полная версия

Анатолий Васильевич Молчанов
Население Земли как растущая иерархическая сеть

Миф о том, что население Земли не росло по закону гиперболы

Неспособность объяснить парадоксальный гиперболический рост населения Земли привела некоторых российских ученых к отрицанию самого факта такого роста. Так, С.В. Цирель утверждает, что показатель степенной функции в формуле Фёрстера «необязательно равен единице и необязательно неизменен в течение всей истории человечества»^[157]. (См. «Двойной обман С.В. Циреля».)

Выдающийся советский и российский демограф и экономист А.Г. Вишневский написал статью «Демографический переход и гипотеза гиперболического роста населения», в которой поставил под сомнение исследования Фёрстера и других ученых^[159]. В этой статье он критикует трактовку демографического перехода сторонниками, как он пишет, гипотезы гиперболического роста. А.Г. Вишневский считает, что С.П. Капица умножал сущности без надобности, усложнял и мистифицировал картину роста населения Земли. Особой критике он подверг главный принцип теории Капицы: принцип демографического императива, согласно которому рост человечества никогда не зависел ни от каких ресурсов^[160].

Доктор биологических наук Николай Векшин (а еще он поэт, писатель и бард!) опубликовал сборник «Переосмысление перманентных парадигм», в котором есть статья  «Гиперболический казус Капицы»^[168]. В этой статье он высказывается в негативном ключе в адрес теорий гиперболического роста населения мира.

Сборник Векшина читается легко и с большим удовольствием, но с заметками по теории Капицы, СТО и некоторыми другими согласиться невозможно. Здесь мы имеем дело с тем случаем, когда мыслящий и, безусловно, талантливый человек пытается судить о предмете, далеком от его деятельности, не и имея о нем достаточно полной информации. Приведем некоторые выдержки из этой статьи с нашими комментариями:

«Вопреки этому, в книге Капицы „Парадоксы роста: Законы развития человечества“ (М., 2010) говорится именно о гиперболическом росте населения Земли за последние 4000 лет^[169]. Почему за 4000 лет? Во-первых, для более древних времен практически нет данных. И, во-вторых, при экстраполяции, например, на 8000 лет функция Капицы устремляется в нуль^[170]. А это вступает в противоречие с общепринятым мнением, что история человечества насчитывает примерно 100 тысяч лет.

Но что касается точных цифр, необходимых для построения именно гиперболы, а не экспоненты или иной резкой функции, то для всей многотысячелетней истории человечества существует большая неопределенность^[171]» «…»

«В книге Капицы  приведена формула N = 200 x 10⁹/(2025 – T). Откуда взялась цифра 2025? Она была «угадана» Капицей^[172], а все исходные цифры «округлены и поправлены» так, чтобы при экстраполяции с использованием гиперболической функции получить именно это число^[173]. Гиперболическая функция весьма крутая, поэтому малейшие неточности в данных о народонаселении в течение веков должны дать колоссальную неопределенность в прогнозе^[174]. Капица это проигнорировал. По Капице, 2025 год это демографический Апокалипсис^[175]. Сразу после 2025 года функция уходит на бесконечность^[176]. Абсурд» «…»

 «Вообще в разных странах в одно и то же время рост населения ведет себя абсолютно по-разному и описывается совершенно разными математическими функциями. Капица же берёт некую «среднюю по планете» функцию^[177]. Это как в анекдоте про «среднюю температуру по палате». Почему Капица предсказал Апокалипсис именно на 2025-й год? Потому что 2010-й год прошел, не вызвав Апокалипсиса^[178]. Таким образом, гиперболическая модель С.П.Капицы не более, чем псевдонаучный казус^[179]».

 

В.Г. Кононов в статье «Мистика и истина гиперболического закона»  пишет о том, что результаты, полученные классиками закона гиперболического роста основаны почти исключительно на оценках за 1650—1970 гг. Именно в это время, по его мнению, «рост численности человечества был наиболее жестко связан с определяющим влиянием фундаментальных процессов накопления информации, под которые подстраивались все прочие процессы человеческого развития». В другие периоды динамика численности населения, как он считает, подчинялась другим законам^[162].

В статье «О гиперболическом росте человечества» Д.Г. Егоров, М.А. Манойлова и К.В. Селезнёв пришли к выводу, что «эмпирическая зависимость фон Фёрстера является гипотезой, в сущности, не имеющей убедительного эмпирического обоснования»^[167][166].

Здесь мы попытаемся убедить читателя в ошибочности подобных представлений.  Прежде всего, зададимся вопросом: что значит утверждение о том, что рост населения был гиперболическим? Ясно, что реальная кривая роста населения Земли не была гладкой и монотонной со всеми своими производными функцией и что на ней присутствует множество «выбоин и зазубрин». Понятно, что первая производная от численности по времени или скорость роста на всем протяжении эволюции человека испытывала множество взлетов и падений. Ясно также, что данные по численности имеют значительную погрешность и она растет по мере удаления в прошлое.

Но когда встает вопрос о том, по какому закону росло человечество последние несколько сотен лет, нужно подобрать гладкую, монотонно возрастающую на выбранном интервале исторического времени функцию, наилучшим образом отвечающую известным демографическим данным. Необходимо выбрать один из нескольких известных законов роста, уравнение которого задает эту функцию, если, конечно, такой закон существует и рост населения мира не представлял собой чисто стохастический процесс.

Про этот закон можно сказать следующее: он должен быть известным и простым по форме, должен описывать на выбранном промежутке неограниченный монотонный рост и, кроме того, у функции, определяющей этот рост, как и у сглаженной эмпирической зависимости численности населения Земли от времени, должна быть положительная кривизна.

Таким образом, исключаются все законы немонотонного роста такие, как циклический рост, законы ограниченного роста – такие, как логистический рост; а из законов монотонного роста следует исключить логарифмический, а также степенной рост с отрицательной или равной нулю кривизной N(t):  dN/dt = αN^p  (p  ≤  0). Остаются, если говорить о наиболее известных простых законах неограниченного роста, законы степенного роста (dN/dt = αN^p): параболический (0 < p <  1), экспоненциальный (p = 1) и гиперболический (p > 1). Этим данный список, конечно, не ограничивается: сюда могут быть добавлены некоторые другие элементарные функции и их комбинации. Но наиболее часто встречающиеся законы роста, удовлетворяющие обозначенным условиям, – это экспоненциальный (p = 1), параболический (p = 1/2) и гиперболический (p = 2).

Простота закона выражается в том, что уравнение, описывающее такой закон, содержит минимальное число постоянных, определяющих рост. Следовательно, дифференциальное уравнение этого закона должно быть первого порядка, а его решения зависеть от двух параметров: константы роста и начального условия, точнее, фиксированного значения численности в некоторый заданный момент времени. Константа роста – это системный инвариант и у каждого закона роста она своя.

Поясним это на примерах. Закон экспоненциального роста описывается уравнением dN/dt = αN  и его решение N = N₀e^αt определяется значением численности в некоторый начальный момент времени N₀  и постоянной роста α, обратная от которой 1/α – время, за которое численность возрастает в 2,7 раза.  Это время и есть системный инвариант экспоненциального роста, т. к. не зависит от численности и остается неизменным в его процессе.

Инвариантом линейного роста является скорость, параболического – ускорение роста численности. Инвариантом гиперболического роста, по закону которого росла численность населения Земли, является постоянная Фёрстера: произведение численности N(t) в любой момент времени  t на время t_с − t,  оставшееся до наступления сингулярности.

Чтобы проверить был ли рост численности населения мира гиперболическим последние две тысячи лет используем данные по росту населения Земли, взятые из наиболее известных и надежных источников [40]. По методу наименьших квадратов найдем гиперболу, наилучшим образом отвечающую этим данным. Приведенный инвариант роста определим как произведение численности N(t) в момент времени t на время до сингулярности t − t_с,  поделенное на постоянную Фёрстера C (t_с = 2022 год, C = 189 млрд лет).

Таблица 1. Подсчет приведенного инварианта роста за последние две тысячи лет по данным, представленным в работе Остина и Брюэра [40] ( t_с = 2022,   C = 189 млрд).

Из таблицы 1 видно, что отклонения приведенного инварианта роста от единицы за последние две тысячи лет не превосходят восьми процентов. Следовательно, можно говорить о том, что рост населения Земли от начала новой эры до шестидесятого года прошлого столетия с хорошей точностью был гиперболическим.

Но может быть можно подобрать какую-нибудь другую простую функцию, моделирующую рост населения мира с такой же, или даже с лучшей точностью? Возьмем наиболее простой закон роста dN/dt = αN^p и определим по методу наименьших квадратов экспоненту (p = 1), квадратичную параболу (p = 1/2)  и «школьную» гиперболу (p = 2), наилучшим образом отвечающие демографическим  данным (таб. 1) за последние триста лет, и сравним их между собой^[180]. Результат представлен на рисунке 1.

Рис. 2. Экспонента, парабола и гипербола, наилучшим образом отвечающие данным по населению мира за последние триста лет. [40]

Из приведенных графиков видно, что экспоненциальный закон не может обеспечить необходимую скорость роста на заключительном его этапе. Параболический закон делает это гораздо лучше. Но наилучший результат у гиперболы Фёрстера N(t) = 189/(2022 − t) млрд: все точки, отвечающие демографическим данным, практически точно лежат на графике. Об этом говорит и сумма квадратов отклонений теоретической кривой от демографических данных: у гиперболы она гораздо меньше, чем у экспоненты и параболы^[181]. Возможно, кто-то поставит под сомнение данные по численности, взятые из работы [40]. Так, А.Г. Вишневский пишет:

«… А. Подлазов и другие сторонники теории гиперболического роста, строя свои модели, имеют дело не с реальными эмпирическими данными, а с квазиэмпирической моделью, построенной другими исследователями, и оценивают успешность своих модельных построений, исходя из того, насколько построенные ими графики соответствуют тому, что они называют реальными данными, но что, на самом деле, таковыми не является». «…»

«Объединение и усреднение всех имеющихся приблизительных оценок [Goldewijk etal.  2010;  HYDE  2011]  позволяет  построить  усредненную  кривую  численности  мирового населения  за  всю  историю  его  существования  (рис.  1),  но  изначально  ясно,  что  это  приблизительная,  идеализированная,  сглаженная  кривая,  такая  идеализация  заложена  в самой  процедуре  оценок^[163].  Имея  крайне  ограниченную  и  ненадежную  информацию  о реальных  величинах^[164],  авторы  оценок  должны  были  стремиться  к  их  правдоподобию  и сообразовывать  их  со  своими  самыми  общими  априорными  представлениями  об исторической динамике мирового населения^[165]».

 

Д.Г. Егоров, М.А. Манойлова и К.В.Селезнёв^[166] выражают сомнение в достоверности данных по численности населения мира, использованных Фёрстером и его последователями, и считают, что «если какие-то данные укладываются на графике вблизи какой-то кривой (описываемой какой-либо математической формулой), это зачастую означает просто совпадение, более–менее случайное».

Но усредненные данные по одиннадцати независимым бюро населения в таблице 2 и на рисунке 2 однозначно указывают на гиперболическую зависимость (данные и ссылки на источники можно найти здесь^[182]). О какой тогда ненадежности данных, и о каком тогда случайном совпадении может идти речь?

Таблица 2. Усредненные данные по численности населения Земли в млн по разным бюро населения^[182].

Рис. 3. Экспонента, парабола и гипербола, наилучшим образом отвечающие усредненным данным по населению мира за последние триста лет, взятым из разных источников.

Необходимо отметить следующее: квадратичная парабола, т. е. полином второй степени, полностью определяется тремя параметрами и поэтому ею обычно проще интерполировать данные, чем экспонентой или «школьной» гиперболой, у которых таких констант только две. Если же взять полином третьей степени – можно еще больше уменьшить сумму квадратов отклонений (24), но только полином четвертой степени даст лучший результат (7), чем у гиперболы.

Однако интерполяция данных полиномом не является здесь целью, т. к. численным коэффициентам при степенях полинома невозможно приписать какой-то смысл. И, кроме того, важно понимать, что интерполяционные многочлены высших степеней – это всего лишь случайные и довольно сложные функции, т. к. их графики максимально приближаясь к отдельным точкам заведомо зашумленных  данных, могут менять знак своей кривизны.

Следовательно, если говорить о зависимости, которой соответствуют представленные в таблице 2 данные, то можно вполне обоснованно утверждать, что это не какая-то случайная или близкая к гиперболической надэкспоненциальная функция, возникшая в результате гиперболического тренда, согласно изобретательской теории Коротаева, а функция в точности гиперболическая. Вывод здесь простой: рост населения мира последние несколько столетий был гиперболическим, и это никакая не гипотеза, как считает А.Г. Вишневский, а надежно установленный факт.

Демографические данные по населению мира от начала новой эры до начала семнадцатого века по наиболее надежным источникам, которыми пользовались  Фёрстер и его коллеги, Хорнер, Остин и Брюэр, ‒ указывают на гиперболический рост.  Но если рассматривать эти данные по всем существующим бюро населения^[182], то можно отметить, что они противоречивы и плохо согласуются между собой. Ясно только то, что за это время народонаселение выросло в 2–4 раза, причем, учитывая большой разброс оценок,  эти данные никак не указывают на немонотонность или стохастичность роста, как полагает В. Кононов^[161], говоря об аттракторе и бифуркациях^[162]:

«Как бы то ни было, уверенный рост численности населения перед началом и во втором тысячелетии нашей эры выглядит как движение по аттрактору. Напротив, в начале нашей эры рост численности населения был невелик или вообще отсутствовал. Если оценки численности населения в нулевом году лежат в диапазоне 150-330 млн человек, то для 500 г. н.э. приводятся оценки от 190 до 250 млн. На протяжении этих 500 лет интервалы некоторого роста сменялись интервалами стагнации, а возможно и сокращения численности. Такую картину можно интерпретировать как переход человечества в начале нашей эры в зону бифуркаций»^[183]

Возникает вопрос: а нужно ли вообще стремиться найти закон, по которому росло человечества до 1650 года? Существует ли такой закон в действительности, или рост во все времена, кроме последних нескольких столетий, нельзя описать математически? А.Г. Вишневский считает, что вполне достаточно только качественных оценок и трехциклической схемы Эдварда Диви-младшего:

«…Одним из таких авторов был Эдвард Диви-младший. Его оценки, численности населения за период с 10000 года до н.э. приведенные в хорошо известной демографам статье The Human Population [Deevey 1960], принял Крамер, а значит и те, кто заимствует их у Крамера, хотя сам Диви относился к ним достаточно скептически, полагая, что основания оценок до 1650 г. ненадежны, „можно подозревать, что авторы копируют догадки друг друга“ [Deevey 1960: 197]. Важнее, однако, другое. Диви тоже рисовал график, подобный тому, какой представлен на рис.1, но лишь для того, чтобы сказать, что, при выбранном масштабе, различия в оценках на большем протяжении графика не имеют большого значения и „теряются в толщине линии чертежника“^[158] [Там же: 197], ‒ это заставляет вспомнить о „длинном тонком фитиле“ Кингсли Дэвиса. Вместо этого графика он представил принципиально иной схематический график (рис. 2), который опирался не на немногочисленные и ненадежные количественные оценки, а на содержательные представления, накопленные к тому времени экологами, историками и демографами»^[159]

По нашему же мнению, существуют убедительные аргументы в пользу представления о том, что рост человечества на всем протяжении исторического развития от начала неолита до второй половины двадцатого столетия был гиперболическим.  Перечислим все их по порядку:

 1. Последние триста лет рост населения Земли был гиперболическим, чего не отрицают и противники теорий гиперболического роста. За это время численность  выросла в шесть раз: от полумиллиарда до трех миллиардов. При этом сменилось множество поколений. Такой устойчивый гиперболический  рост подразумевает непонятную системность «популяции» Homo sapiens, системность необъяснимую, если исходить из редукционистских представлений^[147].

Действительно, эпоху гиперболического роста от 1650 до 1960 года можно условно разделить на два этапа: 200 лет до начала демографического перехода (середина XIX века) и 100 лет после него – вплоть до демографического взрыва, начала мирового демографического перехода и отхода кривой роста от гиперболы.

Демографический же переход сам состоит из нескольких этапов, на момент завершения последнего из которых воспроизводство населения сводится к простому замещению поколений, а затем  и к депопуляции. Этот процесс охватывает весь мир, и разные страны проходят его в разное время и по разному.

Таким образом, гиперболический рост 1650–1960 гг. происходил сначала в условиях традиционного общества (высокая рождаемость – высокая смертность), а затем в процессе многоэтапного демографического перехода в условиях общества, приближающегося к современному (низкая рождаемость – низкая смертность). При этом оказывается, что рост этот как сумма всех своих составляющих (по странам и народам) может быть описан с помощью простейшей математической функции. Такое возможно лишь в том случае, если население Земли представляло собой в этот период некую единую систему, законы роста которой нам пока  неизвестны^[148].

Если бы существовала общепринятая теория, объясняющая системность человечества в период 1650–1960 гг. и, как следствие этой системности, закон, по которому росло тогда население Земли, то можно было бы указать причины, по которым этот закон мог не выполняться во все предыдущие времена.  Раз такой теории нет, и загадка гиперболического роста остается нерешенной, логично предположить, что неизвестные нам причины, направлявшие рост на гиперболу Фёрстера после 1650 года, работали и до 1650 года.  И это вполне корректно, поскольку известно, что численность в этот период росла, и представление о том, что ее рост происходил по гиперболе Фёрстера, продолженной от 1650 года в прошлое, никак не противоречит всем имеющимся данным.

2. В главе «Законы роста численности изолированных популяций» мы показали, что при экспоненциальном росте время удвоения численности остается постоянным и не зависит от растущей численности. В случае любого другого роста это время может меняться в его процессе, причем эта зависимость в принципе может иметь какой угодно вид.

Но только при гиперболическом росте время удвоения численности сокращается в два раза при ее двукратном увеличении. Б.Ф. Поршнев, И.М. Дьяконов, Ю.В. Яковец, С.П.Капица, автор этих строк, другие исследователи пишут об ускорении развития человечества как системы во всем диапазоне исторического времени от неолита до второй половины XX века, о циклическом, ступенчатом   восхождении цивилизации к вершинам прогресса (предполагается, что приведенный интегральный индекс глобального развития в текущем цикле исторического процесса возрастает во столько же раз, во сколько сокращается продолжительность этого цикла по сравнению с предыдущим). То есть величина этого ускорения, и это принципиально важно, есть величина постоянная, а все ее экспертные оценки находятся в интервале от двух до трех. Иначе говоря, показатель развития цивилизации во все времена при переходе от цикла к циклу возрастал в той же мере, что и в период 1650–1960 гг., когда рост численности был гиперболическим.

И теперь самое главное. Во всех существующих теориях этот показатель пропорционален растущей численности: S ~ N. У С.П. Капицы – это принцип демографического императива и закон ускорения исторического времени, у М. Кремера – число изобретателей, а, следовательно, новаций и инноваций пропорционально численности, у А.В. Подлазова – суммарный текущий уровень развития технологий (в его понимании)  пропорционален численности p(t) ~ n(t)^[149], в нашей модели уровень развития цивилизации измеряется размером сопровождающей ИС, который пропорционален численности, у профессора Стэнфордского университета Иэна Морриса индекс социального развития, характеризующий уровень достижений человеческой цивилизации в эпоху гиперболического роста, также пропорционален текущей численности населения Земли^[150].

Следовательно, численность, так же как другие показатели глобального развития, такие как мировое энергопотребление, мировой ВВП, индекс социального развития по Иэну Моррису – росла по закону геометрической прогрессии на последовательности циклов эволюции и истории, сокращающихся по закону той же самой прогрессии, что возможно только при гиперболическом росте. Т. е. факт гиперболического роста подтверждается не только демографическими но и всеми вышеперечисленными социальными исследованиями. И еще раз:

Если бы развитие человечества как системы происходило циклически, при неизменной длительности таких циклов, а численный показатель уровня развития S с каждым циклом увеличивался в одно и то же число раз, то рост численности (с учетом N ~ S) был бы экспоненциальным. Т. к. в действительности, по мнению целого ряда исследователей, историческое время ускорялось и длительность глобальных циклов эволюции и истории не оставалась неизменной, а сокращалась по закону геометрической прогрессии, то есть все основания утверждать, что рост населения мира был гиперболическим.

Действительно, последние триста лет человечество развивалось циклически и сокращающихся по закону прогрессии циклов роста и развития, укладывающихся в этот промежуток времени, по оценкам разных экспертов, было от трех до четырех. Если взять произведение прироста численности за каждый такой цикл на его длительность, получим одно и то же значение (равное половине постоянной Фёрстера для сетевой модели^[155]),  с погрешностью всего в несколько процентов. Что возможно только при гиперболическом росте. Следовательно, значение численности в момент начала каждого из этих циклов соответствует уравнению Фёрстера.

Поскольку такая цикличность развития  системы «все человечество в целом» наблюдалась во все исторические времена, то можно с достаточным основанием утверждать, что все узловые точки роста численности, отмечающие начало каждого глобального исторического цикла, лежат на гиперболе Фёрстера.

Окончательный вывод таков: рост населения Земли с момента начала неолита до второй половины двадцатого столетия был гиперболическим, по крайней мере численность населения мира соответствовала гиперболе Хорнера в момент начала каждого из глобальных исторически циклов (это можно утверждать безо всякого обращения к демографическим данным) при соблюдении двух условий:

1. Существует количественный показатель уровня развития цивилизации, причем его величина во все времена была пропорциональна текущей численности населения Земли.

2. Всю историю человечества можно разбить на сокращающиеся по закону прогрессии исторические циклы, в момент окончания каждого из которых этот показатель возрастал во столько же раз, во сколько данный цикл сокращался по сравнению с предыдущим.

В то же время необходимо отметить следующее: если реальный рост населения Земли в период от начала неолита до 1600 года действительно в значительной мере отклонялся от гиперболы Хорнера, как полагает Валентин Кононов^[156], то  это полностью разрушает редукционисткие модели Капицы, Коротаева, Циреля, Подлазова… но только не сетевую модель. Это так, поскольку гиперболический рост населения мира в сетевой модели возникает не по причине непрерывно действующего закона квадратичного роста, определяющего автокаталитический процесс, как во всех этих моделях, а есть следствие системы приоритетов в достижении определенных этапов роста сети.

Приоритет нижнего уровня – приоритет по Кондратьевским циклам – может быть нарушен в целях сохранения приоритета по историческим циклам, сокращающимся по закону прогрессии. Эти циклы последние 300 лет сгущаются к точке сингулярности, поэтому закон гиперболического роста проявляется в это время наиболее отчетливо. Но и этот приоритет мог быть в принципе нарушен для выполнения главного приоритета на величину численности за цикл до сингулярности (тогда бы  не было никакой гиперболы мирового демографического роста).

3. Если человечество  никогда не росло по закону гиперболы, то не существует и никаких постоянных эволюции и развития, связанных с этим ростом.  Этот вывод сохраняется и в том случае, если считать, что рост, как пишет С.В. Цирель, был «гиперэкспоненциальным и неплохо описывается (хотя бы на отдельных крупных участках) гиперболическими уравнениями…»^[157]. Сохраняется он и тогда, когда гипербола роста представляется  случайной суперпозицией нескольких независимых процессов^[166].

Постоянная Фёрстера – это первая и самая важная постоянная, характеризующая рост населения мира как системы. Ее значение C = 189 млрд лет было получено в результате обработки данных мировой демографии за последние несколько столетий. Здесь важно то, что константа эта имеет размерность времени, что соответствует наиболее простому степенному закону роста («школьной» гиперболе) с показателем степени, равным минус единице. То, что такой результат работы Фёрстера и его коллег не может считаться простой случайностью рассмотрен нами в главе «Константы Капицы».

Характерное время τ = 42 года и характерная численность K = (C/τ)^0.5 = 67000, введенные С.П. Капицей,  являются производными от постоянной Фёрстера. С помощью этих постоянных С.П. Капице удалось с удивительной точностью описать рост населения мира и глобальный демографический переход, подсчитать число всех, когда-либо живших на Земле людей, вычислить время начала неолита, разбить время эволюции человека и историю человеческого социума на глобальные исторические циклы. Могут ли все эти результаты, которых бы просто не существовало, не будь гиперболы Фёрстера, рассматриваться как простая случайность?

И, наконец, сетевая модель, изоморфная модели Капицы, позволяет вывести константы роста и гиперболу Фёрстера без всякого обращения к демографическим данным, а исходя лишь из чисто теоретических соображений^[184]. Может ли это тоже быть всего лишь делом случая? На наш взгляд, существует слишком много аргументов, говорящих в пользу роста населения Земли по закону гиперболы, и всем противникам этой точки зрения рано или поздно придется это признать.