Иэн Стюарт
Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную
* * *
Я часто использую слова «моделирование» и «расчет», но вы должны понимать, что невозможно ничего посчитать, если не знаешь, что именно и как нужно вычислить, и невозможно ничего смоделировать, просто «послав это в компьютер». Кто-то должен спланировать вычисления до мельчайших подробностей; кто-то должен написать программу, которая скажет компьютеру, что и как считать. Эти задачи редко бывают прямолинейными и, как правило, не решаются легко.
Моделирование космического столкновения – ужасающе сложная вычислительная задача. Вещество сталкивающихся тел может быть твердым, жидким или газообразным, а к каждому из этих случаев применимы разные физические правила, требующие разных математических формулировок. В столкновении задействованы по крайней мере четыре типа вещества – это кора и мантия для Тейи и то же для Земли. Породы, в каком бы состоянии они ни были, могут дробиться на куски и сталкиваться. Их движение определяется «условиями свободного края»; это означает, что жидкостная динамика имеет место не в замкнутой области пространства с фиксированными стенами. Напротив, жидкость сама «решает», где пройдет ее граница, и ее местоположение меняется по мере того, как жидкость движется. Разбираться со свободным краем – и теоретически, и вычислительно – намного сложнее, чем с фиксированным. Наконец, при столкновении действуют гравитационные – а значит, нелинейные – силы. То есть вместо того, чтобы меняться пропорционально расстоянию, они меняются по обратно-квадратичному закону. Не секрет, что нелинейные уравнения решать намного сложнее, чем линейные.
Традиционные математические методы, основанные на ручных расчетах, никак не в состоянии решить даже упрощенные варианты этой задачи. Быстрые компьютеры с большими объемами памяти аппроксимируют задачу при помощи численных методов, а затем проводят множество вычислений методом «грубой силы», чтобы получить приближенный ответ. В большинстве моделей сталкивающиеся тела рассматриваются как капли липкой жидкости, способные как разбиваться на более мелкие капли, так и сливаться в более крупные. Первоначальные капли имеют размеры планет; капли, на которые они дробятся, меньше, но только по сравнению с планетами. На самом деле они по-прежнему довольно велики.
Стандартная модель динамики жидкости восходит к XVIII веку, к Леонарду Эйлеру и Даниилу Бернулли. Она формулирует физические законы течения жидкости в виде уравнения в частных производных, описывающего, как скорость жидкости в каждой точке пространства изменяется со временем в ответ на действующие силы. Такие уравнения не решаются в формульном виде, за исключением простейших случаев, но разработаны очень точные вычислительные методы их решения. Серьезный вопрос здесь – природа модели, которая в принципе требует исследовать скорость жидкости в каждой точке некоторой области пространства. Однако даже компьютеры не в состоянии произвести бесконечное число расчетов, поэтому мы «дискретизируем» уравнение: аппроксимируем его связанным уравнением, в котором задействовано лишь конечное число точек. В простейшем методе в качестве репрезентативной выборки для всего объема жидкости используются узлы некоторой решетки, в которых и отслеживается динамика изменения скорости. При достаточно частой решетке аппроксимация получается неплохая.
К несчастью, такой подход не слишком годится для сталкивающихся капель, потому что при разбивании капли поле скорости получает разрывы. На помощь приходит хитроумный вариант метода решетки. Он работает даже тогда, когда капли разбиваются на более мелкие или, наоборот, объединяются в более крупные. Этот метод, известный как гидродинамика сглаженных частиц, разбивает жидкость на соседние «частицы» – крохотные области. Но вместо того, чтобы использовать фиксированную решетку, мы следуем за частицами и следим, как они отзываются на действующие силы. Если соседние частицы движутся примерно с одинаковой скоростью и в одном направлении, они находятся в одной капле и останутся в ней. Но если соседние частицы направляются в совершенно разных направлениях или имеют существенно разные скорости, то капля разбивается на более мелкие.
Математика добивается такого эффекта, «сглаживая» каждую частицу и превращая ее в своего рода мягкий пушистый шарик (называется это сферической перекрывающейся кернфункцией), а затем накладывая эти шарики друг на друга. Каждый шарик может быть представлен своей центральной точкой, и нам необходимо рассчитать, как эти точки движутся с ходом времени. Математики называют уравнение такого рода задачей n тел, где n – число точек, или, что то же самое, число пушистых шариков.
* * *
Все это очень хорошо, но задача n тел трудна. Кеплер исследовал задачу двух тел – орбиту Марса – и сделал вывод о том, что она представляет собой эллипс. Ньютон доказал математически, что когда два тела движутся под воздействием гравитации, убывающей по обратно-квадратичному закону, то оба они движутся по эллипсам вокруг общего центра масс. Но попытавшись разобраться в задаче трех тел – в базовом случае это Солнце, Земля и Луна, – математики XVIII–XIX веков обнаружили, что это далеко не такая аккуратная и упорядоченная задача. Даже громадная формула Делоне представляет собой всего лишь аппроксимацию. На самом деле орбиты тел в этой задаче, как правило, хаотичны – очень и очень нерегулярны – и никакими красивыми формулами или классическими геометрическими кривыми не описываются. Подробнее о хаосе можно прочитать в главе 9.
Чтобы реалистично смоделировать планетарное столкновение, число пушистых шариков должно быть велико – скажем, тысяча, а еще лучше миллион. Компьютеры умеют оперировать большими числами, но здесь n говорит не о суммах, которые появляются в вычислениях; n характеризует сложность сумм. А мы здесь сталкиваемся с «проклятием размерности», где размерность системы равна количеству чисел, необходимых для ее описания.
Предположим, мы используем миллион шариков. Чтобы определить состояние каждого шарика, требуется шесть чисел: три для координат в пространстве, еще три для компонент скорости. Это шесть миллионов чисел – только для того, чтобы определить состояние системы в произвольный момент. Мы хотим воспользоваться законами механики и гравитации, чтобы предсказать будущее движение системы. Эти законы представляют собой дифференциальные уравнения, определяющие состояние системы на крохотный шаг вперед, в будущее, при известном текущем состоянии. При маленьком шаге по времени – пусть это будет, скажем, секунда – результат получится очень близким к реальному состоянию системы в будущем. Так что теперь нам придется вычислить сумму для шести миллионов чисел. Точнее говоря, нам придется получить шесть миллионов сумм для шести миллионов чисел – по одному суммированию на каждое число, необходимое для описания будущего состояния. Так что сложность наших расчетов составит шесть миллионов, умноженные на шесть миллионов, а это 36 триллионов. И посчитав все это, мы узнаем лишь, каким будет следующее состояние, через секунду после нынешнего. Повторив расчет еще раз, мы узнаем, что произойдет через две секунды, и т. д. Чтобы выяснить, что произойдет через тысячу лет, нам нужно просчитать период примерно в 30 миллиардов секунд, и сложность расчетов при этом составит 30 миллиардов, умноженные на 26 триллионов – около 1024, или один септиллион.
И это еще не самое худшее. Хотя каждый отдельный шаг, возможно, является хорошей аппроксимацией, шагов так много, что даже самая крохотная ошибка может значительно вырасти; кроме того, объемные вычисления занимают много времени. Если бы компьютер мог рассчитывать один шаг в секунду, то есть работал бы «в реальном времени», на расчеты потребовалось бы не меньше тысячи лет. Только суперкомпьютер способен хотя бы приблизиться к таким параметрам вычислений. Единственный выход – найти другой, более хитрый способ проводить вычисления. На ранних этапах столкновения действительно может потребоваться короткий шаг по времени – скажем, одна секунда, – потому что возникнет страшная путаница и все будет очень сложно. Позже шаг по времени можно сделать более длинным, результат, вероятно, останется приемлемым. Более того, как только две точки разойдутся на достаточно большое расстояние, сила взаимодействия между ними станет настолько маленькой, что ею, скорее всего, можно вообще пренебречь. Наконец, именно здесь можно получить наибольший выигрыш – весь расчет можно упростить, организовав его более хитроумным способом.
При первых попытках моделирования вводились дополнительные упрощения. Вместо того чтобы проводить вычисления для трехмерного пространства, задачу сводили к двум измерениям, а для этого предполагали, что все происходит в плоскости орбиты Земли. В этом варианте сталкиваются два круглых, а не два шарообразных тела. Такое упрощение дает два преимущества. Шесть миллионов превращаются всего лишь в четыре миллиона (по четыре числа на один пушистый шарик). Еще лучше, что вам уже не нужно миллиона шариков; возможно, 10 000 будет достаточно. Теперь вместо шести миллионов у вас будет 40 000, а сложность снизится с 36 триллионов до 1,6 миллиарда.
Да, и еще одно…
Мало провести расчет один раз. Мы не знаем ни массы прилетевшего тела, ни его скорости, ни направления, с которого оно подлетает к Земле. Каждый вариант требует нового расчета. Именно это сильнее всего ограничивало исследователей в ранних попытках, поскольку компьютеры тогда считали намного медленнее. Время на суперкомпьютере тоже стоило дорого, так что исследовательских грантов хватало лишь на небольшое число прогонов. Вследствие этого исследователь должен был многое угадывать, причем с самого начала, на основании здравого смысла и простейших рассуждений, что называется, «на пальцах» (к примеру, «может ли это предположение дать нам верное значение результирующего момента импульса?»). После этого оставалось только надеяться.
Тем не менее пионеры моделирования сумели преодолеть все препятствия. Они сумели найти работающий сценарий. Более поздние работы его уточнили. Вопрос происхождения Луны был решен.
* * *
Или нет?
Моделирование теории ударного формирования Луны включает в себя две основные фазы: моделирование непосредственно столкновения и образования диска обломков и последующая аккреция части этого диска с образованием компактной глыбы, зародыша Луны. До 1996 года исследователи ограничивали свои расчеты первой фазой, а основным применяемым методом была гидродинамика сглаженных частиц. Робин Кануп и Эрик Асфауг в 2001 году констатировали, что этот метод «хорошо подходит для сильно деформируемых систем, развивающихся в пределах пустого по большей части пространства», а значит, это именно то, что нам нужно для этой части задачи.
Поскольку процесс моделирования объемен и сложен, исследователи ограничились просчетом того, что происходило непосредственно после столкновения. Результаты моделирования зависят от множества факторов: массы и скорости прилетевшего тела, угла, под которым это тело врезается в Землю, скорости вращения Земли, которая несколько миллиардов лет назад вполне могла отличаться от сегодняшней. Практические ограничения, связанные с просчетом задачи n тел, приводили к тому, что поначалу многие альтернативные варианты оставались неисследованными. Чтобы держать расчеты хоть в каких-то рамках, первые модели приходилось делать двумерными. Тогда основной задачей было найти случаи, в которых прилетевшее тело выбивало в пространство большое количество вещества земной мантии. В наиболее убедительном примере Земля сталкивалась с телом размером с Марс, поэтому именно этот вариант стал основным претендентом.
Во всех моделях ударного происхождения Луны была одна общая черта: столкновение порождало на орбите вокруг Земли громадный диск обломков. Обычно динамика этого диска моделировалась лишь на несколько оборотов; этого было достаточно, чтобы показать, что значительная часть этих обломков оставалась на орбите, а не падала обратно на Землю и не улетала в открытый космос. Считалось, что многие составляющие диска обломков со временем должны объединиться и образовать крупное тело и что это тело должно в будущем стать Луной; на самом деле никто не проверял это предположение, поскольку дальнейшее отслеживание множества частиц на орбите было слишком дорогостоящим и затратным по времени.
В некоторых из последующих работ негласно предполагалось, что основные параметры – масса прилетевшего тела и т. п. – уже достоверно установлены в первых работах; поэтому исследователи сосредоточивались не на поиске новых, альтернативных вариантов, а на просчете дополнительных подробностей. Первая работа стала как бы господствующей точкой зрения, и некоторые из принятых в ней предположений перестали подвергаться сомнению. Первые признаки проблем появились достаточно скоро. Все сценарии, дававшие более или менее правдоподобное совпадение с наблюдаемыми данными, требовали, чтобы пришлое тело задело Землю вскользь, а не столкнулось с ней лоб в лоб; из этого следовало, что тело это не могло находиться в орбитальной плоскости Земли. Двумерная модель неадекватна, и только полноценное трехмерное моделирование может дать нужный результат. К счастью, мощность суперкомпьютеров растет быстро, и вскоре появилась возможность анализировать столкновение в трехмерных моделях, конечно, при достаточных затратах времени и денег.
Однако большинство этих доработанных моделей показало, что Луна должна содержать значительное количество пород ударяющего тела и намного меньше пород мантии Земли. Первоначальное простое объяснение сходства между лунными породами и породами земной мантии в значительной мере потеряло убедительность; оно, казалось, требовало, чтобы изначально мантия Тейи была очень похожа на мантию Земли. Тем не менее некоторые астрономы продолжали утверждать, что именно так, скорее всего, и обстояло дело, как будто забыв, что сходство по составу между Землей и Луной было одной из тех загадок, которую новая теория и должна была по идее объяснить. Если для Луны такое сходство представлялось странным, то почему для Тейи оно должно было быть приемлемым?
Частичный ответ на этот вопрос имеется: возможно, Тейя и Земля первоначально сформировались на примерно одинаковом расстоянии от Солнца. Возражения, высказанные ранее для Луны, здесь не имеют силы. Здесь нет вопроса с моментом импульса, потому что мы понятия не имеем, как вели себя после столкновения другие обломки Тейи. При этом разумно предположить, что тела, сформировавшиеся в Солнечной туманности в схожих локациях, имеют схожий состав. Однако по-прежнему трудно объяснить, почему Земля и Тейя существовали врозь так долго, что обе успели стать полноправными планетами, а потом вдруг столкнулись. Нельзя сказать, что это совершенно невозможно, но все же такая ситуация представляется маловероятной.
Более правдоподобной кажется другая теория, не налагающая никаких предварительных условий на состав Тейи. Предположим, что силикатные породы, после того как они испарились, но прежде, чем начали собираться в одно целое, были как следует перемешаны. Тогда и Земля, и Луна получили бы некоторое количество пород сходного состава. Расчеты показывают, что эта идея работает только в том случае, если испаренные породы находятся в газообразном состоянии примерно сто лет, образуя своего рода общую атмосферу, распределенную по общей орбите Тейи и Земли. Математические исследования, призванные определить степень динамической правдоподобности этой теории, продолжаются.
Как бы то ни было, но первоначальная идея о том, что ударяющее тело выплеснуло в пространство хороший кусок мантии Земли, но само не внесло особого вклада в состав будущей Луны, была бы куда более убедительной. Так что астрономы продолжили поиск альтернатив, основанных на совсем других предположениях, но по-прежнему предусматривающих столкновение. В 2012 году Андреас Ройфер с коллегами проанализировали вариант с быстрым налетающим телом, намного превосходящим по размеру Марс и задевающим Землю вскользь, а не сталкивающимся с ней лоб в лоб. При этом вещество налетающего тела почти не расплескивается, с моментом импульса все получается как надо, а состав земной мантии и Луны оказывается даже более близким, чем считалось ранее. Заново проведенный командой Чжан Цзюньцзюня анализ привезенного «Аполлонами» лунного грунта показал, что соотношение изотопов титана-50 и титана-47 в нем совпадает с их соотношением на Земле с точностью до четырех миллионных долей.
Исследовались и другие варианты. Матья Кук с сотрудниками показали, что правильный состав лунных пород и момент импульса могли возникнуть в результате столкновения с телом меньшего размера, если до этого Земля вращалась намного быстрее, чем сейчас. Вращение влияет на количество выплеснутого вещества и на то, из какого тела это вещество выбивается. После столкновения вращение Земли могло замедлиться под действием гравитационных сил Солнца и Луны. В то же время Кануп обнаружил убедительные модели, в которых Земля вращалась лишь чуть быстрее, чем сегодня, но столкнувшееся с ней тело значительно превосходило размерами Марс. Или, может быть, два тела размерами в пять раз больше Марса сначала столкнулись, затем столкнулись еще раз, образовав большой диск обломков, а затем постепенно сформировали Землю и Луну. Или…
* * *
Или, возможно, верна первоначальная ударная теория, и Тейя действительно имела сходный с Землей состав, и это вовсе не было случайным совпадением.
В 2004 году Кануп показал, что наиболее достоверный тип Тейи должен был иметь массу примерно в шесть раз меньшую, чем у Земли, и 4/5 вещества получившейся Луны должны были прийти именно с Тейи. Подразумевается, что исходный химический состав Тейи должен был быть столь же близок к составу Земли, как и состав сегодняшней Луны. Это представляется очень маловероятным: тела Солнечной системы существенно отличаются друг от друга, так почему Тейя не должна отличаться? Как мы уже видели, один из возможных ответов состоит в том, что Земля и Тейя сформировались в сходных условиях – на примерно одинаковом расстоянии от Солнца, где они собрали на себя одно и то же вещество. Более того, нахождение их на близких орбитах повышает вероятность столкновения.
Но могли ли в принципе два крупных тела сформироваться на одной и той же орбите? Разве одно из них не должно было бы победить, собрав на себя большую часть доступного вещества? Об этом можно спорить бесконечно… а можно посчитать. В 2015 году Алессандра Мастробуоно-Баттисти с сотрудниками при помощи методов расчета системы n тел просчитали 40 моделей последних стадий планетарной аккреции. К этому моменту Юпитер и Сатурн должны были уже полностью сформироваться, всосав в себя большую часть газа и пыли, и теперь планетезимали и «планетарные зародыши» покрупнее собираются вместе, чтобы образовать по-настоящему крупные тела. Каждый прогон начинался с 85–90 планетарных зародышей и 1000–2000 планетезималей, образующих диск на расстояниях от 0,5 до 4,5 а.е. Орбиты Юпитера и Сатурна слегка наклонены к этому диску, причем угол наклона при каждой попытке брался разный.
В большинстве прогонов за 100–200 миллионов лет, по мере объединения зародышей и планетезималей, формировались три-четыре внутренние каменные планеты. Моделирование позволило проследить за зоной сбора каждой формирующейся планеты, то есть за областью, из которой поглощались ее компоненты. Исходя из предположения о том, что химический состав солнечного диска определяется в основном расстоянием от Солнца, то есть что тела на равноудаленных от Солнца орбитах должны иметь сходный состав, мы можем сравнить химический состав сталкивающихся тел. Исследователи сосредоточились на том, как каждая из трех или четырех уцелевших планет соотносится по составу с последним столкнувшимся с ней телом. Проследив процесс назад во времени по зонам сбора каждого из тел, можно получить распределения вероятностей для составляющих их элементов. Затем при помощи статистических методов определяют, насколько похожи эти распределения. Налетающее тело и планета имеют одинаковый в основном состав примерно в одном из шести прогонов. Принимая во внимание, что какая-то часть протопланеты также замешивается в Луну, эта доля удваивается примерно до одного прогона из трех. Короче говоря: имеется примерно один шанс из трех, что Тейя имела бы тот же химический состав, что и Земля. Это очень немаленькая вероятность, так что, несмотря на все тревоги, сходство химического состава земной мантии и поверхностных пород Луны на самом деле не противоречит оригинальной ударной теории.
В настоящий момент перед нами богатый (даже слишком богатый) выбор из нескольких различных ударных теорий, каждая из которых хорошо согласуется с основными известными данными. Которая из них верна, если таковая имеется, пока неясно. Но, если мы хотим получить непротиворечивый вариант и по химическому составу, и по моменту импульса, без крупного налетающего тела, похоже, не обойтись.
