В. И. Жог
Методология организационной психологии
Приложение. Избранные работы авторов
Единство линейности и нелинейности и единство физического знания
В.И. Жог
(Печатается по: Жог В.И. Развитие физических понятий. – М.: МПГИ, 1987. – С. 84–106).
В системе научных понятий важное место занимают и понятия линейности и нелинейности. Рассмотрение единства этих понятий позволяет лучше выявить их взаимосвязи, общие моменты и особенности.
Линейные системы являются характерным классом физических систем, свойства которых не меняются при изменении их состояния. Иначе говоря, параметры линейной системы (упругость, коэффициент трения в механических системах; емкость, индуктивность в физических системах и т. п.) не зависят от величин, которые характеризуют состояние системы. Параметры реальных физических систем в известной степени зависят от их состояний, например, активное сопротивление проводника зависит от его температуры и зависит, в свою очередь, от силы протекающего тока. Вследствие этого можно сказать, что все реальные физические системы являются нелинейными, а их линейность представляет такой способ описания, который справедлив, когда можно пренебречь изменением некоторых параметров такой системы.
Параметрами линейных систем могут служить механический маятник, электрический колебательный контур и др. Они обладают свойствами, которые существенным образом упрощают анализ происходящих в этих процессах. Различные по своей природе линейные процессы описываются одинаковыми линейными дифференциальными уравнениями.
Вместе с тем в физике все большее внимание привлекают такие реальные процессы и системы, для описания которых уже недостаточно линейных уравнений и требуется учет нелинейности. Как известно, нелинейными являются системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. Поведение нелинейных физических систем принципиально отличается от поведения линейных. Наиболее характерным отличием является нарушение в них принципа суперпозиции. В нелинейных системах результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия последнего. Важные особенности поведения нелинейных систем проявляются в случае возбуждения в них колебаний. Последнее находит свое практическое использование в нелинейной оптике.
Общей чертой нелинейных оптических явлений выступает зависимость характера их протекания от интенсивности света. Сильное световое поле меняет характер среды, что и обусловливает изменение характера оптических явлений. Развитие нелинейной оптики, прежде всего лазерной техники, поставило вопрос о выяснении роли понятия нелинейности в физических теориях.
Следует подчеркнуть, что нелинейные эффекты не ограничиваются световыми колебаниями и волнами. Имеются и такие новые области физической теории, где невозможно обойтись без нелинейного подхода, это относится, например, к акустическим эффектам в среде. Здесь особый интерес представляют нелинейные явления электронного происхождения. При низких температурах электроны проводимости играют в акустических эффектах определенную роль, причем нелинейности, обусловленные взаимодействием звуковой волны с электронами, проявляют себя при малых интенсивностях звука. Нелинейные эффекты, о которых здесь идет речь, связаны с явлением захвата электронов проводимости периодическим полем звуковой волны. При этом наблюдается целый ряд новых нелинейных эффектов. Таким, например, является звукоэлектрический эффект, состоящий в возникновении постоянного тока, благодаря увлечению электронов проводимости звуковой волной.
Как мы видим, представление о нелинейности помогает понять специфику двух различных физических процессов звуковых волн и электрического тока в проводниках. Это стало возможным потому, что здесь анализируются и линейные процессы, описывающие те и другие явления. Вместе с тем лишь представление о нелинейности позволяет описывать нестационарные процессы.
Для дальнейшего рассмотрения необходимо совершить небольшой экскурс в историю становления проблемы. Постановка задачи о нелинейности связана с именами Релея, Даламбера, Пуанкаре, которые исследовали математическую модель струны и другие физические модели при помощи дифференциальных уравнений. Математические исследования природы линейности и нелинейности так или иначе обуславливались потребностями физики. Показательной в этом плане является история становления теории уравнений второго порядка с частными производными. «Она развивалась, – писал А. Пуанкаре, – главным образом через физику и для нее. Она может принимать множество форм, ибо для определения неизвестной функции недостаточно одного подобного уравнения: необходимо добавить дополнительные так называемые граничные условии: отсюда вытекает много разных проблем… Каждая физическая теория – теория электричества, теория теплоты – представляет нам эти уравнения под новым видом. Итак, можно сказать, что без них мы не знали бы уравнений с частными производными».[1]
В 30-е годы XX века на первое место в области обыкновенных дифференциальных уравнений встают проблемы качественной теории. Значительное влияние на ее развитие оказывают потребности физики, особенно нелинейной теории колебаний. Причем физикам А. А. Адронову и Л. И. Мандельштаму принадлежит здесь целый ряд важных математических идей и разработок. Л. И. Мандельштам первым обратил внимание на необходимость выработки в физике нового «нелинейного мышления». До его работ существовали лишь отдельные частные подходы к анализу отдельных нелинейностей в различных физических задачах. Роль Л. И. Мандельштама состоит в том, что он отчетливо понял всеобщность нелинейных явлений, сумел увидеть, что возможности линейной теории принципиально ограничены, что за ее пределами лежит огромный круг явлений, требующих разработки новых нелинейных методов анализа.
Физика логикой своего развития вынуждала физиков стихийно прибегать к диалектике в понимании соотношения линейности и нелинейности в реальных процессах. Однако здесь необходимо сознательное, творческое использование методологической мощи теории диалектики. Об этом свидетельствует современное состояние исследований в области физики и других наук.
В современной физической теории принято различать геометрическую и физическую нелинейность. Указанные представления носят феноменологический характер, и в случае решения реальных физических задач их оказывается недостаточно. Так, для описания особенностей реальных твердых тел приходится прибегать к понятиям нелинейных взаимодействий, которые запрещены теорией упругости однородного изотопного тела.
Аналогичная ситуация имеет место и при описании микроскопической нелинейности, которая определяется нелинейностью межатомных сил. Представление о нелинейности межатомных сил, которое принято называть решетчатой нелинейностью, позволяет объяснить целый ряд физических явлений, в том числе и макроскопических. Например, тепловое расширение твердых тел. Представление о нелинейности межатомных сил дало возможность объяснить появление фононов (квантов колебаний кристаллической решетки), распространить представления о фонон-фононных взаимодействиях на описание нелинейных взаимодействий искусственно возбуждаемых низкочастотных волн (когерентных фононов).
Учет единства и различия линейности и нелинейности позволяет, с одной стороны, выявить и описать нелинейные упругие свойства твердых тел, а с другой – дает возможность создать модели распространения нелинейных волн. Можно принести и другие примеры, иллюстрирующие вышесказанное и, опираясь на них, утверждать, что возможности, содержащиеся в единстве и различии линейности и нелинейности, еще далеко не полностью реализуются в физических теориях.
Известно, что материальное единство мира находит свое отражение и во взаимосвязи целого и его частей. Подтвердим это на примере такой новой отрасли знания, как синергетика. Анализ оснований синергетики позволяет рассмотреть один из аспектов вышеназванной проблемы. Необходимость появлении синергетики была обусловлена требованиями описания сложных процессов различной природы, при рассмотрении которых классическая математическая физика встретилась с известными затруднениями (процессов, которые не описываются линейными уравнениями).
До настоящего времени в естествознании преобладающим был подход, согласно которому часть всегда рассматривалась как более простое, чем целое. Синергетика описывает процессы, в которых целое обладает такими свойствами, которых нет у его частей. Она рассматривает окружающий мир как множество локализованных процессов различной сложности и ставит задачу отыскать единую основу организации мира, как для простейших, так и для сложных его структур. В то же время синергетика не утверждает, что целое сложнее части, она указывает на то, что целое и часть обладают различными свойствами и в силу этого отличны друг от друга.
В синергетике делается попытка описать развитие мира в соответствии с его внутренними законами развития, опираясь при этом на результаты всего комплекса естественных наук. Вместе с тем следует отметить, что до сих пор нет единого мнения по поводу того, чем занимается синергетика, каков ее предмет и перспективы развития. Для нашего анализа представляется важным то, что одним из основных понятий синергетики является понятие нелинейности.[2]
Успехи термодинамики, ее связь со статистической физикой обусловили возможность применения методов термодинамики для описания широкого класса систем. Неравновесная термодинамика охватывает все случаи, когда потоки (или скорости необратимых процессов) являются линейными функциями термодинамических сил (градиентов температуры или концентраций). Впоследствии выяснилось, что некоторые процессы не могут быть описаны в рамках этого плодотворного подхода.
Для решения этой задачи были предложены нелинейные модели, в которых использовались термодинамические понятия: концентрация, температура… Одной из таких моделей является так называемая модель брюсселятора. Предложенная модель описывает пространственное распределение и временное изменение реагентов в химических реакциях. Дальнейшее изучение показало возможность ее использования для описания свойств диссипативных структур самых различных нелинейных систем.
Отклонение от начального стационарного хода поведения химических реакций, как показывает изучение этой модели, приводит к тому, что возникают различные структуры, в том числе и нелинейные. Это позволяет сформулировать так называемый принцип «порядка через флуктуации». «В той области, где термодинамическая ветвь теряет устойчивость, – пишут И. Пригожин и Г. Николис, – флуктуации усиливаются и приводят к макроскопическому порядку, который стабилизируется за счет обмена энергией с внешней средой».[3] Именно учет нелинейности при изучении термодинамических процессов показывает, что флуктуации и случайные процессы малой амплитуды, нарастая, могут изменить основные характеристики физической системы.
Возникает вопрос: какова роль нелинейности, зачем необходимо разрабатывать нелинейные модели, если большое количество физических процессов можно объяснить с помощью линейных моделей или же свести нелинейные задачи к линейным. Ответ на этот вопрос, по нашему мнению, состоит в следующем: линейные задачи рассматривают лишь рост, течение процессов, нелинейность же описывает фазу их стабилизации, возможность существования нескольких типов структур, т. е. сочетание линейности и нелинейности (даже пока еще далеко не диалектическое) дает более адекватное отражение реальных процессов, так как с их помощью выражается единство устойчивости и изменчивости, являющихся ядром сущности всякого движения.
Большинство реальных систем описывается линейными уравнениями. Для многих из них имеются решения, что позволяет получить линейные соотношения. Однако это возможно лишь для тех случаев, когда воздействия на рассматриваемую систему не являются достаточно интенсивными. Если же эти воздействия интенсивны, а система носит открытый и неравностный характер, то возникает необходимость нелинейного анализа. Одной из причин интереса к модели брюсселятора является то, что в ней находят свое отражение общие черты многих систем, характеризующих возникновение структур и явлений самоорганизации.
Представляется важным, что нелинейность связана с принципом экстремального действия, который для нелинейных систем, изучаемых синергетикой, формулируется как принцип минимальной диссипации энергии. В настоящее время его принято формулировать так: «Когда природа допускает существование нескольких процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует минимальных энергетических затрат».[4]
Учет нелинейности оказывается существенным, например, при описании турбулентного движения. До сих пор нет общепринятого взгляда на природу турбулентности. Широко распространены две точки зрения. С одной стороны, турбулентность возникает как результат случайных процессов, отражающихся в уравнениях термодинамики, а с другой – ее причину можно объяснить за счет введения других сил, например, флуктуирующих процессов. Задача осложняется еще и тем, что описание турбулентных процессов приводит к проблеме выбора различных решений, описывающего данный процесс дифференциального уравнения.
Решение вопроса описания турбулентного движения наряду с решением многочисленных проблем, возникающих при описании перехода от регулярного к стохастическому движению, в настоящее время связывается с развитием стохастической или хаотической динамики. Развитие этой необычной области классической механики показало, что статистические законы не ограничены описанием только сложных системе большим числом степеней свободы. «Динамический хаос возможен и в некоторой области фазового пространства, даже в случае двух степеней свободы консервативной гамильтониановой системы. Источник чрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана, – указывает Б. В. Чириков. – Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы… а в точно заданных начальных условиях движения. В силу непрерывности фазового пространства в классической механике эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хаотического движения. Такая система не «забывает» свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях, и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях».[5]
Основной подход, развиваемый в теории динамического хаоса – это учет нелинейности, переход от рассмотрения простых, известных регулярных колебаний к описанию различных стадий хаотического движения. Следует отметить, что одной из особенностей этой теории является то, что она характеризуется неустоявшейся системой понятий. Так, в ней трудно провести различие понятий «хаотическое» и «стохастическое» движения. Подобные трудности не впервые возникают перед физической теорией. На самом деле задача еще более сложна, так как требуется проводить различие между процессами простыми и сложными, хаотическими и упорядоченными, регулярными и стохастическими и др. Теория динамического хаоса позволяет показать, что хаос рождает порядок, который в свою очередь является основанием хаоса, что простое в ряде отношений выступает сложным, и наоборот, что хаос не есть лишь статистическое равновесие, а в его динамике можно выделить различные уровни порядка.
На протяжении ряда лет в физической теории решается вопрос об эргодичности движения, т. е. вопрос о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную данному движению область фазового пространства или она ограничивается теми или иными интегралами движения. Для большинства начальных условий инвариантные поверхности интегрируемых систем, в случаях их возмущений, не меняются. По-иному дело обстоит в диссипативных системах, фазовый объем которых сокращается со временем.
Установлено, что системы обыкновенных дифференциальных уравнений описывают стохастические процессы без привлечения каких-либо флуктуирующих сил. Конечным состоянием диссипативной системы является движение в некотором пространстве, получившем название аттрактора. Размерность аттрактора меньше размерности исходного фазового пространства. Такие аттракторы имеют место и в классической механике, к ним относятся, например, неподвижные точки, к которым притягивается траектория, и др.
Существенным для развития теории динамического хаоса явилось открытие Э. Лоренцем хаотического движения в диссипативных системах. Модель, рассматриваемая Э. Лоренцем, описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Аттракторы, описывающие хаотическое движение, получили название странных. А. Лихтенберг и М. Либерман отмечают, что «…топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью, при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытными свойствами дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. п. Когда геометрическая структура странных аттракторов была выяснена, возникла качественная картина движения, важной особенностью которой является близкое соответствие между движением на странном аттракторе и движением, описываемым некоторым одномерным необратимым отображением. Такие отображения не возникают непосредственно из диссипативных потоков, но являются важными примерами простых систем с хаотическим поведением и находят приложение в таких разных областях, как экономика и экология».[6]
Действительно, удалось показать, что многие процессы описываются либо уравнениями, предложенными Э. Лоренцем, либо системой уравнений, включающей странные аттракторы. С помощью этих уравнений рассматривают поведение некоторых типов плазменных волн, химические реакции в открытых системах, закономерности изменения численности биологических сообществ, вопросы, связанные с генерацией лазера в некотором диапазоне параметров, циклы солнечной активности и другие.
Нелинейные представления, описывающие системы со странными аттракторами, приводят к появлению в теории новых понятий, что в свою очередь способствует уточнению физической теории. Важно отметить, что этот переход к новым представлениям получен на основе упрощенных математических моделей, которые лишь качественно передают основной характер поведения самых разнообразных нелинейных систем. Модели со странными аттракторами позволяют дать как интегральную, так и дифференциальную характеристику описываемых ими процессов, показать, как порядок переходит в беспорядок и наоборот.
Одной из важных функций представлений о единстве линейности и нелинейности является то, что эти понятия участвуют в процессе переноса знаний из одной физической теории в другие, благодаря чему осуществляется своеобразная взаимосвязь между этими теориями. Это не прямой, механический перенос полученного знания из одной области в другую, а перенос, имеющий творческую направленность. Физическое знание в данном случае трансформируется, порождает новые результаты с учетом специфики той области физического знания, куда оно индуцировано.
Вопрос о появлении упорядоченных структур не является специфическим только для термодинамики, он возникает и в астрофизике при попытках объяснить структуру спиральных галактик, биологии и химии – при объяснении ревербираторов (спиральных волн). Несмотря на то, что процессы самоорганизации находят свое проявление в самых различных формах, они имеют ряд общих черт. «Отличительная черта моделей самоорганизующихся процессов, – отмечает Г. И. Рузавин, – заключается в том, что в них используются нелинейные математические уравнения, в которых переменные входят в степени выше первой»[7]
Таким образом, можно сделать вывод, что синергетика, используя единство линейности и нелинейности, выражает в теории те аспекты материального единства мира, которые связаны с общими свойствами саморазвития сложных систем. Нелинейные уравнения, составляющие основу этой теории, позволяют с помощью достаточно простых моделей описывать самые различные процессы. Причем, даже не решая этих уравнений, можно выработать представление о качественно новых чертах тех процессов, которые этими уравнениями описываются.
Для физической науки всегда было наиболее сложно построить теорию, описывающую неупорядоченные процессы, например, вихри в турбулентном потоке жидкости, сложные атмосферные явления, шумы в электронной схеме. Традиционным является статистический подход к неупорядоченным процессам. Скажем, нельзя заранее предсказать, какова будет следующая амплитуда шумового сигнала, но можно оценить вероятность достижения этим сигналом определенных значений.
Если рассматривать различные процессы – изменение популяций от поколения к поколению, шумы в механических, электрических и химических осцилляторах и др., то можно заметить у них одну общую черту. При изменении какого-либо внешнего параметра поведение системы от простого переходит к хаотическому. Имеется определенный диапазон значений этого параметра, при котором поведение системы является упорядоченным и, что не менее важно, периодическим. Если выйти за границы этого диапазона, то процесс перестает воспроизводиться через Т секунд. Новая периодичность сохраняется внутри нового диапазона значений параметра, пока не достигается новое критическое значение. Удвоение периода можно наблюдать во всех вышеперечисленных процессах. «В пределе, – отмечает М. Фейгенбаум, – хаотического непериодического движения имеется единственное и поэтому универсальное решение, общее для всех систем, испытывающих удвоение»[8].
Это обстоятельство приводит к интересному следствию: δ – скорость перехода к хаотическому движению является универсальной величиной, равной 4,6692016… Из этого следует и другой не менее важный вывод: «Универсальность теории такова, что большинство измеримых параметров любой из таких систем в пределе хаотического движения может быть определено без помощи специальных, описывающих данную систему уравнений, т. е. если система переходит к хаотическому поведению путем удвоения периода (качественная характеристика), то ее количественные характеристики становятся полностью заданными. Этот вывод подобен следствиям современной теории фазовых переходов, в которой несколько качественных характеристик системы, совершающей фазовый переход, особенно размерность, определяют универсальные критические элементы»[9].
Теория описания сложных хаотических процессов, обсуждаемая М. Фейгенбаумом, с нашей точки зрения, представляет интерес, ибо автор, по существу, исходит из признания единства мира и пытается найти то общее, что присуще хаотическим процессам различной природы. Эта теория показывает, что поведение всех диссипативных систем вблизи перехода к хаотическому движению носит универсальный характер. Теория универсальности (название предложено М. Фейгенбаумом, иногда ее называют теорией бифуркаций) дает возможность описать поведение той или иной системы за пределами возможностей других математических представлений. Поясним это с помощью следующего примера. Система дифференциальных уравнений имеет определенное заданное отображение. Конкретный вид этого отображения с помощью современных математических методов неизвестен. Вместе с тем, если это отображение испытывает удвоение периода, то теория универсальности дает точные количественные предсказания, вне всякой зависимости от конкретного вида отображения.
Большое внимание к себе теория универсальности привлекает еще и потому, что экспериментально установлено, что ряд жидкостных потоков переходит в турбулентное состояние через удвоение периода.
Важным методологическим выводом, вытекающим из теории универсальности, является также и то, что поведению нелинейных систем различной природы и различного характера нелинейности присущи общие, универсальные характеристики. Выделение таких характеристик свидетельствует о том, что эта теория все в большей степени учитывает фактор материального единства и свидетельствует о единстве физического знания.
Из анализа роли понятий линейности и нелинейности в физической теории видно, что они основываются на таких категориях, как тождество и различие, изменение и становление, т. е. на категориях, обладающих всеобщим значением. Каждый закон выражает тот или иной порядок явлений, их регулярность или последовательность во времени. В любом законе природы находит свое выражение однородность, присущая различным явлениям и материальным процессам. Однородность, вместе с ней и линейность, выражает одинаковость связей, отношений и структур, в то время как нелинейность выявляет их различие. Таким образом, линейность и нелинейность выступают существенными сторонами явлений окружающего мира.
Между законами явлений и их линейностью существует глубокая внутренняя связь. При помощи линейности можно вскрыть важные, существенные стороны явлений окружающего мира. В то же время знание линейности и нелинейности явлений еще не означает полного знания их законов. Линейность и нелинейность явлений не выражают все содержание явлений, а лишь их определенную сторону.
Законы действуют лишь в определенных условиях. В связи с этим правомерен вопрос о линейности или нелинейности законов по отношению к различным условиям. Если в условиях действия законов нет тождественных, сохраняющихся, повторяющихся моментов, то законы по отношению к ним линейностью не обладают. Задача состоит в том, чтобы выявить тождественное в разнообразных условиях действия законов, что в свою очередь позволяет определить их линейность.
Одним из оснований взаимосвязи между законами физической теории является наличие в различном их содержании моментов тождества, т. е. линейности. Если нелинейность понимать формально, как отсутствие всяких элементов линейности, то мы тогда пришли бы к выводу о том, что наличие нелинейности исключает взаимосвязь между законами физической теории. Однако, это не так. Во-первых, наличие нелинейности в содержании законов не элиминирует из их содержания линейность, не подвергает сомнению само содержание линейности. Во-вторых, линейность, как и нелинейность, служит основой существования связи между физическими законами.
Это наглядно видно из проведенного А. Эйнштейном анализа понятийного аппарата общей теории относительности. Он писал: «Группа общей относительности впервые приводит к тому, что наиболее простой инвариантный закон уже не будет линейным и однородным в переменных полях и их производных. Это – обстоятельство фундаментальной важности, и вот по какой причине. Если уравнения поля линейны (и однородны), то сумма двух решений снова будет решением; это имеет место, например, для максвелловских уравнений поля в пустом пространстве. В такой (линейной) теории уравнений поля недостаточно для вывода закона взаимодействия между объектами, которые описываются (каждый в отдельности) решениями системы уравнений поля. Поэтому в прежних теориях необходимы были, наряду с уравнениями поля, особые уравнения, определяющие движения материальных объектов под действием поля»[10].
Линейность и нелинейность выражают различные тенденции развития материального мира. Если линейность отражает тенденцию к устойчивости, равновесию, сохранению определенности структуры, то нелинейность выражает тенденцию к нарушению равновесия и структуры, тенденцию к нарушению устойчивости. Однако как линейность не может быть сведена к устойчивости и сохранению, так и нелинейность не сводится к изменчивости. Вместе с тем выяснение диалектической связи этих понятий помогает отыскать новые аспекты взаимодействия элементов той или иной материальной структуры.
Известно, что линейность тесно связана с симметрией. Одним из наиболее ярких примеров подобной связи является связь линейности с релятивистской инвариантностью законов движения. Связь между принципами инвариантности и законами сохранения обсуждалась в многочисленных работах. Нам хочется обратить внимание на то, что одна из причин «возросшей эффективности принципов инвариантности кроется в линейности положенного в основу квантовой теории гильбертова пространства»[11].