Марина Геннадиевна Семененко
Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем
§1. Решение уравнений с модулем
Рассмотрим, как решаются простые уравнения с модулем.
В качестве примера возьмем следующую уравнение:
(1.1)
Вспомним определение модуля числа. По определению, модуль равен самому числу, если это число не отрицательно, и числу, взятому с обратным знаком, если число отрицательное. В символьном виде это определение можно представить следующим образом:
Поскольку в уравнении (1.1) есть знаменатель, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение (1) будет иметь смысл, когда знаменатель не обращается в 0, то есть при x ≠ 0 и x ≠ 1.
Из определения модуля следует, что в уравнениях с модулем нужно рассматривать 2 случая: когда выражение под знаком модуля не отрицательно и когда оно отрицательно.
1) Рассмотрим случай, когда x > 1 . Условие x = 1 можно не рассматривать, поскольку в этом случае знаменатель дроби обращается в 0. Снимая знак модуля, получаем уравнение
(1.2)
Перенесем -1 влево с обратным знаком и приведем полученное выражение к общему знаменателю:
,
(1.3)
Дробь равна 0, когда ее числитель равен 0. Приравнивая 0 числитель, получаем квадратное уравнение
x2 – x + 2 = 0 (1.4)
Вычисляем дискриминант полученного уравнения:
D = (-1)2 – 412 = 1 – 8 = -7.
Поскольку D < 0, действительных корней уравнение (1.4) не имеет.
2) Рассмотрим случай, когда x < 1 . Тогда получаем уравнение
Проводя вычисления, аналогичные сделанным выше, получаем: