В. А. Успенский
Апология математики (сборник статей)

Полная версия

Мы уже говорили, что формулировка Великой теоремы доступна школьникам младших классов. Одним из таких школьников был английский мальчик Эндрю Уайлс (Andrew John Wiles), родившийся 11 апреля 1953 г. в Кембридже в семье либерального теолога. В Кембридже он и жил, там же ходил в школу и там же, будучи школьником, познакомился с теоремой Ферма. Это случилось в 1963 г. Через 30 лет он расскажет Саймону Сингху, чья книга упоминалась выше, о своём ощущении от этого знакомства: «Она выглядела такой простой, и всё же великие умы в истории математики не смогли доказать её. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента никогда не смогу от неё отступиться. Я должен был решить её». И он её решил. Шестого октября 1994 г., в день рождения своей жены, он преподнёс ей подарок, который она хотела получить больше всего, – рукопись с доказательством теоремы Ферма. Но тому предшествовали драматические обстоятельства, с большой экспрессией изложенные в книге Сингха.

Систематическую работу над проблемой Ферма Уайлс начал поздней весной 1986 г., держа свои занятия в тайне от всех, кроме жены, да и её он посвятил в них не сразу. Он забросил все дела, кроме необходимых повседневных, и семь лет углублённо и конспиративно занимался проблемой. Использовал самые современные методы и математические теоремы, связывающие теорему Ферма с алгебраической геометрией, а именно с теорией алгебраических кривых. Наконец Уайлс пришёл к убеждению, что доказал теорему Ферма. В январе 1993 г. при запертых на ключ дверях он поделился этим убеждением с коллегой по Принстонскому университету Ником Катцем (Nicholas Michael Katz). В конце мая Уайлс сообщил о том, что доказал Великую теорему Ферма, жене.

Публично же основные идеи доказательства были изложены им в трёх лекциях, состоявшихся 21, 22 и 23 июня 1993 г. в Институте имени Ньютона Кембриджского университета. (Чтобы учёные споры и размышления не прекращались ни на минуту, доски в этом институте висят даже в лифтах и санузлах.) Успех был феноменальным. Потрясающая новость немедленно облетела весь математический (да и не только математический) мир. Уайлс сразу стал звездой первой величины. Комиссия в Гёттингене была немедленно оповещена о решении проблемы. Мир с нетерпением ожидал публикации текста с изложением полного доказательства. (Напомним, что премия Вольфскеля могла быть выплачена лишь по прошествии двух лет после публикации.)

Однако публикация явно затягивалась. Впоследствии выяснилось, что Уайлс послал 200-страничный текст в журнал Inventiones Mathematicae, где ввиду экстраординарности события работу отдали на отзыв сразу шести рецензентам – рекордное число. Каждый отвечал за свою часть статьи. Одним из рецензентов был упомянутый Катц (привлёкший ещё и седьмого рецензента). Он и обнаружил в своей части пробел в доказательстве. Редакция и рецензенты тщательно скрывали этот факт: была надежда, что автор залатает прореху. Математический мир был взбудоражен неопределёнными слухами. В конце концов, 4 декабря 1993 г. Уайлс был вынужден признать возникшие трудности, но обещал вскоре их преодолеть. Был ли он сам уверен, что сумеет это сделать? Неизвестно. К тому же теперь он не мог вести свои исследования в тайне, каждый встречный норовил спросить: «Ну как?», – что отнюдь не помогало в работе. В январе 1994 г. Уайлс призвал на помощь своего ученика Ричарда Тэйлора (Richard Lawrence Taylor), кстати, одного из шести рецензентов. Начались интенсивные обсуждения, но окончательное решение ускользало. К тому же в начале апреля появилось сообщение, что теорема Ферма опровергнута: для гигантского показателя, большего чем 10²⁰, найдена тройка Ферма. Все пребывали в шоке и унынии, пока не выяснилось, что это первоапрельская шутка.

Всё же дискуссии с Тэйлором начали давать плоды. Как пишет сам Уайлс, 19 сентября 1994 г. на него снизошло озарение, и он понял, что теперь теорема Ферма действительно доказана. В мае 1995 г. в 141-м томе журнала Annals of Mathematics были опубликованы две статьи подряд, одна за другой. Первой, на с. 443–551, шла статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» («Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem»), поступившая в редакцию 14 октября 1994 г., а сразу за ней, на с. 553–572, совместная статья Уайлса и Тэйлора «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» («Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras»), полученная 7 октября 1994 г. В совокупности эти работы содержали полное доказательство Великой теоремы Ферма. Двадцать седьмого октября 1995 г. Уайлс был награждён призом Ферма (Prix Fermat) в Тулузе, а на следующий день посетил городок Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne), побывал в доме, где родился Ферма, и посетил его могилу, на надгробии которой высечена в виде формулы Великая теорема.

А премия Вольфскеля, как и предусматривалось условиями конкурса, была вручена лишь через два года после публикации – 27 июня 1997 г., в то же число этого месяца, когда 89 лет назад было объявлено о её учреждении. Уайлс получил награду уже от Гёттингенской академии наук (Akademie der Wissenschaften zu Göttingen), в каковую к тому времени было переименовано Королевское научное общество. За прошедшие годы премия значительно обесценилась и составила 75 тысяч немецких марок^[30]. Уайлс удостоился и многих других премий и знаков признания, в частности рыцарского звания в 2000 г. (после чего он стал именоваться сэром Эндрю).

Казалось бы, после того как доказательство теоремы Ферма было не только найдено (в сентябре 1994 г.), но и опубликовано (в 1995 г.), а также признано мировой математической общественностью, ферматизму пришёл конец. И что же вы думаете? Ряды ферматистов хотя и поредели, но не изничтожились вовсе. Сведения о том, что Великая теорема доказана, дошли не до всех, ведь, повторяю, ферматисты не математики (хотя люди, имеющие техническое образование, часто считают себя таковыми). А многие из тех, до кого новость и дошла, продолжали искать какое-нибудь простое доказательство. В России ферматизм дал неожиданную вспышку в августе 2005 г. К «Новой газете» я питал уважение и – до того августа – доверие и не думал, что когда-либо выступлю её оппонентом; но приходится. Номер 61 от 22 августа 2005 г. открывался крупным и чуть ли не цветным заголовком «ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?». Далее сообщалось, что «омский академик Александр Ильин предложил простое доказательство знаменитой теоремы Ферма». Заместителю главного редактора газеты Олегу Никитовичу Хлебникову я пытался объяснить накануне, 21 августа, что если доктор технических наук Александр Иванович Ильин и является академиком, то академиком одной из десятков тех академий, кои как грибы после дождя выросли у нас в постсоветское время (одних только академий энергоинформационных наук две – Международная и Сибирская), но никак не членом Российской академии наук (РАН); попытки мои успеха не имели; Олег Никитович отвечал, что знает точно: Александр Иванович Ильин – член РАН. Более того, через неделю, в № 63 от 29 августа 2005 г., та же газета уведомила, что «академики Новиков и Никитин решение теоремы Ферма уже видели и ошибок в нём не нашли». Надо ли объяснять читателю, что г-да Новиков и Никитин (как, впрочем, и Ильин) не являлись не только членами РАН, но и математиками? Некоторое время сенсация сверкала на экранах телевизоров и на страницах различных газет, не говоря уже об интернете. Потом всё как-то тихо сошло на нет.

А в январе 2008 г. нижегородский профессор Г. М. Жислин прислал мне письмо, извещавшее: «К сожалению, не только в Ярославле было опубликовано "доказательство" теоремы Ферма. Недавно, в 2007 г., в Нижнем Новгороде Академией новых технологий выпущен межвузовский сборник "Новое в науке XXI века". В него вошла статья В. Б. Моторова и Э. А. Моторовой "О некоторых соотношениях между конечными суммами целочисленных степеней нецелочисленных аргументов", где "доказывается" ещё более общее, чем теорема Ферма, утверждение». В следующем письме профессор Жислин уточнил, что на с. 83 названной статьи выписано соотношение d^m = gⁿ – bⁿ, которое, как утверждается, не может быть выполнено ни при каких положительных целочисленных значениях d, g, b, m и n, для которых n > 2, (n + 1) > m > 1; при m = n это утверждение превращается в теорему Ферма. Профессор любезно сообщил мне также, в чём состоит присутствующая в «доказательстве» элементарная ошибка. Внимательный читатель, несомненно, заметит, что очередное «доказательство» теоремы Ферма не обошлось без участия одной из институций, носящих гордое название академии. (А читатель въедливый не оставит без внимания то обстоятельство, что как издательство, опубликовавшее сочинение В. И. Будкина, так и то, что напечатало сборник со статьёй Моторовых, расположены на берегах одной и той же реки. С тех же берегов посылались и письма в «Независимую газету».)

В качестве завершения темы снова вернусь в 1950-е гг. Посетителя редакции на Большой Калужской мне довелось увидеть ещё один раз, теперь уже на третьем этаже дома 9 по Моховой улице, в канцелярии мехмата, на котором я тогда учился. Всё с той же скрипкой в авоське он вошёл в канцелярию, попросил лист бумаги и, примостившись у стола, стал писать. Не в силах сдержать любопытства, я заглянул ему через плечо. Каллиграфическим почерком он вывел: «Бывшего студента… императорского университета прошение…» (какого именно университета, не помню). Затем попросил указать ему специалиста по теории чисел. В качестве такового ему был назван заведующий кафедрой теории чисел член-корреспондент Гельфонд. В это время по коридору шёл член-корреспондент Гельфанд, к теории чисел отношения не имеющий. Услышав его фамилию, бывший студент императорского университета бросился к нему навстречу. Всем было известно, что Гельфанд – математик великий, но человек непредсказуемый и легко может нахамить. Я не стал дожидаться катастрофического столкновения двух тел и в страхе убежал.

Глава 3
Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые

Проблема – это всегда требование что-то найти, указать, предъявить. Это «что-то» может иметь самую различную природу; этим «чем-то» может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение). Опыт математики позволяет провести чёткую грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первые ждут своего решения, вторые же решения не имеют и иметь не могут, у них решения просто-напросто не существует. Вот одна из наиболее знаменитых нерешённых проблем: дать ответ на вопрос, есть ли жизнь на Марсе. А вот два простых примера нерешимой проблемы: указать целое число, квадрат которого равен 17; указать наибольшее целое число.

К числу нерешённых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но понять формулировки абсолютного большинства из них может лишь тот, кто получил специальное образование. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, четыре обсуждаемые ниже проблемы теории чисел: две проблемы совершенных чисел и две – чисел простых. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются в данной главе под словом «число». Желание сделать текст понятным как можно более широкому кругу читателей побуждает нас для начала напомнить некоторые определения и факты, каковые теоретически должны быть известны из курса средней школы.

Напоминание: делимость, чётность и простота

Некоторые числа нацело делятся на другие. Предлагаем читателю дать по возможности строгую, недвусмысленную формулировку того, чтó это значит – число a делится на число b. Математик ответит так: говорят, что (вариант: по определению) число a делится на число b, если (вариант: коль скоро) существует такое число s, которое в произведении с числом b даёт число a:

a = b · s.

Например, 48 делится на 1, 2, 3, 16, 48 и ряд других чисел. Всякое число делится на единицу и на само себя (почему?). Выражение «a делится на b» имеет тот же смысл, что и «b является делителем числа a»; так что 1, 2, 3, 16, 48 и некоторые другие числа являются делителями числа 48. Ясно, что делитель не может быть больше того числа, делителем которого он является. Если a делится на b, а b делится на c, то и a делится на c. Попробуйте это доказать исходя из определения слова «делится». Никакие два соседних числа (т. е. n и n +1) не могут делиться на одно и то же число, кроме как на единицу (почему?). Числа, делящиеся на 2, называются чётными, все остальные – нечётными. В натуральном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… нечётные и чётные числа чередуются друг с другом. Сумма любого количества чётных чисел есть чётное число (почему?). А вот при суммировании нечётных чисел чётность результата зависит от чётности количества слагаемых: если это количество чётно, то и сумма будет чётным числом, а если оно нечётно, то и сумма окажется нечётной (почему?).

Число называется простым, если обладает двумя свойствами: во-первых, оно больше единицы; во-вторых, оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Вот первые 7 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Упражнение для читателей: найдите несколько следующих простых чисел. (И ещё одно упражнение: ответьте на вопрос, сколько существует чётных простых чисел.) Числа, бóльшие единицы и не являющиеся простыми, называются составными.

Две проблемы о совершенных числах

Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 – эти числа 1, 2, 3, 6 образуют полный список делителей числа 6. Если из этого списка удалим само число 6, а остальные сложим, получим то же самое число 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Его делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28, и только они. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI в. до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой всех своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул совершенного. Мистический восторг пифагорейцев перед совершенством совершенных чисел продолжался и в учениях христианских отцов церкви. В V в. Блаженный Августин писал в сочинении «Град Божий»:

Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее, наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.

Пифагорейцы знали только три первых совершенных числа. Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 приведены в «Арифметике» Никомаха Герасского^[31]. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил выдающийся немецкий математик, астроном и астролог Региомонтан (XV в.). В XVI в. были найдены ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX в., когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

Про первые 45 из известных совершенных чисел известно, что они идут без пропусков. Это значит, что если занумеровать совершенные числа в порядке их открытия, то, скажем, между 40-м и 41-м числами совершенных чисел нет. Но про последние четыре открытые числа это неизвестно. Так что между 45-м и 46-м совершенными числами могут оказаться другие совершенные числа, равно как между 46-м и 47-и, между 47-м и 48-м, 48-м и 49-м. Можно сказать, что каждое совершенное число имеет два номера – один абсолютный и другой хронологический. До сих пор мы имели дело с хронологическими номерами – это те номера, которые присваиваются числам в порядке их открытия. Абсолютный номер – это порядковый номер совершенного числа, если совершенные числа выстроить в порядке их возрастания. До 45-го совершенного числа включительно их абсолютные и хронологические номера совпадали. А дальше – неизвестность.

Первые четыре совершенных числа (6, 28, 496 и 8128) были известны уже во II в. н. э. К октябрю 2008 г. было обнаружено 46 совершенных чисел; для записи наибольшего из них требуется 25 956 377 десятичных знаков. К настоящему моменту (август 2017 г.) известно уже 49 совершенных чисел. Самое большое известное совершенное число имеет вид 2^74207280 × (2^74207281 − 1) и содержит в своей записи 44 677 235 десятичных знаков.

Все найденные совершенные числа оказались чётными. И вот первая, простая по формулировке, но не решённая до сих пор, проблема: существуют ли нечётные совершенные числа?

Может ли случиться, что 49-е совершенное число – последнее не только из найденных к настоящему времени, но вообще из всех существующих? Может быть, оно самое большое из всех и совершенных чисел, бóльших его, уже нет? Никто не знает, эта проблема тоже до сих пор не решена. Однако имеется гипотеза, что в ряду чисел за каждым совершенным числом встретится ещё большее совершенное число, иными словами, совокупность всех совершенных чисел бесконечна. Но пока это только гипотеза. Доказать или опровергнуть гипотезу о бесконечности количества совершенных чисел – это и есть вторая из двух проблем, упомянутых в заголовке этой главки.

Заметим, что на самом деле ищут не сами совершенные числа, а теснейшим образом с ними связанные простые числа Мерсенна, получившие в конце XX в. практическое применение в криптографии и в создании широко используемых в информатике псевдослучайных чисел^[32]. О числах Мерсенна – в следующей главке.

Числа Мерсенна. Число Первушина

Биографические сведения о великом древнегреческом математике Евклиде крайне скудны. Считается установленным, что он родился во второй половине IV в. до н. э., а скончался в первой половине III в. до н. э. В историю математики Евклид вошёл благодаря своему прославившему его сочинению, известному в русском переводе под названием «Начала». В нём он собрал и изложил всю известную к тому времени математику. Нас здесь интересует вклад Евклида в теорию совершенных чисел.

В свои «Начала» Евклид поместил следующую теорему: если число 2^p − 1 является простым, то число 2^p−1 (2^p − 1) является совершенным. Например, число 2³ – 1 простое, и в соответствии с теоремой Евклида число 28 = 2^3–1 (2³–1) является совершенным. Заметим, что 2^p − 1 может быть простым только при простом p. В самом деле, если p = r · s, r > 1, s > 1, то, как известно из курса средней школы, выражение 2^r·s – 1 = (2^r)^s – 1 делится на 2^r – 1. Однако обратное неверно: из простоты числа p не следует простота числа 2^p – 1; так, 2¹¹ – 1 = 23 · 89.

Более чем через тысячу лет после Евклида, примерно в 1000 г. н. э., великий арабский учёный Ибн аль-Хайсам (965–1040) высказал гипотезу, что всякое чётное совершенное число имеет вид 2^p−1 (2^p – 1), где число 2^p − 1 является простым. И действительно, совершенное число 496, например, представимо в виде 2^5–1(2⁵ – 1). Лишь в 1747 г. великий швейцарско-российский математик Леонард Эйлер сумел доказать гипотезу Ибн аль-Хайсама. Тем самым было установлено взаимно однозначное, т. е. однозначное в обе стороны, соответствие между чётными совершенными числами и простыми числами вида 2^p − 1: каждому простому числу названного вида однозначно соответствует чётное совершенное число, и наоборот, каждому чётному совершенному числу однозначно соответствует простое число вида 2^p − 1.

Из сказанного видно, что числа вида 2ⁿ – 1 представляют специальный интерес. Они названы числами Мерсенна в честь французского монаха Марена Мерсенна (Marin Mersenne, 08.09.1588–01.09.1648), теолога, философа, математика, акустика и теоретика музыки. В честь Мерсенна принято также и обозначение: число 2ⁿ – 1 обозначается M_n. Таким образом, теорему Евклида – Эйлера можно записать так: чётное число тогда и только тогда является совершенным, когда оно представимо в виде 2ⁿ⁻¹ M_n, где M_n – простое.

Марен Мерсенн был личностью замечательной. Ему принадлежат серьёзные работы по акустике колеблющейся струны. Но главное, в первой половине XVII в. он был центральной фигурой и координатором исследований в области естествознания и математики в Европе. По замечанию Паскаля, Мерсенн имел уникальный талант ставить новые научные проблемы, а не разрешать их. Он создал научный кружок, к которому принадлежали многие выдающиеся учёные того времени, в том числе математики Декарт, Дезарг, Паскаль.

Из этого кружка уже после смерти Мерсенна, в 1666 г., выросла Французская академия наук. Не меньшее значение имела переписка, которую Мерсенн вёл с большинством светил европейской науки XVII в. (в том числе, например, с Галилеем и Торричелли). Практически только из переписки Мерсенна с Ферма, изданной уже после смерти последнего, мы знаем об открытиях этого великого математика и физика. Необходимо учесть, что при отсутствии научных журналов – а первый такой журнал вышел лишь в 1665 г. – их роль выполняли кружки и переписка.

Разумеется, когда Мерсенн занялся числами, ныне носящими его имя, они так не назывались. Его вклад заключался в попытке составить список первых последовательно идущих простых чисел Мерсенна. Этот список, включавший 11 чисел, страдал значительными погрешностями. Так, последним в нём стояло число M₂₅₇, каковое – как и число M₆₇, включённое Мерсенном в свой список, – оказалось составным.

Но этот и другой (о нём мы ещё поговорим) недостаток, сколь бы существенны они ни были, не отменяет главного: Марен Мерсенн поставил задачу создания как можно более длинного списка простых чисел Мерсенна. Более того, математики осознали, что большие простые числа удобно искать именно среди чисел Мерсенна. Как тут не вспомнить высказывание Паскаля об уникальном даре Мерсенна.

Другой недостаток, о котором мы обещали сказать, состоит в неполноте списка. Некоторые простые числа были в нём пропущены. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии Иван Михеевич Первушин доказал, что число М₆₁, квалифицированное Мерсенном как составное и потому не вошедшее в его список, на самом деле является простым. Это была первая демонстрация неполноты списка Мерсенна: число М₆₁ явилось первым примером простого числа, пропущенного автором списка, и ввиду этого получило наименование числа Первушина (Pervushin's number). За это и другие достижения в теории чисел Первушин был избран членом-корреспондентом Санкт-Петербургской, Неаполитанской и Французской академий наук, членом Московского и Казанского математических обществ.

Число Первушина, записываемое в десятичной записи как 2 307 843 009 213 693 951, оказалось вторым по величине найденным простым числом. Первым по величине было число M₁₂₇, стоявшее в списке Мерсенна предпоследним; его простота была подтверждена в 1876 г. Второе место число Первушина удерживало вплоть до 1911 г., когда было доказано, что число M₈₉ – простое.

Иван Михеевич Первушин [21.01 (02.02) 1821 – 17 (30).06.1900] достоин того, чтобы о нём рассказать подробнее. В 1838 г. он поступил в Пермское духовное училище, в 1842 г. был переведен в Пермскую духовную семинарию, где впервые и обнаружилась его склонность к занятиям математикой. С переходом его в 1848 г. в Казанскую духовную академию пристрастие к математике усилилось, и присутствовавший на экзамене в академии П. Л. Чебышёв просил обратить внимание на молодого человека. На первых порах всё шло хорошо. По окончании академии Первушин был направлен в семинарию, которую окончил, где стал преподавать математику. Однако с 1856 г. и до своей кончины с небольшим перерывом на служение в уездном городе Шадринске Первушин был сельским священником. Известный уральский краевед Владимир Павлович Бирюков писал, что назначение лица, окончившего духовную академию, в сельскую церковь можно сравнить с назначением профессора учителем деревенской школы. Причину «административной ссылки» Бирюков видит в прямом и насмешливом характере Первушина.

Конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна? Этот вопрос, как мы знаем, равносилен вопросу о конечности или бесконечности множества чётных совершенных чисел и потому ждёт своего ответа. На октябрь 2014 г. было известно 48 простых чисел Мерсенна – ровно столько же, сколько известно чётных совершенных чисел. Наибольшее найденное простое число Мерсенна – это число М57885161. Оно и было наибольшим найденным к тому времени простым числом.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 2³¹ – 1 = 2 147 483 647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на август 2017 г. является 2^{74 207 281} – 1. Его нашли 17 сентября 2015 г. в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS^[33], однако все проверки завершились лишь 7 января 2016 г. В этот день в 22 часа 30 минут Всемирного координированного времени (UTC), когда в Москве было уже половина третьего ночи 8 января, проект GIMPS отметил двадцатую годовщину своего существовании открытием нового простого числа, наибольшего из известных. Это было число Мерсенна M_74207281, содержащее в своей записи 22 338 618 десятичных знаков. За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF^[34] назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.