Лев Толстой
Полное собрание сочинений. Том 8. Педагогические статьи 1860–1863 гг.

Мы подробно не разбираем руководств к арифметике, намереваясь в одном из следующих номеров, ежели только возможно будет продолжать издание «Ясной поляны», поговорить о наших опытах и нашем взгляде на преподавание арифметики. Но в числе одобренных Комитетом книг есть арифметика по способу немецкого педагога Грубе. Комитет грамотности говорит о ней следующее:

«Руководство это назначается единственно для обучающих, а отнюдь не для обучающихся, которые, при предлагаемом в нем способе преподавании, вовсе не нуждаются в печатном учебнике. Имея в виду преимущественно народные школы, Грубе разделяет элементарную арифметику на три курса, конечная цель которых основательное изучение первых действий над целыми и дробными числами, а срок – от 3 до 4 лет по 3 урока в неделю. В каждом курсе ученику сообщается самостоятельное целое. Еслиб ему случилось оставить учение даже по окончании первого курса, то он всё-таки познакомился уже со всею арифметикою, так сказать, в уменьшенном виде, и тем приобрел способность развивать сам далее свои познания. Так как в наших сельских школах арифметика, совокупно с чтением и письмом, составляет единственный предмет преподавания, то она может проходиться и шесть раз в неделю, что на половину сократит срок, назначенный для окончательного изучения ее по способу Грубе. А если наши сельские учители хорошо познакомятся с этим способом, то должны убедиться, что в нем весьма легко применить и употребление наших купеческих счетов, обстоятельство, которое способно упрочить у нас методу Грубе, подложив под нее национальное основание. Вообще, в настоящее время, мы не находим ни одного более дельного руководства для наших сельских учителей. Цена его не может казаться дорогою тому, кто ясно уразумеет, что книга эта ни в коем случае не должна даваться детям, что следовательно каждое сельское училище имеет надобность только в одном, много– в двух экземплярах ее».

«Воспользовавшись известностью этого способа преподавания арифметики, так же как воспользовался способом преподавания чтения, впервые объясненным у нас г. Студитским, г. Золотов совершенно переиначил его в книге, названной им».

Вот отзыв о ней, написанный серьезным, благоразумным тоном, и книга напечатана, как печатают обыкновенно книги: заглавие, предисловие, буквы, слова. Другой подумает, что это точно книга, но стоит хоть раз поучить детей математике и заглянуть в эту книгу (прочесть ее положительно невозможно), чтобы убедиться, что это одна из самых безобразных и неприличных шуток с публикой. Людям, которые судят с чужих слов о педагогике, я советую прочесть предисловие и книгу. Необходимо прочесть ее для того, чтобы испытать то чувство озлобления, оскорбления и грусти, которое испытываю я, занимаясь этой книгой. Начну с начала, с предисловия. Опять во всем виноват несчастный Песталоцци, с каким-то мнимым способом наглядного обучения. Дело, изволите ли видеть, в том, что, как для естественных наук Песталоцци будто бы открыл, что естественные науки разделяются не на химию, физику, ботанику и т. д., а на морковь, магнит, говядину и т. д., так и в математике Песталоцци будто бы открыл, что арифметика разделяется не на сложение, вычитание, умножение и деление, а на числа: 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. Ведь это неимоверно. Сказали бы, что это клевета, если бы нельзя было привести доказательств, и всё это произвел какой-то великий немецкий педагог Грубе, которому мы должны подражать, которого метода в большом ходу в Германии, и которую наши благодетели-педагоги стараются ввести к нам.

Вот что говорит предисловие:

«Обратимся теперь к Грубе, который, изучив основательно методы всех предшественников своих, съумел не только воспользоваться их преимуществами, но и избежать их недостатков. Вот как он сам определяет верный, по его мнению, способ преподавания элементарной арифметики: – так как числа доступны непосредственному воззрению не далее как до 100, и исчисление над большими числами возможно только на основании первой сотни, то и необходимо, чтобы каждое число первых двух разрядов, со всеми свойствами и отношениями своими, ясно представлялось воображению ученика; из всестороннего же рассмотрения отдельных чисел должны сами собой произойти новые арифметические действия: при этом всё преподавание должно быть так последовательно, чтобы отдельные степени его, всё более развиваясь, взаимно обусловливались. Только таким образом возможно положить твердое начало хорошему знанию арифметики. Ученик запасается материалом, необходимым и полезным ему впоследствии».

Объяснив затем необходимость соединить изустное и письменное исчисления, он продолжает:

«Что же касается до чистой и прикладной арифметики, то и эти части еще далеко не так тесно связаны, как бы следовало. Упражнять учеников в практических задачах вообще, т. е. когда и где придется, недостаточно; надо непременно, чтобы все отношения данного числа применялись к частным случаям тотчас же по всестороннем рассмотрении его: число только тогда изучено основательно, когда оно являлось в одно и то же время и в отвлеченном и примененном образах. Исчисление заключает в себе две нераздельные деятельности: уразумение численных отношений самих по себе и соединение их с практикою жизни. Кто же знаком только с первою деятельностью, тот еще не знает исчисления, хотя бы он и умел производить все действия над всевозможными числами. Чтобы выучиться исчислять всё, что встречается в жизни, необходима теоретико-практическая деятельность. Так, например, если ученик рассмотрел число 6 в следующих отношениях: 6 × 1, 3 × 2 и т. д., то эти отношения тотчас же должны быть применяемы к различным частным случаям, взятым из известного ребенку круга общежития; например, ежели одна булка стоит 1 копейка, что стоят 6 булок? Ежели 6 булок стоят 6 копеек, что стоит одна? Ежели за одну булку ты заплатил 2 копейки, то сколько ты должен заплатить за три булки? Ежели один золотник чаю стоит 2 копейки, сколько стоит 3 золотника и т. д. Не должно смешивать это прикладное исчисление с производством действий над «именованными числами». В элементарную арифметику входят собственно только именованные числа, ибо каждое число должно быть объявляемо посредством видимых предметов, будь то черточки или палочки, камешки или деньги; а для того, чтобы дитя приучилось к отвлечению численного представления, «наименования» должны почаще меняться. Но тут собственно нет еще никакого применения, потому что при всех задачах употребляются выражения, объясняющие действие, как-то: прибавь, отними, возьми столько раз и т. д. В применении же прямая связь между частным случаем и арифметическим действием скрыта, и ученику предоставляется отыскать эту связь. Так, например, чтобы решить задачу: «один золотник чаю стоит 2 копейки, что стоят три золотника?» – ученик должен сперва сделать следующий общий вывод: «если я какой-либо товар возьму 3 раза, то я должен заплатить зa него 3 раза и назначенную цену», а потом сознать, что на основании этого вывода задача решается посредством действия: 3 × 2 коп. = 6 коп. Коль скоро ученик дошел до того, что легко узнает арифметические отношения какого-нибудь числа (наприм. 6) в любой практической задаче, то он изучил это число всесторонне и основательно. Но чем больше число, тем сложнее и отношения его; потому-то мы и полагаем, что в элементарном курсе, где требуется строго соблюсти постепенный переход от легкого к трудному, от простого к сложному, необходимо рассматривать числа не только отдельно, но и в восходящем их порядке, начиная с единицы, и каждое число тотчас же применять к частным случаям».

«Соединив таким образом все составные части арифметического преподавания в одно связное целое и основав последовательность его на постепенном увеличении числа, Грубе создал методу, более всех других удовлетворяющую строгим требованиям новейшей дидактики; ибо преподавание по этой методе а) действует на учеников нравственно, т. е. возбуждает посильно их самодеятельность и тем внушает им любовь к учению и труду вообще; б) развивает их умственные способности; в) знакомит с сущностью науки и г) сообщает им необходимые в жизни практические знания».

«Имея в виду преимущественно народные школы, Грубе разделяет элементарную арифметику на 3 курса, конечная цель которых – основательное изучение первых действий над целыми и дробными числами, а срок – От 3 до 4 лет по 3 урока в неделю».

«Первый курс: Исчисление целыми числами от 1 до 100 – 11/2года. В первое полугодие изучаются числа от 1 до 10; а во второе и третье – от 10 до 100. В начале этого курса изустное счисление преобладает над письменным потому уже, что дети большею частью еще только что начинают писать».

«Второй курс: Исчисление целыми числами больше 100 – 1 год. В первое полугодие – изучение чисел до 1000; во второе – рассматривание чисел любой величины и упражнение в отдельных арифметических действиях. Коль скоро ученики дошли до отдельных действий, то письменные упражнения могут преобладать над изустными».

«Третий курс: Исчисление дробями – 1 год. В первое полугодие – всестороннее рассматривание дробей; во второе – упражнение в отдельных арифметических действиях».

«Из этого распределения очевидно, что в каждом курсе ученику сообщается самостоятельное целое. Еслиб ему и случилось оставить учение даже по окончании первого курса, то он все-таки познакомился уже со всею арифметикою, так скаэать, в миниатюре, и тем приобрел способность развивать ее сам далее».

От начала до конца всего этого рассуждения нет искры здравого смысла, нет тени знания дела. Делить арифметику на четыре действия выдумал не какой-нибудь немец, сидя у себя в кабинете, а такое деление составляет общее свойство человеческого ума. Каждый ребенок, не видавший в глаза учителя, из жизни точно так же, как из старой школы, учится сначала сложению, потом вычитанию, умножению и делению. Найдите новое философское основание делению науки, которое бы обнимало прежнее подразделение науки, тогда вы найдете новые педагогические основания; например, возьмите для основания математики нумерацию и признайте все математические действия только видоизменениями нумерации – и тогда вы будете иметь новое основание педагогической теории; или признайте основанием математики количество отношений величин между собою; или признайте геометрию основанием всякого арифметического вычисления – и тогда у вас будет, может-быть, ложная, неполная новая педагогическая теория, но на основании такой теории вы будете иметь право сделать и новое подразделение. Вместо всего этого, великие нововводители Грубе и Паульсон, устранив старое подразделение, имевшее своим основанием известные различные приемы сложения, приняли за основание подразделения различное количество единиц. Они делали совершенно то же, что сделал бы нововводитель в механике, в которой, вместо законов сил, стал бы учить блоку, ремню, подшипнику и т. д. Гг. эти велят изучать просто числа: 1, 2, 3, 4, забывая то, что числа эти и их отношения выучены без школы каждым ребенком. Видно, что эти господа либо не имели никогда дела с живым ребенком, либо до такой степени утратили способности педагогов – следить и угадывать все пути, которыми все учащиеся доходят до знания, – что они пишут арифметику либо для себя одних, либо для воображаемых детей, воспитанных с детства вне всяких впечатлений числа, для таких детей, которых надо выучить считать так же, как выучивают считать ученую лошадь. Видно, что автор никогда не делал над детьми тех сотен наблюдений, бросающихся на глаза каждому живому учителю, что 1) самодеятельность детей возбуждается только тогда, когда задана им задачка более или менее замысловатая; 2) что дети чрезвычайно любят делать задачи большими отвлеченными числами, без всякого приложения, увлекаясь поэзией чистой математики; 3) что дети терпеть не могут задач, взятых из жизни (для детей гораздо отвлеченнее вопрос о том, сколько взял купец барыша на сотню аршин бархата, чем о том, сколько будет 50 т. помноженные на 100 т.); 4) что у детей гораздо прежде развивается способность вычислять, чем способность определенно выражать результаты и процесс вычисления, и это не недостаток, но необходимое условие развития; 5) что требование, со стороны учителя, ясного выражения результата и процесса вычисления препятствует математическому развитию; 6) что при самодеятельности учеников необходимейшее для них условие есть свобода и увлечение, которые не может производить по заказу учитель, а которого он должен ожидать и с уменьем им пользоваться; 7) что, несмотря на систематическую порчу учеников в большей части учебных заведений, ученики ждут от взрослого человека – учителя дельного и умного вопроса, и становятся втупик от вопроса: у Ноя было три сына: Сим, Хам и Афет – кто им был отец? Я помню еще из своего детства, как я мучился над этим вопросом. Вся книжка г. Паульсона составлена из таких вопросов, и всё происходит оттого, что великие педагоги Грубе и Паульсон заботятся о том, как бы учить тому, чему всякий ребенок давным давно выучился. Заботятся о том способе обучения, который составлен давным давно Господом Богом, поставившим разумное существо – человека, со дня его рождения, в условия пространства, времени и числа. Математика имеет задачею не обучение счислению, но обучение приемам человеческой мысли при исчислении. Педагогия не может основываться на фантазиях и односторонних опытах. Она основывается только на вечных законах философии и науки, одинаково проявляющихся в высших выражениях мысли и знания и в первобытной душе ребенка. Плохо ли, хорошо ли учили по четырем правилам, но грани четырех правил останутся всегда и в душе ребенка, и в самой науке, и всякий, выучившийся хоть у дьячка наизусть четырем правилам, сделает из них приложение. Учащийся по Грубе будет только учиться в школе с меньшими удобствами тому, чему учит его жизнь. Появление такой книги, как Паульсона, с своею мнимо-серьезною критикой прежней методы, напоминает мне пожар в нашей деревне. Горело на одной стороне реки. Мы таскали воду, ломали, поливали, делали что могли. Вдруг, на другой стороне видим безумно несущуюся к нам тройку с человеком, стоящим на телеге, неистово махающим руками и что-то кричащим. Это был сосед-помещик; он на скоку выскочил, упал, потерял фуражку, подбежал к самому берегу и, махая руками, что-то относимое ветром кричал нам, требуя к себе внимания. Действительно, все бросили дело и подошли к реке, чтоб услышать от него совет помощи. «Водой тушите! водой!»—кричал помещик, – и больше ничего. Мы все переглянулись: и смешно, и досадно, и гадко сделалось нам. Точь в точь то же впечатление производит на нас вообще Anschauungsunterricht и в особенности это наглядное обучение в приложении к математике, вторгающееся в педагогику с громкими фразами, требуя к себе внимания и не давая ровно ничего полезного и нового. Необходимо прочесть следующее.

ЧИСЛО «ДВА».

– Сколько у меня грифелей в правой руке?

– В правой руке у вас один грифель.

– А в левой?

– Также один грифель.

– Вместе это составит два грифеля. Следовательно сколько у меня грифелей?

– Сколько на столе книг?

– На столе одна книга.

– Я к ней прибавлю еще одну книгу; теперь на столе две книги. Одна книга и еще одна книга, сколько составят книг? – Одно перо и еще одно перо, сколько перьев? Один камешек и еще один камешек, сколько камешков? Теперь я напишу одну черточку и прибавлю к ней еще одну; сколько это будет черточек? и т. д.

– Кто знает зверя, у которого есть один рог и еще один рог? – Сколько рог у коровы? А сколько у лошади?

– Сколько у тебя ушей? – Какие части у тебя еще по два?

– У меня два глаза, две щеки, две руки, две ноги.

– Сколько на тебе сапог?

– На мне два сапога.

– Когда две вещи совершенно равны и употребляются всегда вместе, то вместо два говорят пара. Стало-быть сколько на тебе сапог?

– На мне пара сапог.

– А сколько чулок?

– На мне пара чулок.

При случае можно также объяснить слова оба и двое.

– Вот медная монета; кто ее знает?

– Это копейка.

– Сколько копеек?

– Одна копейка.

– Ну вот еще одна копейка; сколько они составят вместе?

– А вот другая медная монета, больше первых, кто ее знает? Это две копейки, т. е. за эту одну монету можно получить две маленькие; мы поэтому и можем ее назвать двухкопеечной монетой; обыкновенно же ее называют грошом.

– Павлуша получил от папеньки одно яблоко и спрятал его; потом он получил одно яблоко и от маменьки; сколько же у него всего яблоков? Если у меня есть что-нибудь одно и я прибавлю к нему еще одно, то сколько у меня будет? Стало-быть один и один – сколько?

– В левой руке у меня одна копейка, а в правой две; в которой больше? в которой меньше? – Сколькими копейками в правой руке больше? – Сколькими в левой меньше?

– Два грифеля чем больше одного? – А один грифель чем меньше двух?

– Ваня получил одно перо, а Коля два; у которого больше, у которого меньше? Многим ли у Вани меньше, чем у Коли? А многим ли у Коли больше, чем у Вани?

– Чем два больше одного? И чем один меньше двух?

– Здесь одна тетрадь; сколько тетрадей я должен прибавить, чтоб тут было две тетради?

– Вот два ореха; сколько орехов я должен взять прочь, чтоб остался один орех? – А сколько я должен взять прочь, чтоб ни одного не осталось?

– Я написал две черточки; сколько останется, если я сотру одну черточку?

– Солдат лишился на войне одной руки; сколько у него осталось рук? А сколько осталось ног?

– Если из двух вещей у меня одну отнимут, то сколько у меня останется? – Стало-быть два без одного сколько? – А два без двух? – Один без одного? – Один без двух?

– Вот тебе, Саша, одна копейка; сколько раз я тебе дал по одной копейке?

– Один раз.^[47]

– И сколько у тебя копеек?

– У меня одна копейка.

– Следовательно один раз по одной копейке составит сколько копеек?

– Вот тебе, Коля, две копейки; сколько раз я тебе дал по две копейки?

– Один раз.

– Следовательно, один раз по две копейки также?..

– Миша получил от маменьки в воскресенье один бергамот и в понедельник опять один. – Сколько раз он получил по одному бергамоту? И сколько он получил всего бергамотов?

– Ученику дали за прилежание два стальных пера; это было в понедельник; потом он уж всю неделю ничего не получал; сколько раз он был награжден перьями? И сколько ему досталось перьев?

– Одну вещь я могу подарить сколько раз? – А две вещи? – Два раза по одной, или же за один раз обе.

– Один и один сколько? – А один раз один? – Сколько один раз два? – А два раза один?..

– Вместо раз говорят также жды. Одиножды один? Одиножды два..? Дважды один..?

– Вот вам, Петя и Саша, два карандаша; поделитесь ими так, чтобы у каждого из вас было ровно (дети совершают раздел), сколько каждый из вас получил?

– Один карандаш.

– Но еслиб я вам дал не два, а один карандаш, то как бы вы им поделились?

– Мы бы его разрезали?

– На сколько кусков?

– На два.

– Почему же на два, а не более?

– Потому что нас только двое.

– Ну, а если бы один из вас получил больший кусок?

– Нет, мы разрезали бы карандаш на два совершенно равные куска

– Ну, разрежьте этот карандаш. Хорошо. Еслиб мы теперь снова смогли соединить эти два куска, то они составили бы опять что?

– Целый карандаш.

– Так; заметьте же себе, что если что-нибудь целое (карандаш ли, яблоко ли, или другая какая вещь) разбивается на несколько кусков, то эти куски называются частями этого целого. Повторите это. – На сколько частей разделили вы карандаш?

– На две неравные части?

– Нет, на две равные.

– А можно ли разделить целое на более частей?

– Можно.

– А на менее, чем на две части?

– Нет.

Во всём этом дети должны убеждаться на деле.

– Если какая-нибудь вещь разделяется пополам, т. е. не более, как на две части, то каждая часть называется второю частью или половиною. Повторите это. Петя, какую часть карандаша ты получил? – А ты, Саша? – Каждый из вас получил…? – Целое имеет сколько половин?

Вопрос об одном и том же должен быть сделан каждому ученику, но всякий раз с некоторым изменением в обороте или содержании.

– Теперь, Ваня и Коля, ваша очередь. Разделите-ка между собой эти две копейки поровну. Сколько у каждого из вас? – Ну, а еслиб я вам дал на раздел эту двухкопеечную монету, то что бы вы сделали?

– Мы бы ее разрубили.

– Вот как: ну, это вам едва ли бы удалось, ведь это не карандаш. Нет, это можно сделать гораздо проще. Кто знает? Двухкопеечную монету нужно разменять на отдельные копейки, т. е. сходить в лавку, и там за эту монету дадут сколько отдельных копеек? – Стало-быть они всё равно, что части двухкопеечной монеты. – Так какую часть двух копеек получил ты, Ваня? А у тебя, Коля, половина чего? – Одна копейка какая часть двух копеек?

– Два мальчика получили яблоко на равный раздел. Сколько каждому досталось? – А вместе у них было сколько половин? – Одна девочка получила половину двух апельсинов; сколько это? – Одному брату дали две груши, а другому только вторую часть двух груш; сколько получил последний?

– Два мальчика поделились двумя сухарями; кто из них получил больше, кто меньше? – У меня на рубашке две запонки, а у тебя одна, сколько раз (или во сколько) у меня более запонок, нежели у тебя? А во сколько у тебя менее, чем у меня?

– Если у меня есть две булки, то сколько раз я могу съесть по одной? – А сколько раз по две булки? – Здесь на доске две черточки; сколько раз я могу стереть по одной черточке? – А сколько раз по две? – Сколько отдельных копеек содержится в гроше? – Сколько раз одна копейка содержится в гроше? – Сколько раз (или во сколько) два камешка более одного? – Во сколько одна груша менее двух?

– Один и один..? Два состоит из ..? Два сколько раз один? – Сколько раз можно отнять один из двух? – Сколько раз можно отнять два от двух? – Сколько раз два содержится в двух? – Сколько раз один в одном? – Сколько раз один менее двух? – Во сколько два более одного?

– Федя купил себе два пера и за каждое перо заплатил одну копейку; сколько же он заплатил за оба пера? – Катя купила себе на две копейки яблоков; каждое яблоко стоило одну копейку; сколько же она получила яблоков? – Вася заплатил за два листа бумаги две копейки, во сколько ему обошелся лист? – У Мити была одна копейка, а у брата его, Саши, вдвое больше; они пошли покупать грифелей, и Саша купил себе за все свои деньги два грифеля; сколько же грифелей получил Миша и во сколько обошелся им каждый грифель?

Повторяем, что от учеников необходимо требовать не только вычисления задачи, но и решения; первую эадачу, например, они должны объяснить так: если одно перо стоит одну копейку, то два пера стоят вдвое больше, т. е. две копейки.

Письменные упражнения те же самые, что и на первой степени. При этом должно обращать внимание,чтобы перпендикулярные и наклонные черточки делались сверху вниз и снизу вверх, а горизонтальные с правой и с левой стороны, чтоб толстые сменялись тонкими, и все были равной величины и по возможности прямые.

Как ни длинна приводимая мною выписка, я прошу читателя прочесть ее всю. Не испытав самому той томительной скуки, которую производят такого рода вещи, нельзя было бы понять и почувствовать всей безнравственности и преступности такой книги, как арифметика Грубе. И уже второе издание! Значит – сколько замучено, испорчено детских душ, сколько испорчено наивных учителей!

Далее следуют книги по части географии и истории. Я не говорю об этом отделе; мнение мое о преподавании истории и географии для народа и в первоначальных школах уже высказано в 3-м № «Ясной поляны». Все одобренные здесь книги я считаю никуда негодными. Пропуская книги духовного содержания, я займусь еще книгами научного содержания и отделом рассказов, повестей, басней, сказок, стихотворений, обращая преимущественное внимание на самые вредные и наиболее одобренные из них.

–