Джордан Элленберг
Форма реальности

Полная версия

Глава 4. Фрагмент сфинкса

Вернемся к выставке в Сент-Луисе. Напомним, что среди крупных ученых там присутствовал сэр Рональд Росс, который в 1897 году установил, что малярия переносится укусами комаров-анофелесов. К 1904 году он стал мировой знаменитостью, и идея пригласить его в Миссури для чтения лекции было весьма удачной. Заголовок в газете St. Louis Post-Dispatch гласил: «Человек-комар уже в пути»^[106].

Лекция Росса называлась «Логические основы санитарной политики по снижению количества комаров», что, надо признать, не звучит сенсационно. Однако это выступление стало первым проблеском новой геометрической теории, которая готовилась ворваться в физику, финансы и даже изучение поэтических стилей: теории случайных блужданий.

Росс выступал во второй половине дня 21 сентября^[107] – как раз тогда^[108], когда в другом месте выставки губернатор Ричард Йейтс смотрел парад призового домашнего скота. Росс начал:

Предположим, вам удалось остановить размножение комаров в некоей круглой области, осушив пруды, где развиваются личинки. Это не устранит всех потенциальных малярийных комаров в этой местности, поскольку они могут родиться вне этого круга и прилететь в него. Однако жизнь комара коротка, и никаких целенаправленных устремлений у него нет; он не полетит прямым курсом к центру круга, да и в целом вряд ли заберется далеко вглубь за то короткое время, что ему отведено природой. Поэтому можно надеяться, что в каком-то районе вблизи центра нашего круга не будет малярии, если круг достаточно велик.

Насколько велик? Это зависит от того, как далеко в своих блужданиях может залететь комар. Росс продолжил:

Предположим, что комар рождается в определенной точке, но в течение своей жизни блуждает туда-сюда, влево-вправо, как ему заблагорассудится… Через какое-то время он умирает. Какова вероятность того, что его мертвое тело окажется на заданном расстоянии от места рождения?

Вот диаграмма, которую представил Росс. Пунктирная линия – это движение блуждающего комара; прямая – путь более целеустремленного комара, преодолевшего до своей смерти гораздо большее расстояние. «Всеобъемлющий математический анализ, определяющий этот вопрос, довольно сложен, – сказал ученый, – и я не могу справиться с ним во всей полноте»^[109].

В XXI веке можно легко смоделировать путь комара, двигающегося по таким путям, что позволит улучшить диаграмму Росса, рассмотрев не пять этапов перемещения комара, а десять тысяч.

Типичная картина: иногда комар держится какое-то время в одном месте, и его траектория пересекает себя так часто, что почти заполняет все пространство; иногда кажется, что насекомое обретает какое-то чувство направления, и ему удается преодолеть некоторое расстояние. Должен сказать, что наблюдение за анимацией этого процесса затягивает – безо всяких разумных на то оснований.

Росс разобрался только с гораздо более простым случаем, когда комар придерживается прямой линии, выбирая, лететь ему на северо-восток или на юго-запад. Мы тоже справимся! Предположим, что комар живет десять дней и каждый день выбирает, лететь ему километр на северо-восток или километр на юго-запад. Если учесть, что выбор из двух вариантов происходит ежедневно, общее количество возможных карьерных траекторий насекомого равно 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024, причем все пути равновероятны (при условии, что наш комар беспристрастен). Чтобы комар закончил свои дни в 10 километрах к северо-востоку от места появления, ему нужно десять раз подряд выбрать северо-восточное направление движения, а это означает, что так поступит только один комар из 1024. Такая же крохотная доля всех комаров умрет в 10 километрах к юго-западу от родины. Сколько насекомых окажутся на расстоянии 8 километров? Для этого нужно, чтобы комар совершил определенную последовательность выборов, например:

СВ, СВ, СВ, ЮЗ, СВ, СВ, СВ, СВ, СВ, СВ,

где девять раз будет выбрано одно направление и один раз противоположное. Одинокий ЮЗ может находиться на любом из десяти мест, поэтому 10 из 1024 путей заканчиваются в 8 километрах к северо-востоку и еще 10 – в 8 километрах к юго-западу, то есть всего нужных путей 20. Присмотревшись, можно увидеть, что на внешних окружностях своей диаграммы Росс написал маленькие цифры 2 и 20. Если хотите, можете попробовать нарисовать 45 путей, которые заканчиваются в 6 километрах к северо-востоку от исходной точки, или 210, завершающихся в 2 километрах к северо-востоку, или 252, которые возвращают комара в тот самый зловонный пруд, где он родился. Самым вероятным местом могилы комара будет точка его рождения. Это имеет смысл, поскольку задачу о комарах можно смоделировать, подбросив десять монет: если выпал орел, то мы двигаемся на северо-восток, а если решка, на юго-запад. Итоговое расстояние в 8 километров означает, что выпало 9 орлов и 1 решка; возвращение домой означает 5 орлов и 5 решек, а это в действительности самый вероятный исход при подбрасывании десяти монет. Если вы построите гистограмму для всех результатов, то получится старая добрая колоколообразная кривая нормального распределения, показывающая склонность комаров держаться своих корней.

Однако мы можем узнать больше. Немного поработав, можно вычислить, что за 10 дней комар в среднем преодолеет 2,46 километра. Это типичная продолжительность жизни самцов. Самки комаров живут больше 50 дней и за это время в среднем продвинутся на 5,61 километра. Комар-долгожитель, живущий 200 дней, теоретически мог бы пролететь 200 километров, но в среднем удалится на 11,27 километра от дома. Четырехкратное увеличение жизни увеличивает расстояние всего вдвое. Здесь мы сталкиваемся со свойством, впервые обнаруженным Абрахамом де Муавром в XVIII веке (правда, он изучал не комаров, а подбрасывание монет): среднее отклонение числа орлов от половины при n подбрасываниях монеты определяется квадратным корнем из n. Комар с продолжительностью жизни, стократно превышающей норму, скорее всего, заберется всего лишь вдесятеро дальше своих недолговечных собратьев. Комар может улететь дальше, чем вы ожидаете, но с большой вероятностью этого не произойдет. Шансы, что комар на двухсотый день жизни окажется не ближе 40 километров от дома, составляют всего лишь 3 на 1000^[110].

СНЯТО!

Однако 2,46 – это не квадратный корень из 10, а 11,27 – это не квадратный корень из 200! Хорошо-хорошо, я только рад, что вы читаете книгу с карандашом в руке. Более точное приближение состоит в следующем: за первые N дней путешествия комар в среднем улетит на расстояние, примерно равное Проверяем: за десять дней комар пролетает

Весьма близко! А для 200 дней получаем

что тоже прекрасно соответствует вышесказанному.

Наличие π может заставить зазвучать вашу геометрическую сигнализацию: может, π здесь присутствует из-за того, что комар пересекает круг? Увы, нет. В конце концов, в простой модели Росса насекомые двигались только по прямой. Да, поначалу мы сталкиваемся с числом π, изучая отношение длины окружности к ее диаметру, но, как и большинство математических констант, оно возникает повсеместно – вы можете просто свернуть за угол и наткнуться на него. Один из моих любимых примеров: выберите наугад два натуральных числа и задайтесь вопросом, с какой вероятностью они взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, отличных от 1). Вероятность этого равна 6/π², хотя никакой окружности тут не видно.

Число π у комаров появляется из анализа, в частности из величины одного интеграла, который включает π по каким-то собственным специфическим причинам. Его вычисление было сложной задачей для французских математиков XVIII и XIX веков, но сейчас мы можем этому научить в третьем семестре анализа (хотя, если не показать хитрый трюк, то с интегралом справится только одаренный студент). Вы можете увидеть его вычисленным в фильме 2017 года «Одаренная», где этот интеграл предлагается в виде задачки для Мэри Адлер – семилетней девочки-вундеркинда, которую сыграла девятилетняя Маккенна Грейс.

Я знаю это не потому, что смотрел фильм в самолете (хотя я смотрел: какое-то время его часто показывали в самолетах), а потому, что присутствовал на съемочной площадке в качестве консультанта, чтобы в фильме все было правильно с математической точки зрения. Если вы когда-либо смотрели картину с математическим содержанием, то, возможно, задавались вопросом, сколько усилий требуется для того, чтобы детали были верными. Оказывается, много. Достаточно, чтобы заплатить математику за то, чтобы он провел большую часть дня в задней части якобы лекционного зала Массачусетского технологического института (на самом деле съемки велись в Университете Эмори в Атланте), в то время как какой-то профессор в исполнении характерного актера (чаще играющего отрицательных героев-славян в полицейских сериалах) проверяет способности одаренного ребенка^[111]. Как выяснилось, мне было чем заняться. В одном из диалогов Мэри обращается к своей бабушке (которая по каким-то причинам оказывается британкой и живет отдельно от дяди девочки и одновременно ее опекуна из-за доказательства проблемы Навье – Стокса, которое покойная мама вундеркинда, возможно, нашла, но не опубликовала; знаете, это долго объяснять, давайте двигаться дальше) и говорит «отрицательное», хотя в соответствии с написанным на доске надо сказать «положительное». Я подошел к матери Грейс – единственному человеку, с которым, на мой взгляд, мне было дозволено общаться, и поинтересовался, нужно ли мне кому-то об этом сообщить. Это важно? Да, это было важно. Она быстро препроводила меня к режиссеру Марку Уэббу и приказала передать ему все, что я только что ей сказал. И все мгновенно остановилось. Они изменили слово, Грейс пошла учить новую фразу, все остальные стояли и перекусывали снеками со стола с закусками. Сколько денег теряется в секунду, когда несколько десятков узкоспециализированных профессионалов, участвующих в создании полнометражного фильма на ведущей киностудии, одновременно праздно едят орехи? Это нижняя граница, показывающая, как сильно студия заботится о том, что написано математическим мелким шрифтом. Я спросил режиссера: «Кому-то есть до этого дело? Это вообще кто-нибудь заметит?» Он ответил уставшим и одновременно каким-то восхищенным тоном: «Люди в интернете заметят!»

На съемках я узнал, что создание фильма имеет нечто общее с написанием математической статьи: основная идея для изложения не так уж сложна, однако огромное количество времени тратится на мелкие детали, которые большинство людей вряд ли заметили бы.

Поскольку я уже был на съемочной площадке, Уэбб предложил мне стать перед камерой и сыграть роль профессора, рассказывая о теории чисел примерно шесть секунд, в то время как Грейс прилежно этому внимала. Готовясь к этим шести секундам, я провел в костюмерной целый час. Правда, в навязчивом стремлении съемочной группы фильма «Одаренная» к точному соблюдению всех деталей было одно исключение: мне дали туфли, которые были намного лучше и гораздо дороже, чем те, что носит на занятия любой профессор математики. А еще я узнал о киноиндустрии один грустный факт: они не позволяют вам оставить эти туфли себе.

ВКУС ЛОЖКИ СУПА ТОТ ЖЕ, ЧТО И ВСЕЙ ТАРЕЛКИ

Меня часто спрашивают, как опрос двухсот человек может сказать что-то достоверное о предпочтениях миллионов избирателей? Если так ставить вопрос, то это звучит сомнительно, словно попытка узнать, какой суп в тарелке, попробовав всего одну ложку.

Но на самом деле вы вполне можете это сделать! Ведь у вас есть все основания думать, что в вашей ложке находится случайная выборка – образец супа. Вы никогда не залезете в тарелку с клэм-чаудером так, чтобы в вашей ложке оказался минестроне^[112].

Именно этот суповой принцип и делает опросы такими эффективными. Но он не говорит вам, насколько точно опрос отражает ситуацию в городе, штате или стране, в которых проводится. Ответ кроется в медленном беспорядочном движении комара из пруда. Возьмем какой-нибудь штат, например Висконсин, где я живу и где демократов и республиканцев практически поровну. Теперь представьте себе комара, движение которого определяется следующим образом: я звоню случайному висконсинцу, узнаю его политические взгляды и командую насекомому лететь на северо-восток, если мой респондент – демократ, и на юго-запад, если он голосует за республиканцев. Это в точности модель Росса: комар двигается случайно двести раз в том или ином направлении. Откуда нам знать, что мы не позвоним случайно двумстам демократам и не получим совершенно искаженное представление о том, как голосует Висконсин? Конечно, гипотетически такое возможно – так ведь и комар мог целенаправленно двигаться на северо-восток с места рождения и до смерти. Но этого с большой долей вероятности не произойдет. Мы уже видели, что расстояние от дома до комара через 200 дней (которое численно равно разности между количеством демократов и республиканцев в нашем опросе) в среднем составляет примерно 11 километров. Поэтому вовсе не странно было бы обнаружить в нашем опросе 106 республиканцев и 94 демократа. Другое дело, если бы выявилось соотношение 120 на 80, далекое от политической реальности. Это все равно что зачерпнуть в тарелке Висконсина, а получить ложку Миссури. Если республиканцев на 40 больше, чем демократов, то это эквивалентно тому, что комар блуждает в 40 километрах от дома, а мы уже видели, что вероятность такого сценария всего 3 из 1000.

Иными словами, маловероятно, что двести участников опроса будут существенно отличаться от висконсинцев в целом. Ложка супа имеет тот же вкус, что и вся тарелка. С 95-процентной вероятностью доля республиканцев в этой выборке будет заключена между 43 % и 57 %, а потому о таком опросе будет сказано, что он имеет погрешность ±7 %. Но это при условии, что в выборе респондентов не было никакого скрытого перекоса. Росс очень хорошо понимал, что подобное смещение может испортить его комариную модель: перед вычислениями и составлением диаграмм он оговаривает, что его ландшафт настолько однороден, «что все его точки равно привлекательны для них [комаров] в отношении питания и что нет ничего такого, например ветра или локальных врагов, что могло бы заставлять их попадать в какие-то определенные районы местности».

Росс настаивает на этом предположении по действительно веской причине: без него все летит к чертям. Допустим, что есть ветер. Поскольку комары очень малы, то даже легкий ветерок может сбить их с курса. Если ветер дует в северном направлении, то, возможно, вероятность того, что комар полетит на северо-восток, составит не 50 %, а 53 %. Точно так же в нашем опросе может оказаться незамеченное смещение, когда респондент окажется республиканцем с вероятностью не 50 %, а 53 %. Скажем, республиканцы охотнее соглашаются отвечать на вопросы, чем демократы, или чаще берут трубку, или чаще имеют телефон. Это значительно увеличивает шансы на то, что наш опрос даст описание электората, отличающееся от истины. При непредвзятом опросе вероятность обнаружить 120 республиканцев и 80 демократов будет всего 3 из 1000. При «республиканском ветре» она подскакивает до 2,7 %, то есть увеличивается почти вдесятеро.

В реальной жизни мы никогда не узнаем, насколько объективен опрос. Поэтому нам, пожалуй, следует довольно скептически относиться к заявленной погрешности. Если легкий ветерок систематического смещения регулярно подталкивает опрос в ту или иную сторону, то можно ожидать, что реальные результаты выборов будут гораздо сильнее выходить за пределы заявленных погрешностей, чем утверждается. И знаете что? Именно так и происходит. В одной статье 2018 года говорится^[113], что реальные результаты выборов в среднем отличаются от результатов опросов примерно вдвое больше, чем можно было предположить исходя из заявленных погрешностей. Ветреные выборы!

Есть еще один способ подумать о воздействии неизвестного ветра. Это означает, что перемещения комара в разные дни не независимы, а коррелируют друг с другом. Если сегодня комар полетел на северо-восток, это слегка повышает вероятность, что ветер дует в том же направлении, поэтому более вероятно, что и завтра насекомое полетит туда же. Этот эффект слаб, но имеет тенденцию накапливаться.

Существует популярное заблуждение, которое называют «закон средних чисел»: если монета несколько раз подряд выпала орлом, то в следующем подбрасывании шансы на выпадение решки повышаются, чтобы все было «уравновешено в среднем». Мудрый человек скажет, что это неправда, потому что броски монеты не зависят друг от друга: вероятность орла в каждом последующем подбрасывании равна 50 % вне зависимости от того, что выпадало ранее.

Но на деле все еще хуже! Если у вас нет абсолютной уверенности в честности монеты, получается какой-то «закон антисредних». Если вы получили сто орлов подряд, то можете просто удивляться необычной полосе везения или разумно предположить, что вероятность выпадения орла на вашей монете не 50 %, а больше (возможно, на монете два орла). Чем больше орлов подряд выпадет, тем логичнее ожидать орла и далее^[114].

Это приводит нас к Дональду Трампу. Перед президентскими выборами 2016 года все соглашались, что Хиллари Клинтон опережает соперника, но активно спорили, каковы именно шансы Трампа. Журнал Vox 3 ноября писал:

Еще на прошлой неделе^[115] прогноз Нейта Сильвера, основанный исключительно на результатах опросов, давал Хиллари Клинтон ошеломительную вероятность победы – 85 процентов. Однако на утро четверга ее шансы упали до 66,9 процента – это значит, что, несмотря на то что Дональд Трамп все еще остается аутсайдером, есть один шанс из трех, что он станет следующим президентом.

 

Либералы пытались утешить себя, что FiveThirtyEight^[116] – это исключение среди шести крупных прогнозистов, а остальные пять дают Трампу шансы на победу от 16 до менее 1 процента.

Сэм Ван в Принстоне оценивал шансы Трампа в 7 % и был так уверен в победе Клинтон, что обещал съесть какое-нибудь насекомое, если она проиграет. Через неделю после выборов он проглотил сверчка в прямом эфире CNN. Математики^[117] иногда ошибаются, но мы держим слово.

Каким образом Ван так ошибся? Все прогнозисты соглашались, что результаты выборов будут зависеть от небольшого количества колеблющихся штатов, включая Флориду, Пенсильванию, Мичиган, Северную Каролину и, конечно же, Висконсин. Казалось, что Трампу для победы нужно выиграть в большинстве этих штатов, однако было похоже, что в каждом из них лидировала Клинтон. По оценкам Сильвера, шансы Трампа составляли:

Флорида 45 %,

Северная Каролина 45 %,

Пенсильвания 23 %,

Мичиган 21 %,

Висконсин 17 %.

Трамп мог выиграть во всех этих штатах, но такая вероятность казалась небольшой, равно как и вероятность, что комар пять раз подряд переместится в одном направлении. Вы можете оценить ее, как, скорее всего, и будущий поедатель сверчка Сэм Ван. Она равна:

0,45 × 0,45 × 0,23 × 0,21 × 0,17,

то есть примерно 1/600. Как показывают аналогичные вычисления, шансы Трампа на победу даже в трех или четырех из этих штатов довольно малы.

Однако Нейт Сильвер взглянул на вещи под другим углом. Его модель учла возможную корреляцию между разными штатами, основанную на неоспоримом факте, что исследователи общественного мнения могли неосознанно смещать выборку в пользу того или иного кандидата. Да, по нашей лучшей оценке, Трамп отставал во Флориде, в Северной Каролине и во всех остальных колеблющихся штатах. Но если он выиграет в одном из этих штатов, то это будет доказательством, что из-за какой-то ошибки в опросах положение Клинтон выглядит лучше, чем на самом деле, а потому победа Трампа в других штатах становится более вероятной. Так же как в вышеприведенном примере с «законом антисредних», победа Трампа во всех колеблющихся штатах становится вероятнее, чем можно было бы ожидать по цифрам в отдельных штатах. Вот почему Сильвер дал Трампу серьезные шансы на победу на выборах. И по этой же причине оценил шансы на победу Клинтон с двузначным отрывом (то есть с разницей больше чем 10 %) как 1 к 4, в то время как Ван тоже считал это крайне маловероятным^[118].

Журналисты, ошарашенные результатами выборов, начали публиковать статьи под слезливыми заголовками вроде «Можем ли мы после 2016 года снова доверять опросам?»^[119].

Да. Можем. Опросы по-прежнему намного лучше отражают оценку общественного мнения, чем рейтинг абстрактного президентского правления от какого-нибудь эксперта или остроты на дебатах. По оценкам Сильвера, борьба была очень упорной и выиграть мог любой кандидат. Он оказался прав! Если вы считаете, что это сомнительная отговорка, то спросите себя: разве лучше, чтобы математика предоставила вам способ притвориться, что вы почти наверняка знаете победителя, хотя на самом деле ни вы, ни кто-либо иной его не знает?

ПИСЬМО В NATURE

Рональд Росс полностью изучил поведение комара, привязанного к направлению с юго-запада на северо-восток. Однако более реалистичная ситуация, когда насекомые могут летать в произвольном направлении, выходила за рамки его математических познаний, поэтому летом того же 1904 года он обратился к Карлу Пирсону.

Это была вполне естественная кандидатура для консультаций, если у вас имелась какая-то идея, не вписывавшаяся в академические рамки. Пирсон был хорошо зарекомендовавшим себя профессором прикладной математики в Университетском колледже Лондона; он получил эту должность, когда ему не было и тридцати. Однако перед этим он изучал право и немецкую литературу в Гейдельберге и Берлине, и сначала ему предложили профессуру по германистике в Королевском колледже Кембриджа. Он любил Германию, которая по сравнению с Англией казалась раем бурной интеллектуальной жизни, не обремененной общественными условностями в целом и религией в частности. Будучи поклонником Гете, Пирсон написал романтический роман «Новый Вертер» под псевдонимом Локи. Гейдельбергский университет написал в каком-то документе его имя на немецкий манер – Karl вместо Carl, и он всю жизнь предпочитал именно этот вариант. Впечатленный тем, что в немецком языке есть гендерно-нейтральное слово Geschwister, означающее «брат или сестра», он изобрел аналогичное слово sibling^[120].

Вернувшись в Англию, Пирсон выступал за нерелигиозный рационализм и освобождение женщин, а также читал скандальные лекции на такие темы, как «Социализм и секс». Газета Glasgow Herald так писала об одном из его выступлений: «Мистер Пирсон национализировал^[121] бы землю и капитал: в настоящее время он в одиночку предлагает национализировать и женщин». Его харизма помогала ему^[122] оставаться безнаказанным за умеренные выходки такого рода; один из его бывших студентов описывал его так: «Типичный античный атлет с тонко вырезанными чертами лица, кудрявыми волосами и великолепным телосложением». На фотографиях начала 1880-х запечатлен мужчина с высоким лбом, пристальным взглядом и челюстью, выставленной так, словно он собирается вас в чем-то убедить.

Затем Пирсон решил вернуться к математике – предмету, по которому преуспевал в колледже. Он писал, что «страстно желал работать с символами, а не со словами». Пирсон подал заявления на две профессорские должности по математике и получил отказ. Когда он наконец получил пост в Лондоне, его друг Роберт Паркер писал матери Пирсона:

Хорошо зная Карла^[123], я всегда чувствовал, что однажды он ощутит свою значимость и получит то, что ему реально подходит, как бы ни огорчались его друзья в моменты кратковременных неудач. А сейчас мы можем осознать, насколько полезными для него оказались три или четыре года свободы и занятий не математикой, а другими вещами; я не имею в виду, что все это способствовало его нынешнему успеху, но, без сомнения, сделает его счастливее, полезнее и позволит избегать любого намека той ограниченности, которую так часто видишь в людях, посвятивших себя исключительно одному поглощающему занятию, и боишься за этих людей. Кроме того, выдающиеся идеи нередко появляются за пределами рамок специальных предметов, к которым относятся, и Карл возвращается в науку с огромным багажом таких идей, нуждающихся в разработке. Однажды они сделают его столь же знаменитым, как Клиффорд^[124] и другие его предшественники^[125].

Сам Пирсон не был настолько в этом уверен и в ноябре своего первого семестра писал Паркеру: «Если бы у меня была^[126] хотя бы искра оригинальности или я был бы гением, я бы никогда не устроился на преподавательскую работу, а путешествовал бы по жизни^[127] в надежде создать то, что может пережить меня». Однако прав оказался Паркер. Пирсон стал одним из основателей новой дисциплины – математической статистики, и не потому, что доказал теоремы, столь же великолепные, как и он сам, а потому, что понял, как состыковать реальный мир и язык математики.

Именно поэтому Пирсон в 1891 году стал профессором Грешэм-колледжа по геометрии; эта должность с 1597 года подразумевала чтение бесплатных публичных лекций по математике^[128]. Хотя предполагалось, что лекции должны быть по геометрии, Пирсон в своей типичной манере занимался не флегматичными разговорами о кругах и прямых евклидовой геометрии, а нарушал условности, добавляя в лекции наглядность реальной жизни, и в итоге стал популярным преподавателем. Однажды он швырнул на пол^[129] десять тысяч пенсов и заставил студентов посчитать число орлов и решек, чтобы они сами проверили закон больших чисел (доля выпавших орлов стремится к 50 %), а не прочитали о нем в книге. В заявлении о приеме на профессорскую должность Пирсон писал: «Я полагаю, что^[130] в силу законного истолкования термина геометрия в том смысле, в каком он использовался во времена Томаса Грешэма для именования одной из семи областей знания, в дополнение к чисто геометрическим курсам можно читать курсы лекций по элементам точных наук, по геометрии движения, графической статистике, теории вероятностей и страхованию, и это удовлетворило бы потребности клерков и других людей, работающих днем в Сити». Он читал лекции по геометрии статистики – сегодня мы назвали бы это визуализацией данных. Он впервые предложил учитывать среднеквадратичное отклонение и разглядывать гистограммы. Вскоре он разработал теорию корреляции, – возможно, самую геометрическую из всех его работ, поскольку она объясняет, как две наблюдаемые переменные могут быть связаны посредством косинуса угла в многомерном пространстве!^[131]

К тому моменту, когда Росс задумался о комарах, Пирсон уже был мировым лидером в применении математики к биологическим проблемам. В 1901 году он стал одним из основателей журнала Biometrika, старые выпуски которого заполняли целые полки в моем доме^[132]. (Нет, я не рос в академической библиотеке, просто мои родители – специалисты по биостатистике.)

Пирсон обнаружил, что биологов, которые уже работали над такими проблемами, убедить не удавалось: «К сожалению, я чувствовал^[133] себя среди них не в своей тарелке, и мои мнения только ранили их чувства, не принося реальной пользы. Я всегда преуспевал в создании враждебности, не умея доносить до других свои взгляды; полагаю, здесь виноваты мои неудачные формулировки».

Я сочувствую биологам. Математики склонны к имперскому мышлению: мы часто подходим к чужим проблемам как к математическому ядру, окруженному раздражающим количеством отвлекающих знаний из конкретной области, которые мы с нетерпением обрываем, чтобы как можно быстрее добраться до «хороших вещей». Биолог Рафаэль Уэлдон писал Фрэнсису Гальтону: «Мне кажется, здесь, как и всегда^[134], когда он появляется из облаков своих математических символов, Пирсон рассуждает вольно и не особо заботится, чтобы понимать свои данные…», а в другом письме отмечал: «Но я ужасно боюсь^[135] чистых математиков без умения экспериментировать. Возьмите Пирсона». Уэлдон был не просто биологом, а одним из ближайших коллег Пирсона, а Гальтон – их почтенным наставником. Именно они втроем позже основали журнал Biometrika. Эти письма напоминают разговор двух друзей за спиной третьего: мы его, конечно, любим, очень любим, но иногда он так раздражает…

Пирсон, надо думать, был рад получить письмо от одного из самых выдающихся ученых-медиков своего времени. Он ответил Россу:

Математическая постановка^[136] простейшего случая вашей задачи с комарами не сложна, но решение – дело другое! Я потратил на нее целый день, а преуспел только в получении распределения после двух перелетов… Боюсь, это выходит за рамки моих умений в анализе, и тут требуется какой-то сильный математик. Но если вы предложите таким людям задачу о комарах, они на нее и не посмотрят. Чтобы они ею занялись, я должен переформулировать ее как задачу на шахматной доске или что-то в таком духе!

Современный математик, пытающийся вызвать интерес к незнакомой задаче, может опубликовать вопрос в социальных сетях или на каком-нибудь сервисе вопросов и ответов, например в математическом интернет-сообществе MathOverflow. Аналогом в 1905 году была колонка писем в журнале Nature, где Пирсон задал вопрос, убрав, как и обещал, все упоминания о комарах, но одновременно, к раздражению Росса, и все упоминания о Россе. На той же странице номера от 27 июля мы видим письмо от Джеймса Джинса, безуспешно пытающегося опровергнуть новомодную квантовую теорию Макса Планка. Между Джинсом и Пирсоном находится уведомление от некоего Джона Батлера Бурка, который наблюдал самопроизвольное зарождение микроскопической жизни в сосуде с говяжьим бульоном под воздействием недавно открытого радия. Возможно, это не то место, где вы ожидали бы увидеть истоки области математики, которая процветает по сей день.

На вопрос Росса ответили очень быстро. По сути, это заняло минус двадцать пять лет. Уже в следующем выпуске Nature было помещено письмо лорда Рэлея, лауреата Нобелевской премии по физике предыдущего года, который сообщал Пирсону, что решил задачу о случайном блуждании еще в 1880 году, когда изучал математическую теорию звуковых волн. Пирсон ответил, на мой взгляд, в довольно оборонительной манере: «Решение лорда Рэлея… весьма ценно и вполне может оказаться достаточным для целей, которые я имел в виду. Возможно, мне следовало о нем знать, однако в последние годы область моего чтения сместилась, и никто не ожидает обнаружить первую стадию какой-то биометрической задачи в мемуаре о звуке». (Обратите внимание: несмотря на оговорку Пирсона о том, что источником задачи была биология, Рональд Росс по-прежнему не упоминается.)

Рэлей показал, что случай с комаром, который может летать в произвольном направлении, не особо отличается от более простой одномерной модели Росса. По-прежнему справедливо, что насекомое будет медленно блуждать и его типичное расстояние от исходной точки пропорционально квадратному корню из количества дней полета. И по-прежнему самое вероятное место для окончания полета – исходная точка. Это заставило Пирсона заметить: «Урок решения^[137] лорда Рэлея таков: на открытой местности самое вероятное место найти пьяницу, который еще способен держаться на ногах, находится где-то рядом с его отправной точкой!»^[138]