Олег Павлович Марьин
Расчёт арбитражных ситуаций (вилок) в букмекерских конторах и на биржах ставок.
Будет ли последнее соотношение ДОСТАТОЧНЫМ для существования вилки? Для этого нужно показать, что при выполнении данного соотношения (С2) всегда найдутся такие Vi (распределение общей суммы ставки по исходам), что при них будут удовлетворены все “прибыльные” соотношения (С1). То есть мы действительно сможем получить прибыль независимо от исхода события. Для этого обозначим L = 1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN и разобьем все сумму ставки по исходам пропорционально 1/Ki, i=1,N.
Для этого положим Vi = (1/Ki * V)/L. Действительно, складывая все Vi, мы получаем V, и, кроме того, Vi разбиты, как и обещано, пропорционально 1/Ki. Проверим, что при таком распределении общей суммы ставок по исходам выполняются наши прибыльные (вилочные) соотношения (С1). Подставляя Vi в каждое из соотношений (С1), получаем
Ki *Vi = (Ki * 1/Ki * V)/L = V/L > V (так как L<1 по условие, которому, как предполагается, удовлетворяю наши коэффициенты исходов).
То есть мы получили, что при данном условии на Ki (L<1) и предложенном распределении общей суммы ставки по исходам, мы при любом исходе игры получим прибыль, что и требовалось доказать. То есть условие 1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN < 1 является НЕОБХОДИМЫМ и ДОСТАТОЧНЫМ (теоретически) для получения прибыли независимо от исхода игры. Подчеркну, что все эти результаты уже давно известны и используется практически, а приводятся здесь только для того чтобы дать (повторить) строгое математическое, без каких-либо лишних предположений, обоснование.
Если Вы согласны с теми вероятностями исходов, которые вытекают из коэффициентов представленных букмекерами, то распределение суммы ставок по принципу: “равный выигрыш при любом исходе” дает оптимальное решение для этого случая. Если же какой-то коэффициент Вы считаете завышенным, (то есть, по Вашему мнению, этот исход более вероятен, чем это считает букмекер), то вы можете сделать “перекос” вилочных ставок в пользу этого исхода. Обычный игрок в такой ситуации просто бы сделал ставку на этот valuebet (ставка с перевесом над конторой). Вилочник в этой же ситуации может сделать ставку на valuebet и подстраховаться ставками на другие исходы, таким образом, что в сумме он, по крайней мере, не проиграет. Ниже дается вывод сумм ставок для этого случая и при N=3. Скажем, делаем перекос на событие 1, то есть при исходах 2 и 3 мы ничего не выигрываем:
K2*V2 = V, то есть V2 = V/K2
K3*V3 = V, то есть V3 = V/K3
V1 = V–V2–V3;
Если Вы считаете, что какой то коэффициент наоборот занижен (то есть, по Вашему мнению, этот исход менее вероятен, чем это считает букмекер), то можете сделать перекос на оставшиеся два события, так что бы выигрыш был только при этих исходах и был равным при любом их них. Делаем перекос на события 2 и 3.
K1*V1 = V (нулевой выигрыш при исходе 1)
K2*V2 = K3*V3 (равный выигрыш при исходах 2 и 3)
V2 = K3*V3/K2
V = V/K1+K3*V3/K2+V3
V3 = V*(1-1/K1)/(K3/K2+1)
Теперь рассмотрим различные типы вилок, начиная с самых простых типов. Предварительно еще раз отметим, что следующие исходы эквивалентны и могут использоваться вместо друг друга, поэтому рассматривается обычно только один тип вилки из подобных.
F1(-0.5) эквивалентна 1
F2(-0.5) эквивалентна 2
F1(+0.5) эквивалентна 1X
F2(+0.5) эквивалентна 2X
Вилка П1 – П2. (формула N 1)
В соответствии с выведенным условием 1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN < 1 здесь мы имеем простую и всем известную формулу вилки: 1/K1 + 1/K2 < 1
По аналогичной формуле вычисляются условия вилочности вилок с форами, тоталами, индивидуальными тоталами. Например, F1(+1)-F2(-1), или ТМ(2)-ТБ(2).
Вилка 1–X-2. (формула N 2)
Тоже весьма распространенный тип вилки, с не менее известным условием на коэффициенты 1/K1 + 1/KX + 1/K2 < 1
В этих двух примерах вряд ли чего-то нужно пояснять, так как они оба являются вариантами условия (С2) при своих наборах событий: П1 и П2 в первом случае и 1, X, 2 во втором случае.
Отличие состоит в том, что во втором случае рассматривается полный набор событий, включающий ничью.
Аналогичные вилки (рассчитываются по точно таким же формулам в силу соотношений эквивалентности):
F1(-0.5)-X-2
1-X– F2(-0.5)
7. Европейский гандикап
(1-X-2 с форой).
Ряд контор дает линии аналогичные денежной трех-исходной линии, но с форой, которые называют также европейским гандикапом. Какие вилки можно построить с такими форами? Первое, вилка типа 1-X-2 легко переносится на все целочисленные форы, для которых, собственно говоря, и даются такие типы линий. Далее применяются обозначения 1(-1), что означает победу команды 1 с форой -1 в трех-исходной линии с форой, то есть, линии, где учитывается ничья по форе. Для ничьи с форой кроме форы нужно указывать и команду, для которой задана эта фора. Поэтому обозначения будут такие: X1(-1) === X2(+1). Здесь задано обозначение исхода ничьей по форе: X1(-1) – ничья по форе -1 для команды 1. Что есть тоже самое, что ничья по форе +1 для команды 2 : X2(+1).
Примеры вилок
1(-1)-X1(-1)-2(+1)
1(-2)-X1(-2)-2(+2)
1(-3)-X1(-3)-2(+3)
…
И симметричные
1(+1)-X1(+1)-2(-1)
1(+2)-X1(+2)-2(-2)
1(+3)-X1(+3)-2(-3)
…
Аналогично, вилка F1(0)-X-2 естественным образом превращается во множество вилок
F1(-1)-X1(-1)-2(+1)
F1(-2)-X1(-2)-2(+2)
F1(-3)-X1(-3)-2(+3)
F1(+1)-X1(+1)-2(-1)
F1(+2)-X1(+2)-2(-2)
F1(+3)-X1(+3)-2(-3)
…
И симметричных
1(+1)-X2(-1)-F2(-1)
1(+2)-X2(-1)-F2(-2)
1(+3)-X2(-1)-F2(-3)
1(-1)-X2(+1)-F2(+1)
1(-2)-X2(+1)-F2(+2)
1(-3)-X2(+1)-F2(+3)
…
Как мы отметили ранее, исход F1(-0.5) эквивалентен исходу 1 в трех-исходной линии. То есть эквивалентен исходу 1(0). Легко видеть, что исход F1(-1.5) эквивалентен исходу 1(-1), F1(-2.5) эквивалентен исходу 1(-2), и т.д. Аналогично, исход F1(+0.5) означает ничью или победу 1 в трех-исходной линии, то есть тоже самое, что и 1(+1). Аналогично, F1(+1.5) это все равно, что 1(+2). Отсюда вытекает способ перечисления практически всех вилок с участием европейского гандикапа. Он состоит из двух частей. Первая: берем форные вилки указанные выше и делаем замены
1(-1) => F1(-1.5)
1(-2) => F1(-2.5)
1(-3) => F1(-3.5)
…
1(+1) => F1(+0.5)
1(+2) => F1(+1.5)
1(+3) => F1(+2.5)
…
Так получаем следующие типы вилок:
F1(-1.5)-X1(-1)-2(+1)
1(-1)-X1(-1)-F2(+0.5)
F1(-1.5)-X1(-1)-F2(+0.5)
F1(-2.5)-X1(-2)-2(+2)
1(-2)-X1(-2)-F2(+1.5)
F1(-2.5)-X1(-2)-F2(+1.5)
F1(-3.5)-X1(-3)-2(+3)
1(-3)-X1(-3)-F2(+2.5)
F1(-3.5)-X1(-3)-F2(+2.5)
И симметричные
F1(+0.5)-X1(+1)-2(-1)
1(+1)-X1(+1)-F2(-1.5)
F1(+0.5)-X1(+1)-F2(-1.5)
F1(+1.5)-X1(+2)-2(-2)
1(+2)-X1(+2)-F2(-2.5)
F1(+1.5)-X1(+2)-F2(-2.5)
F1(+2.5)-X1(+3)-2(-3)
1(+3)-X1(+3)-F2(-3.5)
F1(+2.5)-X1(+3)-F2(-3.5)
Вилки производные от F1(0)-X-2:
F1(-1)-X1(-1)-F2(+0.5)
F1(-2)-X1(-2)-F2(+1.5)
F1(-3)-X1(-3)-F2(+2.5)
F1(+1)-X1(+1)-F2(-1.5)
F1(+2)-X1(+2)-F2(-2.5)
F1(+3)-X1(+3)-F2(-3.5)
И симметричные
F1(+0.5)-X2(-1)-F2(-1)
F1(+1.5)-X2(-1)-F2(-2)
F1(+2.5)-X2(-1)-F2(-3)
F1(-1.5)-X2(+1)-F2(+1)
F1(-2.5)-X2(+1)-F2(+2)
F1(-3.5)-X2(+1)-F2(+3)
Вторая часть: берем все вилки, перечисленные вне параграфа 5.8, и делаем обратные замены:
F1(-1.5) => 1(-1)
F1(-2.5) => 1(-2)
F1(-3.5) => 1(-3)
…
F1(+0.5) => 1(+1)
F1(+1.5) => 1(+2)
F1(+2.5) => 1(+3)
Много новых вилок можно получить путем сдвига четвертных вилок, содержащих событие X, таких как
F1(-0.25)-X-2, F1(+0.25)-X-2, F1(-0.25)-X– F2(0), F1(-0.25)-X– F2(-0.25).
Сдвигая их в ту или иную сторону, получаем следующие варианты вилок.
Базовая вилка – F1(-0.25)-X-2
Производные (путем сдвига) вилки:
F1(-1.25)-X1(-1)-F2(+0.5)
F1(-2.25)-X1(-2)-F2(+1.5)
F1(+0.75)-X1(+1)-F2(-1.5)
F1(+1.75)-X1(+2)-F2(-2.5)
F1(-1.25)-X1(-1)-2(+1)
F1(-2.25)-X1(-2)-2(+2)
F1(+0.75)-X1(+1)-2(-1)
F1(+1.75)-X1(+2)-2(-2)
И симметричные.
F1(+0.5)-X2(-1)-F2(-1.25)
F1(+1.5)-X2(-2)-F2(-2.25)
F1(-1.5)-X2(+1)-F2(+0.75)
F1(-2.5)-X2(+2)-F2(+1.75)
1(+1)-X2(-1)-F2(-1.25)
1(+2)-X2(-2)-F2(-2.25)
1(-1)-X2(+1)-F2(+0.75)
1(-2)-X2(+2)-F2(+1.75)
Базовая вилка – F1(+0.25)-X-2
Производные (путем сдвига) вилки:
F1(-0.75)-X1(-1)-F2(+0.5)
F1(-1.75)-X1(-2)-F2(+1.5)
F1(+1.25)-X1(+1)-F2(-1.5)
F1(+2.25)-X1(+2)-F2(-2.5)
F1(-0.75)-X1(-1)-2(+1)
F1(-1.75)-X1(-2)-2(+2)
F1(+1.25)-X1(+1)-2(-1)
F1(+2.25)-X1(+2)-2(-2)
И симметричные
F1(+0.5)-X2(-1)-F2(-0.75)
F1(+1.5)-X2(-2)-F2(-1.75)
F1(-1.5)-X2(+1)-F2(+1.25)
F1(-2.5)-X2(+2)-F2(+2.25)
1(+1)-X2(-1)-F2(-0.75)
1(+2)-X2(-2)-F2(-1.75)
1(-1)-X2(+1)-F2(+1.25)
1(-2)-X2(+2)-F2(+2.25)
