Джон Норт
Космос. Иллюстрированная история астрономии и космологии
ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА ПО ПТОЛЕМЕЮ
Птолемей прилагает таблицы, позволяющие быстро вычислять два угла, необходимые для нахождения положения Солнца. Использованные им методы были впоследствии распространены на более сложное движение планет и предвосхитили появление идеи создания общей теории небесного движения. Для Солнца требуется знать два исходных параметра, а третий мы введем чуть позже. В простейшей эксцентрической модели (не будем забывать, что она эквивалентна эпициклической) этими параметрами являются: 1) среднее движение Солнца по кругу деферента, то есть вокруг его центра; и 2) эксцентриситет OT в долях отрезка OS, как показано на ил. 60. Нам необходимо получить угол ATS. Здесь O – центр деферента, а T – место наблюдателя на поверхности Земли, а ее размерами, как предполагается, можно пренебречь. Угол ATS получается как разность среднего движения (угол AOS) и угла OST. Угол AOS (среднее движение), очевидно, можно представить в виде табличной величины, зависящей от времени, измеряемого, например, в сутках или часах, или одновременно и в часах, и в сутках, поскольку оно течет равномерно. С помощью тригонометрических преобразований угол OST может быть довольно легко представлен в виде функции, зависящей от среднего движения и эксцентриситета. (Птолемей называл этот угол простафарезис – «угол, который должен быть прибавлен, либо вычтен»; мы же будем называть его уравнением или аномалией. Смысл заключается в том, что он позволяет внести поправку для среднего положения и получить из него истинное, где под «истинным» понимается видимое нами на самом деле.) Таким образом, Птолемей составил таблицу, позволяющую совершить быстрый переход к истинному положению, исходя из среднего движения, которое, в свою очередь, определялось из первой таблицы.
60
Модель движения Солнца, в которой используется простой эксцентрический круг. Предполагается, что Солнце движется по нему с постоянной скоростью (то есть угловая скорость вращения Солнца вокруг центра круга не меняется).
Здесь, вероятно, нужно особо подчеркнуть: когда античные астрономы говорили о «среднем движении», они имели в виду угол, например угол перемещения за сутки или за час. Они могли также соотносить его с углом, накапливающимся в течение долгого периода времени, или с положением, достигаемым в результате этого движения. Конечно, мы тоже можем характеризовать угол, покрываемый за данную единицу времени, как движение, но они рассматривали этот вопрос иначе, чем мы, и у них не было нашего представления о мгновенной скорости.
Остается ввести еще один параметр, если, конечно, Птолемей действительно желал снабдить нас средством, позволяющим определять точное положение Солнца. Нужно знать день, когда оно проходит через некоторую исходную точку – апогей или перигей; или же, как вариант, можно использовать его положение в любой другой заданный день. Птолемей выбрал в качестве начала отсчета эпохальную дату – день, когда царем Вавилонии стал Набонасар. Это случилось 26 февраля 747 г. до н. э. Можно по-разному относиться к выбору столь ранней даты; в частности, это означало то, что ему не нужно было вводить обратный отсчет лет, то есть отрицательные годы.
Если бы Птолемей обладал более точными данными, он мог бы ввести еще один параметр, учитывающий движение линии симметрии AB. (Это – линия апсид, соединяющая апогей с перигеем.) Он был искренне убежден в равенстве продолжительности сезонов в его эпоху и во времена Гиппарха, и поэтому полагал, что линия апсид неподвижна.
С присущей ему проницательностью он не упустил то, что мы называем уравнением времени. В течение большей части истории ежедневное движение Солнца по небу использовалось для измерения коротких интервалов времени. Однако это движение является нерегулярным в силу двух причин. Существует годовое изменение скорости движения Солнца по эклиптике, объясняемое с помощью эксцентрической модели; однако неравномерность движения вокруг полюсов (движения, измеряемого относительно экватора) вызывается иной причиной – Солнце движется в плоскости (плоскости эклиптики), которая наклонена к экватору под углом более 23°. Птолемей разъяснил, каким образом можно компенсировать оба эти фактора. По сей день лучшие солнечные часы снабжаются сопроводительной таблицей, позволяющей учесть уравнение времени, и эта поправка – прямое наследие Птолемея.
ПТОЛЕМЕЕВА ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
Четвертая книга «Альмагеста» содержит подробное обсуждение лунной теории Гиппарха в категориях модели концентрического деферента с новыми параметрами, полученными из наблюдений. В пятой книге, где он переходит к ее сравнению с собственными наблюдениями, Птолемей обнаруживает, что она хорошо работает только тогда, когда Солнце, Земля и Луна находятся на одной линии (в соединении и в оппозиции, или, если называть это одним словом – в сизигиях). Это и не удивительно, если принять во внимание тот факт, что затмения всегда были наиважнейшим фактором в установлении деталей исходной простой модели. Под прямыми углами к этим точкам (в «квадратурах») ошибка достигала нескольких лунных диаметров – отнюдь не самая удовлетворительная ситуация. Здесь Птолемей находит еще одну разновидность движения Луны, известную сегодня как эвекция, и ее открытие можно считать выдающимся достижением, хотя способ ее объяснения, предложенный Птолемеем, оказался не менее замечателен.
61
Лунная модель Птолемея. Точка T обозначает Землю, C – (подвижный) центр круга деферента, M – Луну, а E – точку «экванта», вокруг которой центр эпицикла (O) движется с постоянной угловой скоростью. Следует обратить внимание на нетипичное направление кругового вращения Луны в эпицикле. Эпициклам всех планет свойственно «прямое» движение, то есть вращение в противоположном направлении. Среднее эклиптическое положение Луны задается направлением mm, а окончательная истинная долгота – направлением tl.
Подробное изложение его доводов заняло бы слишком много времени, но можно кратко объяснить полученную им итоговую модель. Как и Гиппарх, Птолемей полагал, что Луна должна совершать попятное движение в эпицикле, но, в отличие от Гиппарха, он поместил центр деферента в точку C (как показано на ил. 61), эксцентричную по отношению к Земле и, в свою очередь, движущуюся по малому кругу вокруг Земли, находящейся в точке T. Затем ему понадобилось подобрать скорости, удовлетворительным образом приближавшие бы эпицикл к Земле, когда он находится в квадратуре по отношению к Солнцу. Он сделал это, проведя прямую в направлении среднего Солнца (ms), которая является биссектрисой угла между TO и TC. Следующее уточнение заключалось в том, что он стал вести отсчет постоянно растущего угла в эпицикле не от линии TO, а от линии EO. Это было равнозначно введению еще одной (третьей) вариации. Этим и отличался гений Птолемея – умением добавлять новые параметры к старой модели таким образом, чтобы удовлетворить требуемым условиям. Те, кто хорошо знаком с греческой одержимостью круговым движением, должны оценить методы, посредством которых Птолемей находил возможность преодолеть налагаемые ею ограничения.
Эта модель позволяла получать вполне приемлемые решения для долготы Луны, оказавшиеся лучше, чем все предыдущие. Эклиптика изображена на рисунке для того, чтобы показать, каким образом меняются ключевые долготы. Здесь mm обозначает среднюю Луну, A – движущийся апогей деферента, а tl – итоговую истинную долготу Луны. Однако описанная модель в том виде, как она здесь представлена, содержала один очевидный недостаток: слишком сильное изменение расстояния от Земли до Луны (M), вследствие чего за один полный оборот ее видимый диаметр должен был изменяться в размерах чуть ли не в два раза. Для понимания ошибочности этого не нужно быть астрономом, так как изменения размеров лунного диска на самом деле относительно невелики. Птолемей ничего не говорит об этом. Он достаточно хорошо объяснил изменение долготы, и, кроме того, расположив деферент и эпицикл в плоскости, наклоненной к плоскости эклиптики под углом 5°, он дал хорошее объяснение изменению широты Луны.
Существует распространенное убеждение: он не рассматривал свою модель как нечто, имеющее отношение к описанию реального перемещения тел в пространстве, и она стала не более чем средством расчета координат, и поэтому его не заботили прогнозируемые изменения размеров лунного диска. Однако из работы «Планетные гипотезы» мы узнаем, что Птолемея глубоко беспокоили вопросы, связанные с сотворением планетной системы, содержащей в себе весь сложный эпициклический аппарат небесных тел, в котором не должно было быть пустого пространства. Если он обратил внимание на прогнозируемые изменения размеров Луны, что предполагалось в его модели, – а не заметить этого он просто не мог, – то это непременно послужило для него причиной сильного разочарования.
Пятая книга «Альмагеста» заканчивается обсуждением вопроса о расстояниях до Солнца и Луны и содержит самое раннее подробное теоретическое рассуждение о параллаксе, то есть о поправках, которые необходимо вносить в видимое положение Луны, чтобы получить ее положение относительно центра Земли. (По поводу определения параллакса и открытий Гиппарха в этой области см. с. 157 и ил. 56 и 57. Радиус Земли составляет значительную часть расстояния до Луны. Полученное Птолемеем расстояние до Солнца, выраженное в диаметрах Земли, было сильно занижено – примерно в 20 раз.) Это дало ему возможность перейти к геометрическому описанию затмений. Он начинает с уже теоретически объясненных движений Солнца и Луны и не просто выводит из них обстоятельства, приводящие к затмению, но надеется получить закон их повторения. Птолемею посчастливилось воспользоваться вавилонскими наблюдениями затмений, начиная с эпохи правления Набонасара в 747 г. до н. э. У него не получилось очертить географические границы, в пределах которых возможно наблюдать солнечное затмение. Никто не мог справиться с этой сложной задачей, пока Кассини не занялся ею основательно в середине XVII в. Математические способности Птолемея вполне соответствовали уровню задачи, но у него не было доступа к широкому астрономическому сообществу, которое могло бы стимулировать его для дальнейшего рассмотрения этого вопроса.
НЕПОДВИЖНЫЕ ЗВЕЗДЫ У ПТОЛЕМЕЯ
Перед тем как заняться планетами, Птолемей обращается к долготам, широтам и величинам звезд. Он разделяет величины на шесть классов по признаку мегетос, более точным переводом которого является «размер», а не «блеск» (технический термин «величина», похоже, постепенно поменял свое значение с первого на второе только в XVIII в.). Согласно Птолемею, звезды шестой величины – это те, что едва различимы на небе, и сегодня мы, вообще говоря, продолжаем использовать эту классификацию, хотя и отвергаем его предположение о ее связи с размерами звезд. Каталог Птолемея из 1022 звезд в составе 48 созвездий и нескольких туманностей лег в основу почти всех последующих авторитетных каталогов в исламском и западном мирах вплоть до XVII в. Он был в значительной степени основан на данных, полученных Гиппархом, которые не дошли до нас, и, безусловно, учитывал его теорию прецессии – «движение восьмой сферы». Если Гиппарх попросту указал ее нижний предел, равный одному градусу за столетие, то Птолемей получил ее точное значение. Он не мог, как часто утверждается, получить свой каталог, просто прибавляя прецессию к координатам звезд из аналогичного каталога Гиппарха, поскольку данные, оставленные его предшественниками, записаны совсем в другой форме – с качественными описаниями, перечислением звезд, находящихся на одной линии, звезд, восходящих в одно и то же время, и т. д. Каталог Птолемея, повторим, являл собой удивительно искусно исполненный шедевр, даже если принять во внимание, что указанные в нем долготы звезд занижены.
Причиной этого весьма несущественного недостатка была высокая степень взаимозависимости между, на первый взгляд, совершенно разными частями книги Птолемея. Он часто определял долготы звезд, соотнося их с Луной, но ошибка в определении движения Солнца, которое, как мы недавно убедились, предваряло введение лунной модели, слегка исказила данные его измерений. Большинство из тех, кому в последующие столетия требовалось знать точные положения звезд, ограничивались прибавлением прецессии к долготам из его каталога, и это позволило ему сохраниться до наших дней. Лучшие астрономы включали в него результаты собственных измерений, но основательность Птолемея долгое время оставалась непревзойденной.
ПТОЛЕМЕЙ О ПЛАНЕТАХ
В девятой, десятой и одиннадцатой книгах «Альмагеста» объясняется, каким образом можно рассчитать долготы планет – нижних (Меркурия и Венеры) и верхних (Марс, Юпитер и Сатурн). Как мы показали в главе 3, для этого нужно использовать две разных схемы расположения эклиптики по отношению к деференту, и поскольку Меркурий вызывает определенные, присущие только ему трудности, то для этой планеты требовалось ввести дополнительные уточнения. Здесь мы снова приведем только итоговые результаты работы Птолемея. В данном случае он располагал гораздо меньшим количеством надежных данных, полученных от предшественников, чем в случае Солнца и Луны. В его распоряжении были, конечно, концепция эпицикла и – через посредство Гиппарха – некоторые вавилонские периодические соотношения, типа «за 59 лет Сатурн дважды возвращается на исходную долготу и 57 раз – в исходную аномалию (эквивалентную точке стояния в начале попятного движения)». Эти периодические соотношения дали ему возможность построить таблицы средних движений, хотя впоследствии ему понадобилось подкорректировать их с учетом выработанных им моделей.
Вероятно, здесь уместно будет добавить, что Птолемей указал два различных подхода, позволяющих очень точно определять средние планетные движения. В дополнение к упомянутому здесь пояснению он отметил далее возможность их получения напрямую из наблюдений в течение продолжительного времени. В принципе, они могли бы быть найдены таким способом, однако, как легко показать, это вряд ли можно было осуществить на практике. Что касается согласования параметров, полученных им из периодических соотношений, то в отдельных случаях это сделано на основе производимых им наблюдений, однако в случае Меркурия и Сатурна наблюдения, на которые он ссылается, не соответствовали выведенным из них, по его утверждению, средним движениям.
62
Модель Птолемея для внешних планет
Солнце, как мы уже видели, хорошо вписывается в эпициклические теории. (По поводу современных представлений об этом предмете см. с. 74 выше.) Если не вдаваться в подробности, то для нижних планет среднее Солнце является центром эпицикла, в то время как для верхних планет радиус эпицикла, несущего на себе планету (отрезок OP на ил. 62), всегда параллелен линии, соединяющей Землю со средним Солнцем (ms). Следует отметить, что на этом рисунке, где C – это центр круга деферента, добавлена еще одна точка E, находящаяся на линии, соединяющей T и C, и отстоящая от C на таком же расстоянии, как и T, но по другую сторону. Эта точка – так называемая точка экванта – позволила Птолемею ввести еще одну аномалию. До этого всегда предполагалось равномерное движение эпицикла вокруг центра деферента. (Аполлоний, можно предположить, думал иначе, но это – спорный вопрос.) Пытаясь вывести размер эпицикла, Птолемей обнаруживает, что он, скорее всего, меняется по закону, не удовлетворяющему обычной гипотезе об эксцентрическом круге деферента. Поэтому он вносит поправку в его угловую скорость, делая ее постоянной не относительно C, а относительно E. (На ил. 62 линия EO параллельна линии, проходящей через T и ml, обозначающей среднюю долготу.)
Введение понятия экванта было тем более похвально, так как оно намечало перелом в традиционной догме, когда все должно объясняться в категориях равномерного кругового движения. Птолемей ввел круг экванта (он не показан на ил. 62), находясь на котором точка, лежащая на продолжении линии EO, вращалась с постоянной скоростью. Это должно было уберечь его от критики, но не уберегло, и четырнадцать столетий спустя мы обнаруживаем, что даже Коперник находил гипотезу экванта безвкусной. Вкус, без сомнения, относится к категории вещей, на формирование которых приходится тратить много времени.
При переходе к Венере и Меркурию роли эпицикла и деферента меняются местами по ранее разобранным нами причинам. Венера обладает большим эпициклом, но в остальном ее движение достаточно легко поддается объяснению. А вот модель, разработанная для Меркурия, представляет нам Птолемея во всей его гениальности. Она включает в себя все встречавшиеся нам до этого идеи. Например, в ней есть центр экванта, представленный на ил. 63 точкой E; есть эпицикл, движущийся по кругу деферента, однако теперь центр деферента C также является подвижным. Мы уже сталкивались с подобным приемом в модели расчета долготы Луны, но в данном случае центром малого круга, по которому движется точка C, является не точка T, а точка K, расположенная на таком расстоянии от E, чтобы отрезок KE был равен отрезку TE. Положение точки C в определенный момент времени задается работой двух углов, отмеченных на рисунке маленькими кружками. То есть они движутся по кругу с постоянной скоростью, но в противоположных направлениях. Птолемей пришел к этой сложной модели, руководствуясь ошибочными наблюдениями, которые натолкнули его на мысль, что у Меркурия имеется два перигея, и ни один из них не находится напротив апогея; они располагаются в точках, отстоящих примерно на 120° от того места, где, предположительно, должен быть нормальный перигей. Вне зависимости от качества его наблюдений, он фактически способствовал возникновению планетной астрономии, где впервые появляется такая фигура, как овал. Каждому положению точки C соответствует строго определенное положение точки O, и траектория точки O является, по сути, результирующей кривой деферента, по которому движется эпицикл. Ее форма показана на рисунке в виде жирной линии (масштаб не соблюден). Некоторые астрономы XIII в. называли ее «шишкой»: она представляет собой стянутый по бокам овал и, в силу наличия небольшого эксцентриситета, очень близка к эллипсу.
63
В довольно сложной модели Птолемея для Меркурия центр круга деферента (C) движется таким образом, чтобы углы с вершинами в точках E и K, отмеченные специальными кружочками, были равны друг другу. Если придерживаться этого правила, то центр эпицикла будет вычерчивать овал, и, коль скоро бы Птолемей захотел, то он мог бы определить эту фигуру как единственную в своем роде стационарную кривую деферента. Некоторые средневековые мастера, специализирующиеся на изготовлении инструментов, так и поступали, но почтение, выказываемое в отношении правильных кругов как обязательного атрибута приемлемой теории, в общем и целом работало против этой идеи.
Птолемей занимался рассмотрением меняющихся планетных движений, доступных для непосредственных наблюдений, однако, помимо этого, он хотел упростить процедуру их расчета для произвольного момента времени, будь то прошлое, настоящее или будущее. Для этого он выработал ряд правил, которые могли шаблонным образом применяться даже неопытными людьми. Бегло ознакомившись со всеми описанными здесь моделями, можно констатировать, что мы имеем ситуацию, когда каждому «среднему движению» – то есть углу, увеличивающемуся с постоянной скоростью, – соответствует другой, немного отличающийся от него угол, который требуется использовать при переходе от составляющих углов к итоговой истинной долготе. Мы впервые столкнулись с этими небольшими отклонениями (так называемыми уравнениями) в солнечной модели. Для упрощения расчетных действий Птолемей составил таблицы средних движений, сопроводив их другими, особыми таблицами, содержащими уравнения. Некоторые из них – это просто функции средних движений, но были и значительно более сложные, требующие введения в вычисление промежуточных членов. Однако в итоге, для получения конечного результата, от астронома требовалось всего лишь прибавить или вычесть соответствующий угол. Но даже в этом случае для расчета положения всех планет на какой-то определенный момент времени, подготовленному астроному требовалось потратить один или два часа, и еще большее время требовалось для определения широт планет.
В тринадцатой книге «Альмагеста» Птолемей ввел в теорию широ́ты – примерно по той же схеме, как это он сделал для Луны. Таким образом, к ранее изложенному в двумерном виде было добавлено третье измерение. Птолемей расположил плоскость планетного деферента под углом к плоскости эклиптики. В случае верхних планет угол наклона оставался неизменным, но для нижних планет ему пришлось сделать его осциллирующим в соответствии с правилами, формулировка которых стоила ему немалых усилий. Затем ему понадобилось расположить в разных плоскостях еще и эпициклы, и здесь он опять изобретает правила их осцилляции для внутренних планет, на сей раз по отношению к плоскости деферента.
Несложно понять причину, почему проблема широты была столь сложна и столь принципиальна для Птолемея и всех других сторонников системы, в центре которой находится Земля. Она заключалась в том, что физически плоскости планетных орбит проходят не через Землю, а через Солнце (поскольку гравитационные силы, действующие на планеты, направлены к Солнцу). Он мог бы частично компенсировать это невидимое препятствие, если бы сделал плоскости эпициклов параллельными плоскости эклиптики. Вне всяких сомнений, огромная его заслуга заключается в том, что он таки сделал это в целях упрощения, когда писал свою позднюю работу «Подручные таблицы», где зафиксировал углы наклона эпициклов Меркурия и Венеры, уточнив присвоенные им ранее значения. К сожалению, он решил сделать постоянными и наклоны эпициклов внешних планет, а это привело к неустранимым ошибкам, хотя позже он исправил данный недочет в своей работе «Планетные гипотезы». (Мусульманские, а затем и западные астрономы следовали в этом вопросе, да и во многих других, правилам, изложенным Птолемеем в «Альмагесте», так что его профессиональные метания почти не оставили никакого следа в истории.) В «Подручных таблицах» можно найти только процедуры, которым нужно следовать, применяя указанные модели, но сами модели никак не доказываются, поэтому у нас нет возможности установить, каким образом он сделал свое открытие. Однако и здесь, и во многих других местах мы видим следы высочайшего гения Птолемея в вопросах отбора и анализа астрономических наблюдений для подкрепления теоретических соображений. Астрономия включает множество других моментов, однако в этом, в высшей степени важном, аспекте Птолемей просто не имел себе равных вплоть до того времени, когда Иоганн Кеплер приступил к анализу наблюдений Тихо Браге.
Невозможно объяснить в двух словах, как параметры отдельно взятой модели могут быть выведены из имеющихся наблюдений, однако некоторые очень краткие общие замечания вполне допустимы. Во-первых, очень важно отдавать себе отчет в том, насколько актуальны такого рода процедуры для любой солидной эмпирической науки, а также в том, насколько редко они встречаются в дошедших до нас документах из столь раннего периода. В «Альмагесте» Птолемей широко использовал наблюдательные данные, однако он начинал не с чистого листа, если можно так выразиться, многие данные он унаследовал от предшественников, и иногда бывает сложно понять, какие из них получены им самостоятельно. В отдельных случаях выданное им за данные собственных наблюдений, было, скорее, подгонкой к заранее известному конечному результату. К тому же дело осложнялось тем, что иногда он располагал гораздо бо́льшим количеством данных, чем ему требовалось на самом деле. Оставляя в стороне все эти соображения, мы можем сказать: предложенная им методика обладала непреходящей ценностью. Закладывая основы общего понимания модели, которую ему нужно было применить к отдельным планетам, он столкнулся с необходимостью ввести понятие углового движения (например, движения в деференте и в эпицикле) и установить относительный масштаб кругов. Если исходить из предположения, что движение является круговым и равномерным, а потому углы, отсчитываемые относительно центра, пропорциональны времени, то нахождение параметров модели предполагает как минимум решение следующей геометрической задачи: нахождение по трем заданным точкам, расположенным на круге, другой точки – внутри круга или вне его – из которой линии, соединяющие ее с этими тремя точками, будут образовывать заданные углы (в случае астрономии именно они и будут являться наблюдаемыми углами). Аполлоний, как считается, решил эту общую геометрическую проблему и сделал это не только эмпирическим путем. Гиппарх, определенно, применял ее к Солнцу и Луне. Астрономы более позднего периода внесли отдельные усовершенствования, поняв, что решение получается более простым, если осуществлять наблюдения в заданный момент времени. Например, если наблюдать Солнце в дни равноденствий и солнцестояний, то углы будут прямыми. В случае Луны, следуя Гиппарху, но исправив предварительно некоторые его расчетные ошибки, Птолемей для точного определения лунных параметров использовал тройки лунных затмений, поскольку в этом случае Земля расположена на одной линии с Солнцем и Луной. Птолемей мастерски осуществил отбор множества других особых случаев, упрощавших решение, и маленькой (хотя и объяснимой) трагедией позднейших астрономов было то, что они слишком часто не уделяли должного внимания методологии Птолемея, предпочитая безоговорочно использовать полученные им многочисленные решения.