Петр Путенихин
Диаграммы Пенроуза – что это такое?
Рис.7. Последовательность создания "пустой" диаграммы Пенроуза
Собственно алгоритм построения сеток достаточно прост. Для удобства поворот сеток производится сразу же, в момент их построения. Поскольку алгоритм прост, приведем его в неформальном виде, в виде словесного описания:
Цикл 1: Для каждого –М < t < +M c шагом T
Цикл 2: Для каждого –М < r < +M c шагом R
Вычислить u = arctg(t + r) и v = arctg(t – r)
Повернуть полученную точку a(u, v) на 45 градусов по или против часовой стрелки (зависит от назначения линий сетки – время или расстояния)
Вывести полученную точку а(u, v) на координатную плоскость
Конец Цикла 2
Конец Цикла 1
Буквой М названа условная бесконечность, то есть, число большое, но не превышающее возможностей вычислительной системы (компьютера). Шаг T подбирается из соображений частоты линий на диаграмме. Слишком много линий просто затемнят картину. Из этих же соображений цвет линий сетки выбран ярко-бирюзовым. На его фоне линии другого цвета (мировые линии) просматриваются вполне отчетливо.
Теперь на диаграмму можно вывести любые события и мировые линии. Для этого используется точно такой же алгоритм, но только его "внутренняя часть", без циклов. По требуемой функциональной зависимости мы выводим последовательность точек a(u, v) (с поворотом!) и при необходимости соединяем их отрезками линий. Частота вывода линий – это темп реального хода времени, если мы создаем анимацию. Интервалы, очевидно, должны быть достаточно малыми, чтобы была незаметна ломаная структура линий. На рис.7 дискретность каждой дуговой линий составляет R=800, поэтому они выглядят как гладкие кривые. Для наглядности на анимации добавлена ещё одна линия – линия настоящего t = tнаст. У нас она обычно окрашена в оранжевый (горчичный) цвет. Мировые линии событий могут иметь произвольные цвета. Мировые линии света и тахионов имеют предпочтительные цвета – красный, малиновый.
Динамические диаграммы Пенроуза
Теперь, имея уравнения преобразования координат, мы можем изобразить на диаграмме Пенроуза любую мировую линию. Для этого нам нужно знать только уравнение её движения r(t). Более того, мы можем нарисовать последовательность диаграмм для каждого момента времени по этим уравнениям и соединить их в анимацию, динамическую последовательность кадров. Пример кадра такой анимации для четырех разных мировых линий изображен на рисунке:
Рис.8. Мировые линии на динамической диаграмме. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig08.gif
На кадре из динамической диаграммы изображены четыре произвольные мировые линии, имеющие начало в момент времени t = ‑20, где размерность времени может быть произвольной, как указано выше. Две из линий – светоподобные и соответствуют лучам света, испущенным в точках r = 1 и r = 5, причем размерность расстояния соответствует размерности времени. Другими словами, если расстояние измеряется в световых годах, то время – в годах; если время в минутах, то расстояние – в световых минутах и тому подобное. Для каждой мировой линии на рисунке приведены их уравнения, а на диаграмме цвет линии соответствует цвету названия функции.
Понятно, что в динамике мировые линии могут начинаться в любой точке диаграммы ниже линии настоящего, а заканчиваться должны на ней. Никаких событий выше линии настоящего не может быть, только ожидаемые, предполагаемые, которые могут произойти в будущем.
Как видно на динамической диаграмме, мировые линии пересекаются. Это означает, что испущенные световые лучи или времениподобные объекты (тела) встречаются в одной точке одномерного пространства-времени, двигаясь вдоль одной линии. Столкновение тел или поглощение лучей определяется тем, в каком направлении они движутся, что можно явно вычислить по уравнениям их мировых линий.
В качестве примера попробуем задать уравнение мировой линии такое, чтобы она проходила вблизи центра диаграммы. Как и в полярных координатах, на этой диаграмме изображено всё существующее пространство-время: и видимая Вселенная, и вся Вселенная за видимым горизонтом, от Большого Взрыва и до конца нашей реальности, ничто не может быть изображено вне диаграммы.
Рис.9. Пример мировой линии на динамической диаграмме Пенроуза по уравнению, рассчитанному из заданных условий. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig09.gif
Синим цветом изображена мировая линия события по выведенному уравнению, которое приведено в правом верхнем углу диаграммы. Значение уравнения на рисунке вычислено для момента времени t = 1,75. Можно заметить, что на нижнем отрезке траектории тело движется по пространственноподобной траектории, то есть, со сверхсветовой скоростью, как тахион. Проверку на корректность уравнения движения для построения диаграммы должен производить его автор, отслеживая скорость тела. Разумеется, "отсекать" недопустимые значения траекторий может и алгоритм автоматизированного, компьютерного построения диаграмм.
Динамическая диаграмма обмена световыми сигналами
Как правило, чаще всего диаграммы Пенроуза используются в общей теории относительности при рассмотрении неинерциального (с ускорением) движения или движения с учетом гравитационных сил, например, действия космологических Черных дыр. Однако нет никаких препятствий для использования их и для исследования инерциальных систем отсчета – ИСО.
В этом случае следует формировать столько диаграмм, сколько на ней имеется инерциальных участников движения. Рассмотрим случай обмена световыми сигналами теперь уже для двух таких ИСО – А и В. Диаграммы в виде анимаций представлены на рис.10.
На рисунке представлены диаграммы, полностью соответствующие диаграммам Минковского. Слева – ситуация с точки зрения неподвижного наблюдателя ИСО В, справа – ИСО А.
В некоторый момент времени из ИСО B испускается световой сигнал r3, который достигает ИСО A. В этот же момент времени оттуда отправляется ответный световой сигнал r4. Через какое-то время этот сигнал достигает ИСО В.
Рис.10. Диаграммы Пенроуза для двух ИСО, обменивающихся световыми сигналами. Анимация: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/diapen242/fig10.gif
Для проверки принципа относительности мы находим явным образом координаты всех известных нам точек излучения и получения сигналов. При этом мы знаем, что отрезки времени в ИСО В сократились по сравнению с отрезками в ИСО А. Мы можем вычислить и точку начала отсчета, когда две ИСО находились рядом, и коэффициент лоренцева сокращения.
После внесения в алгоритм программы этих точек и запуска программы мы видим, что всё в точности соответствует описанной картине в ИСО А. Сначала из ИСО В излучается луч r3, после получения которого в ИСО А излучается ответный сигнал r4. Все точки находятся на мировых линиях участников, никаких разрывов нет.
Таким образом, видим, что в данной задаче диаграммы Пенроуза полностью соответствуют диаграммам Минковского [3], в частности, непротиворечиво демонстрируя картину обмена световыми сигналами. Вместе с тем, ромбовидные диаграммы Пенроуза в этой традиционной области теории относительности явно проигрывают обычным диаграммам Минковского просто по причине своей слабой наглядности и крайне криволинейной графики. Сжатие бесконечной области пространства-времени в рисунок конечных размеров не только не дает никакой новой информации, но и заметно усложняет восприятие, извлечение информации классической.
