Джон Норт
Космос. Иллюстрированная история астрономии и космологии

Полная версия

АПОЛЛОНИЙ И ПЕРЕХОД К ТЕОРИИ ЭПИЦИКЛОВ

Аполлоний из Перги (в прошлом Перга – сегодня обычно произносят «Перге» – античный греческий город на юге Малой Азии) жил во второй половине III – начале II в. до н. э. Он бывал в Александрии. Представляется сомнительным, что он (как шестью столетиями позже утверждал Папп) провел там долгое время, обучаясь вместе с другими учениками Евдокса, но не вызывает сомнений, что он был одним из величайших математиков греческой Античности, сопоставить с которым можно, пожалуй, только Архимеда. Его вклад в геометрию конических сечений (парабола, гипербола, пара прямых, окружность и эллипс) был примерно таким же, как вклад Евклида в элементарную геометрию. Он написал собственное сочинение (его бо́льшая часть основывалась на достижениях предшественников), опираясь на строгий логический метод. Кроме того, он показал, каким образом можно строить кривые, используя методы, очень близкие к используемым в современной аналитической геометрии. Чрезвычайная полезность этих методов в астрономии выяснилась в эпоху Кеплера, Ньютона и Галлея, каждый из которых скрупулезно изучал труды Аполлония.

Интерес Аполлония к астрономии подтверждается множеством косвенных упоминаний. По сообщению одного из авторов, у него было прозвище Эпсилон, поскольку эта греческая буква (ε) внешне напоминала Луну, изучением которой он занимался наиболее интенсивно. В другом источнике говорится, что, согласно его данным, расстояние между Луной и Землей составляет 5 миллионов стадий (около 0,96 миллиона километров), а это примерно в два с половиной раза больше реального. Другой автор, астролог Веттий Валент, расцвет его деятельности пришелся на 160 г. н. э., утверждал, что пользовался таблицами Солнца и Луны, составленными Аполлонием; однако, вероятнее всего, автором таблиц был его однофамилец. Но самое интересное упоминание, относящееся к его астрономическим изысканиям, связано с его теоремой из теории планетных движений. Согласно Птолемею, Аполлоний обнаружил связь между скоростью планеты, движущейся в эпицикле, скоростью центра этого эпицикла, обращающегося по кругу деферента, и двумя расстояниями на рисунке, отображающем положение, когда планета кажется неподвижной, меняя прямое движение на попятное. (См. пояснение этой терминологии в предпоследнем разделе предыдущей главы, где указанные представления были введены с некоторым опережением по отношению к занимаемому ими месту в истории.)

51

Иллюстрация теоремы Аполлония об эпициклическом движении

Описанная конфигурация изображена на ил. 51, где точка O – центр эпицикла, а P – планета. Последняя представляется неподвижной для наблюдателя, находящегося на Земле, обозначенной здесь точкой T. Движение точки P под прямым углом к лучу зрения TQ должно складываться из двух равных и противоположно направленных компонент: одна возникает в силу того, что планете передается скорость точки O, а другая является результатом ее вращения вокруг O и направлена вдоль касательной к эпициклу в точке P. Если разложить эти скорости, то, используя простейшие методы современной геометрии, можно легко получить доказательство следующей теоремы: отношение угловой скорости в деференте к скорости в эпицикле относительно отрезка OT равно отношению PS к PT. (Здесь PS является серединой хорды QP.)

Тот же самый результат можно получить с помощью метода пределов из классической геометрии. Это сделал Птолемей в «Альмагесте» спустя более чем триста лет. Вне зависимости от того, какой метод использован самим Аполлонием, представляется вполне очевидным, что он обладал навыком анализа движения в двух измерениях. Это довольно важно, поскольку если это так, то он был ключевой фигурой на первом этапе разработки идеи эпициклического движения. По утверждению Птолемея, когда он доказывал приведенные выше соотношения, он сделал это как для эпициклического (показано выше), так и для другого, эквивалентного ему представления, где планета движется по траектории, которую мы сегодня назвали бы подвижным эксцентрическим кругом.

52

Эквивалентность определенных типов эксцентрического и эпициклического движений

В эквивалентности этих моделей легко убедиться с помощью ил. 52, где сплошные линии обозначают эпициклическое движение, а пунктир – альтернативное представление. Забудем на время про пунктир. Для попадания в точку P из точки T нужно, очевидно, сначала переместиться в точку O, а затем – в P; или же сначала в точку E по отрезку TE, равному и параллельному отрезку OP, а затем в точку P по отрезку EP, который равен и параллелен отрезку TO. Равенство длин упомянутых здесь отрезков означает, что точки E и P лежат на кругах, изображенных пунктиром, как показано на рисунке. Точку E обычно называют эксцентрической («вне центра») точкой, а внешний пунктирный круг – эксцентрическим кругом. Сам этот круг, надо отметить, подвижен.

С чисто геометрической точки зрения не имеет значения, каким образом производится разделение движения по большим и малым кругам, в силу чего эти два построения являются эквивалентными, и единственное, что вынуждает нас вносить различие в эти понятия, – это исторические причины.

Эксцентрические круги, с ними мы еще встретимся, когда будем рассматривать позднейшие модели, есть не что иное, как фиксированные круги, центр которых находится в точке, не совпадающей с Землей. И здесь будет уместно заметить: они действительно могут рассматриваться как особый тип эквивалентного представления эпициклического движения. Пусть центр большого круга на ил. 52, нарисованного сплошной линией, зафиксирован в точке T, то есть связан с Землей. Если по мере движения точки O по большому кругу отрезок OP будет всегда параллелен отрезку TE, то точка P будет лежать на фиксированном эксцентрическом круге (он изображен на рисунке в виде большого пунктирного круга) с центром в точке E.

ГИППАРХ И ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ ЗВЕЗД

За исключением в высшей степени сомнительного упоминания Веттия о неких таблицах, составленных Аполлонием, нам неизвестно ничего, что подтверждало бы его стремление связать свою эпициклическую теорию планетных положений с наблюдениями. Однако его теоретические наработки подтолкнули к этому других астрономов, и есть все основания полагать, что очень важную роль в этом сыграло использование вавилонских методов. Первым греческим астрономом, приобретшим известность благодаря применению арифметических методов к геометрической теории, был Гиппарх, расцвет деятельности которого пришелся на период между 150 и 125 гг. до н. э. Гиппарх родился в Никее, расположенной на северо-западе Малой Азии (в настоящее время турецкий город Изник), но, судя по всему, работал он в основном на острове Родос. Важность его вклада в развитие астрономии чрезвычайно велика, и используемые им численные методы хорошо известны (зачастую в мельчайших подробностях) благодаря «Альмагесту» Птолемея, цитировавшего Гиппарха чаще, чем других астрономов.

Мы сумеем лучше понять важность вавилонского влияния на развитие астрономии, если примем во внимание, что из всего перечня достижений греческого мира до Птолемея мы с трудом отыщем пару десятков отчетов о проведении точных наблюдений, предшествовавших Гиппарху. Самым ранним является описанное выше наблюдение летнего солнцестояния в Афинах в 432 г. до н. э.; все остальные были проведены в Александрии, начиная с серии наблюдений покрытия звезд Луной, осуществленных Тимохарисом. Это не означает, что наблюдения, в широком понимании этого слова, вовсе не проводились, поскольку за этот период произошло много событий, которые трудно было не заметить. Зачастую отчеты представляли собой не более чем выражение восторга отдельных авторов в отношении туманных предсказаний и не содержали даже даты или времени явления. Среди наиболее часто повторяемых примеров можно назвать наблюдение солнечного затмения, предположительно, предсказанного Фалесом, – человеком, чья репутация в IV в. до н. э. была уже настолько велика, что Аристотель назвал его первым натурфилософом и космологом. На деле, как пишет историк Геродот, Фалес предсказал только год необыкновенной темноты, которая действительно наступила, совпав с окончанием битвы между мидянами и лидийцами на Каппадокийской равнине. Поскольку интерпретация соответствующего места у Геродота (I, 74) Дж. Б. Эри в статье, написанной в 1853 г., не внушает доверия, было принято считать, что предсказание относится к затмению, произошедшему 28 мая 585 г. до н. э. Однако нет никакой уверенности в том, что Геродот имел в виду именно затмение, не говоря уже о способности Фалеса действительно предсказать. Те же сомнения могут быть отнесены к предсказанию солнечного затмения, предположительно, произведенному другом Платона Геликоном Кизикским, который неоднократно награждался за свои труды царем Сиракуз. По расчетам одних ученых, это затмение произошло 12 мая 361 г. до н. э., другие датируют его 29 февраля 357 г. до н. э. В «Исторической библиотеке» Диодора Сицилийского приводится сообщение о событии, когда во время вооруженного столкновения между Агафоклом и карфагенянами «день обернулся ночью»; это явление идентифицируют с солнечным затмением 15 августа 310 г. до н. э. Ничто из вышеперечисленного не может служить наглядным подтверждением наблюдений, проведенных в целях обоснования той или иной астрономической теории. Более многообещающе выглядит туманное сообщение, оставленное Архимедом (ум. в 212 г. до н. э.), о наблюдениях солнцестояний; но у нас нет подробной информации об этих событиях, и даже часто повторяемая история о том, что он измерил диаметр Солнца, получив для него величину в половину градуса (1/720 часть круга), не имеет под собой основания.

Эти несколько примеров дают нам картину, сильно отличающуюся от имевшей место на Ближнем Востоке. У греческой и восточной культур было много точек соприкосновения, и мы уже кратко ознакомились с некоторыми из них, обладавшими астрономическим значением и напрямую связанными с календарем и зодиаком. Мы процитировали утверждение Цицерона, будто тот был знаком с трудами Евдокса и высказывал свое неудовольствие в отношении халдейских астрологических прогнозов. Впервые способ измерения углов в градусах и шестидесятеричная арифметика появляются в Греции незадолго до Гиппарха в трактате Гипсикла «О восхождении созвездий по эклиптике», но Гиппарх, вне всякого сомнения, имел доступ к вавилонским данным и к теории, значительно более изощренной, чем все, что можно было обнаружить в ранних греческих источниках. В самом конце XIX в. Ф. К. Куглер первым догадался об использовании Гиппархом в теории Луны (поиск отношения между количеством месяцев и количеством лет) фундаментальных периодических соотношений, взятых из вавилонской лунной теории, названной нами ранее Системой B. После этого были обнаружены другие, не столь масштабные примеры заимствований, и создается впечатление, что либо резюме вавилонского архива было переведено кем-то на греческий язык для чьего-либо индивидуального пользования, либо кто-то из греческих двуязычных астрономов получил доступ к упомянутому архиву и составил его краткое описание. Вавилонские методы продолжали использоваться в своей традиционной форме и после Птолемея (и даже в Египте римского периода), поэтому Гиппарх мог самостоятельно изучить их по первоисточникам.

Существенным условием реализации любой программы объединения геометрических моделей с наблюдательными данными является использование неких эквивалентов того, что сегодня мы называем тригонометрией. Гиппарх сыграл весьма важную роль в основании этой дисциплины. Он написал работу, посвященную хордам (хорда – линия, соединяющая две точки окружности), и составил простейшую таблицу хорд. Если выбрать радиус в качестве единицы, то, используя современную терминологию, длина хорды, очевидно, будет равна удвоенному синусу половины центрального угла, противолежащего хорде, так что таблица хорд может быть использована как некий эквивалент таблицы синусов. Гиппарх, следуя вавилонской методике, делил окружность на 360 градусов, по 60 минут в каждом, а используемый им стандартный радиус состоял из такого же количества единиц и подразбиений. Позже Птолемей установил радиус равным 60 единицам, задав стандарт, применявшийся вплоть до XVI в. Однако индийская астрономия в течение долгого времени продолжала пользоваться делением, предложенным Гиппархом; кроме того, индийцы унаследовали предложенный Гиппархом расчет хорд методом их последовательного деления надвое, начиная с простых хорд, соответствующих 90° и 60°. Из этого становится понятно, почему углы в 22½°, 15° и 7½° часто упоминаются в позднейших астрономических текстах как фундаментальные.

Как мы знаем по работам Евдокса, у греков была хорошо развита трехмерная геометрия, и есть все основания полагать, что Гиппарх ввел альтернативный способ решения задач, предполагавших использование сферической поверхности (например, задач, связанных с восходами и заходами Солнца и звезд), сведя их к задачам, решаемым посредством плоских кругов и треугольников. (Мы уже упоминали вкратце об этом методе в связи с построением часовых линий в солнечных часах с плоским циферблатом посредством использования конструкции, известной как аналемма.) Похоже, Гиппарх часто решал аналогичные задачи арифметически, что, вне всякого сомнения, было подробно представлено в вавилонских технических приемах. Альтернативный геометрический метод предполагал использование трехмерной небесной сферы с соответствующими большими кругами, которые нужно было проецировать на плоскость аналогично тому, как земная поверхность проецируется на географическую карту. Не вызывает сомнений, что Гиппарх с успехом применял и эту методику, используя различные типы проекций.

53

Эта диаграмма иллюстрирует общий принцип действия плоской астролябии. S ₁ и S ₂  – два положения Солнца при его движении вокруг полюсов (один из них обозначен на диаграмме центральной точкой N). Представлены также соответствующие положения эклиптики – линии годового движения Солнца (e ₁ и e ₂ ) – и звезд. Помечено перемещение только одной звезды. Можно было бы показать и более широкий круг звезд, включая расположенные вблизи Северного полюса мира, но обычно звездная карта изготавливалась таким образом, чтобы охватить только эклиптику, поскольку для наблюдателей, находящихся в Северном полушарии, эта зона включала большинство наиболее ярких звезд. Изображенное движение, соответствующее смещению на угол A, отражает изменения, произошедшие примерно за два часа. Меридиан и местный горизонт, обозначенные на диаграмме двойными линиями, не участвуют в движении Солнца и звезд. Солнце, очевидно, приходит в точку S ₁ спустя примерно полчаса после восхода. Расположение круговой дуги, отображающей горизонт, зависело от географической широты, для которой изготавливалась астролябия. Чтобы получить более подробное представление об этом инструменте, см. ил. 65–68.

Один из способов такого проецирования, который мы называем «стереографическим», был особенно важен в силу влияния, оказанного им на конструирование астрономических инструментов, включая используемые нами по сей день. Он позволял изготавливать звездные карты на плоской поверхности. Он также давал возможность наносить на карту линии, обозначающие местный горизонт, линию меридиана и многие другие координатные линии, установленные в соответствии с местоположением наблюдателя. В инструменте, известном как плоская (или планисферная) астролябия, одна из таких карт накладывается на другую; верхняя карта традиционно изготавливалась на металлической пластине с прорезями, так что сквозь нее можно было разглядеть вторую, нижнюю пластину. Короткая ось в центре (соответствующая полюсу) позволяла вращать звездную карту, имитируя суточное вращение неба относительно местного горизонта и меридиана. Простейший набор основных линий этого важнейшего инструмента изображен на ил. 53. На нем представлена небольшая часть суточного движения Солнца. На звездной карте Солнце располагается в какой-то точке эклиптики. Предположим, что его положение не меняется с течением суток, хотя, конечно, это не совсем так. Поскольку звездную карту можно вращать вокруг центральной оси инструмента, обозначающей полюс, угол, образуемый на инструменте между двумя положениями Солнца (на рисунке он обозначен буквой A), будет таким же, как угол суточного вращения неба в целом и Солнца в частности. Величина угла может быть измерена с помощью шкалы на ободке инструмента, размеченной в градусах, либо в часах. (Полный круг, очевидно, должен был содержать 24 часа, хотя, на практике, часовое деление часто помечалось буквами алфавита, а не числами.)

Астролябия продолжала совершенствоваться в течение двух тысячелетий, и потребовалось бы написать большой трактат для разъяснения всех возможных вариантов ее применения. В конце этой главы приводятся некоторые дополнительные сведения из ее истории. Вполне вероятно, что ее изобретением мы обязаны Гиппарху; в данном случае наш источник – византийский астроном Синезий, хотя он оставил это свидетельство спустя более чем пятьсот лет. Птолемей, безусловно, был хорошо знаком с теорией стереографической проекции, и, если верить Синезию, то можно задаться вопросом о том, каким образом Гиппарх сумел справиться с невероятно сложной задачей по синхронному расчету столь большого количества звездных восходов и заходов, как это было изложено в его многочисленных сочинениях, включая единственную дошедшую до нас работу «Комментарий к „Феноменам“ Арата и Евдокса».

Арат, будучи последователем Евдокса, написал поэму «Феномены»; математик Аттал, уроженец Родоса, написал комментарий к ней, а вскоре после этого Гиппарх последовал его примеру. Это не было началом новой традиции: вавилонский текст, датируемый примерно VII в. до н. э., в котором перечисляется двадцать совокупностей одновременно кульминирующих звезд, является наглядным свидетельством того, что подобные вопросы уже долгое время привлекали внимание людей. В отличие от предшественников Гиппарх составил список точек (градусов) на эклиптике, кульминировавших одновременно со звездами. (Назовем эти величины медиациями звезд.) Изначально казавшееся, возможно, бесцельным упражнением на деле стало средством для довольно точного определения времени проведения ночных наблюдений. Это значительно облегчило работу самому Гиппарху и, по всей видимости, он извлек немало пользы из инструмента, сделанного по типу астролябии, с помощью которого легче производить необходимые вычисления. Нам совершенно точно известно: у него был трехмерный глобус с изображениями созвездий. Высказывалось предположение, что глобус Фарнезе (ил. 54 и 55), вероятно, скопированный с греческого оригинала II в. до н. э., мог быть изготовлен на основе установленных Гиппархом звездных положений. Он, вполне возможно, имеет отдаленное отношение к каталогу Гиппарха и изготавливался через посредство других, промежуточных каталогов, к настоящему времени уже утраченных. И все же можно заметить немало существенных расхождений между положениями звезд на глобусе Фарнезе и тем, как они представлены в сочинении Гиппарха «Комментарий к Арату», так что вряд ли между ними существует прямая связь.

54

Атлант Фарнезе (см. также ил. 55)

55

Рельефное изображение небесного глобуса Атланта Фарнезе в исполнении Джованни Баттисты Пассери (1750). Астроном Франческо Бьянкини произвел тщательное исследование этого глобуса в 1690‐х гг. В греческой мифологии Атлант был осужден Зевсом на то, чтобы вечно держать небо на своих плечах или «подпирать колонны Вселенной». Эта мраморная скульптура получила свое название в начале XVI в., после того как ее приобрел кардинал Алессандро Фарнезе. Впоследствии он выставил ее во дворце Фарнезе в Риме (в настоящее время – Национальный археологический музей в Неаполе). Как полагают историки искусства, эта статуя является римской копией, сделанной во II в. н. э. с греческого оригинала, датируемого, вероятно, II в. до н. э. Знаменитый глобус (около 65 сантиметров в диаметре) представляет собой наиболее раннее из всех известных на настоящий момент изображений подобного типа. Не следует сразу же отвергать идею о высокой точности копирования, и вместе с тем мы не можем быть абсолютно уверены в том, что эта копия верна. На глобусе отмечены зодиак, экватор, а также северный и южный полярные круги. Последняя пара кругов позволяет нам узнать, какие области звездного неба можно было наблюдать постоянно, а какие вовсе не видны с места изготовления глобуса, и таким образом определиться с широтой. К сожалению, нельзя исключать информацию о диапазоне наблюдений, полученную из косвенных источников. Время изготовления, в принципе, может быть определено по положению точек равноденствия (пересечениям эклиптики и экватора) относительно звезд – точек, которые смещаются со временем в результате прецессии. К сожалению, исходя из изображения созвездий, можно дать только грубую оценку предполагаемого положения звезд. Северные полярные области повреждены, поэтому созвездия Малая Медведица и Большая Медведица отсутствуют, но сорок два других созвездия – в полной исправности. Как это обычно и делается на глобусе, созвездия изображены не так, как они наблюдаются с Земли, а как будто бы на них смотрят «снаружи», это вполне логично. Представляется вполне вероятным, что оригинал глобуса предшествовал каталогу Гиппарха и был изготовлен на широте Самоса, Афин, западной оконечности Апеннинского полуострова или Северной Сицилии с погрешностью в один градус или около того.

Упомянутая работа Гиппарха положила начало системе координат, точно определяющей положение звезд. Система Гиппарха не совпадала с нашими «абстрактными» системами, будь то эклиптические долготы и широты или экваториальные склонения и прямые восхождения. Эти последние стали результатом постепенного развития его системы, основанной на склонениях и медиациях, – той самой, которая вскоре, по стечению обстоятельств, перешла в индийскую астрономию. Гиппарх составил собственный каталог звезд, однако не все их положения определялись через координаты; в отдельных случаях он, вероятно, всего лишь определял линию, на которой лежит звезда, давая приблизительную оценку расстояний. В III в. до н. э. Аристилл и Тимохарис составили список, содержащий несколько склонений. В «Естественной истории» Плиния Старшего сказано об обнаружении Гиппархом «новой звезды». Что это было на самом деле – не вполне ясно. Зафиксировав ее движение, он задался вопросом – а не ведут ли себя подобным образом другие звезды, и тем самым проложил путь к своему открытию – все звезды действительно очень медленно движутся параллельно эклиптике. Их эклиптическая долгота возрастает.

Вплоть до эпохи Коперника это движение рассматривалось как «движение восьмой сферы» – сферы, которая, как полагали, несет на себе звезды. Как мы сказали бы сегодня, исходя из коперниканской концепции, это была подвижная система отсчета. Земная ось совершает медленное конусообразное движение, приводящее к кажущемуся круговому движению точек равноденствия по эклиптике с востока на запад. Известно, что это «предварение равноденствий», или прецессия, составляет чуть более 50″ в год или 1° за 72 года. Гиппарх пришел к выводу, что эта величина должна быть не меньше, чем один градус за сто лет – по-настоящему выдающееся открытие. Но неужели оно было сделано исключительно из сопоставления звездных положений?

Движение точек равноденствия, очевидно, влияет на соотношение, связывающее продолжительность года, измеряемого по возвращению Солнца к какой-либо выбранной звезде, и по его возвращению в одну из равноденственных точек (или точек солнцестояния). В предыдущей главе мы показали, что последний период, называемый тропическим годом, короче первого – сидерического года. Гиппарх знал величину этой разности, и хотя он действительно пытался определить это медленное движение путем рассмотрения положений звезд, указанных Тимохарисом, скорее всего, более точный результат был получен им из сравнения сидерического и тропического годов. Его данные для последнего периода охватывают наблюдения равноденствий со 162 по 128 г. до н. э. и наблюдения лунных затмений, ценность которых заключается в том, что они позволяют точно определить положения, когда Луна, Земля и Солнце находятся на одной линии. Он довольно точно установил продолжительность тропического года, оказавшегося у него равным 365¼ суток минус 1/300 часть суток. На самом деле, последняя дробь должна равняться примерно 1/128, но Птолемей признавал первое соотношение правильным. Нам не известно значение, полученное Гиппархом для сидерического года, и мы можем дать только приблизительную оценку этой величины, основываясь на верхней границе интервала, приведенного им для прецессионного движения. (Если исходить из 1° за сто лет, то она оказывается равной 365¼ суток, плюс 1/144 часть суток.)

Иногда бывает полезно поразмышлять о том, насколько мало мы знаем о последовательности предпринятых действий, а значит и о мотивах проведения столь колоссальной астрономической работы. Что подсказало Гиппарху правильный путь определения того явления, которое мы сегодня называем прецессией, – продолжительность ли года, или положения звезд, или счет ночного времени? Точные положения звезд были нужны Тимохарису, возможно, только для определения продолжительности лунного месяца. Его наблюдения Луны не предполагали проведение угловых измерений: они сводились к наблюдению покрытий звезд с отсчетом времени в сезонных часах.

Сегодня было бы абсурдно, подражая пан-вавилонистам, говорить о ближневосточном «открытии прецессии». Как показано в первой главе, в каком-то смысле «понимание прецессии» не было чуждо и доисторическим наблюдателям, обнаружившим, что восходы и заходы звезд происходят не в местах, отмеченных их предками. В известном отношении, об этом движении знали и вавилонские астрономы, первыми осознавшие существование различия между тропическим и сидерическим способами измерения долготы Солнца. Однако, даже если мы сделаем такое заявление, это не означает, будто кто-либо из древних наблюдателей был способен предложить рациональное обоснование указанного расхождения, как это сделал Гиппарх. Решающим фактором в данном случае является достижение Гиппархом правильного понимания универсальности этого едва заметного смещения звезд после довольно продолжительного периода, когда он полагал, что оно относится исключительно к звездам зодиакального пояса.