Марина Геннадиевна Семененко
Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем
§3. Неравенства с модулем
Рассмотрим решение неравенств с модулем.
В качестве примера возьмем следующее неравенство:
(3.1)
Найдем точки, в которых выражение под знаком модуля меняет знак. Для этого приравняем это выражение к 0:
x2 + 5x + 7 = 0 . (3.2)
В данном случае мы видим, что дискриминант квадратного трехчлена , равный 25 – 28 = -3, отрицателен. Это означает, что решений у данного уравнения нет.
Проиллюстрируем данный вывод графически. Графиком соответствующего квадратного трехчлена будет парабола, ветви которой направлены вверх и у которой нет пересечений с осью абсцисс. Схематично этот график можно изобразить следующим образом (рис. 3.1):
Рис. 3.1. Схематичный вид графика квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом
Из графика понятно, что такой квадратный трехчлен при любом значении x будет больше 0. Следовательно, мы можем снять знак модуля в неравенстве (3.1). В результате получаем неравенство:
x2 + 5x + 7 > 3. (3.3)
Перенесем все члены неравенства в его левую часть и решим полученное неравенство
x2 + 5x + 4 > 0. (3.4)
Дискриминант этого неравенства больше 0. Это означает, что соответствующий квадратный трехчлен имеет 2 корня, которые легко найти по теореме Виета: x1 = -4, x2 = -1.
Если применение теоремы Виета вызывает затруднения, то просто применяем стандартный способ нахождения корней через вычисление дискриминанта квадратного трехчлена.