Феликс Лев
Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории
Я также решил сделать еще одну попытку с Journal of Mathematical Physics куда взяли две мои большие статьи по физике над конечной математикой в 1989 м и 1993 м годах, когда редактором был L. Biedenharn. Потом редактором стал Roger Newton, который отфутболил мою статью под предлогом, что она – для журнала по элементарным частицам (а, как я отмечал выше, такие журналы отфутболивали меня под предлогом, что они математические). После него редактором стал Bruno Nachtergaele, который тоже нашел способ отфутболить статью. Но все же у меня была надежда, что на этот раз они поймут, что статья важная.
Отзыв рецензента был такой:
The author attepts (он имел в виду attempts?) to show that “finite” mathematics is the basis of “ultimate” quantum theory.
After an introduction containing the author's views of the purported role of the "infinitely large and small" in standard mathematics, the education of physicists, and a critique of negative numbers, the author turns to modular arithmetic as a new foundation of physics. Just as it was discovered that earth is not flat, the modulus p is to give a curvature to the universe. Taking the limit p to infinity is compared to a contraction in group theory. It appears inconsistent here that this discussion mentions Lie groups, which are based on continuum notions of mathematics that the author calls «classical» and rejects as unsuitable for his purposes.
The mix-up of «classical» and «modular» objects permeates the entire paper and makes it unclear what is intended or used where. For instance, if the author's mathematics is truly finitist, what is the logarithm he uses in the section about gravitation?
Section 3 contains a discussion of the vacuum field energy. It turns out to be finite if p is finite, just as it would in a quantum field theory with another regulator.
In Section 4, p is estimated as exp(1080) by an order-of-magnitude consideration.
In the concluding section, G\"{o}del is cited and classical mathematics is once more identified as a "degenerated case" of finite mathematics.
In summary, the author's attempt fails, and the paper is unsuitable for any journal with mathematical standards.
Итак, в который раз мою статью о применении конечной математики в физике дают рецензенту, который не знает даже самых основ конечной математики. В своем appeal я подробно разобрал отзыв и показал это. Но здесь очередной цирк в том, что статья послана не в физический журнал, а в Journal of Mathematical Physics и в его раздел 35 – Methods of Mathematical Physics. Поэтому я написал редактору, что статью надо судить, исходя, в основном из ее МАТЕМАТИЧЕСКИХ результатов, а для этого рецензент должен иметь какие-то, хотя бы начальные, знания в конечной математике. И что пишет в ответ редактор журнала Journal of MATHEMATICAL Physics? Он пишет:
Dear Dr. Lev,
We regret to inform you that your request to appeal the decision on the manuscript cited above has been declined. I reviewed the Associate Editor's recommendation and made additional inquiries. I am in agreement with the Associate Editor and conclude that Journal of Mathematical Physics is not a suitable journal to publish this paper.
Sincerely,
Bruno Nachtergaele, Editor
Т.е., он пишет, что он еще раз посмотрел рекомендацию, которую дал Associate Editor и у кого-то спросил. А никакого ответа по существу он давать не собирается. Т.е., фактически ответ редактора МАТЕМАТИЧЕСКОГО журнала такой, что разбираться в МАТЕМАТИЧЕСКИХ вопросах статьи необязательно!
Еще одна моя попытка была с журналом European Physical Journal C. В нем есть раздел "Mathematical aspects of quantum field theories, and alternatives". В названии раздела есть два ключевых слова: mathematical и alternatives. Первое слово дает надежду, что статья будет рассмотрена теми, кто что-то понимает в той математике, которая в статье. А второе слово дает надежду, что журнал может рассмотреть что-то, что не есть QFT или string theory. И я послал туда короткую статью в раздел Letters. Но, как обычно, рецензент не захотел разбираться. Его ответ был такой:
The article consists of two parts. In the first part the author argues about different aspects of mathematics. This part (section 1) clearly does not fit into the scientific area of EPJC.
In the second part the author tries to apply his theory, FQT (as motivated in the first section) to particle physics. Unfortunately, all applications rest on derivations done in Ref. [3] by the same author. This article, however, has not been published in an internationally renowned physics journal, and thus cannot serve as a sound basis for further exploration.
I suggest to the author first to publish [3] in one of the known journals such as JHEP or Phys. Rev. D. Subsequently, it could be used for further exploration.
The paper does not fulfill the high scientific standards of EPJC. I cannot recommend publication.
Основной повод для рецензента, чтобы не разбираться такой: все вычисления есть только в статье [3] в архиве, а не в каком-то известном журнале. Поэтому вначале я должен опубликовать статью в известном журнале. Т. е. логика такая: чтобы опубликовать короткую статью как letter вначале надо опубликовать подробную статью. Эта логика ни в какие ворота не лезет, т. к. общепринятая практика противоположная. Кроме того, не сделав никакой попытки разобраться, он заключил, что статья не соответствует высокому уровню журнала.
Конечно, я опять написал подробный appeal и в нем ответил, что в editorial policy журнала написано:
Letters must describe new and original work deserving rapid publication. Their aim is fast and concise communication of material of current interest:
1) an important theoretical, computational or experimental result
2) a valuable discussion of, or a short essay on, an open scientific issue
3) a valuable presentation of innovative and promising ideas and concepts
и моя статья всем этим требованиям удовлетворяет.
Но теперь мне уже ответил Professor Heinemeyer, который был членом редколлегии ответственным за статью. Его ответ такой:
The serious problems with the paper unfortunately persist (and the author did not change his previous version to accomodate any of the criticism). The author simply argues that his work should be published, because the main title of the EPJC section contains the word «alternative». Still those alternatives must be well founded.
The author still refers mainly to [3], which is unpublished. But also his other articles only received self-citations, and thus his theory cannot be regarded at all as even vaguely accepted, neither by the mathematics, nor by the physics community.
Again, the author should first publish [3] in one of the well reputed physics journals. We cannot recommend the paper for publication in EPJC.
И опять-таки, нежелание разбираться обосновывается теми же бессмысленными аргументами, что и в рецензии и, редакция не собирается следовать правилам, которые провозглашены в ее editorial policy.
Некоторые друзья говорили мне, что мои попытки обречены на неудачу потому, что никто не хочет вникать, меня не знают и видят, что я не из университета, а из конторы типа Рога и Копыта. Они советовали мне пытаться попасть на какую-то конференцию.
И такая возможность появилась. Мне прислали приглашение участвовать в конференции Fq12 по конечным полям, которая проходила в Saratoga Springs, New York в июле 2015го года. Почему мне пришло приглашение – не знаю. Может быть, потому, что у меня была одна статья в журнале Finite Fields and Their Applications, и всем авторам было автоматически послано приглашение. Я согласился, послал abstract своего доклада и предложение о докладе было принято. Ясно, что затраты на конференцию мне никто не оплатил и за перелет и проживание я заплатил сам (примерно 2000 долларов).
У меня была надежда, что математикам, работающим над конечными полями, будет интересно узнать, что, вопреки общепринятому мнению, именно конечная математика является самой фундаментальной, а классическая математика – ее частный случай. На моем докладе было намного больше людей чем в среднем на других сессионных докладах. Но потом некоторые мне говорили, что все же мосты строят, самолеты летают и здесь работают дифференциальные уравнения. Мои аргументы, что такие уравнения – тоже частный случай конечной математики, вроде бы, всерьез не принимались. Меня удивило, что математики, работающие над конечной математикой все равно считают, что классическая непрерывная математика фундаментальна. У меня сложилось впечатление, что кругозор этих математиков довольно ограничен: они работают над своими частными задачами в этой области, знают как публиковаться, получать гранты и т.д., а "высокие материи" их не волнуют. Поэтому, если они видят "отклонение от линии партии," то им проще думать, что это только философия. Впрочем, как я писал выше, у многих физиков менталитет примерно такой же, но здесь роль линии партии играет QFT, а отклонения характеризуются другими словами (например, не философия, а экзотика, патология, онанизм и т.д.).
Я где-то прочитал, что Резерфорд (Rutherford) запрещал сотрудникам своей лаборатории обсуждать Вселенную т.к. это болтовня, которая мешает делу. А в Америке очень популярная фраза "Just do it," смысл которой тоже, что надо делать что-то конкретное, а не болтать. Можно понять, что это правило разумно, например, на каком-то конвейерном производстве. Однако, многие физики и математики считают, что этот принцип применим и в их науке. Как я писал выше, в ИТЭФе негласное правило было такое, что если ты не великий ученый, то должен кропать свои статейки и особенно не высовываться.
Моя статья, представленная для материалов конференции, была отвергнута, хотя она полностью соответствовала editorial policy of Finite Fields and Their Applications. Никакой рецензии на статью не было, но Gove Effinger, который был Conference Chair, написал:
I am sorry to inform you that the editorial board believes that your paper, though definitely thought provoking, is not appropriate for this volume. We hope that you can succeed in finding a venue for the paper which is aimed a bit more toward “philosophy of mathematics”, which ours is not.
Т.е., хотя статья “definitely thought provoking”, но все равно не подходит как философская. На самом деле никакой философии в этой статье не было, были чисто математические результаты вычислений в конечных полях для физики частиц и гравитации. Разд. 1 назывался Motivation и там были аргументы почему конечная математика – самая фундаментальная. При желании можно сказать, что эти аргументы – философия. Я думаю, что на самом деле причина отказа была в том, что они просто не понимают, что сделано, видят, что это не те задачи, к которым они привыкли и поэтому им проще найти повод для отказа, сказав, что это философия.
В конце концов, моя маленькая статья “Why Finite Mathematics Is The Most Fundamental and Ultimate Quantum Theory Will Be Based on Finite Mathematics” все же была опубликована в журнале Physics of Particles and Nuclei, который готовится в Дубне и печатается в Springer. Рецензия была полностью благожелательной. Мое наблюдение такое, что, хотя пишут, что с наукой в России сейчас проблемы, но в Дубне осталось много квалифицированных физиков, которые, к тому же, в отличие от многих физиков на Западе, следуют правилам научной этики. Об этом еще напишу.
А в заключение этой главы отмечу, что, после многих попыток, статья "Discussion of cosmological acceleration and dark energy" была опубликована в трудах 25й конференции "What Comes Beyond the Standard Models" (Bled, July 4–10, 2022) и после этого архив согласился ее взять: [18]. Приведу аннотацию этой статьи: The title of this workshop is: "What comes beyond standard models?". Standard models are based on Poincare invariant quantum theory. However, as shown in the famous Dyson's paper "Missed Opportunities" and in my publications, such a theory is a special degenerate case of de Sitter invariant quantum theory. I argue that the phenomenon of cosmological acceleration has a natural explanation as a consequence of quantum de Sitter symmetry in semiclassical approximation. The explanation is based only on universally recognized results of physics and does not involve models and/or assumptions the validity of which has not been unambiguously proved yet (e.g., dark energy and quintessence). I also explain that the cosmological constant problem and the problem why the cosmological constant is as is do not arise.
Надеюсь, что в этой аннотации ясно говорится о том, что проблемы с объяснением космологического расширения нет так как оно объясняется исходя из существующей науки; поэтому dark energy не нужна и проблемы с космологической постоянной нет. Казалось бы, раз эта статья теперь есть в архиве, то все адепты dark energy должны ее прочитать и сказать, правильная статья или нет. Если она неправильная, то должна быть написана статья объясняющая почему она неправильная и почему dark energy нужна. А если она правильная, то они должны признать, что вся их бурная деятельность по dark energy смысла не имеет. Но, скорее всего, никакой реакции не будет и establishment сделает вид, что эту статью не заметили. У них может быть повод сделать вид что статью не заметили так как, как я писал, архив упорно помещает мои статьи в gen-ph. Когда я попросил перевести статью в gr-qc, то получил их обычный ответ: "After careful consideration, our moderators have denied your appeal. We understand this is a disappointing result, but please note this is the final decision and no further consideration will be given. " Как обычно, в чем заключалось careful consideration – непонятно.
Когда я рассказал о своих проблемах Максиму Хлопову (Maxim Khlopov), он посоветовал мне представить эту статью на конференцию в Бледе, где он является одним из организаторов. Максим сказал, что на этой конференции о статье будут судить по существу и у меня не будет проблем согласен ли establishment с этой статьей. Я знал Максима еще со времен нашей учебы в МФТИ, и очень благодарен ему за его совет.
Глава 13. Парадокс с наблюдением фотонов от звезд и попытки опубликовать работы по этой теме
В предыдущей главе я описывал свои попытки опубликовать работы по космологической постоянной и по физике основанной на конечной математике. Но была еще история связанная с такой проблемой. Известный эффект квантовой механики заключается в том, что волновая функция свободной частицы расплывается: размер области пространства, где эта функция существенна все время увеличивается со временем и в формальном пределе, когда время стремится к бесконечности, этот размер тоже стремится к бесконечности. Когда квантовая механика создавалась, эту проблему рассматривали Schrödinger, de Broglie, Darwin и другие ученые. Она описана, например, в учебнике Дирака по квантовой механике. Но потом интерес к проблеме, видимо, пропал и, например, в фундаментальном учебнике по квантовой механике Ландау и Лифшица про расплывание нет ни слова.
De Broglie считал, что существование расплывания говорит о некорректности стандартной квантовой механики. Он предлагал описывать свободную частицу не уравнением Шредингера, а при помощи wavelet, который удовлетворяет нелинейному уравнению и не расплывается. Поэтому возникает естественный вопрос, в каких экспериментах расплывание проявляется. Как показал Darwin в 1927 м году, для макроскопических тел время за которое произойдет хоть какое-то существенное расплывание настолько громадное, что для них этим эффектом можно пренебречь. Этот эффект может быть существенным только для элементарных частиц.
Я не уверен, что большинство физиков в этой области вникали в эту проблему и оценивали расплывание в экспериментах с элементарными частицами. Наверное, они думают, что в этих экспериментах время такое маленькое, что расплывание не успевает проявиться. Как бы то ни было, мое наблюдение такое, что большинство квантовых физиков либо не вникали в проблему, либо думают, что проблема несущественная. Поэтому для них эффект расплывания не является причиной для пересмотра стандартной квантовой механики.
Когда я занимался другой задачей, у меня возникла такая простая мысль. Фотоны от звезд могут лететь к нам даже миллиарды лет. Уж для них то расплывание наверняка будет существенным. По моим наблюдениям, большинство людей думают, что фотоны от звезд летят к нам, грубо говоря, как пули, т. е. почти по классическим траекториям. Грубо говоря, если Земля находится в точке А, а звезда в точке Б, то фотоны от этой звезды летят к нам по прямой, соединяющей эти точки. Но если расплывание существенное, то никаких классических траекторий нет и тогда возникает вопрос почему нам кажется, что фотоны летят по классическим траекториям.
В стандартной квантовой механике расплывание считается легко так как связь между координатами и импульсами хорошо известна: волновая функция частицы в координатном представлении получается из волновой функции частицы в импульсном представлении при помощи преобразования Фурье и, соответственно, волновая функция частицы в импульсном представлении получается из волновой функции частицы в координатном представлении при помощи обратного преобразования Фурье (и это вопрос терминологии какое преобразование Фурье считать прямым, а какое обратным).
Возникает вопрос, имеется ли такая связь для фотона, который не является нерелятивистской частицей, а всегда движется со скоростью c (если считать, что фотон – частица с нулевой массой). Этот вопрос обсуждался в литературе, и некоторые авторы (например, Ахиезер и Берестецкий в своем фундаментальном учебнике по квантовой электродинамике) утверждали, что у фотона вообще нет волновой функции в координатном представлении. Соответствующие аргументы хорошо известны и, например, в моих работах они обсуждаются. Но то, что какая-то координатная волновая функция фотона должна существовать, очевидно из простых соображений. Например, если фотон, испущенный Сириусом летит к Земле, то теория должна определять, хотя бы приблизительно, где находится этот фотон в данный момент времени: еще в окрестности Сириуса, на полпути, близко к Земле и т. д. Еще Паули писал, что координата фотона не может быть измерена лучше чем его длина волны. Но у фотонов от звезд длины волн такие маленькие, что измерение координат с такой точностью вполне достаточно.
Координатную волновую функцию фотона рассматривали многие авторы. Их результаты отличаются спиновыми членами и поведением на расстояниях меньше или порядка длины волны. Но движение фотона от звезды к нам имеет смысл рассматривать только в квазиклассическом приближении. В этом приближении вклады спиновых членов и поведение на расстояниях порядка длины волны несущественны. Если эти вклады не рассматривать, то у всех авторов координатная и волновая функция фотона связаны преобразованием Фурье как и в стандартной квантовой механике.
Поэтому оценить расплывание фотонов от звезд нетрудно. Результат зависит от предположений о том в каких реакциях эти фотоны рождаются. Но, даже в самых оптимистичных сценариях, волновые функции фотонов родившихся на Сириусе приходят к нам с размерами десятки миллионов километров или даже больше. Сириус – самая яркая звезда на небе, которая находится от нас на расстоянии "всего" 8.6 световых лет. А волновые функции фотонов от других звезд имеют намного большие размеры, которые могут быть даже порядка световых лет и больше.
Итак, если мы принимаем стандартную квантовую теорию, то получается, что фотоны от звезд движутся к нам не по классическим траекториям, а их волновые функции имеют громадные размеры. Противоречит это тому как мы видим звезды или нет? Казалось бы, вопрос настолько очевиден, что уже давно ответ должен быть хорошо известен и это должно объясняться даже в учебниках по общей физике. Но я спрашивал разных физиков и у них разные мнения.
Одно из объяснений такое. Фотоны от звезд летят к нам не в пустоте, а в межзвездной среде. Поэтому фотоны нельзя считать свободными т.к. они могут взаимодействовать с частицами из среды. Допустим, фотон поглотился какой-то частицей и переизлучился. Тогда его волновая функция уже не будет иметь больших размеров; она будет иметь размеры порядка размеров детектора и произойдет так наз. коллапс волновой функции. Поэтому в каком-то приближении опять можно считать, что фотон приблизительно движется по траектории.
Такое объяснение имеет историческую аналогию. Знаменитая история, что когда Hubble открыл разбегание галактик в своей обсерватории Mount Wilson возле Лос Анджелеса, то к нему приехал Эйнштейн и сказал знаменитую фразу, что введение Λ было самой большой ошибкой его жизни. В то время заключение о расширении Вселенной было сделано, исходя из эффекта Допплера, что чем быстрее объект от нас удаляется, тем сильнее красное смещение. Теперь теория стала более сложной т. к. привлекают ОТО и рассматривают еще космологическое и гравитационное красное смещение. Но некоторые физики считали, что объяснение не в Допплер эффекте, а в том, что чем дальше объект от нас находится, тем большую энергию теряет фотон от него т. к. он взаимодействует с большим числом частиц. Этот подход называется tired light.
Однако, в настоящее время подход tired light отвергнут establishment’ом. Считается, что объяснение такое, что, если бы взаимодействия фотонов с межзвездной средой были бы существенными, то изображения звезд были бы не ясными, а расплывчатыми. Если это объяснение принимается, то можно считать, что в хорошем приближении фотон летит к нам как свободная частица, и проблема с большими размерами волновых функций фотонов от звезд остается. Мое понимание этой проблемы менялось и одно время кое в чем оно было ошибочным. Об этом – ниже. Но буду описывать эту историю в хронологическом порядке.
Если волновая функция фотона действительно так сильно расплывается, то сразу возникает несколько проблем. Например, объяснение, что мы видим пульсары такое. Это нейтронные звезды, которые имеют радиус порядка 10 км, массу порядка солнечной, сильное магнитное поле, быстро вращаются и находятся от нас на расстояниях в тысячи световых лет. Мы видим сигнал от них только в то короткое время когда он направлен на нас. В популярной литературе это сравнивают с лучом маяка. Но если бы волновая функция фотона так сильно расплывалась, то ничего похожего не могло быть. Аналогичная ситуация с гамма-всплесками (gamma ray bursts), источники которых могут находиться от нас на расстояниях даже миллиарды световых лет.
Эти проблемы очевидные. Но я думал (ошибочно), что главная проблема в том, что если волновая функция фотона так сильно расплывается, то мы не должны видеть отдельных звезд, а только фон от всех звезд. Но теперь мне кажется, что парадокс еще более необычный. Эта проблема будет объяснена ниже. Но, независимо от того, есть эта проблема или нет, возникает такой вопрос: правило, что координатное и импульсное представления связаны преобразованием Фурье – это закон, который следует из каких-то теоретических соображений, из экспериментальных данных или из чего?
Разные авторы приводят разные соображения в пользу этого правила. Например, Heisenberg рассматривал мысленный парадокс с микроскопом, Dirac предложил гипотезу, что коммутатор операторов координаты и импульса должен быть пропорционален классической скобке Пуассона с коэффициентом iћ, Ландау и Лифшиц пишут, что при таком правиле получается правильное квазиклассическое приближение и т.д. В лучшем случае эти соображения являются лишь аргументами, что правило разумное. Нет обсуждений того есть ли другие правила и какие из них лучше. Исторически сложилось так, что правило было принято с самого начала квантовой теории и настолько прочно укоренилось в сознании квантовых физиков, что многие даже не думают, что может быть как-то иначе. Из этого правила следуют знаменитые соотношения неопределенностей, которые обсуждаются даже в популярной литературе. Однако, как отмечено выше, из этого правила неизбежно следует эффект расплывания и тогда возникают проблемы.
Я показал, что на самом деле стандартный оператор координаты не дает правильное квазиклассическое описание и предложил оператор, который дает такое описание. И тогда получается, что в направлении перпендикулярном импульсу, расплывания нет, а для фотона нет расплывания и в продольном направлении. Поэтому для фотона нет расплывания вообще, фотоны действительно движутся к нам приблизительно по классическим траекториям и проблемы отмеченные выше не возникают.
Естественно, что эти результаты я пытался опубликовать. Подход разных журналов и физиков с которыми я пытался обсуждать эти результаты был такой. Мой оператор координаты вообще никто не хотел рассматривать. Все исходили из того, что стандартное соотношение между операторами координаты и импульса правильное, но никто не пытался привести аргументы в пользу этого. Просто исходили из того, что это надо принять и парадоксов быть не может. Аргумент одного из рецензентов в Physical Review D был такой, что звезды мы видим и поэтому проблемы нет. А другой рецензент даже не понимал смысл расплывания.
Теперь я понимаю, что в ответе члена editorial board было что-то разумное. Он привел задачу, которую рассматривали Mott и Heisenberg. Допустим, что есть источник, излучающий α-частицы в сферически симметричных состояниях. Но когда такие α-частицы попадают в камеру Вильсона, то там они оставляют прямолинейный след, который создает впечатление, что до попадания в камеру частицы двигались по прямолинейным траекториям. Однако, сферически симметричный случай я рассматривал в статье и писал, что проблемы нет, а проблема есть только для фотонов, которые образовались в состояниях волновых пакетов. Может быть, этот член редколлегии имел в виду, что аналогичный аргумент применим и для состояний пакета, но об этом сказано не было.
Я подумал, что, наверное, статью не хотят рассматривать потому что меня не знают и видят, что автор из какой-то непонятной конторы. Поэтому решил послать в Успехи Физических Наук, который считается самым престижным физическим журналом России. В. Л. Гинзбург был его редактором до самой кончины и поэтому у меня была надежда, что журнал сохранил свой уровень.
Первый рецензент написал, что у меня высокий уровень, но проблемы нет. Рецензент пишет: "О том что статья дискуссионная говорит и сам автор. Цитирую: «мой расчет в стандартной теории показывает…, что мы вообще не должны видеть отдельные звезды…». Слава Богу, мы их видим.” Т.е., аргумент почти такой же как у рецензента в Physical Review D, но даже более сильный т. к. и Бог привлекается. Другие аргументы рецензента показали, что он не понимает основы квантовой теории фотона, но, по крайней мере, рецензия была вежливой. Я написал вежливый ответ с объяснениями почему аргументы рецензента неправильные.
Но статью дали другому рецензенту, который даже не захотел комментировать мой ответ, а написал отзыв, который был не только безграмотный, но и хамский. Рецензент пишет: “Данная работа написана на непрофессиональном уровне. Результаты, основанные на грубых ошибках, закопаны в большом количестве общеизвестных фактов из учебников по квантовой механике.” Казалось бы, если он утверждает о грубых ошибках, которые я как-то закопал, то задача рецензента – раскопать их и показать явно где ошибки, например, сказать, что в таком-то месте у автора написано 2+2=5, а должно быть 2+2=4. Но таких утверждений нет.
Он решил, что нашел опровержение моего главного аргумента: “"Парадокс", изложенный в разделе 7, основан на грубой ошибке. А именно, автор объявил «классическим» состояние (32), в котором числа заполнения всех состояний равны 1 или 0. Это противоречит стандартным условиям больших чисел заполнения в квазиклассическом состоянии. Состояние (32) не описывается классическим решением уравнений Максвелла, что и является разрешением «парадокса». Кстати, «когерентные» состояния, упомянутые в разделе 8, как раз являются классическими (опять вопреки утверждению автора)”.
Из этой фразы сразу видно, что рецензент не понимает основ квантовой теории т. к. в ней уравнениями Максвелла могут описываться только операторы, а не состояния. О непонимании квантовой теории говорит и предложение о больших числах заполнения и последнее предложение. Остановлюсь на этих вопросах более подробно.
Обычные фразы такие, что классическая теория применима когда фотонов много, а когда их мало, то надо применять квантовую теорию. Так написано даже в некоторых учебниках, например в книге Mandel and Wolf “Optical coherence and quantum optics”. Но все не так просто. Конечно, классическая теория может применяться только в случаях когда фотонов много, но это условие недостаточно. Есть еще один параметр – число возможных состояний. Если это число намного больше чем число фотонов, то средние числа заполнения намного меньше единицы, обменное взаимодействие несущественно и применима статистика Больцмана, которая является классической. Однако, если число возможных состояний порядка числа фотонов или меньше, то средние числа заполнения уже не намного меньше единицы, обменное взаимодействие становится существенным и применима статистика Ферми для фермионов или статистика Бозе для бозонов. Т.к. обменное взаимодействие – чисто квантовый эффект, который не имеет классического аналога, то вопрос о том какой случай классический, а какой квантовый – это не вопрос терминологии, а вопрос по существу. Все это объяснено в стандартных учебниках по статистической физике, например, в учебнике Ландау и Лифшица. В частности, когерентные состояния в лазерах – это такие состояния, когда числа фотонов намного больше числа состояний. Поэтому здесь, хотя фотонов много, но это чисто квантовый случай, а не классический.
Теперь я вижу, что несмотря на непонимание рецензентом основ квантовой теории, в рецензии есть что-то положительное. Рецензент пишет: “… При этом, абсолютно неважно, имеет ли волновая функция фотона вид узкого расходящегося луча или вид сферической волны. После преломления в линзе телескопа или в хрусталике глаза, волна с фиксированным направлением волнового вектора собирается в точечку – изображение звезды.”
В то время я не воспринял эти слова серьезно т.к. хамство рецензента и его непонимание основ квантовой теории сразу настроили меня на то, что ничего умного он сказать не может. Но когда потом стал обсуждать этот вопрос с другими физиками, некоторые из них говорили примерно такие же слова. Я спрашивал у них примерно одно и то же. Мой стандартный квантовомеханический расчет показывает, что из-за расплывания, фотоны от данной звезды будут приходить к нам с разными импульсами, а не только с теми, которые направлены от звезды к Земли. А то, что вы говорите, это как-то подтверждается расчетами? Какими, классическими или квантовыми? Все отвечали примерно одно и то же: это следует из простой физической интуиции. Т.е., было ясно, что мозги у нас устроены по разному: видимо, у меня нет физической интуиции и я доверяю только расчетам, а они считают, что и без расчетов это очевидно.