Алексей Лобанов
Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Полная версия

2.25. Гамма-хеджирование

Коэффициентом гамма (Г, gamma) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная второго порядка от стоимости этого инструмента по цене базисных активов, т. е.

Коэффициент гамма производного финансового инструмента можно определить как частную производную от коэффициента дельта этого инструмента по цене базисных активов, т. е.

Основное свойство коэффициента гамма

Если спот-цена базисных активов мгновенно изменится на величину δS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового инструмента, останутся без изменения, то приращение стоимости этого инструмента ДП можно приближенно оценить следующим образом:

причем при малых δS (по абсолютной величине) погрешности этого равенства значительно меньше погрешности равенства (2.57), учитывающего только коэффициент дельта.

Имеют место следующие утверждения:

1. Коэффициенты гамма базисных активов и фьючерсных контрактов на эти активы всегда равны 0.

2. Коэффициенты гамма европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью определяются равенством:

Пример 2.37. Найдем коэффициент гамма европейского опциона пут из примера 2.33.

Так как

Из равенства (2.58) следует, что если цена базисной акции мгновенно вырастет на 1 долл., то

т. е. стоимость опциона упадет на 0,390 долл.

3. Коэффициенты гамма американских опционов можно найти приближенно на основе n-этапной биномиальной модели:

Коэффициент гамма портфеля финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, является линейной комбинацией коэффициентов гамма этих инструментов.

Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, называется гамма-нейтральным (gamma-neutral), если коэффициенты дельта и гамма этого портфеля равны нулю.

Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансовому инструменту, то, занимая соответствующие позиции по двум другим финансовым инструментам, производным от тех же самых базисных активов, он может образовать гамма-нейтральный портфель.

Пример 2.38. Инвестор приобрел финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов, коэффициенты дельта и гамма которого равны 0,50 и 0,02 соответственно.

Выясним, как гамма-нейтрализовать данную позицию, используя сами эти активы и биржевые опционы на них, если коэффициенты дельта и гамма биржевого опциона равны 1,5 и 0,01.

Предположим, что для гамма-нейтрализации позиций инвестора необходимо купить х единиц базисных активов и у биржевых опционов на эти активы. Тогда должны выполняться следующие равенства:

Следовательно, у = -2, х = 2,5. Таким образом, необходимо купить 2,5 единицы базисных активов и произвести короткую продажу двух биржевых опционов на эти активы.

Гамма-хеджирование, как и дельта-хеджирование, применяется для снижения риска, связанного с изменением цены активов на рынке при наличии определенной позиции по финансовому инструменту, производному от этих активов. Гамма-хеджирование предполагает следующие действия:

1) выбираются два биржевых инструмента, производных от тех же активов, что и базисный инструмент;

2) покупая или продавая выбранные финансовые инструменты, базисная позиция гамма-нейтрализуется;

3) инвестиционный портфель периодически «ребалансируется», т. е. на основе операций с выбранными инструментами восстанавливается его гамма-нейтральность.

При гамма-хеджировании искусственным образом воспроизводится позиция, противоположная исходной, причем такое воспроизведение оказывается значительно точнее, чем при дельта-хеджировании.

2.26. Коэффициенты тета, ро и вега

Коэффициентом тета (Θ, theta) производного финансового инструмента называют частную производную стоимости этого инструмента по времени, т. е.

Коэффициент тета оценивает скорость изменения стоимости производного инструмента при условии, что все остальные факторы, влияющие на его стоимость, остаются неизменными.

Для финансовых инструментов, производных от активов с постоянной дивидендной доходностью, цена которых определяется геометрическим броуновским движением, имеет место следующее равенство:

В частности, если портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, является гамма-нейтральным, то равенство (2.59) принимает вид:

Пример 2.39. Рассмотрим 6-месячный европейский опцион пут на 2000 фунтов стерлингов с ценой 1,60 долл., когда текущий обменный курс– 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15 %, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и в Англии равны 10 и 13 % соответственно.

Коэффициент дельта опциона равен 2000 • (-0,4573) = -914,6 (см. пример 2.34), а его коэффициент гамма можно найти следующим образом:

Стоимость данного опциона можно найти по формуле (2.53), где

Таким образом, за 10 дней стоимость опциона снизится на

Коэффициентом ро (ρ, rho) финансового инструмента называется частная производная стоимости этого инструмента по безрисковой процентной ставке, т. е.

В случае фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью коэффициент ρ находится по формуле:

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью

Коэффициент ро используется при хеджировании процентного риска, т. е. риска, связанного с изменениями безрисковой процентной ставки, точно так же, как коэффициент дельта используется для хеджирования рыночного риска. Кроме того, если на биржевом рынке имеется несколько различных финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, то с помощью коэффициентов ро и дельта можно построить хеджирование одновременно и рыночного, и процентного рисков. Для этого достаточно сформировать портфель с нулевыми коэффициентами ро и дельта и периодически его «ребалансировать».

Пример 2.40. Предположим, что финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион пут в условиях примера 2.39.

Выясним, как в начальный момент времени построить инвестиционный портфель для хеджирования рыночного и процентного (в США) рисков, используя операции с фунтами стерлингов и с 9-месячными фьючерсными контрактами на фунт стерлингов.

Коэффициенты дельта опциона и фьючерсного контракта на один фунт стерлингов были уже найдены:

Коэффициент ро для фьючерсного контракта находится следующим образом:

Так как инвестиционный портфель должен иметь нулевые коэффициенты дельта и ро, то мы имеем систему уравнений:

Следовательно, в начальный момент времени необходимо произвести короткую продажу 248,25 фунтов стерлингов и занять короткую позицию по фьючерсу на 681 фунт стерлингов.

Коэффициентом вега^[21] (vega) производного финансового инструмента называется частная производная стоимости этого инструмента по волатильности базисных активов, т. е.

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью справедливо равенство:

Коэффициент вега используется для хеджирования риска, обусловленного возможными изменениями волатильности базисных активов.

Если на биржевом рынке имеется достаточно много различных финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, то, используя коэффициенты дельта, гамма, ро, вега и др., можно осуществить хеджирование разных рисков одновременно. Однако следует учитывать, что такое хеджирование потребует большого числа различных операций с биржевыми инструментами, что значительно увеличит транзакционные расходы, которые могут сделать такое хеджирование заведомо убыточным.

2.27. Специальные виды опционов

В настоящее время наряду с основными видами опционов существует и много других их видов, при этом постоянно появляются и новые разновидности опционов.

Рассмотрим некоторые, наиболее часто встречающиеся специальные виды опционов, известные под общим названием экзотические опционы (exotic options).

2.27.1. Опцион на обмен активами

Держатель опциона на обмен активами (exohange option) имеет право в момент исполнения опциона получить некоторый актив А в обмен на другой актив В. Платежная функция такого опциона записывается в виде:

Стоимость опциона на обмен активами находится по формуле^[22]:

2.27.2. Бинарные опционы

Держатель бинарного опциона (binary option) получает в момент исполнения этого опциона заданную денежную сумму Q, если спот-цена базисных активов оказывается выше цены исполнения Х. Платежная функция бинарного опциона записывается в виде:

Хеджировать бинарные опционы достаточно сложно, так как даже небольшие изменения спот-цены активов на момент исполнения опциона могут вызывать значительные изменения дохода держателя опциона.

2.27.3. Азиатские опционы

Платежная функция азиатского опциона (Asian option) колл (пут) имеет вид:

Если базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то азиатский опцион можно рассматривать как обычный европейский опцион на активы с дивидендной доходностью волатильность которых равна Значит, стоимости азиатских опционов можно находить по формулам Блэка-Шоулза. При этом азиатские опционы стоят дешевле, чем соответствующие европейские опционы, и их проще хеджировать.

2.27.4. Барьерные опционы

Барьерные опционы (barrier option) бывают двух основных видов: выходящие (knock-out) и входящие (knock-in).

Выходящий опцион колл или пут прекращает свое существование как соответствующий опцион, когда цена базисных активов достигает некоторой заданной величины Н. При этом если H < S (S – начальная цена базисных активов), то опцион называют выходящим при понижении (down-and-out), а если H > S – выходящим при повышении (up-and-out).

Входящий опцион колл или пут начинает существовать как соответствующий европейский опцион, когда цена базисных активов достигает заданной величины Н. Такой опцион называют входящим при понижении (down-and-in), если H < S, и входящим при повышении (up-and-in), если H > S.

Очевидно, что покупка входящего и дополняющего его выходящего опционов равносильна покупке соответствующего европейского опциона. Значит, сумма стоимостей таких опционов (входящего и выходящего) всегда совпадает со стоимостью соответствующего европейского опциона.

Если базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то имеют место следующие формулы:

Стоимость барьерного опциона всегда меньше стоимости соответствующего европейского опциона, а хеджировать его в общем случае сложнее.

2.27.5. Бермудские опционы

Держатель бермудского опциона (Bermudan option) колл (пут) имеет право купить (продать) базисные активы в один из будущих моментов времени: T₁, T₂…..T_n по заранее установленной цене, соответствующей этому моменту времени.

В каждый момент времени t, t < T₁, стоимость бермудского опциона не может быть ниже стоимости соответствующего европейского опциона с датой истечения Т₁.

Если цена базисных активов определяется геометрическим броуновским движением, то стоимость бермудского опциона можно приближенно найти с помощью биномиальной модели.

2.28. Финансовые инструменты, производные от процентных ставок

2.28.1. Кэпы, флоры и коллары

Рассмотрим некоторую рыночную процентную ставку на срок δ лет (например, 6-месячную ставку LIBOR). Ее значение в момент времени t будем обозначать r(t, δ).

Поток платежей от кэпа номиналом А на рассматриваемую процентную ставку, стартующего в момент времени Т₀ при ставке исполнения х, определяется следующим образом:

Таким образом, кэп (cap) представляет собой портфель европейских опционов колл на данную процентную ставку.

Поток платежей от флора номиналом А на данную процентную ставку, стартующего в момент времени Т₀ при ставке исполнения х, имеет вид:

Иными словами, флор (floor) – это портфель европейских опционов пут на процентную ставку.

Портфель, состоящий из покупки кэпа и продажи флора с одинаковыми характеристиками, называют колларом (collar) заемщика.

Поток платежей от коллара заемщика, стартующего в момент времени T₀:

Следовательно, стоимость коллара заемщика в момент времени t может быть оценена следующим образом:

Аналогичным образом можно оценивать и коллар кредитора, состоящий из покупки флора и продажи кэпа с одинаковыми характеристиками.

2.28.2. Опционы на купонные облигации

Европейские, американские и бермудские опционы на купонные облигации определяются стандартным образом.

Например, европейский опцион колл на купонную облигацию с датой погашения T^*, имеющий дату истечения Т, Т < T^*, предоставляет держателю право купить базисную купонную облигацию в момент времени Т по цене Х.

Применение формул Блэка-Шоулза для оценки стоимости европейских опционов на купонные облигации может давать неверные оценки, так как в модели Блэка-Шоулза не учитывается эффект приближения к номиналу и предполагается детерминированность процентной ставки. Подробнее эта задача рассматривается в п. 2.35.

2.28.3. Свопционы

Держатель европейского свопциона (swaption) имеет право войти в заранее установленный своповый контракт в определенный будущий момент времени Т (когда должен происходить обмен платежами).

Если покупатель европейского процентного свопциона желает получать проценты по плавающей ставке, а платить проценты по фиксированной процентной ставке r_ф, то, исполнив свопцион, он должен в моменты времени

Держатель бермудского процентного опциона имеет право войти в процентный своп в любой из моментов времени:

Очевидно, что стоимость бермудского опциона в момент времени t (t < Т) не может быть ниже стоимости европейского свопциона с датой исполнения Т.

С другой стороны, стоимость бермудского опциона не может быть выше стоимости соответствующего кэпа со ставкой исполнения r_ф.

2.28.4. Облигации со встроенными опционами

Говорят, что облигация содержит встроенный опцион (embedded option), если эмитент облигации или ее держатель по условиям эмиссии имеет право изменить денежный поток от облигации.

Отзывная облигация (callable bond) является облигацией со встроенным опционом, так как эмитент такой облигации имеет право ее выкупить и тем самым прекратить платежи по облигации. Отзывная облигация эквивалентна портфелю, состоящему из покупки соответствующей безопционной облигации и продажи опциона отзыва, являющегося бермудским опционом колл на эту безопционную облигацию. Это означает, что стоимость отзывной облигации должна равняться разности между стоимостью соответствующей безопцион-ной облигации и стоимостью опциона отзыва.

Продаваемая облигация^[23] (putable bond) также является облигацией со встроенным опционом, так как ее держатель имеет право продать облигацию эмитенту до ее погашения. Продаваемая облигация совпадает с портфелем, состоящим из покупки соответствующей безопционной облигации и покупки опциона на продажу этой облигации, который является бермудским опционом пут.

Другими важными примерами облигаций со встроенными опционами являются облигации с встроенными кэпами и флорами.

Облигация с полугодовой плавающей купонной ставкой называется облигацией с кэпом (capped bond), если установлен уровень купонной ставки х, такой, что купонный платеж за k-й купонный период определяется следующим образом:

Текущая цена облигации с кэпом должна равняться текущей цене аналогичной безопционной облигации за вычетом текущей цены кэпа на соответствующую процентную ставку.

Облигация с полугодовой плавающей купонной ставкой называется облигацией с флором (bond with embedded floor), если установлен уровень купонной ставки х, такой, что купонный платеж за k-й купонный период определяется следующим образом:

Цена облигации с флором должна совпадать с суммой цены аналогичной безопционной облигации и цены флора на соответствующую процентную ставку.

Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от процентной ставки, часто используется так называемая биномиальная модель процентных ставок.

2.29. Биномиальная модель эволюции процентной ставки

Обозначим через _kZ₁ форвардную процентную ставку на один год через k годовых периодов от текущего момента времени, k = 0, 1, 2, 3…..

В биномиальной модели процентной ставки предполагается, что форвардная ставка ₀Z₁ известна с определенностью и равна δ₀, а остальные форвардные процентные ставки _kZ₁, k = 1, 2, 3…..являются случайными величинами и определяются следующим образом.

Биномиальную модель процентной ставки удобно изображать графически с помощью биномиального дерева (рис. 2.28).

Пример 2.41. Трехэтапная биномиальная модель процентной ставки при параметрах σ = 10 %; δ₀ = 6 %; δ₁ = 6,5 %; δ₂ = 7 % и δ₃ = 7,5 % приведена на рис. 2.29.

В данной модели форвардная процентная ставка на 1 год через 3 года от текущего момента времени принимает значения: 7,5; 9,161; 11,189 и 13,666 % с вероятностями, равными соответственно.

Рассмотренная нами биномиальная модель дает возможность находить цены безопционных облигаций с годовыми купонами.

Обозначим через Q(k, i) цену n-летней облигации с годовыми купонами, которая окажется через k лет при условии, что

Очевидно, что цена этой облигации через n лет всегда будет равной ее номиналу, т. е.

Цена облигации в другие будущие моменты времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации. Поток платежей от облигации через k лет можно изобразить в следующем виде:

Следовательно, должно выполняться равенство:

Так как цены облигации Q(n, i) при i = 0, 1, 2…., n нам известны, то рекуррентное равенство (2.60) позволяет последовательно найти цены Q(n -1, i) при i = 0, 1, 2, n – 1; Q(n- 2, i) при i = 0, 1, 2…., n- 2 и т. д. до цены Q(0, 0), которая и является ценой облигации на текущий момент времени.

Пример 2.42. На рис. 2.30 приведен расчет цены 8 %-ной облигации номиналом 100 долл. с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, в условиях биномиальной модели процентной ставки из примера 2.41. Например,

Следовательно, текущая цена данной облигации равна 100,441 долл.

Для построения биномиальной модели процентной ставки необходимо предварительно определить следующие параметры: волатильность процентной ставкиа и наименьшие значения форвардных процентных ставок δ₀, δ₁, δ₂…..

Возможный способ оценки волатильности процентной ставки был рассмотрен выше. Выясним, как при заданной волатильности а можно на основе рыночной информации подобрать параметры: δ₀, δ₁, δ₂…..

Предположим, что в данный момент времени известны рыночные доходности: r₁ r₂, …, r_k…. (r_k– рыночная доходность на срок k лет). Заметим, что в этом случае можно найти цену безопционной облигации номиналом 100 долл. с нулевым купоном, погашаемой через k лет:

Очевидно, что δ₀ совпадает с рыночной доходностью r₁. Параметр δ₁ выбирается так, чтобы цена двухлетней облигации с нулевым купоном и номиналом 100 долл., определяемая биномиальной моделью

совпала с ценой Р₂ (для отыскания δ₁ можно использовать метод проб и ошибок).

Если параметры δ₀ и δ₁ уже найдены, то δ₂ подбирается так, чтобы цена трехлетней облигации с нулевым купоном, определяемая биномиальной моделью

совпала с ценой Р₃ и т. д.

Пример 2.43. Построим биномиальную модель процентной ставки в случае, когда волатильность процентной ставки равна 10 %, а рыночные доходности на 1, 2, 3 и 4 года равны соответственно 6,00; 6,606; 7,272 и 8,00 %.

1. Положим δ₀ = 6,00 %.

2. Положим δ₁ = 6,00 %.

Ниже приведен расчет цены двухлетней облигации с нулевым купоном на основе биномиальной модели:

Так как 81,011 ≈ Р₃, то δ₂ = 7,00 %. Аналогичным образом найдем, что δ₃ = 7,50 %.

Таким образом, мы построим биномиальную модель процентной ставки, которую уже рассматривали в примере 2.41.

Отметим важное свойство биномиальной модели процентной ставки.

На основе рыночных доходностей (при заданной волатильности) можно построить биномиальную модель процентной ставки, с помощью которой находится цена любой безопционной облигации с годовыми купонами. С другой стороны, цену безопционной облигации можно определить, зная рыночные доходности для различных сроков. Цены безопционной облигации, найденные этими двумя способами, всегда совпадают.

Пример 2.44. В примере 2.42 было установлено, что цена 8 %-ной облигации номиналом 100 долл. с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, равна 100,441 долл.

С другой стороны, цена данной облигации может быть найдена на основе рыночных доходностей из примера 2.43:

Небольшое расхождение цен объясняется погрешностями при расчетах.

Замечание. Мы рассмотрели биномиальную модель процентной ставки с годовыми этапами. Аналогичным образом можно определить биномиальную модель с этапами, составляющими только части года. В частности, биномиальная модель с полугодовыми этапами имеет следующий вид (рис. 2.31).