Коллектив авторов
Краткий курс по статистике

Полная версия

5. Различают следующие относительные показатели вариации: коэффициент осцилляции, коэффициенты вариации.

Коэффициент осцилляции (V_R):

где R – размах вариации;

– средняя. Обычно имеет значение больше единицы, поскольку размах вариации в основном бывает больше средней величины.

Линейный коэффициент вариации () показывает, какую часть в размере средней величины (или в объеме медианы) составляет размер среднего линейного отклонения:

или

где – среднее линейное отклонение;

Ме – медиана.

Коэффициент вариации (V_σ) определяет удельный вес среднего квадратического отклонения в размере средней величины и служит мерой однородности совокупности:

где σ – среднее квадратическое отклонение. Совокупность считается однородной, если значение данного показателя не превышает 33 %.

Эмпирический коэффициент детерминации (η²) отражает определенную изменением признака-фактора долю вариации результативного признака:

η² = δ²: δ²_общ,

где δ² – межгрупповая дисперсия;

δ²_общ – общая дисперсия.

Эмпирическое корреляционное отношение (η) определяет тесноту связи между изменением признака-фактора и последующим изменением признака-результата – корень из коэффициента детерминации:

Чем ближе к единице значение эмпирического корреляционного отношения, тем теснее связь между изменением признака-фактора и признака-результата.

10. Дисперсия

1. Различают невзвешенную и взвешенную дисперсии.

Дисперсия (σ²) – сумма квадратов отклонений значений показателя от средней.

Дисперсия невзвешенная

Дисперсия взвешенная

Если необходимо не только изучить вариации признака совокупности, но и исследовать количественные изменения признака по однородным группам совокупности, то помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.

Выделяют общую и среднюю виды дисперсий.

Общая дисперсия характеризует изменчивость признака всей совокупности под влиянием всех определивших данную вариацию факторов:

где – общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия показывает случайную вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов. Она не зависит от положенного в основу группировки признака-фактора.

2. Разработаны следующие основные этапы расчета дисперсии:

✓ рассчитывается дисперсия (σ_i ²) по отдельным группам:

✓ рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:

где N_i – число единиц в группе.

Межгрупповая дисперсия (S²) определяет возникающие под влиянием признака-фактора различия в величине исследуемого признака (системную вариацию):

где – средняя величина по отдельной группе.

Правило (закон) сложения дисперсий: сумма средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии равна общей дисперсии:

Общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием положенного в основу группировки признака-фактора и других факторов.

3. Как следствие правила сложения дисперсий появляется возможность определить часть общей дисперсии, находящейся под влиянием положенного в основу группировки признака-фактора.

Среднее квадратическое отклонение (с) – корень квадратный, извлеченный из дисперсии.

Различают простое и взвешенное среднее квадратические отклонения.

Простое (невзвешенное) среднее квадратическое отклонение:

Взвешенное среднее квадратическое отклонение:

11. Понятие и классификация индексов

1. Индексы относят к важнейшим обобщающим показателям.

Индекс (лат. index – показатель, указатель, опись, реестр) – относительный показатель, выражающий соотношение значений признака изучаемого явления во времени, в пространстве или сравнение фактических данных с данными, принятыми за основу для сравнения.

Основные обозначения индексов:

✓ i – индивидуальные (частные) индексы;

✓ I – общие индексы;

✓ знак внизу справа 0 – базисный период;

✓ знак внизу справа 1 – отчетный период.

Использование символов для обозначения индексируемых показателей:

✓ q – количество (объем) товара в натуральном выражении;

✓ p – цена единицы товара;

✓ z – себестоимость единицы продукции;

✓ ω – выработка продукции в стоимостном выражении (на одного рабочего или в единицу времени);

✓ υ – выработка продукции в натуральном выражении (на одного рабочего или в единицу времени);

✓ T – общие затраты времени (tq) или численность рабочих;

✓ pq – стоимость продукции или товарооборот;

✓ zq – издержки производства.

С помощью экономических индексов проводят расчеты динамики социально-экономического явления за период времени и среднего экономического показателя; соотношения показателей по регионам; влияния изменений значений одних показателей на динамику других показателей, а также пересчет значения показателей из фактических цен в сопоставимые.

2. Принята следующая классификация индексов:

☞ по степени охвата явления: индивидуальные, сводные (общие), групповые (субиндексы);

☞ базе сравнения: динамические (базисные и цепные), территориальные;

☞ виду весов: с постоянными и переменными весами; форме построения: агрегатные, средние (арифметические и гармонические);

☞ характеру объема исследования: количественных (объемных) и качественных показателей; объекту исследования: производительности труда, себестоимости, физического объема продукции, стоимости продукции и т. д.;

☞ составу явления: постоянного (фиксированного), переменного состава; структурных сдвигов;

☞ периоду исчисления: годовые, квартальные, месячные и т. д.

3. Разработаны следующие основные правила построения индексов: признак, характеризующий отчетный период, относится к признаку, характеризующему базисный период.

При изучаемом первичном признаке берется влияющий на него признак-вес на неизменном базисном уровне. При изучении вторичного признака используется влияющий на него признак-вес на неизменном уровне отчетного года.

Индивидуальный индекс (i) – показатель, отражающий изменение у элемента совокупности величины одного признака, без учета влияния на признак других факторов.

Рассчитывается путем деления величины отчетного показателя на величину базисного, нормативного, планового или эталонного показателей. Если за базу сравнения принимается показатель за предыдущий либо базисный период, то

i_x = x₁: x₀,

где i_x – рассчитываемый индивидуальный индекс по фактору х;

х₁ – величина отчетного показателя;

х₀ – величина базисного показателя.

Если за основу сравнения принимается нормативный (х_н), плановый (х_пл), эталонный (х_э) показатели, то

i_x = x₁: x_н,

где х_н – нормативный показатель;

i_x = x₁: x_пл,

где х_пл – плановый показатель;

i_x = x₁: x_э,

где х_э – эталонный показатель.

4. Если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период. Если строится индекс качественного показателя, то используются веса отчетного периода (правило выбора веса индекса).

Агрегатный индекс (лат. аggregate – складываемый, суммируемый) – показатель, характеризующий изменение социально-экономического явления, составные части которого не могут быть сравнены между собой.

Индекс стоимости продукции (Ipq):

I_pq = Σp₁q₁: Σp₀q₀.

Индекс товарооборота (стоимости продукции) показывает, во сколько раз изменилась стоимость продукции (товарооборота) отчетного периода по сравнению с базисным.

Индекс физического объема продукции – индекс количественного показателя, индексируемой величиной будет количество продукции, а весом – цена. Поскольку индекс физического объема – индекс количественного показателя, то согласно правилу весами будут цены базисного периода:

I_q = Σp₀q₁: Σp₀q₀,

где Σp₀q₁ – условная стоимость произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода;

Σp₀q₀ – фактическая стоимость произведенных в базисном периоде товаров.

Индекс физического объема продукции показывает, во сколько раз изменилась стоимость из-за изменения объема производства продукции.

При построении агрегатного индекса цены основываются на том же правиле выбора веса индекса, что и при построении индекса физического объема продукции.

5. В отличие от индекса физического объема продукции индекс цен – индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара (поскольку данный индекс характеризует изменение цен), весом становится количество произведенных товаров:

I_p = Σp₁q₁: Σp₀q₁,

где Σp₁q₁ – фактическая стоимость продукции текущего периода;

Σp₀q₁ – условная стоимость тех же товаров в ценах базисного периода.

6. Суть индексного метода исследования состоит в соизмерении с помощью индексов сложных социально-экономических явлений путем приведения исследуемых величин к некоторому общему единству. Метод позволяет определить влияние отдельных факторов в динамике сложного явления, рассчитать размер изменения сложного явления за счет каждого фактора в отдельности.

Путем построения системы взаимосвязанных индексов выявляется роль отдельных факторов изменений результативного показателя. В основе расчетов лежит принцип исключения изменений величины всех факторов, кроме изучаемого.

Изменение сложного явления:

I_A = A₁: A₀ = а₁б₁: а₀б₀ = I_а × I_б.

Абсолютное изменение явления А под влиянием всех факторов – разность между числителем и знаменателем индекса:

Δ_A = A₁ – A₀ = а₁б₁ – а₀б₀.

Метод обособленного изучения факторов: выявление влияния отдельного фактора; сложный показатель рассчитывается при изменении изучаемого фактора, все прочие фиксируются на уровне базисного периода.

Роль фактора а: I_а = а₁б₀: а₀б₀.

Абсолютное изменение результативного показателя а:

Δ^a_A = а₁б₀ – а₀б₀.

Роль фактора б: I_б = а₀б₁: а₀б₀.

Абсолютное изменение результативного показателя б:

Δ^б_A = а₁б₀ – а₀б₀.

Факторные индексы при данном методе не разлагают полностью, т. е. получается неразложенный остаток – результат совместного действия факторов

Δ_A ≠ Δ^a_A + Δ^б_A.

7. При последовательно-цепном методе используется система взаимосвязанных индексов. На первом месте в модели ставится качественный фактор. При определении влияния первого фактора все остальные сохраняются на уровне отчетного периода. При построении второго факторного индекса первый фактор сохраняется на уровне базисного периода, третий и все последующие – на уровне отчетного периода. При построении третьего факторного индекса первый и второй факторы сохраняются на уровне базисного периода, четвертый и все последующие – на уровне отчетной периода и т. д.

Например, А = а × б × в, при этом обеспечена правильность расположения факторов, т. е. а – качественный показатель, б, в – количественные:

I_A = A₁: A₀ = а₁б₁в₁: а₀б₀в₀ = I_а × I_б × I_в.

Роль фактора а:

I_а = а₁б₁в₁: а₀б₁в₁.

Абсолютное изменение результативного показателя а:

Δ^а_A = (а₁ – а₀)б₁в₁.

Роль фактора б:

I_а = а₀б₁в₁: а₀б₀в₁.

Абсолютное изменение результативного показателя б:

Δ^б_A = а₀(б₁ – б₀)в₁.

Роль фактора В:

I_а = а₀б₀в₁: а₀б₀в₀.

Абсолютное изменение результативного показателя в:

Δ^в_A = а₀б₀(в₁ – в₀).

Абсолютное изменение сложного экономического показателя за счет каждого фактора можно определить и в случае, когда показатель – сумма произведений, определяющих величину его показателей (общая стоимость всей выработанной продукции, общая сумма затрат на ее производство, общая сумма затрат труда на производство всей продукции).