В. И. Жог
Методология организационной психологии
Линейность гильбертова пространства дает возможность из любых двух векторов состояний построить бесконечно большое число новых векторов состояний. Отсюда следует, что возможность суперпозиции состояний связана с линейностью. В квантовой теории представление о линейности гильбертова пространства обеспечивает возможность введения математического аппарата, в том числе дает возможность объяснить стратегию повышения ранга симметрии в теории.
Представление о линейности, на котором основывается большинство положений квантовой теории (квантовой механики, квантовой теории ноля, квантовой электродинамики…), во многом обусловливает ее достижения. Однако в этой теории до сих нор существуют неустранимые трудности, известные как трудности с расходимостями. Одной из попыток устранить эти трудности из теории является метод перенормировки.
Как уже отмечалось выше, перенормировка – специальная процедура, которая применяется в квантовой теории поля и приводит к точным результатам, но этот искусственный прием не имеет объяснения своей эффективности. В работах Н. Н. Боголюбова, Д. В. Ширкова, а также М. Гелл-Манна и других было установлено существование особой группы преобразований (так называемой ренормгруппы), связанной с методом перенормировки в квантовой теории поля, а известно, что применение теории групп обусловлено свойствами симметрии физических систем. Понятия и методы ренормгруппы используются по многих физических теориях.
«Замечательный факт, – пишут Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков, – общности теоретического описания далеких друг от друга физических явлений демонстрирует плодотворность использования математических абстракций в физике, их всеобъемлющий характер, отражающий единство природы и особенности процесса ее познания»[12]. Весьма вероятно, что представление о единстве линейности и нелинейности квантовых процессов даст возможность вскрыть физический смысл перенормировки, внесет дальнейший вклад в оценку этой процедуры, которая во многих работах рассматривается не иначе как «один из способов заметать под ковер трудности электродинамики, связанные с расходимостями»[13].
Интересным и перспективным в настоящее время представляется путь, учитывающий нелинейность квантовых процессов. В свое время В. Гейзенберг пытался построить теорию элементарных частиц на основе некоторого единого спинорного поля. Он указывал, что «существует лишь одно простое уравнение, которое способно, вероятно, описывать наблюдаемые элементарные частицы»[14]. Обсуждая условия формулировки такого уравнения, он отмечает, что «это уравнение должно описывать взаимодействие и поэтому не может быть линейным. Так как взаимодействие предполагается локальным, соответствующий ему член уравнения должен содержать произведение полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке»[15].
Если руководствоваться этими идеями, то возможно в качестве фундаментального принять некоторое нейтринное поле. «Тогда, в принципе, – отмечает М. А. Марков, – можно выделить гравитационное поле из системы, состоящей из уравнения для гравитационного поля… и уравнения Дирака для нейтрино в ковариантном виде. В результате мы получим некоторое нелинейное уравнение для фермионного поля. Вывод и анализ даже приближенных уравнений такого рода весьма сложен. Подобные исследования находятся еще в зачаточной стадии, и в настоящее время нельзя судить, в какой степени разные решения этих уравнений сравнимы с различными элементарными частицами в духе идей, начало которым положил Геизенберг»[16].
Следует подчеркнуть, что данные представления получены М. А. Марковым на основе предположений о взаимосвязи различных материальных взаимодействий, в том числе и на предположении о необходимости учета гравитационного поля при описании взаимодействия элементарных частиц. Если помимо этого уравнения, учитывающего гравитационные взаимодействия, привлечь соображения о фундаментальной длине, то намечается еще один путь устранения трудностей с расходимостями наряду с перенормировкой.
Подобный учет нелинейности в теории не является новым. Понятие нелинейности вводится в теории, как правило, когда возникает необходимость описывать гравитационное поле. Так, система гравитационных уравнений Эйнштейна представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных. Здесь мы видим попытку Эйнштейна дать интерпретацию этих уравнений. Дело в том, что эта система уравнений квазилинейна, то есть она линейна в главных своих членах относительно максимального порядка. Существенным является то, что система уравнений Эйнштейна носит гиперболический характер, из чего следует вывод о том, что релятивистская теория гравитации является теорией распространения волн. В свою очередь это указывает на возможность физического существования гравитационных волн. Указание на гиперболический характер уравнений Эйнштейна позволяет понять структуру этих уравнений, выявить связь с другими физическими и математическими теориями большей степени общности. Примером таких теорий может служить общая теория гиперболических систем квазилинейных уравнений в частных производных Дж. Лере.
Такая форма уравнений общей теории относительности не случайна. «Уравнения Эйнштейна, Эйнштейна-Максвелла, а также уравнения гидродинамики образуют… системы, которые могут быть сведены к гиперболическим системам Лере. Отсюда можно усмотреть, каким образом важная теория Лере применяется к основным физическим системам и какие точные результаты можно из нее извлечь»[17]
Подход Эйнштейна, основанный на геометрической интерпретации физических полей, позволил рассмотреть электромагнитные поля наряду с гравитационными, он также стимулировал исследования в области нелинейной теории поля и послужил своеобразной отправной точкой для развития целого ряда направлений современной физики.
Основываясь на представлениях Эйнштейна о существовании некого единого поля, Луи де Бройль предположил, что существует некоторый внутренний колебательный процесс, который находит свое проявление в виде синфазной с ним волны. Причем регулярные решения для частиц получаются лишь в том случае, если процессы описываются нелинейными уравнениями. То есть для описания реальных физических процессов потребовалось ввести нелинейность.
Как уже указывалось выше, концепция единого поля получила свое развитие и в представлениях В. Гейзенберга. Из тех принципов, которые он положил в основы своей теории спинорных полей, мы хотим выделить два. Первый состоит в том, что основные уравнения поля должны быть нелинейными для того, чтобы в теорию можно было включить взаимодействие, обуславливающее массы частиц. Второй состоит в том, что из свойств симметрии основных уравнений следуют правила отбора в элементарных реакциях, а из последних получаются указания о структуре исходных уравнений.
Для нас важно, что уравнения спинорного поля характеризуются псевдовекторной нелинейностью, включающей в себя некую фундаментальную длину и свойства симметрии. Таким образом, в теории Гейзенберга представления о симметрии и представления о нелинейности тесно связаны друг с другом. Наблюдающееся сейчас возрастание интереса к вышеназванным идеям Гейзенберга объясняется не только этим. Дело в том, что одним из полученных им результатов является объяснение законов электродинамики и вычисление постоянной тонкой структуры, что имеет самое непосредственное отношение к проблеме материального единства мира. Нами было показано, что фундаментальные физические постоянные дают возможность понять структуру материального мира и указывают на взаимосвязь различных физических теорий.
В дальнейшем эти представления получили свое развитие, причем авторы предлагаемых физических теорий элементарных частиц использовали различные нелинейные уравнения, хотя сама природа постулируемого исходного нелинейного поля оставалась для них неясной. Постулат нелинейности состоял в том, что уравнения единого поля должны быть нелинейными для того, чтобы частицы, рассматриваемые как материальные образования, могли взаимодействовать друг с другом.
Тот факт, что нелинейные уравнения в физических теориях позволяют описывать некоторые фундаментальные свойства физических процессов, находит свое наглядное подтверждение в квантовой хромодинамике. Для того, чтобы совместить модель кварков с основными принципами квантовой механики, была предложена идея, согласно которой каждый кварк обладал новым квантовым числом – цветом. Каждый из составляющих адроны кварков обладает своим дополнительным цветом и поэтому адрон, состоящий из трех кварков, обесцвечивается. В данном случае в теории изотопического спина цвет выполняет роль электрического заряда. Он позволяет «промаркировать» кварки и тем самым устранить трудности, связанные с противоречием кварковой модели и кварковой статистики.
Аналогично электрическому заряду цвет в кварковой модели не только «маркирует» частицы, но и является характеристикой кваркового взаимодействия. Это позволяет построить динамическую теорию кварков. Уравнения, которые описывают динамическую теорию кварков и их взаимодействие, были найдены Янгом и Миллсом еще в 50-х годах, но тогда им не придали особого значения. Считалось, что к действительности они отношения не имеют. Симметрия по цвету должна соответствовать группе SU(3), в то время как уравнения квантовой электродинамики подчиняются симметрии группы U(l), т. е. группы осевых вращений плоскости относительно перпендикулярной ей оси.
Уравнения квантовой электродинамики линейны, в то время как уравнения квантовой хромодинамики – нелинейны. В этом заключается следующий физический смысл: фотон, переносящий взаимодействие в квантовой электродинамике, не переносит электрического заряда, а глюоны, переносящие взаимодействие между кварками, обладают цветом и меняют цвет взаимодействующих кварков. Необходимо отметить, что уравнения Янга – Миллса следуют из локальной калибровочной инвариантности, что тесно связывает их с другими физическими теориями, использующими это представление.
Тенденция развития физических теорий в настоящее время состоит в том, что в них происходит переход от теорий с линейными уравнениями к теориям с нелинейными уравнениями. Причем введение нелинейности не случайно, оно связано, как правило, с описанием многочастичных, коллективных взаимодействий.
Объективная диалектика реальных процессов, отражаемая в физике средствами математики, вызвала необходимость рассматривать нелинейность как более общее, а линейность как ее частный случай. По существу, на это и указывал А. Эйнштейн, когда, отвечая на вопрос: «Какое направление обещает успех при сегодняшнем состоянии теории?», писал: «Линейные законы удовлетворяют в отношении решений принципу суперпозиции и, следовательно, ничего не говорят относительно взаимодействий элементарных образований. Истинные законы не могут быть линейными и не могут быть получены из линейных законов».[18] В большинстве случаев мы имеем дело с линейной апроксимацией физических законов, что позволяет описать многие физические явления. Однако целый ряд физических явлений, таких, например, как кварковое взаимодействие, нуждаются в нелинейном описании, что ставит задачу выработки новых математических представлений.
Как уже отмечалось, описание нелинейных физических явлений порождает введение новых физических представлений и понятий, среди которых следует выделить понятия солитона и инстантона. Прежде чем рассмотреть содержание этих понятий, необходимо сказать о физическом вакууме. Под ним понимается наинизшее энергетическое состояние материальных полей, характеризующееся отсутствием реальных частиц и нулевым значением квантовых чисел. Моделью солитона может служить уединенная волна, которая взаимодействует или не взаимодействует с поверхностью, ее порождающей. В микромире роль такой поверхности выполняет физический вакуум, а так как вязкость и трение в физическом вакууме отсутствуют, то волны в нем не затухают. И. Л. Розенталь отмечает, что «образ стенок на вводной поверхности или существование множества несвязных (в топологическом смысле) вакуумов – следствие нелинейности уравнений. Поэтому солитон можно интерпретировать как результат взаимной компенсации диссипативных сил, стремящихся размыть волну, и нелинейного взаимодействия, позволяющего черпать энергию из основного состояния (вакуума). Именно по этой причине солитонные решения нелинейных уравнений получили широкое распространение в различных областях физики (взаимодействие лазерных пучков с веществом, высокотемпературная плазма, физика элементарных частиц и т. д.)».[19] Вакуумный солитон, устойчивый в пространстве, не меняющийся со временем, называется инстантоном. Нелинейное взаимодействие в квантовой хромодинамике можно рассматривать как появление и исчезновение инстантонов. Именно на этом пути удается построить модели, объясняющие ненаблюдаемость кварков в свободном состоянии. Весьма вероятно, что нелинейность взаимодействия кварков является ответственной за то, что они не покидают адронов. На это указывает А.А. Комар: «Нелинейность уравнений глюонных полей и связанное с ней самовзаимодействие полей могут быть одним из факторов (ответственных за невылет кварков из адронов.[20] Механизм невылета кварков можно проиллюстрировать следующим образом. Если трубку силовых линий глюонного поля уподобить натянутой струне, то при удалении кварков друг от друга струна разрывается и возникает пара кварк – антикварк. Антикварк, соединяясь с первичным кварком, превращается в мезон и вылетает, а оставшиеся кварки возвращаются к исходному адрону. Таким образом, оказывается, что кварки изолировать невозможно.
Возрастающее внимание к нелинейным процессам и их описанию не означает, что уменьшается роль линейных подходов. В физических теориях и сейчас уделяется большое внимание анализу линейных систем, изучению возможностей сведения различных нелинейных задач к линейным. «Ответ прост: потому что мы умеем решать линейные уравнения, – пишет Р. Фейнман….вторая (и главная) причина заключается в том, что основные законы физики частично линейны. Например, уравнения Максвелла для законов электромагнетизма – линейные уравнения. Великие законы квантовой механики, насколько нам они известны, тоже сводятся к линейным уравнениям: если мы поняли линейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи».[21]
В самом общем случае линейность отражает порядок протекания явлений, тогда как нелинейность отражает изменение этого порядка: предельным случаем нелинейности является хаос. Таким образом, по нашему мнению, возникает необходимость введения в теорию еще одной пары общенаучных понятий: «порядок» и «беспорядок».
Для философии древнегреческих мыслителей характерно широкое использование понятий хаоса, порядка, беспорядка, с помощью которых отражались закономерности, целостность окружающего мира. Понятие хаоса, носившее мифологическую окраску, отражало первичное бесформенное состояние мира, бесконечное пространство. Конструктивная роль понятия беспорядка впервые нашла свое отражение в гносеологических построениях Демокрита. Диалектическая концепция хаоса, рассматривающая хаос как всепорождающее и всеуничтожающее начало, получила свое развитие в неоплатонизме. Если в преднаучном знании понятия хаоса, порядка и беспорядка играли важную роль, то с развитием науки эта роль была утрачена. Идеалистическая трактовка понятия беспорядка привела к тому, что первые научно-исследовательские программы, в том числе классическая механика Ньютона, абстрагировались от этих понятий, и они не были использованы в концептуальной схеме этих теорий. В настоящее время изучение нелинейных и стохастических процессов, развитие неравновесной термодинамики привели к тому, что анализ роли в научном познании понятий хаоса, порядка и беспорядка поставлен на повестку дня.
В этом плане следует отметить интересную книгу И. Пригожина и И. Стенгерс «Порядок из хаоса», которая привлекает внимание к целому ряду проблем, связанных с самоорганизацией. Для нашего рассмотрения представляется важной уже сама задача показать, как хаос и порядок взаимосвязаны, выяснить механизм этой связи. Существенно, что важную роль в выявлении механизма этой связи играют понятия линейности и нелинейности. И. Пригожин и И. Стенгерс отмечают, что «…одни и те же нелинейности могут порождать порядок из хаоса элементарных процессов, а при других обстоятельствах приводить к разрушению того же порядка и в конечном счете к возникновению новой когерентности, лежащей уже за другой бифуркацией»[22]
Нам представляются перспективными исследования Ю. Л. Климантовича, который делает попытку найти количественный критерий упорядоченности, показывает, как можно в физической теории отличить порядок от хаоса. Он пишет: «…трудно, порой, при сложных движениях отличить «порядок» от «хаоса». По этой причине и возникает необходимость введения количественного критерия относительной степени упорядоченности различных неравновесных состояний открытых систем».[23] В качестве такого критерия он предлагает «использовать значения энтропии Больцмана – Гиббса – Шеннона, перенормированные к заданному значению средней эффективной энергии – «функции Гамильтона» открытой системы».[24]
Таким образом, научные, в первую очередь физические исследования, показывают, что порядок и беспорядок находятся в единстве, более того, можно выделить определенные ступени этого единства. Понятие беспорядка предполагает наличие некоторого состояния системы, которое описывается понятием беспорядка. «Говоря о неупорядоченном состоянии, мы должны представлять себе идеал порядка, который, – отмечает Дж. Займан, – в данном случае не реализуется. Неупорядоченные системы гораздо удобнее описывать, задавая отклонения от этого идеала, а не вводя полностью неупорядоченную систему, которая затем в какой-то мере упорядочивается. Понятие беспорядка примитивно и интуитивно: рассматривая его, приходится оперировать такими статистическими терминами, как «случайный», «стохастический», «непредсказуемый».[25]
Нам представляется неоправданной характеристика Дж. Займаном беспорядка как примитивного и интуитивного понятия, хотя бы потому, что это понятие связано с описанием нарушения симметрии, а следовательно, с единством симметрии и асимметрии. В вышеприведенной цитате мы встречаемся с типичным антидиалектическим пониманием соотношения симметрии, порядка и беспорядка.
Дж. Займан показал, что можно выделить три типа беспорядка: ячеистый, топологический и континуальный. Каждый из этих типов беспорядка требует специального анализа, как со стороны физиков, так и философов. Укажем только, что подобная классификация позволяет описать беспорядок замещения, магнитный беспорядок, «ледовый» беспорядок, ближний и дальний беспорядки, спектральный беспорядок, беспорядок газового типа и т. п., что анализ этих процессов свидетельствует о наличии единства порядка и беспорядка. Представления о единстве порядка и беспорядка позволяют описывать различные физические состояния вещества, выступая еще одним из видов отражения единства материального мира в научном знании.
Представляется необходимым указать и на тот факт, что порядок обусловлен целым рядом объективных факторов, в том числе связан с трехмерностью реального пространства. Так, показано, что в случае одномерных и двумерных систем спонтанный кристаллический порядок существовать не может.
Связь понятий порядка и беспорядка с таким фундаментальным свойством, как размерность пространства, указывает на значимость этих понятий в теории. В свою очередь такое фундаментальное свойство пространства, как трехмерность, связано с основными физическими закономерностями. Одним из первых обратил на это внимание П. Эренфест. Он показал, что атом остается стационарным только в том случае, когда пространство трехмерно.
Приближенное описание реальных физических явлений с помощью линейных уравнений является одним из оснований для введения аналогий в физике. Так, существуют электрические системы (линейные цепи), полностью аналогичные механическим системам. Можно задать вопрос, как это помогает развитию теории? Ведь механическую задачу решить не менее трудно, чем электрическую, ибо они эквивалентны. Конечно, «открытие электричества не помогло решить математические уравнения, – пишет Р. Фейнман, – но дело в том, что всегда легче собрать электрическую цепь и изучить ее параметры».[26] Изучив же особенности аналогичной системы, мы можем дать более полное описание работы искомой системы. Данные соображения справедливы и для анализа нелинейных систем. Можно, например, построить электрическую цепь, являющуюся аналогом нелинейной механической системы.
В окружающем нас материальном мире можно выделить совокупность относительно замкнутых систем, которым присуща некоторая целостность, некий порядок. Однако эта упорядоченность не носит абсолютного характера, она является изменчивой, релятивной, включает в себя различные неоднородности, которые уменьшают порядок систем. Эти порядки неоднородности, на первый взгляд, носят несущественный характер и на фоне существующих закономерностей выступают как элементы неупорядоченности. Но во многих процессах неоднородности играют важную роль. Есть основания утверждать, что в окружающем нас мире существует единство порядка и беспорядка и это находит свое выражение в единстве линейности и нелинейности. Нет ни абсолютно упорядоченных, ни абсолютно беспорядочных физических систем. Понятия порядка и беспорядка, линейности и нелинейности являются, таким образом, соотносительными и находятся в единстве.
Понятия линейности и нелинейности выполняют важную гносеологическую роль, связанную с математизацией и формализацией научного знания. Так, сведение какой-либо физической задачи к линейной позволяет широко использовать хорошо разработанный аппарат линейных уравнений. Многочисленные факты показывают, что использование понятий линейности и нелинейности, связанных с ними логико-математических методов исследования выступают источником нового знания. Понятия линейности и нелинейности, разработанные наиболее полно в теории колебания волн, переносят в другие области научного знания не только присущие им содержание и методы, но и являются тем центром, который способствует распространению других частнонаучных и общенаучных понятий и методов.
Широкое распространение понятий линейности и нелинейности в различных науках во многом связано с их математизацией. Ф. Энгельс придавал разработке математического анализа исключительно важное значение для изучения явлений природы. Он писал: «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».[27] Одним из существенных моментов математического описания механического движения явилось представление о его линейности. В представлении о линейности механических явлений и процессов нашли, в первом приближении, свое отражение представления о материальном единстве мира. Во многом развитию представления о линейности способствовала и внутренняя логика развития математики как науки.
В современной физической теории представления о линейности и нелинейности достигли высокой степени абстракции и в то же время являются основанием для еще более абстрактных понятий, входящих в различные универсальные физические теории. Но из высокой степени математизации современных физических теорий не следует вывод об их универсальности. Нельзя создать абсолютно универсальную физическую теорию, в которой бы нашли свое отражение все аспекты принципа материального единства мира. Практически невозможно, по крайней мере в настоящее время, создать даже теорию, которая описывала бы большинство физических процессов. Относительная универсальность или неуниверсальность физической теории не накладывает жестких рамок на проблему понимания различных физических процессов, аналогично тому, как физическое понимание не всегда требует наглядной картины явлений, в целом ряде случаев можно обойтись и символической формой уравнений. Это находит свое отражение во все возрастающей роли понятий линейности и нелинейности в физической теории.
Анализ становления и развития линейности и нелинейности как фундаментальных понятий физической теории наглядно демонстрирует формы связи всеобщего принципа развития с принципом материального единства мира. Единство количественных и качественных характеристик, присущее объектам материального мира, все более адекватно отражается в математическом аппарате современной физики.
Математические представления о линейности и нелинейности, являясь определенным отражением материального единства мира, способствуют синтезу научных знаний в различных областях материального мира. Линейность и нелинейность вносят свой вклад в научную картину мира, делают ее более целостной. Совместно с философскими категориями, общенаучными понятиями линейность и нелинейность способствуют объединению результатов различных наук в целостное знание. Указание на их синтезирующую роль позволяет сделать вывод и об их общенаучном характере. На это же указывают и другие вышеперечисленные функции линейности и нелинейности.
Рассмотрение единства линейности и нелинейности в физических теориях позволяет сделать следующие выводы.
Линейные задачи рассматривают рост, течение процессов, тогда как нелинейность описывает фазу их стабилизации, возможность существования нескольких типов структур. В то же время нелинейность выражает тенденцию различных физических процессов к неустойчивости, тенденцию перехода к хаотическому движению. Таким образом, сочетание линейности и нелинейности дает более адекватное отражение реальных процессов, так как с их помощью выражается единство устойчивости и изменчивости, являющейся ядром сущности всякого движения.
Развитие стохастической динамики позволяет показать, что хаос рождает порядок, который в свою очередь является порождением хаоса, что простое в ряде отношений выступает сложным и наоборот, что хаос не есть лишь статическое равновесие, а в его динамике можно выделить различные уровни порядка. В самом общем случае линейность отражает порядок протекания явлений, тогда как нелинейность отражает изменение этого порядка: предельным случаем нелинейности является хаос. Можно выделить определенные ступени порядка и беспорядка, которые находят свое выражение в единстве линейности и нелинейности.
Линейность и нелинейность участвуют в процессе переноса знаний из одной физической теории в другие, благодаря чему осуществляется своеобразная взаимосвязь между этими теориями. Физическое знание в данном случае трансформируется, порождает новые результаты с учетом специфики той области, в которую оно переносится. Совместно с философскими категориями, общенаучными понятиями понятия линейности и нелинейности способствуют объединению результатов физических теорий в единое знание. Понятия линейности и нелинейности, хаоса и порядка носят общенаучный характер.