полная версия

Олег Евгеньевич Царьков
Математическое моделирование исторической динамики

§44. ОПЕРАТОР ИИМ

„Короля делает свита”(Н. Маккиавелли)

Гипотеза о самоосуществлении нации и цивилизации (§19) подтверждается схожестью институциональных матриц передовых наций современности. В частности, их модели функционирования и способы оптимизации результатов, в том числе через религию, указывают на более успешный и продуктивный выбор modus operandi по сравнению с отстающими или погибнувшими цивилизациями.

Независимо от своего размера и успешности, каждая этносоциальная система в своём развитии обычно проходит шесть последовательных стадий:

формирование этнического ядра, сопровождаемое широкими контактами с внешней средой;

соперничество, в котором этническая система достигает доминирования в пределах среды обитания или погибает под ударами конкурентов;

период упорядочения внутрисистемных связей, который может сопровождаться бифуркацией – распадом на несколько систем;

золотой век – инерционная фаза;

стагнация и упадок;

катастрофа в точке ветвления.

Математические модели для первых трёх фаз в отдельности были подробно рассмотрены в III-V частях. Там же были выявлены существенные ограничения для функционирования системы и тенденции, ведущие к её краху. Все они отображены в ИИМ в виде формальных моделей, устанавливающих ограничения. Его ячейки представляют собой отображения отдельных элементов системы на момент её упорядочения. Таким образом, институциональная матрица может быть описана в виде оператора эволюции системы, который на шаге преобразует одну совокупность функций в другую, т.е.. В случае их линейности⁸²⁵ её детерминант может быть представлен в виде параллелепипеда, построенного на векторах , а его собственное значение может быть использована как количественная характеристика эффективности⁸²⁶ конкретной институциональной матрицы.

В предыдущих частях по отдельности рассматривались взаимосвязи различных параметров, составляющих интегратор . Для них в §§18, 21-25, 27, 29, 32-36, 38-40 были определены функции и допустимые ограничения, позволяющие удерживать систему Ξ на эволюционной траектории в фазовом пространстве . На основании полученных результатов составим – динамический оператор, который определяет её положение в момент времени Δt.

ТАБЛИЦА VII. Оператор ИИМ

На эволюционной траектории параметры таблицы VII, находясь в устойчивых или квазиустойчивых состояниях, за интервал Δt практически не меняются, чем обеспечивают равновесное состояние системы Ξ и позволяют предсказать её координаты. При Δt=1 получаем:

(58.1).

Если к множеству всех собственных векторов оператора присоединить нулевой вектор, то получится подпространство пространства . Поскольку пространство инвариантно ( т.е. оператор преобразует пространство его само в себя), система векторов, составленная из базисов собственных подпространств оператора , также является его базисом. Действующий в нём оператор удовлетворяет критерию диагонализируемости⁸²⁷ и имеет базис из собственных векторов . В таком случае его можно представить в форме . Решив уравнение , можно через определитель характеристической матрицы вычислить собственные значения:

(58.2).

Корни многочлена (59) представляют собой характеристические корни оператора системы Ξ , которая в случае их определения может быть представлена в виде диагональной матрицы:

Каждый из характеристических корней характеризует привлекательность системы с геофизической (), социально-экономической() и ментально-культурной() стороны. Совместно они формируют институциональный престиж – качественную характеристику социально-экономической системы Ξ в конкретной точке эволюции t. Так как система и её элементы изоморфны⁸²⁸, их характеристические многочлены совпадают⁸²⁹, следует использовать метод индукции для количественной и качественной оценки всех подсистем. Величина вектора по модулю характеризует скорость развития этносоциальной системы (пассионарность) в момент подъёма и определяется выражением:

(59.1).

Таким образом, характеристические корни оператора представляют собой стороны институциональной матрицы (см. схему 1). Они определяют однозначность выбора траектории этносоциальная система, что объясняет детерминизм решений подсистемой управлениия (§5). Во время подъема состояние равновесия поступательно перемещается „вверх” по траектории, что определяет линейность оператора. Определённые, но предсказуемые колебания параметров ИИМ гасятся за счёт контакта внешней средой. Таким образом, её определитель и собственные вектора характеризуют сбалансированность геофизической, хозяйственной и информационной составляющихсоциально-экономической системы.

Динамическую модель этносистемы на инерционной фазе в момент времени t при размере можно представить в виде неправильного тетраэдра⁸³⁰, стороны которого пульсируют вследствие системных флуктуаций. Его основанием является институциональная матрица, а детерминат, как указатель направления движения, – высотой. Она изображена на схеме 12 и может принимать различные формы в зависимости от размеров основания. Его конфигурация во многом определяет поведение системы в начале эволюционной траектории.

Схема 12. Этносоциальная пирамида в конкретный момент времени t в окрестности состояния равновесия.

Чем выше высота пирамиды, тем она кажется внушительной, а, следовательно, институционально болеее привлекательной. Вместе с тем в случае, если одна из сторон основания окажется очень короткой⁸³¹ и слишком длинной⁸³², она может потерять устойчивость и „опрокинуться”. Таким образом, площадь институциональной матрицы Поланьи-Норта, лежащей в основании тетраэдра, должна быть максимально большой. Её величина определяется по формуле, как площадь треугольника:

, где = (59.2).

Другой характеристикой институциональной устойчивости является значение радиусf окружности, вписанной в основание. Он равен:

(59.3).

Выражения (59.2) и (59.2) достигают своего максимального значения в случае, если все собственные значения оператора равны, т.е., т.е при гармоничном развитии всех трёх составляющих общественностой системы и . В то же время как выражение (59.1) при этих значениях будет равен . Отсюда следует, что минимальная хрупкость системы зависит от собственного значения определителя и равняется ., а институциональная устойчивость принимает значение . Из (29.1-2) следует, что для системы в состоянии равновесия в каждый момент времени t должно выполняться неравенство:

(29.3).

По мере развития этноса происходит изменение площади институциональной матрицы Поланьи. Это вызвано тем, что собственные значения оператора ИИМ меняются во времени и пространстве вместе со значением . В акматической фазе возникает олигархия, а значения оператора попадают в окрестность состояния равновесия и полностью предсказуемы (см. §§22-24). При нормировании показателя социальной привлекательности (). получаем, что необходимым условием явдляется выполнение соотношения:

, где (29.4).

Сравнение характеристических корней институциональных матриц систем Ξ и Ξ*, принадлежащих различным субэтносам или конкурирующим элитам, позволяет определить их векторы преимущественного развития и *. Они дают возможность выявить области соприкосновения интересов и зоны потенциальных конфликтов. Степень их разнонаправленности в пространстве и времени теоретически позволяют предсказать результат их борьбы за ресурс при условии отсутствия влияния внешней среды. Элемент неопределённости (случайность события и/или его сила), действующий извне, независимо от природы своего происхождения часто оказывается решающим фактором для разрушения квазизакрытых систем.

§45. СЛИЯНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ИМ

“Sic Parvis Magna”⁸³³

Удержание этносоциальной системы на эволюционной траектории всегда сопровождается колебаниями внешней границы системы, где идёт перманентная война между этниями. В тех случаях, когда определитель ИИМ одного из них был больше, чем у соседа, граница сдвигалась по мере упорядочения ядра системы⁸³⁴. Такое расширение на инерционной фазе укрепляло жизнеспособность системы, позволяя ей сохранять свою целостность. В тех случаях, когда этого не происходило, этния замыкалась и медленно стагнировала, растрачивая свои ресурсы на поддержание прежнего порядка в ущерб технологическому развитию.

На инерционной фазе жизнеспособная этническая система занимает своё естественное пространство (§38) и завладевает всем доступным ресурсом. Из 29.3. следует, что для коррекции её траектории подсистема управления имеет возможность регулировать два параметра ИИМ⁸³⁵. Изменение поведения и интересов КВ и ЕО при разных уровнях эксплуатации иллюстрирует таблица VIII.

ТАБЛИЦА VIII. Поведение элиты (КВ) и производительных элементов системы (ЕО) при разной степени эксплуатации

Режим

Элита и обслуживающий персонал (КВ)

Производственные элементы системы (ЕО)

КВ обеспечивает свой статус и рост

ЕО сохраняет часть избыточного продукта для дальнейшего роста

,

КВ неограниченно растёт и обеспечивает свой статус и дальнейший рост за счёт запасов ЕО

На нулевом цикле возникает голод. Часть ЕО вымирает или мигрирует, рост недовольства

,

КВ озабочен своим статусом

ЕО прекращают расширенное воспроизводство

,

У КВ возникает проблема статуса, возникает опасность извне, вплоть до гибели КВ

Снижение численности ЕО за счёт невозможности воспроизводства, миграции или маргинализации

Сокращение численности КВ за счёт гибели, миграции и маргинализации

ЕО сохраняет часть избыточного продукта для дальнейшего роста

Базис системы Ξ представляет собой систему координат, составленный собственными векторами системы . Её центр смещен относительно центра координат пространства , а оси могут не совпадать, в связи с этим анализ представляется затруднительным. Значительно продуктивнее оценивать перспективы субэтносов, действующих в рамках одного базиса . Сравнивая значения характеристических корней ɑ и ɑ* по каждой из осей можно выяснить преимущества и недостатки каждого из соперников. При этом определители матриц и будут отражать их институциональную привлекательность. В частном случае, когда один из корней матрицы окажется равным нулю, её поглощение будет неизбежным. В лучшем случае её статус понизится вплоть до конвиксии⁸³⁶ или консорции⁸³⁷, а в худшем – исчезнет⁸³⁸.

Обратным примером является этнос, характеристические корни которого по отдельности или в виде произведения превосходят любого потенциального конкурента. После победы над противниками⁸³⁹ у него увеличивается энергетика и появления возможности повышения системного уровня, т.е. глобализации. При удачном стечении обстоятельств или отсутствии достойных соперников, сообщество Ξ может подняться до уровня этноса или суперэтноса. Таким примером может быть христианство, действовавшее в рамках античной цивилизационной парадигмы, определяемой неизменной системы координат. Эта религия принципиально изменила цивилизационную парадигму, трансформировав римский мир в христианский.

Таким образом, задачей стратегических блоков управления в момент формирования системы становится выбор такого базиса , при котором ни один из характеристических корней ИИМ системы не равняется 0. Отсюда следует, что главными параметрами, влияющими жизнеспособность системы, становятся показатель легитимности (доверия к) власти, а также демография, геофизика, культурный код и технологический уклад, за которыми „следят” Блоки III-V подсистемы управления.

Процесс взаимной синхронизации двух систем одинакового размера (S=1) на общем базисе изображён на схеме 13-а.

.

Схема 13-а. Взаимная синхронизация интеграторов институциональных матриц

Слияние этноса (с периодом в m циклов и приростом ) с этносом ( с периодом в m циклов и приростом ) представляет собой бифуркацию и происходит в три этапа. На первом из них выделяется общая координата, которая становитя основой объединения. Она может быть любой – географической⁸⁴⁰, социальной⁸⁴¹ или духовной⁸⁴². На втором этапе происходит синхронизация частот и колебания систем и их амплитуд (и , соответственно). В результате действия обратной связи образуется ядро новой системы устанавливается новый режим колебаний с новой частотой и амплитудой , где параметры и к являются результатом перемешивания, а – управляющим параметром. В области / возникает переферия, где сохраняется прежний режим колебаний. В случае расширения соответствия системы ограничению (6*) эта область поглощается полностью или частично. В противном случае она оказывается за её пределами.

Более устойчиво и быстро проходит процесс, когда у систем имеются две общие координаты. Этот случай изображён на схеме 13-б и относится, в основном, к этническим системам низшего порядка, когда . В этом случае становится ядром новой системы, а / – его периферией. Поскольку правило (6*) для системы выполняется по условиям задачи, то периферия поглощается новой системой в процессе расширения ядра. Время, затраченное на этот процесс, зависит от энергетики новой системы и её ограничений.

Схема 13-б. Взаимная синхронизация институциональных матриц при наличии двух совпадающих координат.

При явном преобладании одной агрессивной системы над другой происходит насильственная синхронизация. Она приводит к тому, что более сильная система поглощает ту часть своего противника, которую может использовать для своего роста. Вследствие этого остатки побеждённой системы приходят в хаотическое состояние и концентрируются на границе межэтнического разрыва, формируя нестабильное пограничье. Оно может быть поглощено победителем на следующем этапе расширения, либо будут использованы в качестве материала при формировании новой системы. Этот процесс изображён на схеме 13-в.

Схема 13-в. Насильственная синхронизация институциональных матриц с появлением структурного разрыва и пограничья.

При частичном поглощении этноса этносом можно выделить два этапа. На первом из них область выделяется из системы и включается в качестве периферии систему , разрывая внутренние связи На втором этапе остатки системы / теряют свою организацию (частототу и амплитуду), а на периферии выравниваются частота и амплитуда по образцу ядра ( и ).

В случае полного поглощения одной из систем процесс протекает по схеме 13-б. При этом периферия и ядро в новой системе поменяются местами, а частота и амплитуда поглощающей системы будут неизменны. Единственным последствием насильственной синхронизации для системы станет её превращение в периферию системы .

§46. БОРЬБА ЗА ЦЕЛОСТНОСТЬ

„Где ярче свет– там тени гуще.” (И.В. фон Гёте)

В определённый момент своего развития система оказывается в окрестностях состояния равновесия , достигает пика своего развития и замыкается, переходя в режим колебаний. С этого момент её характеристики теряют свои „стройные” очертания, пульсируя с частотой . Визуально она представлена на схеме 14, как пересечение четырёх сфер.

Схема 14. Замыкание этносоциальной системы на акматической фазе этногенеза

С этого момента начинается затухание колебаний вокруг состояния равновесия. Уменьшение многообразия, порождённое синхронизацией элементов системы, способствует накоплению в ней энтропии, объективно снижая показатели оператора . На этом этапе параметр γ определяет технологический уровень, а k отражает численность элиты (см. §35), то предельная норма эксплуатации внутри конкретной иерархии труда определяется по формуле:

. (23*).

В случае превышения этого значения этносоциальная система теряет свою устойчивость и начинает распадаться, вследствие чего происходит надлом. Выйти на инерционную фазу развития возможно тремя способами: уменьшить норму эксплуатации, сократить потребление элиты или перейти на новую технологическую платформу.

Оператор позволяет определить основные характеристики соперничающих иерархий труда, выяснить степень их старения и соотношение интересов их структурных единиц. В свою очередь, это позволяет составить представление о содержании и периодике конкретных этносоциальных процессов. Эта информация представляет собой основу для принятия управленческого решения с целью удержать на эволюционной траектории развития. Для этого система должна ориентироваться на ограничения по территории (6*), технологии (2.1-2), производительности (12), (17), (18), легитимации (22) и (30). При этом жизнеспособность всей системы определяется ключевым ограничением – ограничением по времени, которое вынуждает её предпринимать меры по технологической модернизации, а вслед за этим решать остальные задачи, согласно их приоритету. Такая последовательность действий образует иерархию целей, которая, в свою очередь, способствует формированию многоуровневой пирамиды, составленной из системных элементов. Возникшая конструкция вступает в противоречие с принципом общесистемной унификации, провоцируя стандартизацию элементов только одного уровня иерархии, нацеленных на решение одной, конкретной задачи⁸⁴³.

В случае, когда начинает ощущаться дефицит ресурсов (§21) и удлиняется интервал задержки (рис.15). В этих условиях выживание иерархии труда в условиях соперничества за ресурс без периодической смены технологических платформ невозможно. Их формирование и поддержание эффективности на должном уровне ( требует перманентного участия системных элементов, специализирующихся на управлении. Если блоки I-III подсистемы управления могут довольствоваться относительно низкой квалификацией своих элементов, то уровень IV-V требует обратного. При усложнении технологий этот разрыв нарастает и приводит к появлению узкоспециализированных элементов, которые формируют группу с частными интересами, которая постепенно внедряется в элиту и снижает производительность этносоциальной системы (Схема 15).

Схема 15. Энтропийный эффект в этносоциальной пирамиде

Снижение энергетики этносоциальной системы при фиксированном хозяйственном укладе приводит к тому, что управляющая подсистема, стремясь сохранить площадь институциональной матрицы начинает раздвигать границы системы,” раздвигая” границы системы в направлении среды обитания и ментальности. В тот момент, когда выполняется уравнение , устойчивость системы становится равной 0, вследствие чего она сходит с траектории. Поскольку предел значения определяется ограничением (6*), энтропийный эффект сказывается на изменении ментальности этноса, связанную со снижением пассионарности этноса. Механизм этнического надлома иллюстрирует схема 16.

Схема 16. Механизм этнического разлома

При нормальных обстоятельствах регулятор имеет возможность избежать подобный сценарий, устроив пересборку системы⁸⁴⁴, в основе которой лежит переход на новую технологическую платформу. При этом в случае ошибки или сбое подсистемы управления имеется вероятность попасть в катастрофу сборки, описанную в §21.

Рассмотрим ситуацию, когда под воздействием регулятора перестраивается, кардинально меняя свой технологический базис или его часть. Этот процесс может возникнуть по совершенно разным причинам. Например, это может быть модель революционной ситуации, когда „верхи не могут, а низы не хотят”⁸⁴⁵ существовать по-прежнему. В чисто экономических моделях это может быть переоснащение промышленного парка, замена одного продукта массового потребления на другой или внедрение новых технологий⁸⁴⁶. В рассмотренной выше геополитической модели она представляет собой наращивание военного потенциала и ускорение логистики или убывание со временем коэффициента ресурсной функции .

Предположим, что издержки на внедрение новой платформы, позволяющей перейти системе на новую траекторию, сохранив свою жизнеспособность, производятся из затрат, идущих на поддержание прежнего продукта. Аналогии этого процесса можно найти в различных событиях, начиная участие в выборах и заканчивая сменой социально-экономической формации. Математическая модель такой структуры, заменяющий одну платформу y(t) на другую z(t) определяется системой уравнений:

K= – = – +αΩy+g

K= – = – +α*℧z+g*

где z(t) – производство нового продукта в момент t, dz/dt – интенсивность его производства во времени. Параметры ℧ и α* характеризуют капитализацию новой платформы и эффективность использования ресурса, соответственно,а g* – выгоду от освоения единицы ресурса.

По окончании перехода и истечении времени Δt система достигает точки М*. В этой точке возможны два исхода:

– доходность обеих платформ остаётся положительной, т.е. система продолжает существовать и переходит с одной траектории развития на другую,

– доходность системы становится отрицательной, т.е. терпит катастрофу. (Случай, когда система не обеспечивает выигрыш, но и не приносит убытков, нами не рассматривается, поскольку события в этой точке зависят от случая, как в точке тривиального равновесия).

Рис. 30. Трансформация системы при смене платформ

Рис. 30 иллюстрирует поведение системы при фиксированных показателях параметров и линейном снижении доходности старой платформы. Для того, чтобы этносу гарантированно избежать катастрофы, можно действовать разнообразными способами. Один из вариантов преодоления коллапса заключается в повышении доходности нового продукта за счёт его исключительности, что не требует особых комментариев. Этот метод является способом преодоления катастрофы в условиях дефицита, что наблюдается довольно редко. Он позволяет повысить доходность системы в точке М*, достигнув положительных значений. Как показывает модель, снижение затрат на старый продукт не дает необходимого результата: вместо вывода системы из катастрофы ситуация только усугубляется. Причиной этого становится уменьшение общей доходности: так как в переходном процессе её основная часть обеспечивается старым продуктом, а искусственное снижение его объёмов вблизи точки катастрофы только приближает крах всей системы.  Историческими примерами такой «модернизации» являются судьбы Старого Режима во Франции, Османской империи и империи Цин в новое время. Их элиты явно осознавали необходимость реформ, но не могли их провести ввиду собственной социально-информационной (сословной) ограниченности. Траектории, изображённые на рис. 30-32, иллюстрируют смену платформ с применением различных сценариев. Они могут быть интерпретированы, как изменение конкретного социума, где регулятором выступает надстройка, т.е. государство.

Рис.31. Снижение темпа издержек на модернизацию платформы

Альтернативным вариантом решения проблемы является сокращение темпа снижения издержек на переход⁸⁴⁷. В случае, изображённом на рис. 31, катастрофа системы вследствие замедления скорости перехода не наступает. Отсюда можно сделать вывод, что для каждой сложной системы, приближающейся к точке бифуркации существует некоторая критическая интенсивность расходов на переход. При её превышении она терпит катастрофу из-за перенапряжения. Эта модель описывает европейские революции 1848 года и последовавшие за ними попытки модернизации континентальной Европы. Если войны за объединение Германии и Италии представляют собой успешный пример такой политики, то судьбы Австро-Венгрии и Второй Империи во Франции являются прямым результатом „перенапряжения”.

Другим вариантом снижения интенсивности является растяжение интервала планируемой перестройки: чем он больше, тем её ниже скорость, но выше суммарный перерасход. Подобный способ преодоления точки бифуркации достаточно умозрителен, поскольку за редким исключением регулятор не может влиять на параметры функции издержек.

Наиболее реализуемым сценарием является раннее инвестирование средств в новый продукт. Рис. 32 иллюстрирует, что этот способ надёжно выводит систему из точки катастрофы, но снижает средний уровень доходности. Подобный способ наименее рискован и ориентирован на дальнюю перспективу, что противоречит исходному тезису модели, ориентированной на получение сиюминутной выгоды. Успешным примером преодоления точки ветвления таким способом является история второй Британской империи (1773-1907 гг.), которой удалось преодолеть катастрофу за счёт исключительно выгодного стечения внешнеполитических обстоятельств, позволивших за счёт экзоэкономических методов резко повысить доходность своего национального хозяйства и за этот счёт избежать социальной революции. Капитализму, протагонистом которого являлась Англия, изначально присущи противоречия, которые ею разрешались за счёт эксплуатации некапиталистической периферии. В отличие от Великобритании, Россия в начале ХХ века на этом пути потерпела неудачу вследствие недостатка ресурса и неблагоприятного стечения обстоятельств

Рис.32. Превентивное инвестирование в новую платформу

К концу XIX века примеру Великобритании последовали остальные страны „индустриального ядра” капитализма, которые в процессе неэквивалентного обмена с другими государствами изымали у них сырьевые ресурсы и товары, параллельно разрушая некапиталистические формы производства. Это позволило им «получать все новый и новый приток пролетаризированной рабочей силы»⁸⁴⁸. Эта политика успешно применялась Бисмарком и Ф. Рузвельтом⁸⁴⁹, которые использовали промышленный потенциал своих стран и эксплуатацию внешних рынков для преодоления точки ветвления.