Рудольф Коган Случайное образование закономерностей в природе и обществе, и выживание цивилизации

В любых реальных стационарных явлениях всегда существуют малые случайные колебания количественных значений параметров. Флуктуации количественных значений параметров или малые случайные изменения параметра Хj‾ обозначим ΔХj‾. Многократные измерения параметра Хj‾ (I), где I=1,2…N номера измерений, представим в виде последовательности

Х j‾ (1), Хj‾ (2), Хj‾ (3),…………….Хj‾ (N).

Каждое значение в этой последовательности отличается от предыдущего на случайную флуктуацию параметра, поэтому можно записать

Xj‾ (2) = Хj‾ (1) + ΔХj‾ (1), Хj‾ (3) = Хj‾ (2) + ΔХj‾ (2) … Хj‾ (N) = Хj‾ (N-1) + ΔХj‾ (N-1) ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ (3.1)

Однако, соотношения (3.1) в нашей идеологии недопустимы, так как приращения ΔХj‾ мы экспериментально не определяли. Действительно, из (3.1) имеем Хj‾ (I+1) — Хj‾ (I) = ΔХj‾ (I), где каждое значение Хj‾ (I+1), Хj‾ (I) было измерено, а ΔХj‾ (I) приращение уже вычисляется как разность этих значений, так что обозначение ‾ в приращениях ΔХj‾ (I) поставить нельзя. Кроме этого, если допустить возможность экспериментального измерения приращения ΔХj‾ (I), то нельзя три независимых экспериментально замеренных значений Хj‾ (I+1), Хj‾ (I) и ΔХj‾ (I) связать равенством.

Примем без отдельного допущения или принципа, что реально любой параметр Хj‾ (I), который мы измеряем, изменяется только за счёт реального приращения ΔХj‾ (I). Без изменения параметра нет его нового значения.

Поэтому примем, что наблюдатель замерил значение параметра Хj‾ (I) и его приращение ΔХj‾ (I), тогда следующее реальное значение параметра будет Хj‾ (I+1), где черта сверху означает реальное (не математическое) значение параметра.

Теперь можно последовательность (3.1) написать в общем виде

Хj‾ (I+1) = Хj‾ (I) + ΔХj‾ (I) ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀⠀ ⠀ ⠀ (3.2)

и прочитать так.

Реальное изменение параметров явлений или процессов происходит по итерационной формуле (3.2), когда каждое новое значение любого j параметра Хj‾ (I+1) происходит в результате изменения-приращения ΔХj‾ (I) предыдущего значения параметра Хj‾ (I).

Количественные значения приращений ΔХj‾ являются неопределенными и случайными малыми числами. В нашем контексте неопределенность и случайность имеют следующие различия. Если в зависимости от случайного жребия или выбора выпадет число j=1 или число j=2, то это будут случайные числа Х1‾ (I), Х2‾ (I). А если никакими точными измерениями нельзя гарантировать точное значение числа или его знак, то это неопределённое число.

Проведя аналогичные мысленные измерения для всех n характерных параметров явления Х1‾,Х2‾, Х3‾…Хn‾, получим таблицу их возможных количественных значений

Х1‾ (1), Х1‾ (2), …….. Х1‾ (N),

Х2‾ (1), Х2‾ (2), …….. Х2‾ (N),

…⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ (3.3)

…

Хn‾ (1), Хn‾ (2), …….. Хn‾ (N).

В каждой строке можно выделить по одному произвольно взятому значению параметра и получить полный набор количественных значений параметров, характеризующих явление. Например, в первой строке параметр 2, во второй строке параметр 5, в последней строке параметр 91, получим

Х1‾ (2), Х2‾ (5), …….. Хn‾ (91) ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ (3.4)

Так как «мысленных» экспериментов N над параметрами n можно провести сколь угодно много, то и наборов (3.4) будет много. И нет никаких оснований отдать предпочтение истинности какому-либо из них. Закономерности явления присуще любому набору и соответственно приводят к каким-то математическим соотношениям для этого набора количественных значений параметров. Если теперь убрать в (3.4) обозначение ‾, то получим числовые меры всех параметров j, которые можно использовать в математических соотношениях.

3.3. Выбор математических соотношений

В качестве математических соотношений выбираются системы алгебраических уравнений общего вида

Фк (Х1, Х2, … Хn, С1, С2 …) = 0 ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ (3.5)

где к=1, 2…М число уравнений; Хj j=1, 2…n неизвестные; С1, С2 — заданные параметры или параметры, зависящие от пространственных и временных координат. Надлежит построить процесс решения этих уравнений, который математически копирует процесс становление количественных параметров реальных явлений. К уравнениям (3.5) можно сводить большое число задач природы и человеческой деятельности. Это могут быть разностные аналоги дифференциальных и интегральных уравнений, конечно-элементные модели, различные балансные соотношения, геометрические модели и т. д.

Будем предполагать, что закономерности рассматриваемого явления позволяют для количественных значений его параметров использовать математические соотношения (3.5). Систему функций Фк будем полагать «полной» системой, в том смысле, что их достаточно, чтобы описать все закономерности, которые могут быть следствиями исходных законов. Это значит, что если в рассматриваемом явлении обнаруживается закономерность, описываемая функциями Ψ, то все эти функции Ψ можно выразить через полную систему функций Фк. Будем также полагать, что система (3.5) дает однозначное и непротиворечивое решение, т.е. число параметров n равно числу уравнений M.

В ограничениях на «мысленный» эксперимент был запрет на управление и «разумную» организацию процессом измерения количественных значений физических параметров. Соответственно, и математические операции должны подчиняться этим запретам. И если исследуемые неизвестные подчиняются экстремальным, вариационным принципам, неравенствам, использованию спектров собственных значений и т.д., то все эти приемы запрещены. Они содержаться как следствия исходной системы уравнений (3.5). А наша задача, в соответствии с основным постулатом теории, получить только решение исходной системы, так как исходные физические закономерности дают только систему (3.5), и естественно, что мы ничего не знаем о математических следствиях из этой системы.

Таким образом, пока «мысленный» эксперимент распространяется только на измерения неизвестных, их приращений и функций Фк. При вычислении функций Фк используются математические операции в соответствии с аналитическими выражениями для функций Фк: арифметические действия, вычисление тригонометрических функций, логарифмов, других аналитических выражений, которые содержатся в функциях Фк. На анализ этих действий «мысленный» эксперимент, естественно, не распространяется.

Необходимо ещё отметить важное значение заданных физических параметров С. При чисто математических методах решения параметры С это обычно какие-то безразмерные заданные числа. В нашем случае необходимо их отличать от числовых коэффициентов — множителей, делителей и т. д. «Мысленный» эксперимент по измерению неизвестных проводится в области значений именно этих параметров, где предполагается, что имеется физическое решение. Заданные параметры С можно представить так же, как некоторый процесс их изменения С (I+1) = С (I) + ΔС (I) от начального значения С (НАЧ) до заданного значения С (КОН). При этом полагается, что в области изменения параметров решение существует.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

вместо термина «число» используется термин «числовая мера»; вместо текста «образование закономерностей» используется текст «становление закономерностей».

2

цитаты из книги М. КЛАЙН, Математика утрата определённости, М. Мир, 1984.