Жак Виллен
Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий
Все более долгие дни… и все более далекая Луна
Наблюдения показывают, что приливы по отношению к видимому движению Луны задерживаются примерно на 12 минут. Моделируя Землю и ее водные массивы в виде удлиненного эллипсоида, находим, что его бо́льшая ось направлена не точно на Луну, а составляет с направлением Земля – Луна угол φ порядка 3° (илл. 7). Действительно, вода из-за торможения ее движения трением о дно океанов и о берега не успевает в каждый момент времени занять самое энергетически выгодное положение. Это трение приводит к превращению части кинетической энергии вращения Земли в тепло. То есть приливы тормозят вращение Земли! Следовательно, увеличивается и протяженность дня. Об этом первым догадался в XIX веке английский физик лорд Кельвин. В дальнейшем скорость этого замедления удалось оценить с высокой точностью: исследователи изучили найденные в Индийском океане окаменевшие кораллы и нашли в них кольцевые образования, отражающие чередование дня и ночи. Возраст кораллов был оценен в 400 млн лет. Подсчитав эти кольца, ученые установили, что календарный год, то есть время, которое Земля затрачивала на полный оборот вокруг Солнца, составлял в ту эпоху 395 дней. То есть день длился всего 22 часа!
«Запаздывание» приливов имеет и другие следствия: Земля принимает форму мяча для игры в регби, чья ось все больше отклоняется от оси Земля – Луна. Сила притяжения между Землей и Луной направлена не точно к центру Земли, а имеет небольшую составляющую, перпендикулярную оси Земля – Луна. И эта компонента силы приводит к удалению Луны от Земли на 3,8 см в год… все больше разделяя нас и наших лунных соседей!
Глава 6
Капли и пузыри
Пузыри и капли завораживают детей… и больших детей – ученых. «Выдуйте мыльный пузырь и посмотрите на него. Вы могли бы провести всю свою жизнь, изучая его, не переставая извлекать из него уроки физики», – писал упомянутый выше лорд Кельвин. Поэтому мы не сумеем охватить всю эту тему в одной главе. Но мы поймем, почему капли и пузыри принимают сферическую форму, как получить пузыри в форме цилиндра или лошадиного седла… и даже как сделать микрофон с помощью текущего крана!
Почему дождь идет каплями?
Вода часто принимает форму капель диаметром приблизительно в один миллиметр. Достаточно внимательно понаблюдать за дождем, чтобы в этом убедиться. Почему так? Почему вода, помещенная в капельницу, выходит из нее только под действием небольшого давления и в виде почти идеально круглых капель четко определенного диаметра?
Минимизация потенциальной энергии и поверхностное натяжение
Любая система стремится минимизировать свою потенциальную энергию, то есть энергию, которой она обладает из-за своего положения в пространстве и внешних воздействий. В соответствии с этим принципом бильярдные шары падают в лунки, так же как иногда люди падают на льду: таким образом они уменьшают свою потенциальную энергию в гравитационном поле Земли. Капля же стремится принять форму, которая определяется минимизацией не только ее потенциальной энергии в гравитационном поле, но и поверхностной энергии. Каково же происхождение последней? Дело в том, что молекулы, находящиеся на поверхности жидкости, пребывают в особой ситуации по сравнению с молекулами в объеме: они имеют плотную среду подобных соседей только с одной стороны, с другой с ними соседствуют молекулы гораздо более разряженного воздуха. Молекулы жидкости притягиваются друг к другу, их потенциальная энергия отрицательна. А вот молекулы на поверхности лишены половины таких дружественных соседей и в результате находятся в неблагоприятном энергетическом состоянии.
1. На пленку мыльной воды воздействует сила 2F (у пленки две поверхности) со стороны подвижного стержня. Если стержень перемещается на длину x, то работа силы 2Fx равна уменьшению потенциальной энергии 2σLx пленки. Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения σ равен отношению силы к длине F/L
Таким образом, увеличение поверхности жидкости требует затрат энергии (вот почему яичные белки нужно именно взбивать!). Эта энергия, отнесенная к единице поверхности, называется коэффициентом поверхностного натяжения. Коэффициенты поверхностного натяжения для разных видов жидкости сегодня точно измерены (см. таблицу ниже) и обычно выражаются в джоулях на квадратный метр. Коэффициент поверхностного натяжения можно также трактовать и на языке сил – его величина соответствует силе, действующей на единицу длины границы поверхности, – и выражать в ньютонах на метр (убедитесь, что эта величина эквивалентна джоулю на квадратный метр). Эффект поверхностного натяжения можно продемонстрировать с помощью простого эксперимента (илл. 1). Возьмем металлическую прямоугольную рамку, одна сторона которой представляет собой подвижный стержень длины L. Погрузим ее в мыльную воду, а затем аккуратно поднимем, чтобы получить прямоугольную мыльную пленку. Под влиянием поверхностного натяжения пленка начнет сжиматься, смещая подвижный стержень.
Аналогично поверхностному натяжению возникает и межфазное натяжение между двумя несмешивающимися жидкостями или между твердым телом и жидкостью.
Форма капли в состоянии равновесия и в пренебрежении силой тяжести, согласно вышесказанному, является такой, которая минимизирует поверхностную энергию, то есть формой, которая для данного объема минимизирует площадь поверхности. А этому условию соответствует именно сфера! Поэтому капли воды или любой другой жидкости часто сферические (илл. 2). Однако, как мы увидим далее, под воздействием различных факторов эта форма может изменяться.
Коэффициент поверхностного натяжения некоторых жидкостей. Чем сильнее взаимное притяжение между молекулами жидкости, тем больше поверхностное натяжение
2. Капли воды на паутине. Сферическую форму принимают все капли, кроме самых крупных, которые сильнее подвержены воздействию силы тяжести
Размер капель
Равновесная форма капли воды в отсутствие внешних сил – сфера. А что нам известно о ее форме в реальных условиях?
3. Отделение капли. Капля, поверхность которой была бы сферической, если бы подвергалась только поверхностному натяжению, удлиняется под действием силы тяжести
Почему капли дождя не растут
a. Форма, принимаемая падающей каплей воды в зависимости от ее размера. Сверху вниз: капли диаметром D соответственно меньше, примерно равны и больше капиллярной длины. (E. Reyssat, F. Chevy, A. L. Biance, L. Petitjean, D. Quéré, Europhysics Letters 80, 34005 (2007)).
b. Форма «мешка», которую во время падения принимает изначально сферическая капля радиусом около 18 мм. Капля постепенно наполняется воздухом и в конечном итоге разорвется. (Там же)
Почему дождь не падает крупными каплями? Группа физиков в Париже изучила этот вопрос, сбрасывая капли воды различного диаметра с высоты 8–12 м и фотографируя их форму в полете (см. илл.). Маленькие капли остаются сферическими. Более крупные капли сплющиваются, а начиная с определенного размера принимают форму мешка. Видно, что в этот «мешок» во время падения капли попадает воздух, который в конечном итоге каплю разрывает. Таким образом, капля, превышающая критический размер, просто не долетает до земли неповрежденной. Благодаря этому во время дождя нас не бьют по голове капли диаметром в сантиметр!
Оказывается, что критический размер капли определяется величиной найденной нами капиллярной длины. Это утверждение может удивить, так как роль сопротивления воздуха явно имеет важное значение в проведенных экспериментах, однако оно никак не учитывалось при выводе формулы (1) в главе 6. Дело в том, что когда капля падает с высоты всего лишь 10 м, то она уже достигает постоянной скорости в несколько метров в секунду (около 9 м/с для самых больших капель, несколько м/с для самых маленьких). Величина этой скорости определяется равенством двух сил – силы тяжести с одной стороны и силы сопротивления воздуха с другой. Таким образом, сила, обусловленная сопротивлением воздуха, по величине оказывается равной весу капли, даже если ее распределение по поверхности капли отличается от силы тяжести, распределенной по объему.
Да, дождь не падает крупными каплями… Но, к сожалению, бывает крупный град! Размер градин значительно увеличивается, если они попадают в несколько последовательных восходящих течений. В настоящее время мало что можно сделать, чтобы предотвратить их образование; идея засеивать облака частицами, предназначенными активизировать образование капель, оказалась неудачной.
При возникновении капли в земных условиях ее росту больше некоторого критического размера препятствует гравитация. Рассмотрим, например, формирование капли в капельнице (илл. 3). При достаточном давлении на насадку из капельницы вытекает вода. Форма образующейся при этом капли отличается от сферы, однако во всех направлениях имеет один и тот же характерный размер R (илл. 3a). Таким образом, ее масса оказывается порядка ρR3 (где ρ – плотность жидкости), а вес – порядка gρR3 (где g – ускорение свободного падения). Поверхностная энергия капли, как мы уже видели выше, при этом имеет порядок σR2, где σ – поверхностное натяжение жидкости. В некоторый момент времени под действием силы тяжести капля начинает отрываться от капельницы (илл. 3b). Пройдя путь порядка R, капля уменьшает гравитационную потенциальную энергию примерно на gρR4 (изменение потенциальной энергии силы тяжести между двумя точками равно весу объекта, умноженному на разницу высот). Но в ходе этого процесса капля растянулась, ее поверхность увеличилась, и, соответственно, возросла примерно на σR2 ее поверхностная энергия. Капля под действием силы тяжести оторвется от капельницы только тогда, когда выигрыш в потенциальной энергии капли в поле тяжести превысит увеличение поверхностной энергии, то есть при условии, что радиус капли R превысит так называемую капиллярную длину R1:
Капля меньшего радиуса от капельницы не оторвется. Отвлекаясь от нашего эксперимента с капельницей, можно утверждать, что капиллярная длина является той гранью, за которой роль гравитации становится преобладающей по сравнению с поверхностной энергией. Например, если поместить совсем небольшое количество жидкости на ровную поверхность, то образуется капля, свободная поверхность которой будет практически сферической. Но если радиус зоны контакта с поверхностью приближается к величине R1, то капля деформируется и принимает все более плоскую форму. В заключение скажем, что радиус капель обычно не превышает значение R1 (см. врезку на пред. с.). Для воды, при g = 9,8 м/с2 и ρ = 1000 кг⋅м3, капиллярная длина составляет порядка 3 мм.
Мыльные пузыри
Бывают капли воды в воздухе и пузырьки воздуха в воде (см. главу 15, «Возникновение первых пузырьков»). Но можно создать и воздушные пузыри в воздухе – с помощью мыльного раствора воды! Он образует весьма устойчивые пузыри, которые невозможно было бы получить, используя чистую воду (илл. 4).
4. Мыльные пузыри. Прекрасные переливы цвета вызваны интерференцией (см. главу 3, «Мыльные пузыри»)
Молекулярная структура мыльной пленки – сама по себе урок физики. Мыло содержит так называемые поверхностно-активные вещества, молекулы которых характеризуются гидрофильной («любящей воду») головкой и гидрофобным («боящимся воды») хвостом. Чтобы удерживать головку в воде и хвосты вне воды, эти молекулы скапливаются у поверхности и выстраиваются перпендикулярно ей (илл. 5). Таким образом, присутствие молекул поверхностно-активного вещества в воде уменьшает коэффициент поверхностного натяжения раствора. Равновесная форма мыльного пузыря такая же, как и у небольшой капли. Это сфера, которая минимизирует поверхностную энергию системы. Поэтому неудивительно, что небольшие пузыри, как и маленькие капли, оказываются сферическими. Однако, в отличие от капель, сферическими часто могут быть даже большие пузыри. Дело в том, что мыльная пленка тонкая и чрезвычайно легкая, и поэтому воздействие гравитации на пузырь оказывается незначительным. Таким образом, мыльные пузыри отлично подходят для изучения поверхностного натяжения и его эффектов. Если бы размер пузыря регулировало только поверхностное натяжение, то оно бы неограниченно уменьшало его поверхность, пузырь становился бы все меньше и меньше и в конечном итоге исчезал. Но поскольку внутри пузыря находится воздух, то уменьшение диаметра приводит к росту давления внутри него, и, когда последнее достигает величины суммы атмосферного давления и дополнительного давления Лапласа стенок пузыря, устанавливается баланс сил.
5. Схема мыльной пленки. Молекулы поверхностно-активного вещества уменьшают поверхностное натяжение воды и тем самым препятствуют уничтожению мыльного пузыря. Гидрофильная головка обычно обладает электрическим зарядом и поэтому сильнее взаимодействует с молекулой воды, которая обладает электрическим дипольным моментом (см. главу 16, илл. 5)
Формула Лапласа
Откуда же берется избыточное давление ΔP, отличающее давление внутри мыльного пузыря от атмосферного? Для сферического мыльного пузыря радиусом R расчет прост. Поверхностная энергия равна произведению площади поверхности на поверхностное натяжение: Sσ’ = 4πR2σ’, где σ’ = 2σ, то есть вдвое превышает поверхностное натяжение мыльной жидкости, так как пленка имеет две стороны. Небольшое увеличение радиуса пузырька δR приводит к изменению поверхности на величину 8πRδR и, следовательно, к изменению энергии поверхности на 8πσ’RδR (илл. 6). Это изменение энергии должно компенсироваться работой сил давления, приложенных к стенкам пузырька при увеличении его радиуса (работа силы равна энергии, переданной системе этой силой в процессе перемещения). Эта работа равна избыточному давлению ΔP, умноженному на изменение объема пузыря, то есть 4πR2δRΔP. Поэтому мыльный пузырь радиусом R пребывает в равновесии тогда, когда давление воздуха внутри превышает атмосферное на
ΔP = 2σ’/R. (2)
6. Изменение энергии, вызванное бесконечно малым расширением пузырька, должно быть равно нулю в состоянии равновесия
Это соотношение называется формулой Лапласа, в честь физика, который вывел его в 1806 году (см. главу 5, «Высота приливов и их прогнозирование»). Избыточное давление ΔP тем больше, чем меньше пузырь. Вы легко можете проверить его справедливость, соединив два пузырька разного размера тонкой трубочкой: маленький пузырь тут же станет расти, а большой – уменьшаться!
Для миллиметрового пузыря значение избыточного давления составляет порядка одной тысячной от атмосферного. Для пузырька газа в воде σ’ = σ, и избыточное давление оказывается в два раза меньше, чем в мыльном пузыре того же радиуса.
Соприкасающиеся пузыри и пена
Воспользовавшись формулой Лапласа, мы можем предсказать, какую форму примет система из нескольких пузырьков в пене. Рассмотрим два пузыря радиусом R1 и R2 соответственно (илл. 7). Избыточное давление внутри каждого из них равно соответственно ΔP1 = 2σ’/R1 и ΔP2 = 2σ’/R2. Мыльная пленка, разделяющая два этих пузырька, является сферической поверхностью, изгиб которой должен уравнивать разность давлений ΔP2 и ΔP1. Таким образом, радиус R3 определяется формулой (2), с R = R3 в знаменателе и ΔP = ΔP2 – ΔP1:
7. Соприкосновение двух пузырей. Плоскости, касательные к поверхностям двух пузырьков, должны иметь между собой и плоскостью, касательной к перегородке Γ, углы 120°, а радиусы пузырьков – удовлетворять соотношению 1/R3 = 1/R2–1/R1, где R2 – радиус меньшего пузыря. В таком случае устанавливается равновесие между воздействующими на поверхность силами поверхностного натяжения F1 и F2 и силой поверхностного натяжения, возникающей на внутренней перегородке между пузырьками
Капля на поверхности
Какую форму принимает капля на твердом теле? В отличие от случаев контакта между двумя пузырями, где работает только поверхностное натяжение σ, сегодня ученые различают три типа межповерхностных натяжений: σжг, σжт, σтг, которые соответствуют границам между жидкостью и газом, жидкостью и твердым телом, а также между твердым телом и газом. В зависимости от значений этих трех параметров капля в большей или меньшей степени растекается по поверхности. Степень этого «растекания» измеряется углом α между касательной к поверхности капли и плоскостью, на которой она лежит, в точке их соприкосновения (см. илл.).
Капля жидкости частично смачивает твердую поверхность
На общей для всех трех сред границе Γ на единицу ее длины действуют три силы: две из них, σжт и σтг, параллельны поверхности, третья, σжг, направлена по касательной к поверхности капли (все они обозначены на иллюстрации красным цветом). Граница Γ должна оставаться на поверхности опоры. Поэтому для равновесия достаточно, чтобы сумма проекций сил на плоскость опоры была равна нулю, то есть:
σтг = σжгcos α + σжт.
Это так называемое уравнение Дюпре – Юнга. Косинус угла контакта может изменяться от 1 до –1, что соответствует условию – σжг < σтг – σжт < σжг. При выполнении этого условия говорят, что имеет место частичное смачивание. Капля при этом образует сферический купол.
В случае когда σтг – σжт > σжг, капля растекается до тех пор, пока это возможно, образуя при этом очень тонкую пленку. Это так называемый случай полного смачивания.
Если же σтг < σжт – σжг, то капля отделяется от опоры, не смачивая ее совсем. Возможно, читателю приходилось видеть капельки ртути на столе около разбитого термометра (см. илл.) или скатывающиеся по перьям утки капельки воды – это примеры отсутствия смачивания.
Капли ртути не смачивают поверхность. Маленькие капли имеют четкую сферическую форму, большие – сплющены силой тяжести
Однако одного этого соотношения оказывается недостаточно для описания геометрической формы обоих пузырьков и границы между ними.
Недостающее геометрическое соотношение можно вывести, если вспомнить, что силы поверхностного натяжения, действующие в любой точке A окружности Γ, ограничивающей поверхность, должны уравновешивать друг друга (то есть их векторная сумма должна быть равна нулю). Этих сил всего три, каждая направлена по касательной к одной из сфер (1, 2 или 3), и они стремятся сжать соответствующие шаровые сегменты. Все три силы равны по модулю (который составляет отношение σ’ к единице длины). Таким образом, для достижения равновесия они должны попарно составлять между собой углы в 120° (илл. 8). Аналогичное рассуждение позволяет определить и форму капли на твердой плоскости (см. главу 6, врезку «Капля на поверхности»).
Пена образуется из очень большого количества пузырьков, однако ее структура определяется из тех же условий, которые мы использовали выше для двух пузырей.
8. Мыльные пузыри на плоской поверхности. Углы, образованные стенками, соединяющими между собой три пузырька, составляют 120°. В плотной пене шесть разделяющих плоскостей между четырьмя соприкасающимися пузырьками обладают симметрией тетраэдра: они образуют углы в 109,5°
Необычные мыльные пузыри
Необычные формы, которые могут принимать мыльные пузыри, далеко не ограничиваются одной сферой. Если мыльная пленка не свободна, а натянута на некоторую рамку, то она порой образует удивительные, кажущиеся невозможными фигуры! Давайте начнем с погружения двух одинаковых колец в мыльную воду. Приложив толику усердия и аккуратности, мы можем получить пузырь в форме цилиндра, накрытый с обеих сторон сферическими «шапками» (илл. 9). Перепад давления ΔP внутри и снаружи пузыря связан с радиусом цилиндра R по формуле, аналогичной формуле Лапласа, но без коэффициента 2:
ΔP = σ’/R. (3)
9. Цилиндрический мыльный пузырь, сформировавшийся между двумя кольцами. Две сферические «шапки» замыкают пузырь
«Шапки» пузыря при этом являются сферическими сегментами радиуса 2R, который определяется формулами (2) и (3). А что произойдет, если они лопнут? При этом исчезнет перепад давления внутри и снаружи мыльной пленки. В результате пленка между двумя кольцами, для того чтобы минимизировать поверхностную энергию, перестает быть цилиндрической и деформируется (илл. 10). Получающаяся в результате такой деформации поверхность приобретает форму лошадиного седла и называется катеноидом. С математической точки зрения это поверхность, которая формируется вращением цепной линии вокруг оси (цепная линия, в свою очередь, – это кривая такой формы, какую принимает подвешенная между двумя точками цепочка, например колье). При изменении формы рамки, независимо от ее геометрии, поверхность, принимаемая пленкой, всегда будет соответствовать минимуму ее площади (такая поверхность называется минимальной) (см. главу 6, врезку «Кривизна, средняя кривизна, цепочка и катеноид»).
10. Поверхность, образованная мыльным пузырем между двумя параллельными кольцами, называется катеноидом. Любое его продольное сечение вогнутое, и любое поперечное сечение (окружность) – выпуклое