также приводится достаточно запутанный, но вполне рабочий способ геометрического построения зубцов шестерни для сцепления в червячной передаче.
Лишь в самом конце первой книги мы встречаем по-настоящему новые и оригинальные мысли. Так, подвергается сомнению общепринятое в античности мнение, что покоящийся на земле груз можно привести в движение лишь силой эквивалентной его весу. На самом деле, заявляет Герон, эта сила может быть очень малой. В самом деле, если хоть немного наклонить плоскость, на которой лежит груз, то он начнет скатываться вниз, если только ничто его не подпирает. Таким образом, чтобы оставаться на месте, телу требуется именно подпирающая сила, а вот для движения вниз никакая сила не нужна, ведь это просто естественный процесс. Несложно понять, что чем меньше угол наклона, тем меньшая подпирающая сила нужна, чтобы удерживать груз в равновесии. Если же подпирающая сила окажется хоть немного больше нужной, то тело станет двигаться уже в обратном направлении, то есть – вверх. На горизонтальной же плоскости груз уже пребывает в равновесии и ничем не удерживается, но гипотетически готов наклониться в любом направлении, поэтому нужна лишь незначительная сила, чтобы заставить его двигаться.
Как несложно понять, всё приведенное доказательство исходит из того, что груз обязательно является равномерным и гладким. В реальности же, поясняет Герон, у соприкасающихся тел всегда имеются шероховатости, которые зацепляются подобно зубчатым колесам, отчего и создается некоторое сопротивление движению. Влияние сил трения, однако же, никак не исследуется.
Далее идут некоторые рассуждения о том, почему тело вообще скатывается по наклонной поверхности. Дело в том, отвечает Герон, что если провести через точку касания вертикальную плоскость, то она поделит тело на две неравные части, причем большая из них (обозначена как B на нашем чертеже) будет находиться ниже меньшей (обозначена как A на нашем чертеже) и потянет все тело вниз. Чтобы остановить движение, необходимо, по мнению Герона, подвесить с противоположной стороны тяжесть, равную разностью между B и A. Данные соображения носят исключительно описательный характер, влияние угла наклона никак не исследуется, объекты сложной формы не рассматриваются, никаких математических законов равновесия на наклонной плоскости не выводится.
Отдельно разбираются понятия центра подвешивания и центра тяжести. О первом говорится, что это такая точка, подвешивание за которую оставляет систему в равновесии. При этом Герон, похоже, не понимает, что эта формулировка, по сути, и определяет цитр тяжести, который почему-то полагается чем-то иным, а именно – точкой пересечения вертикальных плоскостей, идущих от всевозможных мест подвешивания тела. Приводится даже сложное доказательство того, что в любом теле существует только один центр тяжести: тело много раз мысленно поворачивается и делится на равные части вертикальной плоскостью, после чего показывается, что предположение о пересечении данных плоскостей в различных точках приводит к абсурду. Суть доказательства вполне эллинистическая, но по форме оно дано не в виде последовательных аксиом и теорем, а в нечетком и сжатом изложении. Скорее всего, это место было переписано у Архимеда, которого Герон понял неудовлетворительно.
Закон рычага у Герона формулируется кратко, буквально одним предложением, зато дополнительно дается несколько интересных пояснений. В том числе отмечается, что реальный рычаг сам имеет некоторый вес, поэтому нельзя буквально понимать условие обратной пропорциональности между длиной плеч и весом грузов. В самом деле, предположим, что два различных груза уравновешены на физических весах, как это показано на чертеже. Если теперь отрезать те части весов, которые выступают за точки подвеса, то равновесие нарушится (действительно, от уравновешенной системы отсекли слева больше массы, чем справа), хотя расстояние между грузами и точкой опоры не изменилось. Это, чрезвычайно остроумное доказательство, к сожалению, никак не развивается – Герон даже не пытается сформулировать математические соотношения равновесия для физического рычага.
Статика сооружений у Герона
Наиболее же интересный раздел первой книги «Механики» посвящен статике сооружений и составлен со ссылкой на несохранившийся трактат Архимеда «Об опорах» (Герон прямо пишет, что из первоисточника взяты лишь вопросы, ксающиеся количественных измерений, поскольку именно это требуется учащимся по его трактату). Рассматривается проблема распределения веса горизонтальной балки на несколько подпирающих ее колонн. С самого начала безо всякого доказательства полагается очевидным, что равномерная балка, лежащая своими концами на двух колоннах, нагружает каждую из них половиной своей тяжести. В самом деле, если принять вес балки за P, то на точки A и B приходит одинаковая нагрузка, равная P/2.
Далее Герон усложняет задачу и рассуждает следующим образом. Если поместить между двумя колоннами третью, то для вычисления нагрузок необходимо мысленно разрезать балку над каждой точкой опоры. Поскольку в таком случае никаких дополнительных перемещений не произойдет, то и распределение тяжести останется прежним. Теперь задача сводится к предыдущему случаю: мы имеем балки AC и CB, каждая из которых опирается концами на две колонны. Поэтому, согласно Герону, левая колонна воспримет нагрузку PAC/2, центральная – нагрузку PAC/2+ PCB/2, а правая – нагрузку PCB/2. Иными словами, на центральную колонну, где бы она ни располагалась, придет половина от веса балки, а его вторая половина распределяется между крайними колоннами в соответствии с отношением длин CB/AC. Данное рассуждение затем распространяется Героном на любое число колонн.
Предложенное решение задачи с тремя колоннами абсолютно неверно, ведь после разрезания балки в ней полностью меняется распределение внутренних сил. В общем случае системы такого рода (если опор более двух) являются статически неопределимыми и не могут быть рассчитаны без учета деформирования элементов конструкции. Поскольку иных античных источников по данной теме не сохранилось, то нет никакого способа определить, кто именно – Архимед или Герон – допустил тут ошибку.
Также неверно Герон рассуждает и тогда, когда рассматривает балку, конец которой выступает за одну из колонн. Поначалу ход рассуждений, в общем-то, верен. Предположим, что балка размещена на опорах A и C, тогда вес PCB должен уравновеситься равным ему весом PB’C левой части балки. Весь этот вес 2·PCB будет восприниматься колонной C. Оставшийся же вес PAB необходимо каким-то образом разделить между обеими колоннами, и Герон ошибочно распределяет его поровну, хотя отлично знает закон рычага и вполне мог бы отнести на каждую из опор такую часть от груза, которая была бы обратно пропорционально расстоянию до его центра тяжести.
Еще более удивительно, что рассматривая балку, на которой подвешены различные дополнительные грузы, Герон вдруг вспоминает про закон рычага и дает совершенно правильное решение. Пусть на балке весом P подвешены грузы P1 и P2. Тогда в современных обозначениях на колонну A приходит нагрузка равная
а на колонну B приходит нагрузка
Интересно, что Герон умеет решать даже пространственные задачи. Когда требуется определить нагрузки, приходящие на колонны, подпирающие вершины треугольника, предлагается следующий порядок действия. Вес P треугольника ABC (левый чертеж) можно полагать сосредоточенным в его центре тяжести O, то есть на 1/3 длины медианы AM, если считать от основания BC. В соответствии с законом рычага на опору A придет тяжесть равная P/3, а на точку M придет тяжесть 2·P/3. Поскольку BM = MC, то тяжесть из точки M распределится между опорами B и C поровну, то есть на каждую из них тоже придет нагрузка равная P/3. Таким образом, получен абсолютно правильный вывод: каким бы не был треугольник, но опоры в вершинах всегда воспринимают одинаковую нагрузку.
Отдельно рассматривается случай, когда в любом месте треугольника (точка K на правом чертеже) расположен произвольный груз весом Q. В данном случае Герон рассуждает так. Проведем прямую через точку K и одну из вершин треугольника. В таком случае, очевидно, на опору A придет нагрузка Q·NK/NA, а на точку N придет вес Q·KA/NA. Далее легко увидеть, что на опору B приходится тяжесть Q·(KA/NA)·NC/BC, а на опору C – тяжесть Q·(KA/NA)·BN/BC.