Георг Гегель
Наука логики
Антитезис гласит:
Ни одна сложная вещь в мире не состоит из простых частей, и вообще в мире нет ничего простого.
Доказательство антитезиса тоже ведется от противного и по-своему столь же неудовлетворительно, как и предыдущее.
«Допустим, – читаем мы, – что сложная вещь как субстанция состоит из простых частей. Так как всякое внешнее отношение, стало быть, также и всякое сложение субстанций, возможно лишь в пространстве, то и пространство, занимаемое сложной вещью, должно состоять из стольких же частей, из скольких состоит эта вещь. Но пространство состоит не из простых частей, а из пространств. Следовательно, каждая часть сложной вещи должна занимать какое-то пространство».
«Но безусловно первоначальные части всего сложного просты».
«Следовательно, простое занимает какое-то пространство».
«А так как все реальное, занимающее какое-то пространство, заключает в себе многообразное, [составные части] которого находятся вне друг друга, стало быть, есть нечто сложное, и притом состоит из субстанций, то простое было бы субстанциально сложным, что противоречиво».
Это доказательство можно назвать целым гнездом (употребляя встречающееся в другом месте выражение Канта) ошибочных способов рассуждения.
Прежде всего доказательство от противного есть ни на чем не основанная видимость. Ибо допущение, что все субстанциальное пространственно, пространство же не состоит из простых частей, есть прямое утверждение, которое [Кант] делает непосредственным основанием того, чтó требуется доказать, и при наличии которого все доказательство уже готово.
Затем это доказательство от противного начинается с предложения, что «всякое сложение субстанций есть внешнее отношение», но довольно странным образом Кант сейчас же вновь его забывает. А именно, далее рассуждение ведется так, что сложение возможно лишь в пространстве, а пространство не состоит из простых частей; следовательно, реальное, занимающее то или иное пространство, сложно. Если только допущено, что сложение есть внешнее отношение, то сама пространственность (так же, как и все прочее, что может быть выведено из определения пространственности), единственно лишь в которой якобы возможно сложение, есть именно поэтому для субстанций внешнее отношение, которое их совершенно не касается и не затрагивает их природы. Именно на этом основании не следовало бы субстанции помещать в пространство.
Далее, предполагается, что пространство, в которое здесь поместили субстанции, не состоит из простых частей, ибо оно есть некоторое созерцание, а именно, согласно кантовскому определению, представление, которое может быть дано только лишь одним-единственным предметом, а не так называемое дискурсивное понятие. – Как известно, из этого кантовского различения созерцания и понятия возникло весьма неподобающее обращение с созерцанием, и, чтобы не утруждать себя постижением в понятиях (Begreifen), стали расширительно толковать значение и сферу созерцания, распространяя ее на весь процесс познания. Но дело идет о том, что пространство, как и само созерцание, должно быть в то же время постигнуто в понятиях, если именно хотят вообще постигать в понятиях. Таким образом, возник бы вопрос, не дóлжно ли мыслить пространство согласно его понятию как состоящее из простых частей, хотя как созерцание оно простая непрерывность, или, иначе говоря, пространство было бы вовлечено в ту же антиномию, с которой связывалась только субстанция. И в самом деле, если антиномия мыслится абстрактно, то она, как было указано, касается количества вообще и, следовательно, также и пространства и времени.
Но так как в доказательстве принимается, что пространство не состоит из простых частей, то это должно было бы служить основанием для того, чтобы не ставить простое в эту стихию, не соответствующую определению простого. – Но при этом возникает столкновение непрерывности пространства со сложением. [Кант] смешивает их друг с другом, подменяет вторую первой (это приводит в умозаключении к quaternio terminorum). Ясно высказанное определение пространства у Канта гласит, что оно «единое, и части его основаны лишь на ограничениях, так что они не предшествуют единому всеохватывающему пространству словно его составные части, из которых можно было бы его сложить (Кг. d. r. Vern., изд. 2-е, стр. 39). Здесь непрерывность очень правильно и определенно приписана пространству в противоположность сложению из составных частей. В аргументации же выходит, что помещение субстанций в пространство влечет за собой некоторое «многообразное, [составные части] которого находятся вне друг друга» и, «стало быть, есть нечто сложное». Между тем, как было указано, способ, каким многообразие оказывается находящимся в пространстве, исключает, по категорическому высказыванию Канта, сложение и предшествующие единству пространства составные части.
В примечании к доказательству антитезиса преднамеренно приводится еще другое основное представление критической философии, что мы имеем понятие о телах лишь как о явлениях, но что, как таковые, они необходимо предполагают пространство как условие возможности всякого внешнего явления. Следовательно, если под субстанциями разумеют лишь тела, как мы их видим, осязаем, вкушаем и т. д., то, собственно говоря, о том, что они суть в их понятии, здесь нет речи; дело идет только о чувственно воспринимаемом. Таким образом, нужно было бы сформулировать доказательство антитезиса коротко: весь опыт нашего видения, осязания и т. д. показывает нам лишь сложное; даже самые лучшие микроскопы и тончайшие измерители еще не натолкнули нас на что-либо простое. Стало быть, и разум не должен желать натолкнуться на нечто простое.
Следовательно, если мы пристальнее присмотримся к противоположности тезиса и антитезиса и освободим их доказательства от всякого бесполезного излишества и запутанности, то [окажется, что] доказательство антитезиса содержит – тем, что оно помещает субстанции в пространство – ассерторическое допущение непрерывности, подобно тому как доказательство тезиса – тем, что оно допускает сложение как вид соотношения субстанциального – содержит ассерторическое допущение случайности этого соотношения и тем самым допущение субстанций как абсолютных «одних». Вся антиномия сводится, следовательно, к разъединению и прямому утверждению двух моментов количества и притом утверждению их как безусловно раздельных. Взятые со стороны одной только дискретности, субстанция, материя, пространство, время и т. д. безусловно разделены; их принципом служит «одно».
Взятое же со стороны непрерывности, это «одно» есть лишь нечто снятое; деление остается делимостью, остается возможность делить как возможность, никогда в действительности не приводящая к атому. Если же мы остановимся на определении, которое дано в сказанном выше об этих противоположностях, то [убедимся, что] в самой непрерывности заключается момент разделенности (des Atomen), ибо она безусловно есть воможность деления, подобно тому как та деленность, дискретность снимает также всякое различие «одних», – ведь одно из простых «одних» есть то же самое, что и другое, – следовательно, содержит также их одинаковость, стало быть, их непрерывность. Так как каждая из двух противоположных сторон содержит в самой себе свою другую и ни одну из них нельзя мыслить без другой, то из этого следует, что ни одно из этих определений, взятое отдельно, не истинно, а истинно лишь их единство. Это – истинно диалектический способ рассмотрения этих определений и истинный результат.
Бесконечно более остроумны и глубоки, чем рассмотренная кантовская антиномия, диалектические примеры древней элейской школы, в особенности примеры, касающиеся движения, которые равным образом основаны на понятии количества и в нем находят свое разрешение. Рассмотрение здесь еще и их сделало бы наше изложение слишком пространным; они касаются понятий пространства и времени и могут быть обсуждены при рассмотрении последних и в истории философии. – Они делают величайшую честь разуму их изобретателей; они имеют своим результатом чистое бытие Парменида, показывая разложение всякого определенного бытия в нем самом, и суть, следовательно, сами в себе течение Гераклита. Они поэтому и достойны более основательного рассмотрения, чем обычное заявление, что это только софизмы; такое утверждение держится за эмпирическое восприятие по примеру столь ясного для здравого человеческого рассудка действия Диогена, который, когда какой-то диалектик указал на противоречие, содержащееся в движении, не счел нужным напрягать больше свой разум, а апеллировал к наглядности, безмолвно прохаживаясь взад и вперед; такое утверждение и опровержение, разумеется, легче выдвинуть, чем углубиться в размышление и не упускать из виду затруднения, к которым приводит мысль, и именно мысль, не притянутая откуда-то издалека, а формирующаяся в самóм обыденном сознании, и затем разрешить эти затруднения с помощью самой же мысли.
Решение этих диалектических построений, которое дает Аристотель, заслуживает великой похвалы и содержится в его истинно спекулятивных понятиях о пространстве, времени и движении. Бесконечной делимости (которая, поскольку ее представляют себе так, как если бы она осуществлялась, тождественна с бесконечной разделенностью, с атомами), на которой основаны самые известные из этих доказательств, он противопоставляет непрерывность, свойственную и времени, и пространству, так что бесконечная, т. е. абстрактная множественность оказывается содержащейся в непрерывности лишь в себе, лишь как возможность. Действительным по отношению к абстрактной множественности, равно как и по отношению к абстрактной непрерывности, служит их конкретное, сами время и пространство, как в свою очередь по отношению к последним – движение и материя. Абстрактное есть лишь в себе или только в возможности; оно существует лишь как момент чего-то реального. Бейль, который в своем «Dictionnaire» (статья «Зенон») находит данное Аристотелем решение зеноновской диалектики pitoyable [жалким], не понимает, чтó значит, что материя делима до бесконечности только в возможности; он возражает, что если материя делима до бесконечности, то она действительно содержит бесконечное множество частей; это, следовательно, не бесконечное en puissance [в возможности], а такое бесконечное, которое существует реально и актуально. – В противоположность [Бейлю] следует сказать, что уже сама делимость есть лишь возможность, а не существование частей, и множественность вообще положена в непрерывности лишь как момент, как снятое. – Остроумного рассудка, в котором Аристотель, несомненно, также никем не превзойден, недостаточно для того, чтобы понять и оценить его спекулятивные понятия, точно так же как грубого чувственного представления, о котором мы говорили выше, недостаточно для того, чтобы опровергнуть аргументацию Зенона. Этот рассудок заблуждается, принимая за нечто истинное и действительное такие порождения мысли, такие абстракции, как бесконечное множество частей; указанное же чувственное сознание неспособно перейти от эмпирии к мыслям.
Кантовское решение антиномии также состоит лишь в том, что разум не должен выходить за пределы чувственного восприятия, а должен брать явления такими, каковы они есть. Это решение оставляет в стороне само содержание антиномии; оно не достигает природы понятия ее определений, каждое из которых, взятое само по себе, изолированно, не имеет никакой силы (nichtig ist) и само в себе оказывается лишь переходом в свое иное, имеет своим единством количество и в этом единстве – свою истину.
В. НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ ВЕЛИЧИНА
1. Количество содержит оба момента – непрерывность и дискретность. Оно должно быть положено в обоих моментах как в своих определениях. Оно уже с самого начала их непосредственное единство, т. е. само оно прежде всего положено лишь в одном из своих определений – в непрерывности, и есть, таким образом, непрерывная величина.
Или, иначе говоря, непрерывность есть, правда, один из моментов количества, которое завершено лишь вместе с другим моментом, с дискретностью, однако количество есть конкретное единство лишь постольку, поскольку оно единство различенных моментов. Последние следует поэтому брать также и как различенные; мы должны, однако, не вновь разлагать их на притяжение и отталкивание, а брать их согласно их истине, каждый в его единстве с другим, т. е. так, что каждый остается целым. Непрерывность есть лишь связное, сплошное единство как единство дискретного; положенная так, она уже не есть только момент, а все количество, непрерывная величина.
2. Непосредственное количество есть непрерывная величина. Но количество не есть вообще нечто непосредственное. Непосредственность – это определенность, снятость которой есть само количество. Последнее следует, стало быть, полагать в имманентной ему определенности, которая есть «одно». Количество есть дискретная величина.
Дискретность подобно непрерывности есть момент количества, но сама она есть также и все количество, именно потому, что она момент в последнем, в целом и, следовательно, как различенное не выступает из этого целого, из своего единства с другим моментом. – Количество есть бытие-вне-друг-друга в себе, а непрерывная величина есть это бытие-вне-друг-друга как продолжающее себя без отрицания, как в самой себе равная связь. Дискретная же величина есть эта внеположность как не непрерывная, как прерываемая. Однако с этим множеством «одних» у нас снова не получается множество атомов и пустота, вообще отталкивание. Так как дискретная величина есть количество, то сама ее дискретность непрерывна. Эта непрерывность в дискретном состоит в том, что «одни» суть равное друг другу или, иначе говоря, в том, что у них одна и та же единица. Дискретная величина есть, следовательно, внеположность многих «одних» как равных, не многие «одни» вообще, а положенные как «многие» некоторой единицы.
Примечание
[Обычное разъединение этих величин]
В обычных представлениях о непрерывной и дискретной величинах упускают из виду, что каждая из этих величин имеет в себе оба момента, и непрерывность, и дискретность, и их отличие друг от друга составляет только то, какой из двух моментов есть положенная определенность и какой есть только в-себе-сущая определенность. Пространство, время, материя и т. д. суть непрерывные величины, будучи отталкиваниями от самих себя, текучее исхождение из себя, которое в то же время не есть переход или отношение к качественно иному. Они имеют абсолютную возможность, чтобы «одно» повсюду было положено в них, положено не как пустая возможность простого инобытия (как, например, говорят, что возможно, чтобы вместо этого камня стояло дерево), а они содержат принцип «одного» в самих себе; этот принцип – одно из определений, из которых они конституированы.
И наоборот, в дискретпой величине не следует упускать из виду непрерывность; этим последним моментом, как показано, служит «одно» как единица.
Непрерывную и дискретную величины можно рассматривать как виды количества, но лишь постольку, поскольку величина положена не какой-нибудь внешней определенностью, а определенностями ее собственных моментов. Обычный переход от рода к виду вводит в первый – согласно некоторому внешнему ему основанию деления, – внешние определения. Непрерывная и дискретная величины при этом еще не определенные величины; они лишь само количество в каждой из его двух форм. Их называют величинами постольку, поскольку они вообще имеют то общее с определенным количеством, что они суть некоторая определенность в количестве.
С. ОГРАНИЧЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА
Дискретная величина имеет, во-первых, принципом «одно» и есть, во-вторых, множество «одних»; в-третьих, она по своему существу непрерывна, в то же время она «одно» как снятое, как единица, она продолжение себя, как такового, в дискретности «одних». Она поэтому положена как единая величина, и ее определенность есть «одно», которое есть в этой положенности и наличном бытии исключающее «одно», граница в единице. Предполагают, что дискретная величина, как таковая, непосредственно не ограничена; но как отличная от непрерывной величины она дана как такое наличное бытие и нечто, определенность которого есть «одно», а как находящаяся в некотором наличном бытии она также первое отрицание и граница.
Эта граница, помимо того что она соотнесена с единицей и есть отрицание в ней, соотнесена как «одно» и с самой собой; таким образом, она объемлющая, охватывающая граница. Граница сначала не отличается здесь от нечто ее наличного бытия, а как «одно» она непосредственно есть сам этот отрицательный пункт. Но ограниченное здесь бытие дано по своему существу как непрерывность, в силу которой оно выходит за свою границу и за это «одно», и безразлично к ним. Реальное дискретное количество есть, таким образом, некоторое количество или, иначе говоря, определенное количество – количество как наличное бытие и нечто.
Так как то «одно», которое есть граница, охватывает многие [ «одни»] дискретного количества, то она также полагает их как снятые в нем; она граница непрерывности вообще как таковой, и тем самым различие между непрерывной и дискретной величинами здесь безразлично; или, вернее, она граница непрерывности и одной, и другой; обе переходят к тому, чтобы быть определенными количествами.
Глава вторая
Определенное количество
Определенное количество, квант – прежде всего количество с некоторой определенностью или границей вообще – есть в своей совершенной определенности число. Определенное количество делится,
во-вторых, прежде всего на экстенсивное определенное количество, в котором граница дана как ограничение налично сущего множества, а затем, когда это наличное бытие переходит в для-себя-бытие, на интенсивное определенное количество, градус{32}, которое, как «для-себя» и в последнем как безразличная граница столь же непосредственно вовне себя имеет свою определенность в некотором ином. Как это положенное противоречие, – быть таким образом определенным просто внутри себя и вместе с тем иметь свою определенность вовне себя и указывать на нее вовне себя, – определенное количество,
в-третьих, как в самом себе внешне положенное переходит в количественную бесконечность.
А. ЧИСЛО
Количество есть определенное количество или, иначе говоря, имеет границу и как непрерывная и как дискретная величина. Различие этих видов не имеет здесь сначала никакого значения.
Количество как снятое для-себя-бытие уже само по себе безразлично к своей границе. Но тем самым ему также не безразлично быть границей, или определенным количеством; ибо оно содержит внутри себя «одно», абсолютную определенность, как свой собственный момент, который, следовательно, как положенный в его непрерывности или единице, есть его граница, остающаяся, однако, «одним», которым она вообще стала.
Это «одно» есть, стало быть, принцип определенного количества, но «одно» как количественное «одно». Благодаря этому оно, во-первых, непрерывно, единица; во-вторых, оно дискретно, оно в-себе-сущее (как в непрерывной величине) или положенное (как в дискретной величине) множество «одних», которые равны между собой, обладают указанной выше непрерывностью, имеют одну и ту же единицу. В-третьих, это «одно» есть также отрицание многих «одних» как простая граница, есть исключение из себя своего инобытия, определение себя по отношению к другим определенным количествам. Постольку «одно» есть граница, α) соотносящаяся с собой, ß) охватывающая и γ) исключающая иное.
Определенное количество, полностью положенное в этих определениях, есть число. Полная положенность заключается в наличном бытии границы как множества и, стало быть, в ее отличии от единицы. Число выступает поэтому как дискретная величина, но в единице оно обладает и непрерывностью. Оно есть поэтому и определенное количество в совершенной определенности, так как в числе граница дана как определенное множество, имеющее своим принципом «одно», то, чтó безусловно определенно. Непрерывность, в которой «одно» есть лишь в себе, как снятое (положенное как единица), есть форма неопределенности.
Определенное количество, лишь как таковое, ограничено вообще; его граница есть его абстрактная, простая определенность. Но так как оно число, эта граница положена как многообразная внутри себя самой. Число содержит те многие «одни», которые составляют его наличное бытие, но содержит их не неопределенным образом, а определенность границы относится именно к нему; граница исключает другое наличное бытие, т. е. другие «многие», и охватываемые ею «одни» суть определенное множество, численность, для которой как дискретности, какова она в числе, другим служит единица, ее непрерывность. Численность и единица составляют моменты числа.
Что касается численности, то следует еще рассмотреть подробнее, каким образом многие «одни», из которых она состоит, заключены в границе. О численности правильно говорится, что она состоит из «многих», ибо «одни» находятся в ней не как снятые, а суть в ней, только положенные вместе с исключающей границей, к которой они безразличны. Но граница не безразлична к ним. При [рассмотрении нами] наличного бытия отношение к нему границы оказалось прежде всего таким, что наличное бытие как утвердительное оставалось по сю сторону своей границы, а граница, отрицание, находилась вне его, у его края; точно так же во многих «одних» прерыв их и исключение других «одних» выступает как определение, которое имеет место вне охватываемых «одних». Но там оказалось, что граница пронизывает наличное бытие, простирается столь же далеко, как оно, и что вследствие этого нечто ограничено по своему определению, т. е. конечно. – В числе как количестве представляют себе, например, сто так, что только сотое «одно» ограничивает «многие» таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это правильно; с другой же, из ста «одних» никакое не обладает преимуществом, так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может обойтись ни без одного из них; прочие «одни», следовательно, не составляют в сравнении с сотым «одним» такого наличного бытия, которое находилось бы вне границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему, ограничивающему «одному», а сама составляет это ограничение, которое есть некое определенное количество; «многие» составляют одно число, одну двойку, один десяток, одну сотню и т. д.
Итак, ограничивающее «одно» есть определенность в отношении другого, отличение данного числа от других. Но это отличение не становится качественной определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнивающей внешней рефлексии. Число как «одно» остается возвращенным к себе и безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное определение; оно составляет его в-себе-определенность, но в то же время и его собственную внешность. – Число есть, таким образом, нумерическое «одно» как абсолютно определенное «одно», которое имеет в то же время форму простой непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно внешнее. Как такое «одно», которое есть число, оно, далее, имеет определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и численность сама есть множество «одних», т. е. в нем самом имеется этот абсолютно внешний характер. – Это противоречие числа или определенного количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества, – качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает свое развитие.
Примечание 1
[Арифметические действия. Кантовские априорные
синтетические суждения созерцания]
Пространственная и числовая величины обычно рассматриваются как два вида величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени. Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины – дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и одинакового способа и совершенства ограничения или определенности. Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в числе. Геометрия как таковая не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения, основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические. Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника, четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в «одном», определенность самостоятельную (das für sich Bestimmtsein), а не с помощью чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда, пространственная величина имеет определенность, соответствующую «одному»; однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится линией; так как она по своему существу есть лишь «одно» пространства, то она в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность, самостоятельная определенность, «одно». Поскольку самостоятельная определенность должна сохраниться в вовне-себя-бытии, приходится представлять линию как некоторое множество «одних», и она должна получить внутри себя границу, определение многих «одних», т. е. величину линии – и точно так же других пространственных определений – следует брать как число.
Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне. Способы такого соотнесения – это [четыре] арифметических действия. Они излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить некоторое внимание.
В силу своего принципа, «одного», число есть вообще нечто внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое исчисление есть продуцирование чисел, счет или, говоря более определенно, сосчитывание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано откуда-то извне и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, – это то, с которым мы познакомились, – различие между единицей и численностью; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует рассматривать среди определений сущности там, где трактуется о различии.
Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть произведены двояко – либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных; поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным арифметическим действием), причем само определение действия независимо от этой противоположности.
После этих замечаний укажем виды исчисления.
1) Первое порождение числа – это сочетание «многих» как таковых, т. е. «многих», каждое из которых положено лишь как «одно», – нумерование. Так как «одни» внешни друг другу, то они представляются в чувственном образе, и действие, посредством которого порождается число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли сочетано то или иное количество [ «одних»], есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешняя. – Различие между численностью и единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит основой системы чисел – двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.
Возникшие посредством нумерования числа снова подвергаются нумерованию; поскольку они положены столь непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это – сложение. – Что 7 и 5 составляют 12, это узнают тем, что к 7 прибавляют на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 «одних»; результат этого действия сохраняют затем в памяти, помнят наизусть (auswendig), ибо при этом нет ничего внутреннего (Innerliches). И точно так же узнают посредством счета на пальцах и т. д., что 7х5=35, что к одной семерке прибавляется еще одна семерка, повторяют это пять раз, и результат также запоминается наизусть. От этого труда – считать, находить суммы, умножать – навсегда избавила готовая таблица сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.
Кант рассматривает (во Введении к «Критике чистого разума», раздел V) положение 74+5=12 как синтетическое положение. «На первый взгляд, – говорит он, – может показаться (конечно!), что это положение 7+5=12 чисто аналитическое, вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и пяти». Понятие суммы не означает ничего, кроме абстрактного определения, что эти два числа должны быть сочетаны и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятия образом, что начиная с 7 следует продолжать считать до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными «одни», численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. «Однако, – продолжает Кант, – присматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых». «Сколько бы я ни расчленял свое понятие такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12». При переходе от указанной задачи к результату сумма действительно не мыслится, понятие не расчленяется. «Необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и таким образом присоединять единицы числа пять, данного в созерцании, к понятию семи», – прибавляет он. Пять действительно дано в созерцании, т. е. оно совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, «одного»; но 7 точно так же не понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чуждое понятия соединение этих двух чисел; такое столь чуждое понятия нумерование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием с таким же правом, как и нумерование, начинающее с «одного», – синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет и в нее не входит ничего такого, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 и 5 относится к требованию вообще нумеровать, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.
