полная версия

Олег Евгеньевич Царьков
Математическое моделирование исторической динамики

Полная версия

Деградация, связанная с ростом энтропии, как правило, заканчивается попаданием системы в неконструктивную ветвь развития, вследствие которого система становится закрытой. В точке ветвления в системе происходит разрушение структур и связей под воздействием внешней среды. Оно происходит вследствие резонирования внешних и внутренних флуктуаций, в ходе которых система лишается элементов, заменить которые невозможно.

§6. ТУПИК ДЕТЕРМИНИЗМА

„Если ты в меньшинстве – и даже в единственном числе, – это не значит, что ты безумен”.(Дж. Оруэлл)

Из шести уровней человеческого знания пять низших имеют доступную для понимания форму. Все они могут быть представлены в порядке усложнения:

1. Самый низкий, биологический уровень представляет собой чувственное восприятие, наивная, чаще всего, иррациональная реакция на опыт.

2. Формальное знание соответствует представлениям об опыте через аксиоматический наследственный принцип.

3. Отдельное, справедливое революционно-аксиоматическое открытие, именуемое гипотезой и низвергающее совокупность формальных знаний.

4. Высшая гипотеза или канторовский тип, порожденный последовательностью и упорядочением справедливых гипотез в единое множество.

5. Представление о поддающейся упорядочению последовательности высших гипотез различных качеств, именуемое „выдвижением гипотезы высшей гипотезы”⁹⁵.

6. Уверенность в существовании высшего, вневременного порядка, который включает выдвижение гипотезы высшей гипотезы таким образом, каким высшая гипотеза включает гипотезу.

Область знания превращается в точную науку только тогда, когда она обретает свой математический аппарат, позволяющий осуществлять переход с одного уровня познания на другой. Он становится необходим при достижении третьего уровня, когда научная дисциплина сталкивается с количественным описанием динамических процессов, протекающих в сложных системах⁹⁶. На рубеже XIX века достижения в области классической механики были настолько впечатляющими, что научное сообщество пришло к определённому консенсусу о Вселенной, как единой системе. Эту доктрину сформулировал Лаплас⁹⁷: „Состояние системы природы в настоящем есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия этих объектов в любое время в прошлом и ли будущем”.

Понадобился длительный путь развития науки, чтобы изменить мировоззрение и поставить под сомнение лапласовское представление о мироздании. В области общественно-социальных дисциплин долгое время научный детерминизм сохранял свои позиции, не считая возможным использовать динамические модели. Причиной этому было не столько академическое филистёрство, сколько политизация социальных наук. Системный анализ общественных проблем, использующий математическое моделирование, только частично позволяет преодолеть эти догмы и предубеждения.

Как показывает опыт, расчленение единого целого на части позволяет явление изучать в деталях и формализовать протекающие процессы в виде формул и алгоритмов, реализованных в моделях. Независимо от своей природы любая из них упрощает реальность. Таким образом, модель может быть оценена не столько по степени своей сложности, сколько в сравнении со своими аналогами по степени адекватности и экономичности. Первой по этому пути пошла физика, которая традиционно имела дело с системами и явлениями, имеющие немного взаимодействующих идентичных элементов, изолированных от внешней среды. Эта относительная простота позволила установить фундаментальные законы природы и делать точные количественные предсказания, проверяемые экспериментально, в том числе и для относительно сложных систем. Подобный путь развития знания, основанный на выделении и изолированном изучении простых объектов, в социальных науках был до недавнего времени не применялся.

В естествознании имеется много примеров моделей, в основе которых лежит отрицание очевидного⁹⁸. История не является исключением из общего правила. По мере своего развития, она разделилась в ряд смежных дисциплин, изучающих при помощи моделирования отдельные аспекты процесса: социальные, экономические, демографические, информационные и т.д. Для истории периодические, циклические процессы очень естественны и органичны. В зависимости от их природы их длительнось может составлять века, десятки лет или месяцы. С их появлением устанавливается естественный временный масштаб – период колебаний, описываемый математическим аппаратом, поскольку выход на периодический режим можно описать системой двух простых дифференциальных уравнений.

Следуя бритве Оккама, даже наиболее простые имитации исторического процесса могут дать некоторый позитивный результат. Любое моделируемое общество состоит одного вида схожих элементов- индивидов, они образуют внутри него сложные комбинации в виде различных групп, которые по-разному взаимодействуют между собой и подвергаются воздействию внешней среды. Таким образом, использование динамических моделей для имитации исторических процессов открывает большие возможности для формализации исторической науки. Предполагая, что исторический процесс имеет общую основу с остальными природными явлениями и, следовательно, схожие законы, можно сформулировать задачу построения обобщённой модели развития социума и выделить научные дисциплины, результатами которых можно использовать для моделирования исторических процессов. Это – экономические дисциплины, история⁹⁹, этнография, социология, информатика и теория управления¹⁰⁰. Каждая из указанных областей знания имеет свою аксиоматику и методологический аппарат, которые могут быть взаимно увязаны. В частности, „экономистам принадлежит та заслуга, что они первыми отметили произвольный характер общественной жизни, что они показали, как под влиянием принуждения она уклоняется от естественного направления, вытекая нормально не из навязанного извне порядка, но из свободной внутренней работы” ¹⁰¹.

Все используемые модели условно можно разделить на линейные и нелинейные. Первые из них наиболее распространены и имеют множество приложений в инженерных и социальных науках, что является их несомненным достоинством. Например, неформальные вербальные модели могут использоваться при прогнозировании в тех случаях, когда предполагается, что социальные механизмы действуют линейно. Вследствие своей простоты линейные модели имеют слабые места и множество других недостатков. В частности, к ним относится неопределённость в выборе длины идентификационного интервала, разнообразие критериев оптимальности и, как следствие, невозможность качественного сравнения. Многофакторность и многовариантность социально-экономических процессов¹⁰² не позволяют выработать чёткий алгоритм, оптимизирующий плавный переход системы из одного состояния в другое. Естественно, что использование линейной модели при анализе подобных явлений сразу выдаёт ошибку.

Математическая модель управления переходом из одного состояния в другое, которая содержит элементы, реагирующие на неустойчивость, не нарушая её стабильности, является более продуктивной. На практике этот эффект реализуется посредством установления обратной связи (ОС), которая теоретически должна сглаживать негативные тенденции, возникающие вследствие непредсказуемости воздействия внешней среды. Одновременно с ОС следует установить пределы вмешательства общественного регулятора, которым в последнее время всё чаще выступает государство или механизмы, заменяющие и дополняющие его. При некоторой идеализации изучаемой системы и её причинно-следственные связи, она может быть представлена в виде сложной системы и, в частности, описана с помощью аппарата теории игр¹⁰³.

По степени своей сложности модели можно разделить на два типа: локальные и глобальные. Первые из них ориентированы на изучение конкретных задач, в то время как вторые пытаются представить картину некоего социума в целом. Представляя собой многоуровневую систему, подобные модели воспроизводят не только её динамику, но и поведение входящих в неё подсистем, что подразумевает их изоморфизм. При его отсутствии многоуровневых систем следует разделять на блоки, охватывающие один-два уровня и только после их раздельного анализа объединять.

Функционирование этносоциальных и экономических систем представляет собой самообучающийся процесс, переводящий их с одной эволюционной траектории на другую. Наличие нескольких из них предполагает возможность выбора. Следовательно, выработка оптимальных многовариантных оптимальных стратегий регулятора на основании анализа предыдущих итераций должна операться на принцип Беллмана¹⁰⁴. Для описания всего процесса функционирования такой системы применим аппарат процессов Маркова, Байесовское программирование и другие подобные им процедуры, позволяющие учитывать многовариантность и стохастичность всей системы и её элементов.

При анализе этносоциальные процессы целесообразно опираться на принципы фальсификационизма и на его основании критически пересмотреть современные теории и связанные с ними дисциплины. Не отрицая наличие рационального звена в современных экономических моделях и теориях, их следует их „вывернуть на изнанку”, переосмыслить и использовать их в построении принципиально новой модели социальной системы и переход к другим методам управления ею¹⁰⁵.

События 2022-23 годов показали, что изначальный тезис экономической теории о том, что экономический базис определяет надстройку, а марксистский тезис, что „Политика есть концентрированное выражение экономики “¹⁰⁶, оказались неверными. Предугадав это явление, Жан Бодрийяр¹⁰⁷ вёл в обиход понятия гиперреальность и симулякр. В его понимании, повторение любого события или действия существует в трех формах: копии, функционального аналога и собственно симулякра. Последнее явление является всего лишь подражанием и работает по принципу символического обмена¹⁰⁸. Эпоха гиперреальности характеризуется утратой реальности: надстройка определяет базис, труд не производит, а социализирует, представительная власть уже никого не представляет. Учитывая все эти обстоятельства, „единственное незатронутое дело – это смерть, на чем зиждется власть и экономия”.¹⁰⁹

§7. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

„Движение каравана определяет шаг самого медлительного осла” (Омар Хайам?)

Динамические модели позволяют описать намного более широкий спектр возможных траекторий и обладают важным преимуществом – наличием обратной связи, позволяющей системе саморегулироваться. Таким образом, формальный математический аппарат незаменим, когда надо строго связать набор предположений относительно системы с прогнозами ее динамики, описываемых параметрами. Например, в экономико-демографических моделях это число людей и ресурсы, которые производит общество, в социально-политических это также население и политическая стабильность¹¹⁰, военно-политических – военно-технический потенциал, мобилизационные ресурсы и логистика. В них в качестве динамических переменных могут выступать геополитическая мощь и энтропия. Они обычно характеризуются нелинейными обратными связями, часто действующими с различными запаздываниями во времени.

Нелинейные модели являются более богатыми в функциональном смысле. В связи с этим существует настоятельная необходимость включения в инструментарий социально-экономического моделирования логистических уравнений, отражающих запаздывание во времени¹¹¹. Их применение обеспечивает динамическое разнообразие, которое позволяет преодолеть ограниченность линейных систем, описывющих динамические процессы. В них также применяются временные лаги, но сложность математического аппарата¹¹² не позволяет широко его применять.

Например, макроэкономическое моделирование с запаздыванием¹¹³ было использовано при исследовании тенденций развития и прогноз будущего развития после вмешательства регулятора. В частности, Р. Гудвин предложил ввести нелинейность запаздывания таким образом, чтобы полученные уравнения имели устойчивый предельный цикл. Его экономические предположения и модель вызвали ряд критических замечаний, а полвека спустя выяснилось, что им в математических преобразованиях допущена ошибка¹¹⁴. Вследствие этого вывод Гудвина о существовании единственного устойчивого цикла оказался ошибочным. Данный пример иллюстрирует, что применение математического аппарата с недостаточно развитой теорией может привести к неадекватным выводам, но является стимулом для дальнейшего прогресса науки.

Возможность научного изучения кризисов долгое время подвергалась сомнению в силу неповторимости и уникальности таких явлений. При их детальном изучении обнаружено много общего и, в частности, доказано, что любое событие – результат самоорганизации открытой системы. Дальнейшие исследования данной проблемы привели к появлению теории катастроф, объединившей две математические дисциплины – теорию гладких отображений¹¹⁵ и теорию бифуркаций динамических систем. Для дальнейшей работы введём некоторые необходимые понятия. Пусть   и  – пространства переменных   и соответственно, D* и D – области в   и . Всякое отображение  определяется функциями (*). Отображение f называется гладким, если функции (*) являются гладкими функциями¹¹⁶.

Понятие динамической системы – одна из многих полезных теоретических абстракций¹¹⁷. Реальные объекты и системы могут рассматриваться как динамические системы только в определённом приближении и в той мере, в какой при описании их динамики можно игнорировать их структуру и взаимодействие с окружающей средой. О динамической системе говорят в том случае, если можно указать такой набор величин, характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени определяются по определённому правилу из исходного набора значений. Они называются динамическими переменными, а правило – оператором эволюции системы, который можно представить в виде вектора. Если её состояние задаётся набором из n величин, то динамику системы¹¹⁸ можно представить, как движение точки по траектории в n-мерном фазовом пространстве. В случаях, когда изучается система с дискретным временем, описываемае рекуррентными отображениями, фазовой траекторией является некоторая дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.

Выделяют два вида динамических систем – консервативные и диссапативные. Свойство консервативности в физике понимается как закон сохранения энергии. Диссапативная система – это совокупность устойчивых состояний, возникающая в неравновесной среде при рассеивании энергии, которая поступает извне. Благодаря своим свойствам, она часто называется стационарной открытой системой или неравновесной открытой системой. Если мы имеем ансамбль (некоторое количество) идентичных динамических систем, у которых заданы единое фазовое пространство и оператор её эволюции, а отличаются они только начальными условиями. В фазовом пространстве они отображены виде облака отображаемых состояний. С течением времени каждая из систем будет менять свои координаты и перемещаться в фазовом пространстве в соответствии с оператором эволюции, вследствие чего форма облака будет меняться. В случае, когда его объём будет постоянным, система является консервативной и описывается уравнениями Гамильтона. Гамильтонова система с дискретным временем в самом общем случае может быть неявно выражена через производящую функцию с n переменными.

Схема 2. Консервативная (а) и диссипативная (б) системы

Диссипативные системы характеризуются тем, что с течением времени облако отображающих точек съёживается и концентрируется в одном или нескольких аттракторах¹¹⁹ – подмножествах фазового пространстранства (траекториях). С точки зрения динамики это означает, что режим, возникший в системе, предоставленной самой себе, через некоторый период времени не зависит от её начального состояния¹²⁰. Каждый аттрактор инвариантен¹²¹, т.е. траектория, начавшаяся в нём, за его пределы не выходит. При наличии в фазовом пространстве двух или более аттракторов имеет место мультистабильность, а множество точек фазового пространства, из которых траектории выводят на аттрактор – его бассейном.

В реальном времени часто возникают переменные состояния, вблизи которых законы, управляющие дальнейшим состоянием данной системы, резко, т.е. без промежуточных переходов, меняются, вследствие чего происходит резкое изменение её характеристик. Этот феномен определяется как динамический хаос. Его природа – наличие состояний неустойчивости внутри любой динамической системы существует область, где внешнее возмущение вызывает наибольшие последствия. Она возникает там, где системные объекты удовлетворяют определению открытости¹²², и порождает нелинейность. Это явление состоит в том, что отклик системы непропорционален силе воздействия на нее¹²³, т.е. реакции на возмущения непропорциональны этим изменениям. Хаотические режимы характеризуются нерегулярным изменением динамических переменных во времени. В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странных аттракторов: фрактальных множеств, притягивающих к себе траектории из некоторой прилежащей области.

В процессе своего развития каждая система проходит две стадии: эволюционную (иначе называемую адаптационной) и революционную (скачок, катастрофа). В эволюционный период происходит медленное накопление количественных и качественных изменений параметров системы и ее отдельных элементов. В результате этого происходит скачкообразный переход количества в качества, после которого из элементов старой системы формируется новая. Она, определяется неким аттрактором, образовавшимся в процессе адаптации уцелевших элементов к изменившимся условиям внешней среды.

  В точке бифуркации происходит скачкообразное изменение системы, вызваное колебаниям. Она представляет собой переломный, критический момент в развитии системы во времени и пространстве, когда происходят качественные, скачкообразные, внезапные изменения в развитии системы. При бифуркации осуществляется выбор траектории дальнейшего движения, т.е. происходит катастрофа. Множества, характеризующие значения параметров системы на альтернативных траекториях, определяются как аттракторы. В их качестве аттрактора могут выступать состояние равновесия, периодическая траектория и странный аттрактор (хаос). Когда в точке бифуркации происходит катастрофа, систему (или её часть) притягивает один из аттракторов, и она в точке бифуркации может стать хаотической и разрушиться, перейти в состояние равновесия или выбрать путь формирования новой упорядоченности, т.е. выступает в новом качестве.

Как правило, неустойчивость возникает в виде нестандартного воздействия на систему или появлении нового компонента. В точке бифуркации неустойчивость усиливается благодаря колебаниям системы. Подавляемые в устойчивом состоянии, они в результате нелинейных процессов переводят параметры системы за критические значения и инициируют скачкообразный переход в новое устойчивое состояние с меньшей энтропией. После этого цикл "плавное развитие – скачок", "эволюция – революция", "устойчивость – неустойчивость" повторяется.

Противоречие между консервативными и активными частями системы постепенно нарастает и приводит к тому, что даже малые флуктуации приводят к катастрофе. В революционной фазе поведение системы и её отдельных элементов приобретает труднопредсказуемый характер. Такое неадекватное поведение вызывается не только внутренними флуктуациями, силу и направленность которых можно прогнозировать на основании истории развития и современного состояния, но и внешними, имеющими случайный характер. После формирования новой структуры „обновлённая” система снова вступает на путь плавных изменений, и цикл повторяется.

Таким образом, триггером развития системы являются качественные изменения, вызванные квазидиалектическими противоречиями. Гегель называл импульсом и двигателем процесса развития считал ислючительно внутренние противоречия системы, но игнорировал внешние. Его выводы справедливы для закрытой системы. В случае открытой системы их становится больше, поскольку система адаптируется к среде и вследствие этого становится более отзывчивой к внешним воздействиям. В частности, элементы системы гасят их, вследствие чего обретают большую свободу, вызывая изменения в установившемся порядке, и порождают новую неупорядоченность.

Мнение, что в процессе развития происходит только дивергенция систем, не является аксиомой и может состояться только при соблюдении следующих условий:

– развитие ограничивается исключительно прогрессом и исключает регресс;

– развитие линейно, однонаправленно и поступательно в пределах единственного аттрактора;

– развитие состоит исключительно из одних скачков, без эволюционного этапа.

Исходя из нелинейности процесса развития, его поливариантности и циклической смены эволюционного и бифуркационного этапов, следует признать, что процессы дивергенции и конвергенции являются сторонами одной монеты: первые преобладают на революционной стадии, а вторые – на эволюционной.

Для совершения системой революционного перехода необходимо, чтобы ее параметры, как и параметры среды, достигли заданных значений и находились в "области достижимости". При этом, чем сложнее система, тем шире набор состояний, в которых может возникнуть неустойчивость. Когда значения параметров приближаются к критическим значениям, система становится особенно чувствительной к флуктуациям. В этой области достаточно малых воздействий, чтобы она скачком перешла в новое состояние. Следует также отметить, что, согласно закону сохранения вещества, рождение новой системы внутри недостаточно целостностной старой, как и зарождение более высоких, но непосредственно не следующих за ней форм, невозможно без внешнего воздействия.

Энтропия возникает не только внутри самой системы, но и поступает в нее извне. Среда играет большую роль в обмене энтропией. В случае, когда флуктуации, приводящие систему в состояние хаоса, исходят из внешней среды, она становится генератором энтропии. В ином случае, те же самые флуктуации, усиливаясь, могут инициировать самоорганизацию системы, став носителями порядка. Если в среде находятся системы, обмен энтропией с которыми влияет на степень упорядоченности, может наблюдаться отток энтропии из системы. Для этого будет достаточно, чтобы сила флуктуаций системных элементов была недостаточно велика, для того чтобы вызвать точку бифуркации. Даже если эти воздействия воздействуют хаотически, система получает возможность преобразовывать хаос в порядок.

При движении системы к новому качеству, благодаря нелинейным обратным связям, возможны неустойчивые и хаотические стадии. Это, в свою очередь, может привести к существованию нескольких различных равновесных состояний, и, следовательно, различных аттракторов. В момент выбора один из них притягивает систему. Следовательно, при наличии нескольких альтернатив будущее вероятностно неоднозначно, но вместе с тем, оно не может быть любым. В этом случае возникает задача выбора наиболее приемлемого для системы аттрактора. В редких случаях она решается осознанно, но чаще всего¹²⁴ – случайно. В этом случае особую актуальность приобретает оценка вероятности различных вариантов исхода катастрофы.

В точках бифуркации поведение незакрытых систем имеет следующие общие закономерности:

1. Параметры системы в момент катастрофы связаны с изменением управляющего воздействия или вмешательства управляющей подсистемы, а её временная граница катастрофы определяется "принципом максимального промедления": система совершает качественный скачок только тогда, когда у нее нет иного выбора.

2. Существует множество потенциальных траекторий развития системы. Чем более она неравновесна, тем больше у неё имеется потенциальных траекторий и, соответственно, предельных циклов.

3. Вследствие случайного характера воздействия среды точно определить новое состояние невозможно, что связано с тем, что влияние среды носит случайный характер (это не исключает детерминизма между точками бифуркации). Н.Д. Кондратьев полагал, что случайность не может быть поставлена рядом с категорией причинности: её следует отнести к особенностям мышления, чем считать категорией бытия. Поэтому случайными он считал такие иррегулярные события, причины которых при данном состоянии научного знания и его средств не могут быть определены. Даже если момент наступления события непредсказуем, это не означает, что его появлению не предшествовала цепь породивших его причин.

4. Катастрофа изменяет организованность системы, не всегда в сторону ее увеличения. Изменения размерности и сложности системы влияют на количество состояний, при которых может произойти катастрофа, число возможных траекторий развития и, как следствие, аттракторов. На этом основании этого явления сформулирован закон Легасова-Бартелета: чем выше уровень системы, тем более она неустойчива, тем больше расходов требуется на поддержание её устойчивости.

5. Выбор того или иного аттрактора происходит на основании принципа минимальной диссипации: из совокупности допустимых состояний системы реализуется то, которому отвечает минимальное рассеяние энергии или минимальный прирост энтропии.

6. Выбор конкретной траектории развития связан с целостностью и устойчивостью системы, а также близостью её в момент катастрофы к одному из аттракторов.

Одни и те же траектории и/или векторы развития могут реализовываться неоднократно, поэтому в результате бифуркации возникают предельные циклы – периодические траектории в фазовом пространстве. При этом даже два близких состояния могут породить различные траектории развития. В случае, когда система притягивается состоянием равновесия, она становится закрытой и до очередной точки бифуркации живет по законам, свойственным закрытым системам. Если система притягивается каким-либо аттрактором открытости, то формируется новая диссипативная структура – новый тип динамического состояния системы, при помощи которого она приспосабливается к изменившимся условиям окружающей среды. Если в точке бифуркации возникает хаос, то вероятны два исхода. Одним из них является трансформация прежней системы в новую упорядоченность. Другим исходом является разрушение системы, вследствие чего её элементы поглощаются другими системами, если таковые имеются, или гибнут.

Поочерёдная смена эволюционного и революционного этапов развития, их устойчивости и неустойчивости системы образует во времени динамические циклы. Любая система имеет не только циклические процессы, обусловленные ее природой, но и колебания, диктуемые средой¹²⁵. Эти "внешние" циклы более стабильны и устойчивы, чем циклы внутреннего происхождения, которые изменяются в результате синхронизации. В результате этого процесса элементы системы и целые подсистемы начинают двигаться с одинаковыми, кратными или соизмеримыми частотами. Тенденция к установлению синхронизации на эволиционном этапе является универсальной, подавить ее могут только сильные десинхронизирующие факторы. Их противостояние перманентно, но в точке бифуркации, когда десинхронизируются многие процессы и элементы системы, имеет место обратное явление.

Поскольку на эволюционной стадии структура систем и траектории их движения отличаются устойчивостью, а условия внешней среды известны прогноз является в той или иной степени точен. Гораздо меньшую достоверность имеют сценарии поведения системы в точке бифуркации, когда детерминизм эволюции сменяется случайностями революции. В ходе её как система, так и среда становятся неустойчивыми, параметры либо неизвестны, либо стохастически изменяются, а возмущения носят непредсказуемый характер. Несмотря на это, ситуация небезнадёжна, поскольку существует возможность определить вероятность притяжения системы к определённому аттрактору или предсказать её крах.