Петр Путенихин
Радиус наблюдаемой Вселенной и горизонт Вселенной
Рассмотрим особый случай: авто достигает конечной точки, финиша. Это значит, что рассматриваемое уравнение, сумма ряда будет равна увеличившейся по указанному закону исходной дистанции, растягивающейся трассы. Поскольку начальная удалённость финиша была S0, то через время T она увеличится до значения:
Рассматриваемое условие запишем в виде:
Перепишем правое равенство немного короче, в одну строку:
Для графических построений удобнее немного иная форма записи правой части уравнения, в виде, напоминающем исходное уравнение со множеством скобок. Для краткости оставим справа только слагаемые в скобках:
Теперь выделим последовательно множители в правой части
Замечаем закономерность и записываем окончательно:
С множителем vat внутри скобок это уравнение имеет вид:
Для исключения ошибок, для проверки точности уравнения выполняем обратное действие, раскрываем скобки:
То же самое для уравнения с множителем vat внутри скобок:
Видим, что последовательности явно ведут к верному результату. Однако для большей уверенности рассмотрим, как и выше, вариант с числом слагаемых n = 10:
Вновь, заметив закономерность, записываем для n=10:
Проверяем ряд, как и ранее, раскрывая скобки:
Сравниваем этот прямо и обратно преобразованный ряд с исходным рядом слагаемых (10.2):
Видим, что эти ряды для n = 10 совпали, поэтому переписываем правую часть уравнения (10.2) в общем виде:
Или в полном виде:
Здесь число слагаемых (с учётом единичного слагаемого) равно 10. Для произвольного числа слагаемых уравнение (10.1) закономерно можно записать в следующем виде:
То же самое с множителем, внесённым в скобки:
Мы рассматривали движение авто на вытягивающейся дорожке. Однако все приведённые рассуждения полностью соответствуют и движению фотона от некоторой сверхновой к Земле в расширяющемся пространстве Вселенной. Поэтому в итоговых уравнениях мы можем просто заменить скорость авто скоростью света:
Уравнение (10.3) показывает действительную величину удалённости фотонов от сверхновой, равенство (10.4) отражает равенство этой удалённости и конечной удалённости Земли от сверхновой. Это условие мы заложили в постановке задачи. Но из них следует и провозглашённый в задаче вывод. Всё движение, и авто и фотонов, происходило в течение времени T, что соответствует, в свою очередь, длине пройденного пути с точки зрения движущегося объекта – авто или фотонов. Действительно, на спидометре авто за это время при заданной скорости будет показан вполне определённый пройденный им путь:
Соответственно, и по условному "спидометру" фотонов или с точки зрения некоторого не менее условного внешнего наблюдателя в их системе отсчёта, фотоны пройдут путь:
Это и есть наблюдаемая удалённость сверхновой. Из этого уравнения следуют два вывода. С увеличением времени движения отношение наблюдаемой удалённости сверхновой к её действительной удалённости на момент измерения стремится к нулю:
Наблюдаемая удалённость сверхновой численно равна времени от её взрыва до момента её наблюдения (при с = 1).
Анализ погрешностей алгоритма
Приведённый алгоритм является пошаговым, точность вычислений которого, очевидно, зависит от дискретности этих шагов. Чем меньше интервал времени шага, тем, видимо, точнее результат вычислений. Кроме того, рассмотренное вычисление пути возможно в двух вариантах первого шага, что, возможно, также влияет на итог вычисления, и, фактически, на его точность. Рассмотрим эти два варианта для оценки их точности.
Пусть, как и выше, скорость авто равна va, а общее время в пути ограничим временем T = 2 = 2t. Также примем удлинение "резиновой" трассы по экспоненте – увеличение в eHt раз за каждую единицу времени.
Вариант 1. От начальной дистанции r0 за время t = 1 сначала прошёл свой путь авто. И только после этого за следующий интервал времени t = 1 этот путь экспоненциально удлинился:
Вариант 2. За первый интервал времени t = 1 сначала экспоненциально удлинилась исходная дистанция, и только затем свой путь прошёл авто за оставшееся время t = 1:
В первом варианте авто прошёл большее расстояние:
Теперь рассмотрим следующие два интервала времени, то есть, увеличим общее время в пути до T = 4. Начальным, исходным путём на этих дополнительных интервалах являются, соответственно, Rc и RH.
Преобразуем, раскрывая скобки и сокращая:
Здесь уже просматривается закономерность. Проверим ещё один этап движения, третий с общим временем, увеличенным до T = 6. В роли r0 теперь выступают Rc2 и RH2.
Вновь вычисляем разницу:
Теперь закономерность видна явно. Очевидно, что для общего времени движения T = 2nt, то есть, через n-пар интервалов времени разница будет:
При уменьшении длительности интервалов, то есть, при увеличении их числа, разница стремится к величине:
При фиксированном значении времени T пределом является ноль, то есть, варианты эквивалентны:
Заметим, что это можно обнаружить изначально. В случае r0 = 0, то есть, если движение начинается из начала координат, второй вариант сразу же переходит в первый:
Следует признать, что алгоритм вычислений несколько условный, приближённый, поскольку подразумевает всё-таки поочерёдное удлинение пройденного интервала и прироста интервала за счёт движения авто. Вместе с тем, оба уравнения при большом значении числа интервалов n и при некотором фиксированном значении общего времени T движения дают одинаковый результат. Последовательность приростов дистанции не влияет на результат, что следует рассматривать как корректность алгоритма вычислений и его приемлемую точность.
