Сергей Израйлевич
Опционы: Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий
• Если рынок находится в состоянии высокой волатильности и портфель формируется из опционов с ближайшей датой истечения, то для дельта-нейтральной стратегии граница дельта-нейтральности находится в области низких значений диапазона страйков, а для частично-направленной стратегии – в области средних значений данного параметра. Кроме того, в первом случае протяженность границы велика, а во втором случае – мала.
• Если рынок находится в состоянии низкой волатильности и портфель формируется из опционов с ближайшей датой истечения, то для дельта-нейтральной стратегии граница дельта-нейтральности находится в области низких значений порога критерия, а для частично-направленной стратегии – в широком диапазоне значений данного параметра. Кроме того, в первом случае граница имеет среднюю протяженность, а во втором случае граница может быть достаточно протяженной (от средней до длинной).
• Если рынок находится в состоянии высокой волатильности и портфель формируется из опционов с далекой датой истечения, то для дельта-нейтральной стратегии граница дельта-нейтральности находится в области средних значений диапазона страйков, а для частично-направленной стратегии – в области средних и более высоких значений данного параметра. Кроме того, достижимость дельта-нейтральности в первом случае низкая, а во втором случае – средняя.
• Если рынок находится в состоянии низкой волатильности и портфель формируется из опционов с далекой датой истечения, то для дельта-нейтральной стратегии граница дельта-нейтральности находится в области низких значений порога критерия, а для частично-направленной стратегии – значение данного параметра весьма изменчиво (от низких до очень высоких значений). Кроме того, в первом случае граница дельта-нейтральности находится в области высоких значений диапазона страйков, а во втором случае – в области низких и средних значений. Достижимость дельта-нейтральности для дельта-нейтральной стратегии низкая, а для частично-направленной стратегии – средняя.
1.5.7. Анализ структуры портфеля
В этом разделе мы применим те же подходы и используем те же характеристики, которые были использованы ранее (раздел 1.4.6) для описания структуры портфелей, формируемых в рамках дельта-нейтральной стратегии. Как и ранее, мы ограничим рассмотрение параметров «порог критерия» и «диапазон страйков» интервалом значений от 0 до 25 %. Основные характеристики частично-направленного портфеля будут исследованы в условиях низкой и высокой волатильности. Будут рассмотрены два временных интервала (недельный и двухмесячный) от момента создания портфеля до экспирации опционов. Для того чтобы сравнить структуру частично-направленного портфеля с дельта-нейтральным, мы используем те же даты создания портфелей и те же даты экспирации, которые использовались в разделе 1.4.6. Поскольку различные аспекты структуры были подробно описаны применительно к дельта-нейтральной стратегии, мы ограничимся в этом разделе указанием отличий в структуре портфелей, создаваемых в рамках частично-направленной стратегии.
Количество комбинаций в составе портфеля. Зависимость количества комбинаций, входящих в состав портфеля, от порога критерия и диапазона страйков очень похожа на зависимость, описанную для дельта-нейтральной стратегии (рис. 1.4.11). Основное отличие состоит в меньшем количестве комбинаций для каждого варианта сочетания (диапазон страйков × порог критерия). Уменьшение количества комбинаций указывает на снижение уровня диверсификации портфеля. Однако такое снижение может быть критичным лишь при использовании ближайших опционов и при существенных ограничениях, накладываемых на параметры стратегии (высокий порог критерия и узкий диапазон страйков). Во всех прочих случаях количество комбинаций является достаточным для достижения приемлемого уровня диверсификации.
Количество базовых активов. Эта характеристика является другим важным показателем диверсификации портфеля. В период высокой волатильности (независимо от периода времени до истечения опционов) зависимость количества базовых активов от порога критерия и диапазона страйков не отличается от зависимости, установленной для дельта-нейтральной стратегии (рис. 1.4.12). В спокойный период для частично-направленной стратегии была получена другая форма зависимости (сравни рис. 1.4.12 и 1.5.14). Если для дельта-нейтральной стратегии (при использовании ближайших опционов) количество базовых активов не зависит от диапазона страйков и экспоненциально уменьшается с ростом порога критерия, то в случае частично-направленной стратегии расширение диапазона страйков ведет к росту количества базовых активов, а снижение их числа по мере роста порога критерия происходит более медленными темпами (рис. 1.5.14). При использовании долгосрочных опционов разница между двумя стратегиями еще более очевидна. Если в случае дельта-нейтральной стратегии количество базовых активов было очень большим при низком пороге критерия и почти не зависело от диапазона страйков, то для частично-направленной стратегии это количество оказалось небольшим (независимо от порога критерия) и опускалось до очень низких значений при использовании узкого диапазона страйков (рис. 1.5.14).
Соотношение длинных и коротких комбинаций. Как и в случае дельта-нейтральной стратегии, в период высокой волатильности все портфели, построенные в рамках частично-направленной стратегии, состоят преимущественно из коротких комбинаций. В период спокойного рынка процент коротких комбинаций от общего количества комбинаций в портфеле зависит от величины порога критерия и не зависит от ширины диапазона страйков (это также совпадает с паттернами, наблюдавшимися для дельта-нейтральной стратегии, см. рис. 1.4.13). Поэтому, чтобы лучше отобразить зависимость доли коротких комбинаций от порога критерия и сравнить между собой две стратегии, мы усреднили данные, относящиеся к разным диапазонам страйков (что позволяет свести поверхности графиков к линиям). Независимо от периода времени, остающегося до истечения опционов, доля коротких комбинаций в портфеле падает по мере роста порога критерия. Причем в портфелях, сформированных из ближайших опционов, это падение происходит более быстрыми темпам, а доля коротких комбинаций ниже, чем в портфелях, состоящих из дальних опционов. Такие же тенденции наблюдались и для дельта-нейтральной стратегии (рис. 1.5.15). Основное отличие двух стратегий состоит в том, что при использовании краткосрочных опционов, доля коротких комбинаций в портфелях, сформированных в рамках частично-направленной стратегии, всегда ниже, чем в дельта-нейтральных портфелях (независимо от величины порога критерия). При использовании долгосрочных опционов доля коротких комбинаций в частично-направленных портфелях ниже для низких значений порога критерия, но становится выше, чем в дельта-нейтральных портфелях, когда порог критерия превышает 10 %.
Асимметричность портфеля. Этот показатель выражает степень асимметричности платежной функции портфеля относительно текущего значения индекса. Поскольку концепция, лежащая в основе частично-направленной стратегии, включает в себя элемент прогноза и не требует нейтральности по отношению к рынку, коэффициент асимметричности может достигать достаточно больших значений. Если в случае дельта-нейтральной стратегии коэффициент асимметричности не превышал 0,35 (для всех значений порога критерия, диапазона страйков, волатильности рынка и периода времени до истечения опционов, см. рис. 1.4.16), то для частично-направленной стратегии этот показатель находится в диапазоне 0,4–1,4. Тем не менее сведение асимметричности к минимуму (при сохранении элемента прогноза) является важной задачей при разработке частично-направленных стратегий. Поэтому необходимо производить поиск таких сочетаний параметров, которые позволяют снизить асимметричность портфеля. Пример зависимости коэффициента асимметричности от значений порога критерия и диапазона страйков для двух уровней волатильности (при построении портфеля из краткосрочных опционов) представлен на рис. 1.5.16. Во время спокойного рынка асимметричность портфеля достигает максимума при наименьших ограничениях, накладываемых на параметры (низкий порог критерия и широкий диапазон страйков). В период высокой волатильности максимум асимметричности смещается в область более высоких значений порога критерия. Наибольшее значение имеет тот факт, что как во время спокойного рынка, так и в периоды кризиса существует достаточно большое количество сочетаний (порог критерия × диапазон страйков), для которых асимметричность портфеля находится на приемлемо низком уровне.
Вероятность убытка. Зависимость вероятности убытка от порога критерия и диапазона страйков похожа по форме на зависимость, описанную для дельта-нейтральной стратегии. Такое подобие наблюдается для обоих уровней волатильности (рис. 1.4.17). Единственное отличие (наблюдаемое только в спокойный период и лишь при построении портфелей из долгосрочных опционов) состоит в том, что если для дельта-нейтральной стратегии вероятность убытка увеличивается по мере расширения диапазона страйков, то для частично-направленной стратегии данный параметр не влияет на вероятность убытка. Для всех вариантов сочетания (диапазон страйков × порог критерия) абсолютное значение вероятности убытка частично-направленных портфелей несколько выше по сравнению с дельта-нейтральными.
VaR. Для дельта-нейтральной стратегии было отмечено, что период времени, остающийся до экспирации опционов, влияет на VaR портфелей гораздо сильнее, чем волатильность рынка (рис. 1.4.19). Такой же феномен был отмечен нами и для частично-направленной стратегии (при использовании двухмесячных опционов вместо недельных VaR увеличивается в несколько раз). Для дельта-нейтральной стратегии VaR достигал максимума при самых низких значениях порога критерия и при наиболее широких диапазонах страйков. В случае частично-направленной стратегии пик VaR несколько смещается в область более высоких значений порога критерия; особенно это заметно в период высокой волатильности (рис. 1.5.17).
1.6. Дельта-нейтральный портфель как основа опционной стратегии
1.6.1. Структура и свойства портфеля на границах дельта-нейтральности
В предыдущих разделах мы описали два основных аспекта дельта-нейтральной и частично-направленной опционных стратегий: (1) расположение и протяженность границ дельта-нейтральности, (2) характеристики, определяющие структуру и свойства доступных опционных портфелей. Теперь необходимо объединить эти два аспекта в общую концепцию построения и выбора оптимального дельта-нейтрального портфеля.
Границы дельта-нейтральности представляют собой множество портфелей, объединенных одним общим признаком – их дельта равна нулю. В этом отношении все они одинаковы. Однако эти портфели очень сильно разнятся по многим другим важным характеристикам. По сути, эти характеристики определяют целый комплекс качеств, от которых зависят риски и доходность создаваемой торговой стратегии. В этом разделе мы продемонстрируем методику определения структуры и свойств портфелей, находящихся на границах дельта-нейтральности. Хотя формально все портфели, расположенные на этой границе, пригодны для использования в рамках любой опционной стратегии, необходимо выбрать из них единственный вариант (или несколько равнозначных альтернатив), обладающий наилучшими характеристиками. В этом разделе мы будем использовать примеры, относящиеся к дельта-нейтральной торговой стратегии. Однако описанная ниже методика может быть в равной мере применена к любой опционной стратегии. (Проблеме выбора оптимального портфеля будет посвящен следующий раздел.)
Для того чтобы определить характеристики дельта-нейтральных портфелей, необходимо выполнить следующие процедуры:
1. Представить границу дельта-нейтральности в виде последовательности точек, каждая из которых задается парой координат на плоскости (порог критерия × диапазон страйков). Поскольку теоретически граница может состоять из бесконечного количества точек, необходимо определить некий дискретный шаг для определения координат точек. Для обоих параметров, «порог критерия» и «диапазон страйков», мы примем этот шаг равным 1 %.
2. Представить зависимость исследуемой характеристики от порога критерия и диапазона страйков в виде топографической карты. (Ранее эти зависимости были представлены в виде трехмерных графиков, см. рис. 1.4.11–1.4.13 и 1.4.16–1.4.19.) Горизонтальная и вертикальная оси карты соответствуют значениям параметров «порог критерия» и «диапазон страйков», а высотная отметка каждой точки на карте выражает значение характеристики, соответствующее определенному портфелю.
3. Нанести на топографическую карту соответствующую ей границу дельта-нейтральности. Координаты точек, составляющих границу, будут соответствовать координатам дельта-нейтральных портфелей. Высотные отметки карты в месте нахождения точек будут соответствовать значениям, принимаемым исследуемой характеристикой.
4. Повторяя последовательно процедуры 1–3 для каждой характеристики, мы получим набор всех характеристик для каждого дельта-нейтрального портфеля.
На рис. 1.6.1 показан результат выполнения первых трех процедур для характеристики «вероятность убытка». В этом примере использовались те же данные, что и в предыдущем разделе: дата создания портфелей 11 января 2010 г., даты экспирации – 15 января 2010 г. (для недельных опционов) и 19 марта 2010 г. (для двухмесячных опционов). Точки и границы дельта-нейтральности были определены с помощью методики, описанной в разделе 1.4.3. Топографическая карта была построена, основываясь на принципах, применявшихся ранее для построения рис. 1.4.3 и 1.4.8. И, наконец, границы и карты были построены в общей системе координат (рис. 1.6.1), что позволит нам определить величину характеристики «вероятность убытка» для каждого дельта-нейтрального портфеля. Высотные отметки топографической карты показывают вероятность убытка для каждого портфеля, находящегося на границе дельта-нейтральности (равно как и для всех прочих, не интересующих нас портфелей, находящихся вне этой границы).
Рис. 1.6.1 визуально представляет процедуры определения характеристик дельта-нейтральных портфелей, однако он не позволяет получить точные значения этих характеристик (поскольку высотные отметки на топографической карте представляются в виде интервалов значений). Кроме того, создание автоматизированной торговой стратегии исключает визуальный анализ и требует разработки расчетного алгоритма. Продемонстрируем процедуру определения точных значений характеристики «вероятность убытка» на примере данных, представленных на верхней карте рис. 1.6.1 (когда портфели формировались из опционов с ближайшей датой истечения).
В этом случае были получены две границы дельта-нейтральности. Одна из них проходит сначала параллельно оси диапазона страйков, а затем резко поворачивает и идет вдоль оси порога критерия (мы не будем рассматривать эту границу, поскольку все портфели на ней имеют очень низкие значения либо одного, либо другого параметра). Вторая граница пересекает топографическую карту от верхней левой части к правой нижней области (портфели на этой границе имеют самые разнообразные сочетания значений двух параметров). Заменим топографическую карту таблицей, ячейки которой отображают вероятности убытка, соответствующие всем возможным вариантам (порог критерия × диапазон страйков). В таблице 1.6.1 ячейки, соответствующие точкам дельта-нейтральности, отмечены серым цветом. Обратите внимание, что расположение серых ячеек повторяет форму границы дельта-нейтральности на верхнем рис. 1.6.1. Значения серых ячеек выражают вероятности убытков соответствующих им дельта-нейтральных портфелей. Такой способ определения характеристик портфелей достаточно прост, легко программируем и исключает влияние субъективного фактора, неизбежного при визуальном анализе графиков.
1.6.2. Выбор дельта-нейтрального портфеля
В предыдущих разделах мы разобрали методику нахождения множества дельта-нейтральных портфелей и научились определять их характеристики. Теперь необходимо сделать следующий шаг – из доступного множества портфелей, удовлетворяющих основному условию (дельта-нейтральности), выбрать такой вариант, характеристики которого наилучшим образом соответствуют требованиям разработчика торговой стратегии. Забегая вперед, заметим, что достичь полного соответствия почти никогда не удается. Поэтому задачу выбора портфеля следует сформулировать следующим образом: из множества доступных альтернатив выбрать такую, характеристики которой наиболее близки к некоему эталону, определяемому разработчиком стратегии.
Для того чтобы продемонстрировать основные подходы к решению задачи выбора, рассмотрим полный комплекс характеристик всех дельта-нейтральных портфелей, полученных в двух случаях. В одном случае портфели формируются во время спокойного рынка из недельных опционов, в другом случае – из двухмесячных опционов. Ранее мы определили значения характеристики «вероятность убытка» для этих двух случаев (рис. 1.6.1). Теперь рассмотрим все прочие характеристики. Для каждой характеристики необходимо построить таблицу (аналогичную таблице 1.6.1) и зарегистрировать значения «серых» ячеек, соответствующих точкам дельта-нейтральности. Обратите внимание, что границы дельта-нейтральности для месячных и недельных опционов заметно отличаются (рис. 1.6.1). Соответственно, отличаются и распределения «серых» точек дельта-нейтральности в пределах таблиц, относящихся к ближайшим и дальним опционам.
Чтобы не перегружать изложение материала избыточным объемом промежуточных таблиц, мы не будем приводить здесь отдельные таблицы для каждой характеристики. Вместо этого, сведем в единую таблицу характеристики, относящиеся только к дельта-нейтральным портфелям (только «серые» ячейки). Это позволит получить общее представление о полном комплексе характеристик, относящихся ко всем доступным вариантам дельта-нейтральных портфелей.
Характеристики дельта-нейтральных портфелей показаны в таблицах 1.6.2 (портфели формировались из краткосрочных опционов) и 1.6.3 (портфели формировались из долгосрочных опционов). Для того чтобы приступить к анализу характеристик и выбору на их основе оптимального портфеля, следует определить для каждой характеристики интервалы ее допустимых значений. Данные интервалы зависят от требований, предъявляемых к разрабатываемой стратегии, а также от индивидуальных предпочтений разработчика и от накладываемых на него внешних ограничений. Поэтому в каждом конкретном случае интервалы допустимых значений могут быть разными. В нашем случае мы будем использовать следующие интервалы:
• Количество комбинаций: от 20 до 200;
• Количество базовых активов: от 20 до 100;
• Соотношение длинных и коротких комбинаций: от 20 до 80 % коротких комбинаций;
• Вероятность убытка: менее 50 %;
• Асимметричность портфеля: коэффициент асимметричности не более 0,1.
• VaR: не более 600.
В таблицах 1.6.2 и 1.6.3 мы использовали серый цвет для обозначения интервалов допустимых значений. В пределах каждой колонки таблицы серый цвет обозначает приемлемые интервалы для каждой отдельно взятой характеристики. В пределах каждой строки серый цвет показывает, являются ли значения характеристик данного портфеля допустимыми.
В том случае, когда портфели формировались из ближайших опционов, ни один из них не обладал таким набором характеристик, который полностью удовлетворял бы нашим требованиям (таблица 1.6.2). Не нашлось даже ни одного портфеля, удовлетворяющего хотя бы пяти из шести требований, предъявляемых к интервалам допустимых значений. Зато сразу девять портфелей обладают характеристиками, четыре из которых удовлетворяют предъявляемым требованиям. Эти портфели обозначены толстыми рамками в таблице 1.6.2. Подходит ли из этих девяти портфелей хотя бы один для открытия позиций, зависит от алгоритма выбора, принятого разработчиком стратегии (ниже мы коснемся этого вопроса подробнее).
В том случае, когда портфели создавались на основе далеких опционов, также ни один из них не обладал полностью удовлетворительным набором характеристик (таблица 1.6.3). Зато пять из шести характеристик одного портфеля удовлетворяли требованиям, предъявляемым к интервалам допустимых значений. Этот портфель обозначен толстой рамкой в таблице 1.6.3. Если, в соответствии с алгоритмом выбора, этого достаточно, то такой портфель может быть использован для открытия торговых позиций.
Можно предложить большое количество алгоритмов выбора оптимального портфеля. По существу, все они являются вариантами решения задачи многокритериального анализа, в которой каждая характеристика представляет собой отдельный критерий.
Самый суровый алгоритм может иметь следующий вид. На первом этапе выбираются только те портфели, все характеристики которых удовлетворяют априорно установленным требованиям. (В наших двух примерах не нашлось ни одного такого портфеля.) На втором этапе существует несколько вариантов действий. Можно ранжировать все характеристики по степени их значимости. После чего из множества портфелей, отобранных на первом этапе, выбирается один с наилучшим значением первой по важности характеристики. Если таких портфелей окажется несколько, то дальнейший отбор производится с помощью второй по важности характеристики. И так далее. Недостаток такого подхода заключается в том, что весьма затруднительно упорядочить все характеристики по степени их важности (многие из них равнозначны). Другой вариант второго этапа заключается в применении Паретовского метода многокритериального отбора. Однако в этом случае мы будем лишены возможности контролировать количество выбираемых опционных портфелей. Этот недостаток может оказаться весьма существенным, поскольку выбор нескольких портфелей вместо одного означает необходимость открытия гораздо большего количества позиций, что негативно скажется на потерях за счет проскальзывания и операционных издержек.
Менее суровый алгоритм может выглядеть так. На первом этапе выбираются все портфели, n из m характеристик которых удовлетворяют требованиям, предъявляемым к интервалу их допустимых значений. В наших примерах число характеристик равно 6 (m = 6). Если принять n = 5, то в примере, представленном таблицей 1.6.3, найдется единственный портфель, прошедший первый этап отбора, а в таблице 1.6.2 не окажется ни одного такого портфеля. Зато если принять n = 4, то в таблице 1.6.2 будет сразу девять портфелей, прошедших первый этап отбора (обозначены толстыми рамками в таблице). Второй этап может быть реализован теми же двумя путями, что были описаны для сурового алгоритма. Например, если считать наиболее важной характеристикой «количество комбинаций» (чем их меньше, тем лучше, но не менее 20), то из девяти альтернатив на втором этапе будет выбран портфель, определяемый параметрами (порог критерия = 15, диапазон страйков = 9). Можно пойти и другим путем. Из множества вариантов, прошедших первый этап отбора, на втором этапе можно выбрать портфель, имеющий наилучшие значения по тем характеристикам, которые не попали в интервал допустимых значений. В таблице 1.6.2 все девять портфелей имеют неудовлетворительные значения по характеристикам «процент коротких комбинаций» и «вероятность убытка». Однако портфель, определяемый параметрами (порог критерия = 7, диапазон страйков = 12), имеет по этим характеристикам лучшие показатели, чем остальные восемь портфелей. Этот портфель и может быть выбран в качестве оптимального.
Как для сурового, так и для более мягкого алгоритма реализация второго этапа может основываться на другом принципе. Вместо априорного ранжирования характеристик по степени их важности, можно принять в качестве основной ту характеристику, значения которой изменяются в более широком диапазоне, чем значения других характеристик. Например, в таблице 1.6.2 все значения характеристик «коэффициент асимметричности» и VaR лежат в очень узком интервале значений. Поэтому все девять портфелей, прошедших первый этап отбора, почти не отличаются друг от друга по этим характеристикам. Следовательно, не имеет никакого смысла выбирать их в качестве основных ориентиров для второго этапа выбора. С другой стороны, значения характеристик «количество комбинаций» и «количество базовых активов» варьируют в широком диапазоне значений (от 79 до 200 и от 21 до 51 соответственно). Поэтому в данном конкретном случае будет естественным использовать эти характеристики в качестве основных для окончательного выбора оптимального портфеля.
Необходимо подчеркнуть, что какой бы алгоритм выбора оптимального портфеля ни был принят к реализации при разработке автоматизированной торговой стратегии, от него во многом зависит, какой из вариантов дельта-нейтрального портфеля будет в конечном итоге использован для открытия позиций.