Владимир Костин
Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы
Плотность распределения стоимости базисного актива в области
где
Плотность распределения стоимости базисного актива в области
где
Математическое ожидание стоимости базисного актива в областях А и В.
Математическое ожидание стоимости базисного актива в области
Математическое ожидание стоимости базисного актива в области
Анализ приведенных соотношений показывает, что всегда выполняются неравенства и .
Математические ожидания доходов и потерь, генерируемые опционами «колл» и «пут».
При анализе денежных потоков, генерируемых опционами, необходимо принять во внимание, что доходы от операций с опционами должен получать как продавец, так и покупатель опционного контракта. В противном случае торговля опционами попросту невозможна. При этом выигрыш (доходы) одной стороны является проигрышем (потерями) для другой стороны.
Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), формируемые областью применительно к опциону «колл»
Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «колл» – .
Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), формируемые областью применительно к опциону «пут»
Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «пут» – .
Доходы от инвестирования премии по опционам «колл» и «пут» соответственно в безрисковый или другой актив
где – непрерывно начисляемая ставка доходности актива, в который инвестирована премия по опциону (при годовая ставка доходности актива может быть определена по формуле ).
Математические ожидания доходностей опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени Т между покупкой опционов и моментом их исполнения.
Математическое ожидание доходности опциона «колл» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения:
для покупателя (математическое ожидание дохода – , потери – , математическое ожидание прибыли – )
для продавца (доход – , математическое ожидание потерь – , математическое ожидание прибыли )
Математическое ожидание доходности опциона «пут» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения:
для покупателя (математическое ожидание дохода – , потери – , математическое ожидание прибыли – )
для продавца (доход , математическое ожидание потерь – , математическое ожидание прибыли – )
Математическое ожидание капитальной доходности опционов «колл» и «пут».
Предположим, что европейский опцион «колл» приобретён в момент времени по цене , а опцион «пут» – по цене . Через промежуток относительного времени остаток срока действия опциона будет составлять , при этом стоимость опциона «колл» будет равна , а опциона «пут» – . Тогда при продаже опционов «колл» и «пут» до даты исполнения их математические ожидания капитальных доходностей будут определяться соответственно как
При отрицательной капитальной доходности продажа европейских опционов не имеет смысла.
Положительная капитальная доходность достигается в том случае, если по мере истечения срока действия опциона его стоимость не меняется или монотонно растёт, т.е. при или . Только в этом случае инвестор может принять решение о целесообразности продажи опционов.
Математические ожидания годовых доходностей опционов «пут» и «колл». Для сравнения инвестиционных качеств различных активов, в том числе и опционов с отличающимися сроками исполнения, удобно использовать математическое ожидание годовой доходности опциона, которую рассчитывают по формуле сложного процента. При известном промежутке относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения в формуле сложного процента количество периодов накопления за один год будет составлять . Тогда при математическом ожидании доходности опциона (которая может быть равной , , , , или ) за промежуток относительного времени , математические ожидания годовых доходностей опционов «пут» и «колл» могут быть рассчитаны с использованием формулы
В последующих материалах предложенная стохастическая модель используется как основа для оценки не только европейских, но и американских опционов.
10.5. Стохастическая модель американских опционов
Американские опционы, как и европейские опционы, могут быть исполнены по окончании срока действия опционного контракта. Поэтому стохастическая модель европейских опционов является составной частью стохастической модели американских опционов.
Но в отличие от европейских опционов американские опционы могут быть ещё и досрочно исполнены в любой день до даты исполнения. В то же время в [1, с. 658–659] отмечается (утверждается), что американский опцион бессмысленно исполнять до даты исполнения из–за потери временной стоимости. На основе лишь данного утверждения формулируется предположение об идентичности стоимости европейских и американских опционов и допустимости использования формулы Блэка–Шоулза для расчёта стоимости американских опционов.
Тем не менее, во–первых, возможная потеря временной стоимости не исключает досрочного исполнения американских опционов. Во–вторых, следует учитывать, что результаты расчётов временной стоимости опционов с использованием формулы Блэка–Шоулза не достоверны. Поэтому предположение об идентичности стоимости европейских и американских опционов должно быть более аргументированным.
Продажа или досрочное исполнение американских опционов оправданы при таком выбросе (скачке) текущей цены базисного актива, когда сомнительна целесообразность ожидания более выгодных результатов от:
продажи опциона в течение оставшегося его срока действия;
досрочного исполнения опциона в течение оставшегося его срока действия;
исполнения опциона по окончании его срока действия.
Для принятия обоснованных управленческих решений в условиях случайных колебаний рыночной стоимости базисного актива владелец опциона должен осуществлять соответствующие расчёты и руководствоваться заранее выработанными правилами анализа результатов этих расчётов с целью извлечения максимального дохода от рационального использования возможности продажи, досрочного исполнения или исполнения по окончании срока действия американских опционов. Разработка стохастической модели американских опционов должна быть направлена на выявление закономерностей, позволяющих принимать обоснованные управленческие решения по операциям с опционами.
При разработке стохастической модели американских опционов будем полагать, что цена исполнения опционов составляет , а текущие стоимости опционов «колл» и «пут» соответственно равны и .
Особенности продажи американских опционов.
Как уже отмечалось, американские опционы не будут продаваться дешевле их внутренней стоимости, т.е. при (для опциона «колл») или (для опциона «пут») торговля американскими опционами исключается. В противном случае у потенциального покупателя после приобретения опционного контракта возникает возможность немедленного исполнения опциона с целью получения безрискового дохода за счёт продавца, который будет вынужден продать базисный актив не по текущей рыночной цене , а по цене исполнения .
Следовательно, продажа американских опционов возможна только при выполнении условий
для опциона «колл»:
для опциона «пут»:
Следует подчеркнуть, что выполнение условий (10.25) и (10.26) не означает целесообразность продажи американских опционов, а свидетельствует лишь о такой возможности.
Действительно, если условия (10.25) и (10.26) выполняются, но по мере истечения срока действия опциона его стоимость снижается и получаемый капитальный доход отрицателен, т.е. при или , продажа опциона не имеет смысла.
Кроме того, продажа опциона не оправдана, если условия (10.25) и (10.26) выполняются и получаемый капитальный доход от продажи положителен, но ниже, чем математическое ожидание дохода от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия или ниже математического ожидания дохода, который генерируется по окончании срока действия опциона.
Таким образом, продажа опциона оправдана, если выполняются условия
применительно к опциону «колл»:
применительно к опциону «пут»:
где и – математические ожидания доходов, которые генерируется по окончании сроков действия опционов «колл» и «пут» соответственно (см. п. 10.4); и – математические ожидания доходов от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия опционов «колл» и «пут» соответственно.
Кроме того, продажа опциона возможна при условии обоюдной выгоды, как для продавца, так и для покупателя.
Особенности досрочного исполнения американских опционов.
Очевидно, что при , (для опциона «колл») и (для опциона «пут») досрочное исполнение опциона убыточно и поэтому не имеет смысла. Следовательно, досрочное исполнение американских опционов возможно, если выполняются условия
для опциона «колл»:
для опциона «пут»:
Сравнение неравенств (10.12) и (10.27), (10.13) и (10.28) показывает, что, если стоимость американского опциона соответствует формуле Блэка–Шоулза, то условия (10.27) и (10.28) принципиально не выполнимы и досрочное исполнение американских опционов исключается. Поэтому инвесторы, использующие на практике формулу Блэка–Шоулза для расчёта стоимости американского опциона, фактически лишаются возможности досрочного исполнения опциона.
Кроме того сопоставление условий (10.25) и (10.27), (10.26) и (10.28) указывает на безальтернативность операций с опционами – в зависимости от значения стоимости базисного актива возможна либо продажа, либо досрочное исполнение опциона. Поэтому положение о том, что «американские» опционы «колл» до даты исполнения целесообразно продавать, но не исполнять по причине потери временной стоимости» [1] (см. п. 10.1), принципиально невыполнимо.
По аналогии с особенностями продажи американских опционов, выполнение условий (10.27) и (10.28) не означает целесообразность досрочного исполнения американских опционов, а свидетельствует лишь о такой возможности. Действительно, если условия (10.27) и (10.28) выполняются, но получаемый доход от досрочного исполнения опциона на текущую дату ниже, чем математическое ожидание дохода от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия или ниже математического ожидания дохода, который генерируется по окончании срока действия опциона, то досрочное исполнение опциона на текущую дату не оправдано. Таким образом, досрочное исполнение опциона оправдано, если выполняются условия
применительно к опциону «колл»:
применительно к опциону «пут»:
Преобразуем условия досрочного исполнения опционов (10.29)–(10.32) к виду:
применительно к опциону «колл»
применительно к опциону «пут»
Как и следовало ожидать, сопоставление неравенств (10.33)–(10.34) с (10.27) и (10.35)–(10.36) с (10.28) показывает, что условия досрочного исполнения опционов являются более жёсткими по сравнению с условиями, когда досрочное исполнение опционов возможно.
Анализ особенностей продажи и досрочного исполнения американских опционов показывает, что в основу стохастической модели должно быть положено определение математических ожиданий доходов и , а также осуществлена оценка опционов (см. следующий параграф 10.6).
Вероятности выполнения условий (10.33) и (10.35) при завершении одного торгового дня. В соответствии с соотношениями (10.33) и (10.35) досрочное исполнение опциона может быть оправданным, если случайная стоимость базисного актива превысит пороговое значение (для опциона «колл») или станет ниже порогового значения (для опциона «пут»). Тогда искомые вероятности можно определить как
где .
Вероятности выполнения условий (10.33) и (10.35) хотя бы один раз за оставшиеся торговых дня до даты окончания срока действия опциона (см. п. 10.3). Искомые вероятности можно трактовать как вероятности досрочного исполнения опционов «колл» и «пут», которые определяются соответственно как
Математические ожидания стоимостей базисного актива в областях и соответственно
Математические ожидания доходов от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия опционов «колл» и «пут» соответственно
Математические ожидания доходов и потерь, генерируемые опционами «колл» и «пут». Исполнение американских опционов по окончании срока их действия возможно, если досрочное исполнение не реализовано. Поэтому, если вероятности досрочного исполнения опционов равны (для опциона «колл») и (для опциона «пут»), то вероятности исполнения опционов по окончании срока их действия будут равны (для опциона «колл») и (для опциона «пут»).
Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), генерируемые опционом «колл»
Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «колл» – .
Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), генерируемые опционом «пут»
Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «пут» – .
Для расчёта доходов от инвестирования премии можно воспользоваться формулами (10.16) и (10.17).
Математические ожидания доходностей американских опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени Т между покупкой опционов и моментом их исполнения.
Математическое ожидание доходности американского опциона «колл» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения
для покупателя (математическое ожидание дохода – , потери – , математическое ожидание прибыли – ):
для продавца (доход – , математическое ожидание потерь – , математическое ожидание прибыли – ):
Математическое ожидание доходности американского опциона «пут» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения
для покупателя (математическое ожидание дохода – , потери – , математическое ожидание прибыли – ):
для продавца (доход – , математическое ожидание потерь – , математическое ожидание прибыли – ):
Для расчёта математических ожиданий годовых доходностей американских опционов можно воспользоваться формулой (10.24). Математическое ожидание капитальной доходности американских опционов может быть рассчитано с использованием формул (10.22) и (10.23).
В последующих материалах предложенная модель используется для оценки американских опционов.
10.6. Оценка европейских и американских опционов в рамках доходного подхода
При определении стоимости опционов следует ориентироваться на общие принципы оценки ценных бумаг, которые рассмотрены в п. 5.1.
В соответствии с принципом ожидания рыночная стоимость любого актива, в том числе и опциона, определяется его способностью в будущем приносить инвестору доход. Поэтому для оценки опционов наиболее подходящим является доходный подход, который учитывает связь стоимости опциона с возможными будущими доходами (см. п. 5.2).
Согласно с принципом замещения единообразное представление владельца и потенциального покупателя о справедливой стоимости опциона может быть сформировано только с учётом рыночного механизма ценообразования опционов, т.е. при условии реализации взаимной выгоды покупателя и продавца от покупки/продажи опциона. Данное условие достигается при равновесии математических ожиданий доходностей опционов покупателя и продавца, т.е. при выполнении равенств
При нарушении этих равенств в более выгодных условиях будет находиться одна из сторон сделки, для которой создаются благоприятные возможности по извлечению дохода за счёт другой стороны. Следует учитывать, что положительная доходность покупателя и формируется за счёт отрицательной доходности продавца и и на рынке будет наблюдаться спрос на опционы при отсутствии предложения. И наоборот, положительная доходность продавца и формируется за счёт отрицательной доходности покупателя и , что обусловит отсутствие спроса на опционы при наличии предложения.
Следовательно, исходя из логики рыночного механизма ценообразования опционов «колл» и «пут» их справедливая стоимость должна определяться соответственно равенствами (10.41) и (10.42), при этом равновесие математических ожиданий доходностей опционов покупателя и продавца достигается, если
Оценка европейских опционов.
Используя соотношения (10.14)–(10.21), (10.41) и (10.42) получаем уравнения для определения стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соответственно
Решая данные уравнения, находим формулы для расчёта стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соответственно
Анализ соотношений (10.43) и (10.44) показывает, что, во–первых, стоимости опционов равны дисконтированному среднему доходу, генерируемую опционом, при этом непрерывно начисляемая ставка дисконтирования составляет . Во–вторых, стоимость опционов при экспоненциально увеличивается по мере истечения срока действия опциона, а при – остаётся постоянной в течение всего срока действия опционов. В–третьих, стоимость опционов не зависит от текущей стоимости базисного актива. В–четвёртых, стоимость опционов детерминирована и может быть заранее рассчитана как функция относительного времени .
Для приближённых расчётов следует принять во внимание, что, как правило, , и можно полагать . При этом максимальная ошибка в расчётах стоимости европейских опционов не будет превышать 3,8%. Если к тому же выполняется условие , то можно принять , и с учётом соотношения для аргумента интеграла вероятностей формулы (10.43) и (10.44) можно представить в более компактном виде
где
Из полученных приближённых соотношений следует, что стоимость европейских опционов практически не зависит от времени до окончания срока действия опциона , а также прямо пропорциональна СКО стоимости базисного актива и коэффициентам (для опциона «колл») и (для опциона «пут»). При этом рост СКО стоимости базисного актива (как следствие , и ) приводит к росту стоимости европейских опционов прямо пропорционально величине . Следовательно, чем выше неустойчивость стоимости базисного актива, тем выше стоимость европейских опционов.
Преобразуем соотношения (10.45) и (10.46) к виду
Из данных соотношений следует, что коэффициенты и фактически являются относительной стоимостью европейских опционов «колл» и «пут».
На рис. 10.7 представлены графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей .
Рис. 10.7. Графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей
Анализ соотношений (10.45) и (10.46) и графиков на рис. 10.7 показывает, что при т.е. при относительно низкой цене исполнения , коэффициенты и . Другими словами при стоимость опциона «колл» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей, а стоимость опциона «пут» стремится к нулю.
При т.е. при относительно высокой цене исполнения , коэффициенты и . Это означает, что при стоимость опциона «колл» стремится к нулю, а стоимость опциона «пут» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей.
При т.е. при , коэффициенты .
Графически такой характер зависимостей коэффициентов проявляется в симметрии кривых и относительно оси ординат.
Используя соотношения (10.14)–(10.24), а также соотношения (10.43) и (10.44), находим формулы для расчёта математических ожиданий доходностей опционов за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения, а также формулы для расчёта математических ожиданий годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут»
где и – математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для покупателя; и – математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для продавца.
Из соотношения (10.47) следует, что математические ожидания доходности европейских опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени для продавцов и покупателей одинаковы и являются функцией непрерывно начисляемой ставки дисконтирования , а также промежутка относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения . Кроме того, минимальное значение математических ожиданий доходностей имеет место в момент исполнения опциона (т.е. при ), а максимальное значение – достигается при максимальном значении (т.е. в день первичной продажи опциона).
В частном случае, если премия не инвестируется в какой–либо актив и , ни покупатель опциона, ни его продавец в среднем не получат прибыли, т.е. математические ожидания доходностей опционов будет равна нулю . Поэтому владелец опциона заинтересован в инвестициях премии в высокодоходный актив, что позволит, во–первых, повысить математическое ожидание доходности опциона до . Во–вторых, согласно соотношениям (10.43) и (10.44) это позволит владельцу снизить стоимость опциона и тем самым увеличить математическое ожидание доходности опциона для потенциального покупателя также до . Следовательно, в инвестициях премии в высокодоходный актив заинтересован не только продавец опциона, но и его покупатель.
В соответствии с формулами (10.43) и (10.44) экспоненциальный характер изменений математических ожиданий доходностей и от аргумента определяет постоянство математических ожиданий годовых доходностей и независимо от времени покупки европейского опциона. Поэтому при стоимости опционов, которые определяются формулами (10.43) и (10.44) за счёт постоянства математических ожиданий годовых доходностей привлекательность европейских опционов сохраняется на протяжении всего их срока действия. Для потенциального покупателя это обстоятельство обеспечивает равноценные условия для приобретения опционов в любой удобный для него момент времени. Однако для активной торговли опционами в течение всего срока их действия необходимо создание благоприятных условий и для продажи этой ценной бумаги в любой удобный момент времени.
Математические ожидания капитальных доходностей европейских опционов за промежуток относительного времени после их приобретения определяются соотношениями (10.22) и (10.23). Для определения математических ожиданий годовых капитальных доходностей можно воспользоваться соотношением (10.24). В результате получаем
для опциона «колл»:
где – математическое ожидание годовой капитальной доходности европейского опциона «колл»;
для опциона «пут»:
где – математическое ожидание годовой капитальной доходности европейского опциона «пут».
Из данных соотношений следует, что математическое ожидание годовой капитальной доходности европейских опционов «колл» и «пут» независимо от момента времени их перепродажи гарантированно обеспечит владельцу детерминированную доходность , но не более и не менее. Причём, поскольку , продажа опциона обеспечивает сравнительно низкую доходность, меньшую доходности актива, в который инвестируется премия.
Поэтому для владельца опциона, который предпочтёт по какой–либо причине уклониться от риска, может быть выгодна продажа опциона с заведомо известной и относительно низкой детерминированной доходностью. Владелец опциона, который полагает риск ожидания успешного исполнения опциона оправданным, может рассчитывать на такую же, но среднюю доходность.
Таким образом, при справедливой стоимости европейских опционов, достигаются условия обоюдной выгоды купли/продажи, как для продавца, так и для покупателя.
Оценка американских опционов.
Используя соотношения (10.37)–(10.40), а также (10.41) и (10.42) получаем уравнения
Решая данные уравнения, находим соотношения для расчёта стоимостей американских опционов «колл» и «пут» соответственно
Поскольку величины и (для опциона «колл»), и (для опциона «пут») функционально зависимы соответственно от и , то определение стоимостей американских опционов возможно лишь численными методами.
В частном случае, при и , когда досрочное исполнение опционов маловероятно (например, в конце срока действия опционов), стоимости американских и европейских опционов практически одинаковы.
В общем же случае стоимости американских и европейских опционов не могут не отличаться. Например, при и , т.е. когда досрочное исполнение опционов практически гарантировано, стоимости американских опционов определяются исключительно дисконтированными средними доходами от реализации досрочного исполнения
Для приближённых расчётов будем полагать , , , тогда формулы (10.49) и (10.50) можно преобразовать к виду
здесь
Анализ соотношений (10.51) и (10.52) показывает, что вывод приближённых формул для стоимостей американских опционов в аналитическом виде не представляется возможным.
По аналогии с формулами (10.45) и (10,46), преобразуем соотношения (10.51) и (10.52) к виду
В данных соотношениях коэффициенты и определяются численными методами путём решения уравнений (10.51) и (10.52) относительно и соответственно. На рис. 10.8 представлены графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей и относительного времени .
Рис. 10.8. Графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей и относительного времени
Анализ графиков на рис. 10.8 показывает, что в общем случае при стоимость американских опционов всегда выше стоимости европейских опционов, если базисные акции, цены исполнения и даты исполнения идентичны. Лишь в частном случае при стоимости американских и европейских опционов равны.
При этом примечательно, что чем больше промежуток относительного времени между покупкой и продажей (исполнением) опциона, тем больше коэффициенты и , следовательно, и выше стоимости опционов и . Другими словами, по мере сокращения срока действия опциона вероятность досрочного исполнения уменьшается и, как следствие, стоимость американских опционов снижается. По этой причине перепродажа американских опционов убыточна.
Анализ графиков на рис. 10.8 показывает также, что при т.е. при относительно низкой цене исполнения , коэффициенты и .
При т.е. при относительно высокой цене исполнения , коэффициенты и .
Используя соотношения (10.37)–(10.40), (10.22)–(10.24), (10.49) и (10.50) получаем формулы для расчёта математических ожиданий доходностей опционов за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения, а также формулы для расчёта математических ожиданий годовых доходностей американских опционов «колл» и «пут»
Сравнение соотношений (10.45)–(10.46) и (10.49)–(10.50) показывает, что математические ожидания доходностей европейских и американских опционов одинаковы. Идентичны также и основные свойства американских опционов, присущие для европейских опционов.
Математические ожидания капитальных доходностей и , а также математические ожидания годовых капитальных доходностей и , применительно к американским опционам могут быть определены лишь численными методами с использованием соотношений (10.22)–(10.24) и (10.47), (10.48). Для приближённых расчётов можно воспользоваться формулами
Как отмечалось выше и (см. рис. 10.8) и по этой причине математические ожидания капитальных доходностей и всегда отрицательны и для владельца перепродажа американского опциона по объективным причинам не рациональна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Всемирно известный учебник У.Шарпа и др. достаточно полно освещает базовые понятия и различные аспекты управления инвестициями в ценные бумаги, включая портфельную теорию. Однако в этом же учебнике отмечается, что имеет место несоответствие теории и практики инвестиций в портфели ценных бумаг. В предлагаемой монографии выявляются причины такого несоответствия и аргументировано доказывается несостоятельность основных положений, допущений и постулатов, принятых в портфельной теории.
В данной монографии обоснован альтернативный подход, который базируется на использовании теории вероятностей и позволяет сопоставить инвестиционные качества ценных бумаг в условиях случайных колебаний их стоимости на фондовом рынке. К основным допущениям, которые были приняты в процессе исследований, следует отнести, во–первых, гипотезу об усечённом нормальном распределении дохода актива с точками усечения, симметричными относительно центра рассеивания. Во–вторых, предполагается стационарность процесса случайных колебаний дохода актива, т.е. средний доход инвестора и стандартное отклонение дохода инвестора являются неизменными во времени.
Ключевой задачей в портфельной теории является сопоставление инвестиционных качеств финансовых активов с различными средними доходностями и стандартными отклонениями доходностей активов. В монографии предложены комплексные критерии сопоставления, которые функционально зависят, как от средней доходности, так и от стандартного отклонения доходности актива. Комплексные критерии сопоставления позволяют получить уравнения равноценных активов, которые являются инструментом для выявления равноценных, недооцененных и переоцененных активов.
Все рассмотренные критерии сопоставления взаимосвязаны, дополняют и не исключают друг друга, что создаёт предпосылки для их эффективного использования в процессе анализа инвестиционных качеств активов, а также для синтеза оптимальной структуры портфеля активов.
Для выделения оптимальной структуры портфеля активов сформулированы критерии оптимальности, параметры оптимизации и ограничения. Показано, что результаты анализа достижимого множества портфелей могут быть использованы в качестве своеобразного фильтра для целенаправленной корректировки структуры портфелей.
Разработанный подход был использован также для разработки стохастических моделей европейских и американских опционов. На основе стохастических моделей разработан математический аппарат для оценки европейских и американских опционов с учётом рыночного механизма их ценообразования, т.е. при условии реализации взаимной выгоды покупателя и продавца от покупки/продажи опциона.
Доказано, что стоимость европейских опционов практически не зависит от времени до окончания срока действия опциона. Чем выше неустойчивость стоимости базисного актива, тем выше стоимость европейских опционов.
Стоимость американских опционов снижается по мере сокращения срока действия опциона. Как следствие, капитальные средние доходности для владельца американских опционов всегда отрицательны, поэтому перепродажа американских опционов не рациональна.
Показано, что средние доходности европейских и американских опционов с идентичными параметрами за один и тот же промежуток относительного времени между покупкой и продажей для продавцов и покупателей одинаковы. В частном случае, если премия не инвестируется в какой–либо актив, ни покупатель опциона, ни его продавец в среднем не получат прибыли, т.е. средняя доходность опционов будет равна нулю Средние годовые доходности европейских и американских опционов «колл» и «пут» с идентичными параметрами также одинаковы.