Олег Павлович Марьин
Расчёт арбитражных ситуаций (вилок) в букмекерских конторах и на биржах ставок.
Получается случайность, ‘помноженная’ на случайность. В теории вероятностей такая конструкция, когда параметр распределения случайной величины сам является случайной величиной с, возможно, другим распределением, называется рандомизацией. То есть, исход спортивного события имеет вероятность P, которую букмекерская контора, а также игроки пытаются определить, ‘измерить’. В результате ‘измерения’ получается случайная ошибка. И первоначальное, истинно случайное, распределение рандомизируется вторым распределением, которое является следствием неопределенности в условиях игры.
Оно может быть также следствием неопределенности и неадекватности процедур интерпретации условий игры, даже если сами они измерены достаточно точно. Например, имея на руках одну и ту же предматчевую информацию о командах, разные эксперты могут дать разные оценки вероятности исходов. Предматчевая информация в данном случае используется как нулевое, грубое, приближение для ‘условий игры’, которые интерпретируется с помощью алгоритма оценки вероятностей. Существует и более тонкие и менее формальные процедуры для уточнения оценок вероятностей исходов.
Букмекерские конторы оперируют коэффициентами выплат. Существует простая формула, которая связывает коэффициент выплаты и вероятность исхода: K = 1/P. В связи с этим встает несколько вопросов. Что это за коэффициент выплаты K и вероятность P, которые присутствуют в этой формуле? Какое отношение имеют они к коэффициентам выплаты букмекерских контор и вероятностям исходов спортивных событий? Некоторые достаточно опытные игроки, на практике познав всю сложность отношений между коэффициентами букмекерских контор и вероятностями исходов, вообще отрицают какую-либо связь, например, между коэффициентом выплаты на исход в реальной букмекерской конторе и вероятностью исхода. А заодно и способность теории вероятностей и/или математической статистики способствовать успешной игре.
Как уже было сказано, можно предположить, что у каждого исхода спортивного состязания есть истинная вероятность, оценить которую очень трудно. Коэффициент выплаты соответствующий этой вероятности можно назвать fair, ‘справедливым’, безубыточным коэффициентом. Справедливость означает, что при таком коэффициенте ни одна из сторон участвующих в пари не будет иметь преимущества и при долгосрочной игре будет где-то более или менее в нулях. Таким образом, появляется первое соотношение между коэффициентом выплаты букмекерской конторы и/или биржи ставок и реальной вероятностью исхода. А именно, если контора или биржа дает коэффициент K на исход спортивного события, то Вы будете иметь прибыль в долгосрочной перспективе, только тогда, когда реальная вероятность P исхода события больше чем 1/K. При этом неважно дается коэффициент букмекерской конторой, которая дает ‘согласованные’ коэффициенты на все исходы спортивного события или биржей ставок, где коэффициенты на противоположные исходы могут выглядеть несогласованно и весьма странно. Это к выше поставленному вопросу о взаимосвязи любого реального коэффициента выплаты контор и истинной вероятности исхода. Других ‘точных’ отношений между этими понятиями либо не существует, либо они являются следствиями отношения приведенного выше.
Иногда говорят, что букмекерские конторы выставляют коэффициенты выплат, совсем не оценивая никаких вероятностей. Если учесть что безубыточный коэффициент и истинную вероятность события связывают простые симметричные соотношения, то вопрос о том, что первичнее (важнее) коэффициент или вероятность становится похожим на вопрос о курице и яйце. Любую процедуру, оценивающую истинные вероятности исходов, можно записать в терминах безубыточных коэффициентов, так что вероятности даже не появятся в формулах или программах. Более того, существуют и весьма широко используются методы прогнозирования, использующие Рейтинги Силы команд, которые не являются ни вероятностями, ни коэффициентами выплат. Например, согласно одной из возможных моделей разность рейтингов силы двух команд дает наиболее ‘правильную’ разность голов команд в предстоящей игре. После нахождения таких рейтингов силы прямо вычисляется фора – основной элемент линии гандикапа. Уточнение линии форы коэффициентами выплат также может быть сделано без употребления слова ‘вероятность’. Это связано с тем, что вероятность в ставках на спорт вводится ‘математическим’ путем, а не ‘физическим’. То есть прямо ее вычислить нельзя, а оценить можно только косвенно по результатам. Но, с другой стороны, во многих случаях, выставляя коэффициенты, будут пользоваться вероятностями определенными эмпирически, по статистике прошлых игр. Ясно, что это может быть грубым приближением к реальным вероятностям. Но возможность ошибки для букмекерской конторы во многом нивелируется большой маржей для такого рода коэффициентов.
Рассмотрим, например, матч между двумя командами. Ясно, что результат игры ‘случаен’, хотя бы в одном из двух смыслов определенных выше. Большинство читателей, возможно, предпочтут в данном случае случайность вызванную ‘незнанием всех условий игры’ и/или неумением их проинтерпретировать. Согласно этой позиции нужно лишь достаточно точно знать все существенные условия игры, уметь их правильно учитывать и Вы сможете указать правильный результат игры. В идеале если Вы все знаете об игре, погоде, игроках и.д. и т.п., то результат игры, в соответствии с этой позицией, не случаен. То есть, допустим, что у Вас есть возможность воссоздать очень точно те же самые условия игры еще раз, с очень большой точностью, с какой угодно большой, но конечной. Поскольку результат игры дискретен, то тогда возможно существует такая большая, но конечная точность всех условий игры, воссоздав которую, Вы получите тот же самый результат игры.
Однако современная наука о нелинейных, неравновесных системах, теория ‘хаоса’ считает по-другому. Большинство событий в реальном мире несводимо случайно. То есть случайно не в силу незнания всех условий процессов, а в силу законов природы. Эта возможно даже не та случайность, которую мы имеем в квантовой физике. Это случайность, обусловленная бесконечной чувствительностью к начальным условиям нелинейных процессов составляющих основное содержание мира. Большинство реальных систем таково, что как бы мы не старались поставить две системы в ‘одинаковые’ условия, с какой угодно большой, но конечной точностью, их траектории, через определенное конечное время (время Ляпунова), начинают экспоненциально расходиться. Дальнейшее развитие этой идеи приводит (нобелевский лауреат, бельгийский ученый русского происхождения, Илья Пригожин, “Время, Хаос, Квант”) к выводу о том, что ‘правильным’ описанием большинства таких процессов природы будет именно вероятностное описание. Это доказывается не просто рассуждениями, а с привлечением сложного математического аппарата.
Таким образом, результаты игры не только зависят от условий игры, которые неизвестны, но и принципиально случайны. Точнее, от условий игры зависит не точный результат игры, а точные вероятности реализации того или иного конкретного исхода. То есть, более точное знание условий игры может дать только более точную оценку вероятности того или иного исхода игры, но не сам результат. А может и не дать, если наша процедура уточнения вероятности исходов в соответствии с вновь открывшимися условиями игры не совсем верна. Поэтому результаты игры для игрока, грубо знающего условия игры или не умеющего их правильно проинтерпретировать, случайны одновременно в обоих смыслах, что еще более запутывает ситуацию.
5. Расчет вероятностей исходов и коэффициентов выплат.
В этом параграфе приводятся формулы, связывающие между собой коэффициенты на основные исходы спортивных событий. Они будут полезны для ‘отсева’ новых типов вилок при их перечислении путем некоторых формальных процедур.
Сначала выведем формулы, которые не требуют сложной математики. Допустим, нам известны вероятности победы первой команды, ничьей и победы второй команды. Какие коэффициенты можно вычислить в данных условиях? Многие знают, что при этих условиях можно вычислить теоретические коэффициенты выплат следующих линий:
1-X-2
1X-12-2X
1-2
Вычислим коэффициенты для линии 1-X-2. Если мы будем ставить на 1-е событие, то в среднем получим доход P1*K1*V, который должен быть равен сумме ставки V, при условии, что маржа букмекерской конторы равна нулю. То есть P1*K1*V = V, и значит
