Олег Павлович Марьин
Расчёт арбитражных ситуаций (вилок) в букмекерских конторах и на биржах ставок.
10.
Общая форма условий вилочности.
Условия вилочности можно в общем виде для 3-исходных вилок записать как:
Существуют такие V1 > 0, V2 > 0, V3 > 0 (суммы ставок), что
A11* V1 + A12* V2 + A13* V3 > 0
A21* V1 + A22* V2 + A23* V3 > 0
A31* V1 + A32* V2 + A33* V3 > 0
Например, для вилки 1-X-2 AIJ = = -1, для I != J, и AII = KI-1, для I,J = 1,2,3
Здесь мы используем строгие неравенства, то есть прибыль можно получить при любом исходе. Это если и уменьшает общность результатов, то для практики не так уж и важно. Условия вилочности ограничивают множество точек, которое является конусом.
Для выведения условий вилочности коэффициентов AIJ воспользуемся методом равной прибыли.
A11* V1 + A12* V2 + A13* V3 = A21* V1 + A22* V2 + A23* V3 = A31* V1 + A32* V2 + A33* V3
Решаем эту систему и выражаем V2 и V3 через V1:
V1 = V/(1+ D2+ D3)
V2 = D2* V1
V3 = D3* V1
Где
D2 = ((A21-A11)*(A23-A33)-(A31-A21)*(A13-A23))/((A12-A22)*(A23-A33)-(A22-A32)*(A13-A23))
D3 = ((A21-A11)*(A22-A32)-(A31-A21)*(A12-A22))/((A13-A23)*(A22-A32)-(A23-A33)*(A12-A22))
Подставляя значения V2, V3 в первое неравенство и деля его на V1 > 0, получаем
A11 + A12* D2 + A13* D3 > 0
Это и есть общее условие вилочности для 3-исходных вилок.
Проверим, что для классической вилки 1-X-2, она дает тот же самый результат. В этом случае AIJ = = -1, для I != J, и AII = KI-1, для I,J = 1,2,3 и
D2 = (K1*K3)/(K2*K3) = K1/K2
D3 = K1/K3
A11 + A12* D2 + A13* D3 = K1-1– K1/K2-K1/K3 > 0
Или
K1 > 1 + K1/K2 + K1/K3
Или
1/ K1+1/K2+1/K3 < 1
Как и положено.
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A11+A12* D2+A13* D3)/(1+D2+D3)
Перекосы на два исхода.
Получим общие формулы для распределения сумм ставок для случая равномерной прибыли и в случае перекосов. Сделаем перекос на исходы 2 и 3.
A11* V1 + A12* V2 + A13* V3 = 0
A21* V1 + A22* V2 + A23* V3 = A31* V1 + A32* V2 + A33* V3
Получаем
V1 = V/(1+ D2+ D3)
V2 = D2* V1
V3 = D3* V1
Где
D2 = (A11*(A33-A23)-A13*(A31-A21))/(A12*(A23-A33)-A13*(A22-A32))
D3 = (A11*(A32-A22)-A12*(A31-A21))/(A13*(A22-A32)-A12*(A23-A33))
Отсюда суммы частичных ставок
V1 = V/(1+ D2+ D3)
V2 = D2*V/(1+ D2+ D3)
V3 = D3*V/(1+ D2+ D3)
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A21+A22*D2+A23*D3)/(1+D2+D3)
Перекос на исходы 1 и 2 получаем просто заменой индексов. 1 -> 3, 3 -> 1
V1 = D1* V3
V2 = D2* V3
V3 = V/(1+ D1+ D2)
Где
D1 = (A33*(A12-A22)-A32*(A13-A23))/(A31*(A22-A12)-A32*(A21-A11))
D2 = (A33*(A11-A21)-A31*(A13-A23))/(A32*(A21-A11)-A31*(A22-A12))
Отсюда суммы частичных ставок
V1 = D1*V/(1+ D1+D2)
V2 = D2*V/(1+ D1+D2)
V3 = V/(1+ D1+ D2)
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A11* D1+A12* D2+A13)/ (1+D1+D2)
Перекос на исходы 1 и 3 получаем просто заменой индексов. 1 -> 2, 2 -> 1 из формул перекоса 2-3.
D1 = (A22*(A33-A13)-A23*(A32-A12))/(A21*(A13-A33)-A23*(A11-A31))
D3 = (A22*(A31-A11)-A21*(A32-A12))/(A23*(A11-A31)-A21*(A13-A33))
Отсюда суммы частичных ставок
V1 = D1*V/(1+ D1+ D3)
V2 = V/(1+ D1+ D3)
V3 = D3*V/(1+ D1+ D3)
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A11* D1+A12+A13* D3)/(1+D1+D3)
Перекосы на один исход.
Перекос на исход 1.
A21* V1 + A22* V2 + A23* V3 = 0
A31* V1 + A32* V2 + A33* V3 = 0
Получаем
V2 = D2* V1
V3 = D3* V1
Где
D2 = (A23*A31-A33*A21)/(A33*A22-A23*A32)
D3 = (A22*A31-A32*A21)/(A32*A23-A33*A22)
V1 = V/(1+D2+D3)
V2 = D2*V/(1+D2+D3)
V3 = D3*V/(1+D2+D3)
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A11+A12* D2+A13* D3)/ (1+D2+D3)
Перекос на исход 2.
A11* V1 + A12* V2 + A13* V3 = 0
A31* V1 + A32* V2 + A33* V3 = 0
Получаем
V1 = D1* V2
V3 = D3* V2
Где
D1 = (A13*A32-A33*A12)/(A33*A11-A13*A31)
D3 = (A11*A32-A31*A12)/(A31*A13-A33*A11)
V1 = D1*V/(1+ D1+ D3)
V2 = V/(1+ D1+ D3)
V3 = D3*V/(1+ D1+ D3)
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A11*D1+A12+A13* D3)/(1+D1+ D3)
Перекос на исход 3.
A11* V1 + A12* V2 + A13* V3 = 0
A21* V1 + A22* V2 + A23* V3 = 0
Получаем
V1 = D1* V3
V2 = D2* V3
Где
D1 = (A22*A13-A12*A23)/(A12*A21-A11*A22)
D2 = (A21*A13-A11*A23)/(A11*A22-A21*A12)
V1 = D1*V/(1+D2+D1)
V2 = D2*V/(1+D2+D1)
V3 = V/(1+D2+D1)
Процент прибыли вилки можно вычислить по формуле
W = (A11* D1+A12* D2+A13)/ (1+D1+ D2)
Когда имеет смысл использовать общие формулы? В следующей главе описаны особенности расчета вилок на биржах ставок. Разные варианты комиссий существенно увеличивают количество вариантов расчета условий вилочности, что делает нерациональным вывод индивидуальных формул. В этом случае разумнее использовать общие формулы приведенные выше.
В приложении 6 построены матрицы неравенств прибыльности для всех типов вилок.
11
. Расчет вилок на биржах ставок.
Использование вилок на биржах ставок имеет ряд особенностей (в смысле используемой математики), которые мы рассмотрим в этом разделе.
На биржах ставок на спорт есть ставки 1-2, форы, тоталы, 1-X-2 и т.д. Но нет в явном виде двойных шансов 1X-12-2X. Зато есть ставки LAY. Ставка LAY в отличие от ‘нормальной’ ставки BACK (ставка за исход), есть ставка против исхода. То есть ставка LAY 1 означает ставку против исхода 1. Если у нас есть три исхода, то LAY 1 будет означать ставку на исход 2X, так как исход противоположный победе команды 1 – это ничья или победа команды 2, то есть 2X. Аналогично, LAY 2 – ставку на исход 1X, LAY DRAW – ставку на 12. Только вот коэффициент ставок LAY дается со стороны предлагающего ставку, а не принимающего ставку (как обычный игрок), поэтому требует пересчета. Для пересчета в привычный формат принимающего ставку игрока (BACK ставка) можно использовать формулу:
KBACK = 1+1/(KLAY-1)
Например, коэффициент LAY 1 = 1.5 означает, что, выступая в роли букмекера, Вы предлагаете другому игроку поставить на победу команды 1 по коэффициенту 1.5. Для Вашего возможного оппонента это будет BACK коэффициент, а для Вас (делающего ставку LAY) это будет LAY коэффициент. То есть, рискнув 100 рублями, Ваш оппонент получит 150 рублей, если выиграет команда 1. Из этих 150 рублей 50 рублей это Ваши кровные проигранные деньги.
Но для игроков, даже выступающих в роли букмекера (LAY ставка), привычнее видеть и оперировать BACK коэффициентами, то есть коэффициентами ЗА исход. Тем более это необходимо при поиске вилок – все коэффициенты нужно приводить к одному виду. Пересчитаем LAY 1 в BACK2. В примере Вы рискуете 50 рублями, чтобы получить 100 рублей (то, что поставил игрок за исход 1), в случае, если команда 1 не выиграет. То есть в случае проигрыша первой команды (или ничьей – если три исхода). Вы получите всего вместе 150 (вместе с вашими собственными 50 рублями которыми Вы рискнули). Ваш коэффициент выплаты как игрока равен 1+1/(1.5-1) = 3.
Проделаем все то же самое символически, чтобы вывести формулу приведенную выше. Рискнув суммой V, Ваш оппонент получит сумму KLAY*V. Из них, (KLAY-1)*V это деньги, которые Вы проиграете, если ставка оппонента проходит. В противном случае Вы выиграете (чистыми) деньги, которые поставил Ваш оппонент, V, а в ‘сумме’ с деньгами, которыми Вы рискнули, это будет (KLAY-1)*V + V = KLAY*V. При этом Вы рискнули суммой (KLAY-1)*V. Значит KBACK = KLAY /(KLAY-1) = 1+1/(KLAY-1)
Если для трех-исходовых линий 1-X-2, соответствующие LAY линии, будучи приведенными по коэффициенту к обычному BACK виду, дают линию 2X-12-1X, то для двух-исходовых (ничья – возврат), исход LAY 1 соответствует BACK 2, если пересчитать коэффициент по вышеприведенной формуле. То есть вместо одной пары линий, скажем фор, мы можем иметь целых две разных пары BACK линий фор:
KBACK1 – KBACK2 ставки (BACK1 – BACK2)
И еще – BACK-формат LAY линий: (1+1/(KLAY2-1)) – (1+1/(KLAY1-1)) ставки (LAY2 – LAY1).
Которые тоже нужно учитывать при поиске вилок. Легко убедиться, что LAY коэффициент пересчитывается из BACK коэффициента по такой же формуле:
KLAY = 1+1/(KBACK-1)
Нет необходимости выводить условия вилочности специально для LAY коэффициентов, так как можно пересчитать LAY коэффициент в BACK коэффициент и затем воспользоваться уже существующими условиями вилочности, выведенными для BACK коэффициентов. Те, кому удобнее вывести формулы, где один или оба из коэффициентов являются LAY коэффициентами, могут легко это сделать заранее и потом использовать полученные формулы при расчетах. Для примера выведем несколько подобных формул.
