полная версия

Анатолий Васильевич Молчанов
Население Земли как растущая иерархическая сеть

Расщепление постоянной Фёрстера С на константы
Капицы К и τ

Сравним сначала законы экспоненциального и гиперболического роста численности популяции с точки зрения возможности введения в рамках этих законов характерных масштабов времени и численности.

Рис. 1. Экспоненциальный и гиперболический закон роста численности популяции.

Если математические уравнения, описывающие некий закон, не содержат масштаб, в котором могут быть измерены входящие в него переменные, то такой закон называется масштабно-инвариантным относительно этих переменных. В физике масштабная инвариантность означает неизменность уравнений, описывающих какой-либо процесс при изменении всех расстояний и промежутков времени в некоторое число раз. В теории фракталов под масштабной инвариантностью, самоподобием понимают неизменность структуры фрактала при изменении масштаба протяженности, в котором он наблюдается.

Насколько правомерно говорить о масштабной инвариантности закона роста населения Земли, как это делает С.П. Капица, основываясь лишь на том факте, что рост этот описывается степенным законом?

Возникает вопрос: масштабная инвариантность чего? Масштабная инвариантность – это неизменность уравнения или структуры. Речь здесь явно не может идти ни о какой структуре исторического или демографического процесса во времени. Никто же не станет всерьез утверждать, что каждый из исторических циклов в модели Капицы – это сжатая копия предыдущего!

Остается степенная зависимость численности от времени, которая, как и всякая другая степенная зависимость, является инвариантной к масштабам, в которых измеряются входящие в нее переменные. (Т. е. степенная зависимость N(t) сохраняется при изменении масштабов N и t.) Что позволяет в этом смысле говорить о законе роста населения мира, как о законе масштабно-инвариантном.

Но несет ли такая масштабная инвариантность этого закона какой-либо смысл, объясняется ли эта его чисто математическая инвариантность природой процесса роста численности населения Земли или не имеет к ней никакого отношения? Ведь даже в каузальном отношении суть его остается непонятной.

В случае экспоненциального роста показатель n = 1, дифференциальный закон роста является линейным и экспоненциальная зависимость численности от времени содержит встроенный в этот закон масштаб времени τ = 1/α. Что это означает?

Это означает то, что такой рост и такой закон роста нельзя считать масштабно-инвариантными по отношению к переменной t. Действительно, за время τ численность популяции всегда возрастает в 2,7 раза независимо от того, какого значения она достигла к этому моменту времени.

Это свойство закона экспоненциального роста популяции уникально по сравнению со всеми другими законами роста, вне зависимости от того является ли этот закон причинным или таковым не является, т. е. определяет ли положительную обратную связь между численностью и естественным приростом или не определяет, а выражает лишь связь чисто функциональную, непричинную (не ПОС), сопутствующую.

Причина уникальности – в линейности дифференциального уравнения, описывающего рост, и как следствие этой линейности, – независимости (в случае линейной ПОС между численностью и приростом) роста каждой части популяции от другой.

* * *

Следует отметить, что никакого встроенного масштаба численности закон экспоненциального роста популяции не содержит, т. к. численность за время τ возрастает, как мы уже отмечали ранее, в 2,7 раза независимо от того, с какого значения начался ее рост.

Закон гиперболического роста (n > 1), так же как и любой другой степенной закон, является в указанном нами смысле масштабно-инвариантным и не содержит никаких «встроенных» в этот закон масштабов времени и численности.

Например, если N(t) = Ct^m и взять t₁ = kt, а N₁ = k^mN, то закон роста останется неизменным: N₁ = Ct₁^m, т. е. он оказывается инвариантным по отношению к согласованному изменению единиц измерения времени и численности (увеличению первой в k раз, второй – в k^m раз).

Чего не скажешь о законе экспоненциального роста; если N(t) = N_oe^t/τ и взять, например, t₁ = kt, то никаким изменением масштаба N₁ = k₁N закон роста к прежнему виду не привести: N₁(t) = N_o(e^t/τ)^k → N₁(t) = No^1-k(N(t))^k ≠ k₁N(t).

* * *

Если сравнивать законы экспоненциального и гиперболического роста популяции с точки зрения характерных масштабов времени и численности, то необходимо отметить, что независимо от их каузальной интерпретации, закон экспоненциального роста содержит «встроенный» в этот закон масштаб времени, но не содержит никакого «встроенного» в него масштаба численности.

Закон же гиперболического роста, как таковой, не содержит никаких «встроенных» в этот закон масштабов времени и численности. Но если для него существует некий «сторонний», не связанный с уравнением роста масштаб, например, масштаб времени τ, то масштаб численности определяется с полной однозначностью из условия N₁ = C/τ (n = 2).

Действительно, если поделить числитель и знаменатель выражения N(t) = C/(t₀ – t) на характерное время τ (в общем случае делим на τ^n-1), то время роста будет выражаться в единицах характерного времени τ, а численность в характерных единицах численности: N' = C/τ. Т. е. закон гиперболического роста популяции, в отличие от закона экспоненциального роста, либо вообще не имеет никаких характерных масштабов ни для N, ни для t, либо имеет их сразу оба.

Есть еще одно важное отличие экспоненциального роста популяции от гиперболического. Заключается оно в том, что эволюция популяции, численность которой растет по экспоненциальному закону, не может происходить циклически, тогда как в случае гиперболического роста с характерным временем и характерной численностью ее эволюция, по-видимому, должна быть циклической.

Что означает понятие цикличность в применении его к процессу роста популяции? Цикличность – это ритм, в котором происходит ее эволюция; ритм, связанный с процессом роста и с четко обозначенными на шкале абсолютного времени фазами этого процесса, отмечающими его подъем, стабилизацию и стагнацию.

Если считать численность растущей популяции мерой ее эволюции, то ее экспоненциальный рост (независимо от его каузальной интерпретации) не может быть связан (причинно или функционально) с каким-либо циклическим эволюционным процессом. Дело в том, что рост популяции будет здесь процессом однородным во времени и цикл ее эволюции может иметь любой период и любую фазу. Что не позволяет зародиться никакому циклу, связанному с растущей численностью.

Что же касается гиперболического роста, то, во-первых, этот рост в силу своей нелинейности, выражаемой простейшим аналитическим законом, подразумевает системность растущей популяции^[96], т. е. связность всех ее частей, поэтому общая численность популяции может служить здесь мерой, характеризующей ее эволюцию. И, во-вторых, рост этот по определению имеет одну особенность: точку на оси времени, в которой эта численность устремляется к бесконечности.

Циклы роста и развития могут быть введены здесь обратным отсчетом времени от точки сингулярности в прошлое с периодом, равным характерному времени. (Такое определение цикличности эволюции и развития в процессе гиперболического роста является, разумеется, чисто формальным. Подробнее см. главу «Законы роста численности изолированных популяций».)

Если связь между скоростью роста и численностью населения мира не является причинно-следственной, а является всего лишь сопутствующей, то должен существовать некий причинный закон (возможно, с постдетерминацией), который обеспечивает такой не автокаталитический рост. Кроме того, этот же причинный закон будет определять характерное время и характерную численность, которые являются по отношении к закону гиперболического роста населения мира в таком случае сторонними.

И, что особенно важно, так это то, что эти сторонние масштабы времени и численности должны быть характерными масштабами на всех этапах такого роста: в том числе на начальном его этапе, а также во время перехода. Поэтому, в случае роста населения Земли, значения этих констант, полученные для начала демографического перехода, могут быть использованы и при описании гиперболического роста.

* * *

Постоянную Фёрстера С = 187 млрд лет, имеющую размерность времени, можно представить в виде произведения постоянных роста тремя различными способами:

1. Исходя из нашей модели.

2. Исходя из модели Капицы.

3. Чисто эмпирически: используя значение численности на момент завершения эпохи гиперболического роста и начала демографического перехода.

Все они дают для характерного времени τ и характерной численности М примерно одинаковые значения. Рассмотрим все их по порядку, но сначала разберемся с обозначениями.

* * *

Почему главное число своей теории С.П. Капица обозначил заглавной буквой K? Однозначного ответа нет, но, скорее всего, по имени автора (Kapitsa), т. к. берет заглавную K по аналогии с обозначением безразмерного числа Рейнольдса Re, с которым Капица сравнивает свою постоянную. (Рейнольдсу было сложнее, т. к. R – это универсальная газовая постоянная и пришлось взять две буквы имени Re. Однако это привело к неоднозначности в понимании: то ли Re – это число Рейнольдса, то ли произведение универсальной газовой постоянной на заряд электрона.)

Теперь о константе К₅ – почему такое странное обозначение? Дело в том, что в нашей модели рост населения мира сопоставляется росту биниальной иерархической сети четвертого ранга. Число носителей клаттера такой сети равно двойке, в показателе которой стоит также двойка в четвертой степени.

Это число примерно равно постоянной Капицы K, определяющей порядок численности населения Земли на момент начала гиперболического роста. А его квадрат, K² = K₅ = 4,3 млрд, равен числу носителей структурной единицы сети пятого ранга (т. е. ее клаттера). Характерная численность народонаселения М, соответственно, в k раз больше K₅: M = k·K₅= 4,72 млрд, где k = 1,1 – зомби-коэффициент.

Рис. 2. Постоянные роста биниальных иерархических сетей от первого ранга до восьмого и некоторые известные в математике и физике числа, с ними связанные.

* * *

В нашей модели характерное время τ ≈ T_Universe/(2¹³N₄) ≈ 40 лет (N₄ = 42399 – полное число циклов сети человека, T_Universe = 13,8 млрд лет – время эволюции Вселенной). Характерная численность M = kK₅ = 4,72 млрд (k =1,1 – зомби коэффициент, K₅ = 65536² – число узлов клаттера сети пятого ранга.) Постоянная Фёрстера C = M·τ = 4,72·40 = 188,8 млрд выводится нами теоретически.

* * *

С.П. Капица был первым, кто попытался выяснить смысл постоянной Фёрстера. Поскольку интервал времени в 187 млрд лет для растущей «популяции» Homo sapiens явно не имеет никакого смысла, он представил постоянную Фёрстера в виде произведения двух сомножителей С = τK². Где, согласно его подсчетам, время τ равно 41–42 годам и представляет собой некое характерное время человека.

Рис. 3. Расщепление постоянной Фёрстера С на константы Капицы К и τ. Уравнение Капицы.

А K – безразмерная постоянная, равная 67000. Она определяет масштаб, в котором может быть измерена численность в начальную эпоху роста. Эта постоянная, которую С.П. Капица называет масштабным параметром, занимает центральное место в его теории^[97]:

«Это число занимает центральное место в теории роста, определяя все основные соотношения, возникающие при описании системной динамики человечества, являясь, в терминах синергетики, масштабным параметром. Следует отметить, что числами порядка K определяется эффективный размер группы, в которой проявляются коллективные признаки когерентного сообщества людей.

Таким может быть оптимальный масштаб города или района большого города, обладающего, как правило, системной самодостаточностью. В популяционной генетике величины такого порядка определяют численность устойчиво существующего вида или популяции, занимающей определенный ареал и экологическую нишу. Иными словами, это число является масштабом сообщества, имеющего генетическую или социальную природу» [1].

«Величина К определяет не только масштаб численности в начальную эпоху роста, но и дает оценку численности когерентной группы людей или племени – самодостаточной единице населения» [21].

Характерное время роста населения Земли τ, С.П. Капица уточнил следующим образом: он добавил член τ² в знаменатель выражения для скорости изменения численности (1), а затем, проинтегрировав его, получил одну из ряда возможных гладких, с «выходом на полку» кривых, описывающих изменение численности до и во время перехода – рис. 4.

В результате сингулярность пропала и можно было сравнивать фактические данные по населению мира за последние 250 лет и по формуле (2). Испробовав семь вариантов с τ = 20, 25, 33, 40, 42, 45, 55 лет, С.П. Капица пришел к выводу, что наилучшее приближение дает вариант № 5 с τ = 42 года.

Рис. 4. Определение характерного времени τ путем замены гиперболы на время демографического перехода и времена близкие к нему – гладкой кривой с горизонтальной асимптотой.

Итак, согласно подсчетам С.П. Капицы, характерное время и характерная численность равны, соответственно: τ = 42 года, M = K² = 67000² = 4,49 млрд.

* * *

И, наконец, существует третий способ расщепления постоянной Фёрстера, который заключается в следующем:

На кривой роста численности населения Земли есть одна особенная точка: это тот момент времени и соответствующая ему численность, когда закон роста, остававшийся неизменным в течение многих тысяч лет, навсегда отходит от гиперболы. Эта дата, отделяющая эпоху гиперболического роста от эпохи перехода, может быть использована для определения этих констант без всякой связи с какой-либо теорией. Это мог сделать и С.П. Капица.

Действительно, рассмотрим идеальный случай, когда рост происходит в точном соответствии с гиперболой  N = C/(t₀ − t). Возьмем какую-то точку t′ на временно́й шкале такого роста и подсчитаем для нее численность населения мира и интервал времени, отделяющий ее от сингулярности гиперболы роста. Произведение этих величин равно постоянной Фёрстера: N(t′)·(t₀ – t′) = C, которая выступает здесь в качестве инварианта гиперболического роста. Продвигаясь по оси времени от прошлого к будущему, дойдем до последней точки на кривой роста, для которой эта инвариантность будет еще выполняться (далее начинается мировой демографический переход).

Эта точка является особенной, т. к. принадлежит как этапу роста, так и этапу перехода, поэтому ее координаты могут характеризовать как первый, так и второй. Если считать, что рост и переход представляют собой две последовательные стадии одного и того же процесса и могут быть описаны с помощью единых на всем их протяжении масштабов времени и численности, то определить эти масштабы можно следующим образом:

Примем за естественную меру для переменной «численность населения Земли» полное число живущих на тот момент времени, когда завершается эпоха гиперболического роста и начинается глобальный демографический переход. Иначе говоря, M – это численность населения мира в тот год, когда закон роста, остававшийся неизменным в течение многих тысяч лет, навсегда отходит от гиперболы.

В качестве масштаба времени выберем интервал времени, отсчитываемый от момента начала мирового демографического перехода до точки сингулярности гиперболы демографического роста. Назовем этот интервал времени τ = C/M – характерным временем исторических изменений.

Момент времени, разделяющий эпоху гиперболического роста и эпоху перехода, трудно определить по следующим причинам: во-первых, численность населения мира по годам во второй половине XX века известна лишь с точностью до нескольких процентов.

Во-вторых, если исходить из нашей модели, гиперболический рост населения Земли хотя и представлял собой рост управляемый, подчиняющийся условию эквифинальности, тем не менее являлся по самой своей природе процессом случайным, что также не может не отразиться на точности выбора момента отхода роста от гиперболы.

Найти значения этих масштабов можно исходя из данного определения, однако высокой точности ожидать здесь не следует. Согласно мнению ряда исследователей, включая С.П. Капицу, переход начался где-то между 1965 годом и началом 1980-х прошлого столетия.

Начало глобального демографического перехода С.П. Капица относит к моменту наивысшего набора скорости роста населения мира, а его конец – к моменту максимального спада прироста. Это не его определение, но оно полностью соответствует тому физикалистскому подходу к проблеме гиперболического роста населения планеты, которого он всегда придерживался.

При таком определении столь глобальные события, как конец эпохи гиперболического роста и момент завершения перехода (полное прекращение роста) определяются через мгновенную, «точечную» характеристику динамической системы растущее население Земли, такую как скорость роста численности.

Что вряд ли может считаться удовлетворительным, поскольку при таком физикалистском подходе остается необъясненной парадоксальная устойчивость гиперболического роста, возвращающая рост всегда на одну и ту же, по сути, предзаданную гиперболу. Скорее всего, здесь мы имеем дело с нестационарным случайным процессом N(t), направленным во все времена на одну и ту же гиперболу демографического роста.

Мгновенное значения скорости dN/dt в произвольный момент времени будет в таком случае всего лишь случайной величиной и определять из динамики ее роста такие глобальные характеристики системы «растущее человечество», как начало и конец перехода – представляется неправильным.

Это неверное, по нашему мнению, определение и отодвинуло в прошлое дату начала перехода в расчетах С.П. Капицы примерно на 17 лет. Продолжительность демографического перехода в его модели составляет два характерных времени: 2τ = 42·2 = 84 года.

Если отложить от момента начала перехода по Капице характерное время τ, получаем ни о чем не говорящую, «безликую» дату 2007 год: 1965 + 42 = 2007. Дату, с которой не связано никакого глобального события истории, демографии и экономики и которая мало чем отличается от всех прочих дат первого десятилетия XXI века. (Мировой экономический кризис 2007–2012 гг. не был катастрофическим, и, кроме того, он никак не связан с демографическим переходом.)

Но если сместить начало перехода на 17 лет в будущее, то момент окончания первого цикла перехода (1982 + 40 = 2022) совпадет с сингулярностью гиперболы Фёрстера, исторической сингулярностью или сингулярностью Дьяконова – Капицы по нашему определению. Что еще раз указывает на ошибочность представления о том, что мировой демографический переход начался в 1965 году.

Считая, что переход начался в конце семидесятых, начале восьмидесятых годов годов прошлого столетия и принимая для сингулярности гиперболы Фёрстера значение to = 2022–2032 г., получаем по самой грубой оценке для численности населения мира на момент начала перехода значение M ~ 5 млрд человек и для промежутка времени до сингулярности τ ~ 40–45 лет.

* * *

Закон гиперболического роста N = C/(to – t) – закон степенной и потому, по крайней мере чисто формально, – закон масштабно-инвариантный. Но такая его инвариантность к масштабу – не более чем промежуточная асимптотика. При выходе за границы интервала этой асимптотики для времени и для численности появляются естественные масштабы их измерения.

Во второй половине ХХ века, когда завершилась эпоха гиперболического роста, численность населения Земли составляла значение M ~ 5 млрд человек. То, что гиперболический рост завершился именно при такой, а не при какой-то меньшей или большей численности, позволяет взять ее в качестве естественной меры численности человечества на время перехода.

На другом конце интервала промежуточной асимптотики, в самом начале роста одной из популяций рода Homo, 1,7 млн лет тому назад, когда ее численность была порядка K = 60–70 тыс., был такой момент ее эволюции, когда произошел переход к гиперболическому росту. При этом можно заметить, что по непонятным причинам  M ≈ K² и имеется еще один масштаб для численности – К. В итоге и при таком определении мы снова приходим к константам Капицы K и т.

* * *

В феноменологической теории Капицы есть единственная характерная численность К, используя которую можно полностью описать гиперболический рост. Но для описания завершающего этапа этого роста и демографического перехода без характерной численности M = kK₅ = kK₄² = K² не обойтись. Почему это так?

• Во-первых, потому, что конец эпохи гиперболического роста и начала перехода приходится, как мы уже отмечали ранее, на тот момент времени, когда численность населения Земли достигает значения равного M = 4–5 млрд человек;

• Во-вторых, численность населения Земли на момент завершения глобального демографического перехода подойдет к своему пределу и будет в первом приближении оставаться неизменной, по порядку величины сравнимой с M: в модели Капицы (2–3)M, в нашей модели 2M;

• В-третьих, закон гиперболического роста, записанный в характерных масштабах τ и М, наиболее прост по форме: N(T) = 1/T, где численность измеряется в единицах M, а время отсчитывается в единицах τ от точки сингулярности в прошлое;

• И, наконец, в-четвертых, если принять M, а не К, как это делает С.П. Капица, за масштаб для измерения численности, то не будет никаких проблем с размерностью константы К.

Действительно, постоянную К можно считать безразмерной постоянной, но можно, как полагал С.П. Капица, определить ее и как размерную постоянную. В этом случае теория размерностей позволяет избежать ошибок в процессе преобразований закона роста. С.П. Капица даже в рамках одной работы описывает константу К то как размерную, то как безразмерную. [1]

Причем для того, чтобы добиться равенства размерностей в правой и левой части уравнения Капицы, он даже вводит две константы К, равные по величине, но одну из них считает безразмерной, а вторую – размерной: с размерностью численности. [21]

Если считать, что C = K₁K₂τ, где K₁ = 67000 – число (с размерностью люди) людей в популяции, а K₂ – полное число популяций в финале роста (безразмерное число компактных человеческих поселений), то размерности в левой и правой части уравнений Фёрстера и Капицы будут одинаковы.

При такой интерпретации постоянных роста теория Капицы приводит к демографическому парадоксу: K₁ = K₂ – люди и поселения в момент начала перехода оказываются по непонятной причине друг другу соразмерными^[98].

Свою феноменологическую теорию С.П. Капица мог построить и с использованием констант М и τ, определив из динамики роста численности в конце ХХ века характерную численность М = K₁K₂ и постулируя, что на завершающем этапе роста K₁ = K₂. Тогда уравнение Капицы могло бы быть интерпретировано как закон квадратичного роста не людей, а популяций. Но «парадоксов роста» здесь все равно не избежать.

Кроме парадокса перехода, когда K₁ = K₂, – это и отсутствие ответа на вопрос: чем популяция гоминид, наших далеких предков, отличалась от всех прочих популяций, что при достижении числа ее членов значения ~ К₁ расти уже стала численность не самих гоминид, а их популяций, причем не экспоненциально, а гиперболически; это и парадокс начала неолита, когда число популяций достигло значения корня квадратного из численности одной популяции: K₂ = √K₁ и началась первая демографическая революция; это и парадокс исторических циклов Дьяконова – Капицы, природа которых остается непонятной…

На самом деле, вводить две константы K₁ и K₂ нет никакой необходимости, ведь если считать, что M имеет размерность численности – проблема полностью снимается. Постоянная К в таком случае имеет размерность корень квадратный из размерности численности.

По нашему же мнению, численность населения мира следует считать целочисленной безразмерной величиной, а размерность ее плотности – 1/м². Так, например, в физике концентрация частиц имеет размерность 1/м³.

* * *

Важно понимать следующее: вычислить постоянные роста оказалось возможным по двум причинам. Первая заключается в том, что рост человечества на протяжении тысячелетий описывался – причем с очень высокой точностью – простейшей из возможных, степенной гиперболической функцией. (В модели Капицы при to – t >> τ зависимость (2) должна по идее переходить в гиперболу Фёрстера.) Именно поэтому постоянная Фёрстера C как константа эволюции человека имеет право на существование.

А вторая следует из теории глобального демографического перехода, в соответствии с которой этот рост, длившийся тысячелетиями, во второй половине текущего столетия за ничтожное по историческим меркам время, т. е. практически мгновенно, прекращается, численность стабилизируется (в модели Капицы устремляется к асимптоте кривой (2)) и меняться в дальнейшем не будет.

Как показывает анализ демографического перехода, мы в данный момент времени (третье десятилетие XXI века) подходим к его середине, причем длительность перехода составит примерно 100 лет. Т. е. стабилизация численности произойдет не за 10000, не за 1000 и не за 500 лет, а именно за 100 лет. Момент отхода закона роста от гиперболы Фёрстера, численность в этот момент времени, длительность первого цикла перехода от момента его начала до сингулярности гиперболы Фёрстера, динамика роста численности в конце ХХ, начале XXI века – все эти данные позволили «расщепить» постоянную Фёрстера C на константы M и τ.

* * *

Действие своих констант K и τ, полученных при анализе начала перехода, С.П. Капица распространил и на эпоху гиперболического роста. В своих работах он утверждает, что именно такие масштабы времени и численности характеризуют также и процесс гиперболического роста населения мира, продолжавшегося тысячи или даже десятки и сотни тысяч лет.

И для этого есть все основания. Так, характерная численность человеческих поселений, районов в составе больших городов составляет как раз К человек, а характерное время τ разумно считать равным средней продолжительности человеческой жизни за все время роста; этому же значению равна длительность Кондратьевского цикла, который является, по мнению ряда исследователей, главным циклом экономики и истории.

Демографический переход, согласно теории Капицы, занимает удвоенное характерное время: 2τ = 2(40–45) ~ 100 лет. Оба эти явления: гиперболический рост и демографический переход до сих пор остаются во многом непонятными и загадочными; и оба эти явления нашли свое описание во многом непонятной, загадочной и противоречивой феноменологической теории Капицы с ее константами К и τ, с удивительной точностью описывающей мировой демографический процесс.

* * *

Описание С.П. Капицей роста и перехода, в рамках его модели, содержит ряд непонятных моментов. Так, арккотангенсоиду (2) на рис. 4 он, очевидно, считает экстраполяцией, гладким аналитическим продолжением гиперболы роста на эпоху перехода. С этим трудно согласиться, т. к. уравнение (1) было получено в результате нескольких последовательных изменений (можно даже сказать искажений) из уравнения гиперболы Фёрстера. Действительно:

Во-первых, для показателя p степенной функции он берет не усредненное значение p = 0.99 по Фёрстеру, а целочисленное p = 1. Такая подмена, как мы покажем в дальнейшем, существенно повлияла на точность в определении постоянных К и τ.

Во-вторых, при выборе экстраполирующей функции (2), С.П. Капица варьирует не только характерное время τ, но и постоянную Фёрстера С: в формуле (1) С' = 186 (163 – в последней своей работе) млрд, а не С = 179 млрд лет, как у Фёрстера). Варьирует он также и t_o, которое у него 2007 (1995 – в последней работе) год, а не 2027-й, как у Фёрстера.

В результате такого вольного обращения с результатами исследования Фёрстера и его коллег (значениями C, p, t_o) его арккотангенсоида, описывающая рост за последние 250 лет, оказывается слабо связанной с гиперболой Фёрстера. Да и есть ли такая связь вообще? Всегда ведь можно подобрать достаточно гладкую кривую (например, с помощью полинома), хорошо отвечающую демографическим данным за последние два с половиной столетия.

Что же касается предшествующих им семнадцати с половиной веков, ясно, что эта арккотангенсоида не согласуется с демографическими данными и не совпадает с гиперболой Фёрстера, т. к. C' ≠ C.

Возможно такое возражение: С' = 186 (167) млрд лет, а не 179 млрд, как у Фёрстера, но разница невелика и находится в пределах разброса, отмеченного Фёрстером; а с учетом того, что точность демографических данных быстро убывает – составляет десятки процентов – по мере ухода в прошлое, можно ли вообще говорить о каком-то несовпадении? Ответ такой: для оценки численности населения мира в любой момент времени от 0 до 1960 года можно считать, и это будет правильно, что p = 1, а не 0.99, а константу С взять равной 179, 186 или даже 200 млрд лет.

Но если мы хотим определить c максимально возможной точностью постоянные К и τ, которые являются интегральными характеристиками роста, т. е. определяют его на протяжении двадцати столетий, – нужно использовать средние значения, полученные Фёрстером, т. е. тройку [C = 179, p = 0.99, to = 2027], не изменяя в ней ни одну из величин.

Можно ли в таком случае доверять полученным С.П. Капицей результатам: К = 67000, τ = 42 года? Здесь еще нужно учесть то, что постоянные p, С и to согласованы и нельзя произвольно, даже в небольших пределах изменять их по отдельности, а также и то, что условие К²τ = C, связывающее константы Капицы, должно быть уточнено – см. ниже.

Кроме того, примерно такой же по точности результат может быть получен, как это было сделано нами ранее, гораздо более простым способом, исходя лишь из того факта, что численность в момент начала перехода была равна K², а характерное время τ равно интервалу времени от начала перехода до сингулярности гиперболы Фёрстера.

* * *

Еще один непонятный момент связан с тем, что константы К и τ С.П. Капица вводит и вычисляет на момент начала перехода, а затем эти же постоянные применяет и при описании гиперболического роста, используя их в уравнении Капицы. Что, как мы отмечали ранее, вполне законно, если считать их сторонними по отношению к закону степенного роста.

Однако это противоречит основной предпосылке его модели о самоподобии роста и его масштабной инвариантности, когда в эпоху гиперболического роста нет и не может существовать никаких характерных масштабов τ и К для времени и для численности.

Масштабная константа M = K², константа Капицы К, которую он считает главным параметром своей модели, определяют характерный масштаб численности и уже только поэтому полагать, что степенная зависимость N = C(t_o – t)^-1 описывает самоподобный, масштабно-инвариантный рост населения Земли – представляется ошибочным.