Д. В. Сочивко
Психодинамика

Глава 5. Математические модели психодинамики личности

Мы уделили много внимания психологическому (историческому) и физическому времени, в которых развивается реальная психодинамика личности. Однако время в этом мире неразрывно связано с пространством. Показанная выше связь исторического (событийного) и физического (измеряемого) времени свидетельствует о том, что время не может быть пустым, разве что в идеальной физической конструкции измерения. А раз оно не бывает пустым, то следует говорить и о субстанции его заполняющей, самым общим свойством которой является ее пространственность. Сама же субстанция может быть как материальной (вещественной), так и идеальной (духовной или душевной), психической. Последняя не в меньшей мере пространственна (см., например). Само понятие «пространство» есть некоторая рассудочная модель внешнего мира или его части (подпространство), представляющая его в самом общем его виде. Из этого следует, что само пространство в каждом конкретном случае надо еще построить. Свойство же пространственности отражается в той или иной мере на всех этапах построения модели. С этой точки зрения весь аппарат линейной алгебры, начиная от множеств, полугрупп, групп и заканчивая собственно пространствами мы рассматриваем как инструмент изучения мира в его пространственности.

Моделирование психических явлений явилось естественной реакцией ученых на доказанную Геделем принципиальную незаконченность познания любой системы, выделенной в этом мире. Психическое не является исключением. А если учесть, все многообразие человеческой психики в каждый момент ее реальной психодинамики со всем множеством проносящихся образов, мыслей, чувств (то, что Джеймс называл потоком сознания), то мы действительно попадаем в бесконечный мир, где всякий процесс какой-то своей частью от нас ускользает. Именно поэтому термин модель, как подразумевающий неполноту нашего знания, является наиболее уместным для описания психических явлений. Не все модели в психологии являются математическими, также как и не всякий аппарат математического моделирования применим в психологической науке. В данной главе мы кратко опишем те модели, которые могут быть эффективно использованы в теоретической и прикладной психодинамике.

Теория абстрактных моделей является одним из важнейших и интенсивно развивающихся разделов современной алгебры. Ее формирование приходится на первые десятилетия двадцатого века и может быть рассмотрено как реакция на кризис математики начала нынешнего столетия. Как известно, большое внимание развитию и преодолению этого кризиса, коснувшегося не только математики, но и других точных наук, уделяли также философы и психологи. Не удивительно поэтому, что психологи и в дальнейшем проявляли большой интерес к развитию математики. Крупнейший представитель современной психологии Жан Пиаже сделал попытку построения психологической теории человеческого интеллекта на основе привнесения в психологию некоторых алгебраических понятий и, прежде всего понятий группы и полугруппы. В отечественной науке преодоление кризисной ситуации в психологии было начато Л. С. Выготским, который не только дал критическую оценку работ Ж. Пиаже, но и, подвергнув анализу кризис науки начала века, заложил основы преобразования отечественной психологии. Осуществление этого преобразования рядом крупнейших (233. 153, 160) ученых-психологов обеспечило создание развитой методологии психологической науки и расчистило путь для формализации системы психологических понятий, для активного вовлечения в психологические исследования математических методов как средства более точного формулирования психологического знания.

5.1. Множества и отношения

Понятие множества является основным математическим понятием в том смысле, что любой объект математического исследования и моделирования является множеством. Обратное, однако, неверно. Не любое множество может являться объектом математического исследования. Для того чтобы оно могло таковым стать, множество должно быть корректно задано. Таким образом, множество в отличие от других математических понятий не определяется через другие понятия, а задается. Корректное задание множества каких бы то ни было объектов является первым и наиважнейшим актом подготовки множества исследуемых объектов для их анализа с помощью математического аппарата. В качестве примера некорректно заданного множества приведем известный парадокс Бертрана Рассела. Что делать брадобрею, который получил приказ брить всех, кто не бреется сам? Вопрос заключается в том, должен ли брадобрей брить себя самого, т. е. относится ли он к множеству бреющихся самостоятельно или же к множеству тех, кого бреет брадобрей, т. е. он сам, но если он бреет себя сам, то он не должен бриться брадобреем и т. д. В этом случае условие, задающее множество, не является корректным, так как не позволяет решить вопрос о том, содержится в нем указанный брадобрей или нет. Следовательно, множество является заданным корректно тогда и только тогда, когда условие, задающее множество, позволяет относительно любого элемента, принадлежащего любому, а, следовательно, и данному множеству, однозначно ответить на вопрос принадлежит этот элемент данному множеству или нет. Таким образом, задание множества позволяет относительно всех существующих в мире объектов формулировать однозначные высказывания о принадлежности любого из этих объектов заданному множеству. В противном случае множество не является корректно заданным, и, следовательно, не является множеством в точном смысле этого слова.

Использование абстрактных математических моделей в психологии, видимо, не ограничивается только описанием различных психических процессов и явлений. Познавательные психические процессы человека сами представляют собой модели объектов внешнего мира, и с этой точки зрения их удобно представлять теми или иными алгебраическими моделями. По ходу изложения мы будем стараться иллюстрировать эту мысль. Здесь мы покажем, что всякий отраженный в сознании человека объект является множеством (в точном смысле этого слова). Подтверждением тому может служить психологический принцип предметности восприятия, объясняющий факты, полученные в экспериментах с так называемыми двойственными изображениями (черный – белый крест, жена – теща, два профиля – ваза). Выяснено, что при рассматривании такой картинки человек может в каждый фиксированный момент времени воспринимать либо одно, либо другое изображение, но никогда не может видеть одновременно оба креста. Здесь нам, однако, могут возразить, что человек способен думать одновременно о двух нарисованных крестах. Действительно, посредством мысли человек может осуществить операции объединения этих объектов, получив в результате некоторое новое множество, но при этом в каждый фиксированный момент времени человек может думать только о каком-то конкретном множестве, даже если оно получено как комбинация других. В книге Ф. Д. Горбова и В. И. Лебедева (85) описаны случаи; когда человек оказывался в условиях, требующих одновременной переработки информации о различных (или даже одинаковых, но по-разному заданных) множествах объектов. Авторы показывают, что в такой ситуации мозг человека отказывается работать, и наступает временная потеря сознания.

В приведенных примерах мы коснулись таких важных понятий, как подмножество данного множества, элемент множества, объединение множеств. Сейчас мы определим точно эти и некоторые другие важные понятия теории множеств. Введем некоторые обозначения. Как это и делается обычно, множества мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, …, элементы соответствующих множеств – маленькими буквами a, i … Знак ∈ означает принадлежность элемента множеству. Например: а ∈ А означает, что а, является элементом множества А, если же он таковым не является, то используют знак ∉: а ∉ А. Если имеем дело с множествами, состоящими более чем из одного элемента, то необходимо бывает различать свойства, присущие всем элементам данного множества, и свойства, присущие только какой-то их части или единственному элементу из всего множества. Символ ∀ а – означает «любой элемент а —», а ∃ а «существует элемент а —» (далее обычно следует указание – какой). Если важно подчеркнуть, что такой элемент в интересующем нас множестве только один, то пишут ∃! а, Таким образом, любой элемент а либо является элементом данного множества А, либо не является им.

Введем теперь понятие подмножество множества, для чего нам понадобятся еще два символа: ⇔, означающий «тогда и только тогда», и ⇒ означает «следует» (влечет). Запись В ∈ А ⇔ ∀ в ∈ В ⇒ в ∈ А может быть прочитана следующим образом: В является подмножеством А тогда и только тогда, когда каждый элемент из В является элементом А. Если же напротив А является подмножеством В, то мы можем записать следующее: А ∈ В ⇔∀а ∈ В. Знак А обозначает конъюнкцию и может быть прочитан как союз «и»:

А ∈ В ∧ В ∈ А, (1)

Выражение (1) означает, что каждый элемент множества В является элементом множества А и наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В. Легко видеть, что в этом и только в этом случае множества А и В состоят из одних и. тех же элементов. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными или находящимися в отношении равенства, что записывают

А = В.

Таким образом, знак равенства означает, что А есть в точности то же самое множество, что и. В, но может быть по-другому заданное.

Способов же задания множества существует бесконечно много. Однако все их можно разделить на две группы: I) множество может быть задано перечислением своих элементов. В этом случае применяют запись

A = {а₁, а₂,…};

2) множество может быть задано условием, позволяющим отличать его элементы среди всех других. В этом случае каждый элемент множества удовлетворяет заданному условию и ни один элемент, не принадлежащий данному множеству, не удовлетворяет указанному условию. Тогда применяется следующая запись:

А = {а /^{условие}}

Итак, мы определили понятия множества и подмножества. Полезно также ввести понятия надмножества как множества, содержащего данное множество:

A′ ⊃ A,

и понятие пустого множества, как множества, не содержащего ни одного элемента (обозначается Ø). Пустое множество по определению является подмножеством любого множества.

Введем теперь понятие объединения множеств. Множество С является объединением множеств А и В, если каждый элемент С является либо элементом А, либо элементом В. В принятой символике это можно записать так:

С = А ∪ В⇒ (∀ с ∈ С ⇒ с ∈ А v с ∈ В), (2)

Аналогично можно определить понятие пересечения двух множеств. Множество С является пересечением множеств А и В, если каждый элемент С является одновременно и элементом А и элементом В, т. е. С есть множество общих элементов А и В. Если, однако, у А и В о нет общих элементов, то С есть пустое множество. Это можно записать так:

С = А ∩ В ⇒ (с ∈ С ⇒ с ∈ А ∧ с ∈ В), (3)

Если В является подмножеством А, то можно определить понятие разность множеств А и В как множество тех элементов А, которые не являются одновременно элементами множества В.

В = А\В, (4)

Разность А и В называется также дополнением В в А.

Введем теперь понятие пары объектов. Этими объектами могут быть как элементы множеств, так и сами множества. В понятии пары кроме количества выбираемых объектов фиксируется также порядок их следования. Так, например, если A ≠ В, то две пары множеств (А, В) и (В, А) не являются равными: (А, В) ≠ (В, A). Рассмотрим теперь множество всех пар элементов множества А, оно называется декартовым квадратом множества и обозначается А², Смысл такого названия в том, что если множество А содержит k элементов, то количество упорядоченных пар будет равно k².

Итак, декартов квадрат множества А сам является некоторым множеством. Любое его подмножество будем называть бинарным отношением, заданным на множестве А. (Отметим, что все другие виды отношений, которые можно определить на множестве А, также являются подмножествами, но уже не декартова квадрата А, а любой другой декартовой степени А, т. е. являются множествами троек, четверок и т. д. элементов из А.)

Так как понятие отношения является одним из важнейших понятий современной психологии, остановимся подробнее на уяснении смысла его точного определения, приведенного выше. Первое, что бросается в глаза это то, что отношение является некоторым множеством. Это на первый взгляд противоречит тому смыслу, который вкладывается в понятие отношение в гуманитарных науках. На наш взгляд, это противоречие является только кажущимся. Действительно, когда говорят об отношениях личности, отношениях между людьми, отношениях человека к тем или иным объектам внешнего мира, то создается впечатление, что выражение отношения не предполагает наличия какого-то множества, над которым это отношение можно было бы задать.

Определим теперь некоторые важные свойства отношений. Возьмем для примера отношение родства между людьми. Обозначим его буквой Р (людей будем обозначать маленькими буквами латинского алфавита). Первое, что можно сказать об этом отношении, это то, что человек не является родственником самому себе, т. е. аРа. неверно. Такое отношение называется антирефлексивным. Если же отношение аРа – выполнено, т. е. пара (а, а) принадлежит Р, то такое отношение называется рефлексивным, т. е. обладает свойством рефлексивности. Например, отношение равенства является рефлексивным. Любой объект равен сам себе. Далее, если человек является родственником другого человека, то и тот является родственником данного. Далее, «если человек является родственником другого человека, а этот другой является родственником третьего, то этот третий также является родственником первого». Это можно записать так: если aPb ∧ bРс ⇒ аРс. Отношение, для любых трех элементов которого выполнено данное условие, называется транзитивным. Если это условие не выполнено хотя бы для одной тройки элементов, то отношение не является транзитивным. Если отношение аРb влечет bРа, то также отношение называется симметричным.

Рассмотрим теперь бинарное отношение R, обладающее следующими тремя свойствами:

1) aRa. (рефлексивность);

2) aRb ⇒ bRa (симметричность);

3) aRb ∧ bRc ⇒ aRc (транзитивность).

Отношение, обладающее указанными тремя свойствами, называется отношением эквивалентности. Примером такого отношения может быть отношение равенства. Действительно, любой объект всегда равен сам себе, если a = b, b = c, то a = c, и, конечно, если a = b, то b = a.

Отношение эквивалентности является чрезвычайно важным понятием для социальной психологии. Это обусловлено одной его особенностью. Если на множестве задано отношение эквивалентности, то данное множество оказывается разбито на подмножества (или классы), не имеющие общих элементов. Действительно, объединим в один класс все элементы, эквивалентные данному элементу a ⊂ А. Тогда в силу транзитивности отношения всех элементов внутри класса эквивалентности будут попарно эквивалентны, так как из aRb и aRс следует bRc. Таким образом, любой из элементов класса эквивалентности может быть выбран в качестве его представителя. А это значит, что если мы начнем построение класса с любого другого элемента b, то получим тот же самый класс, т. е. K_a = K_b. Если же элемент b не находится в отношении эквивалентности с элементом a-, то классы K_b и К_a не будут иметь ни одного общего элемента, в противном случае существовал бы один общий элемент, такой, что aRс влечет bRc, из чего в силу транзитивности следовало бы aRb, т. е. a и b принадлежат к одному и тому же классу. Мы получили противоречие, следовательно, классы эквивалентности не пересекаются, т. е. не имеют общих элементов.

Важным следствием является то, что объединение всех классов эквивалентности данного множества полностью покрывает исходное множество. Наглядно это можно себе представить так: если разрезать кусок ткани на несколько частей различной формы, а потом снова сшить их вместе (швы не принимая во внимание), то получим тот же самый кусок. С этой точки зрения отношение эквивалентности для психологов представлялось идеальной моделью типологии отдельных психических явлений и человеческих индивидов в целом, например, задающим разбиение множества на три класса: люди, не обладающие полом (гермафродиты), люди мужского пола, люди женского пола. Таким же является отношения «иметь одинаковый цвет волос, глаз, рост» и т. д. Однако не только антропометрические, но и некоторые социологические признаки позволяют представлять множества людей классами эквивалентности. В качестве примера можно привести отношение «иметь одинаковый стаж работы на данном предприятии». Если же мы обратимся далее к простейшим психологическим свойствам человека, таким, как свойства его темперамента, характера, личности, особенности восприятия или поведения в целом, то по этим свойствам мы уже не сможем подразделять людей на непересекающиеся множества, т. е. на классы эквивалентности. При этом, однако, следует отметить, что если процедура классификации индивидов разработана в соответствии с моделью эквивалентности, то применение этой процедуры, конечно, даст разбиение людей именно на классы эквивалентности. Вся беда в том, что, повторив эту процедуру несколько раз, мы получим совсем другое разбиение. Из этого следует, что модель множества людей с заданным отношением эквивалентности по данному признаку (например, по особенностям темперамента) неадекватно отражает действительность или, как считают авторы, использующие такую модель, не удается пока еще разработать подходящую процедуру классификации. Рассмотрим, однако, еще одно важное для психологии отношение, обладающее свойствами рефлексивности и симметричности, но не обладающее свойством транзитивности, такое отношение называется отношением толерантности. В качестве примеров можно привести отношения сходства или знакомства между людьми. Так, если один объект похож на другой, то и этот другой похож на первый (симметричность), при этом естественно, что каждый объект похож сам на себя (рефлексивность). Однако из того, что второй объект похож на некоторый третий, уже не следует, что и первый похож на третий сходство может утрачиваться. Так, если два человека знакомы и один из них знаком с третьим, то из этого не следует, что и первый знаком с третьим. Отношение толерантности также разбивает исходное множество на некоторые классы. Однако классы толерантности уже не являются непересекающимися. Попробуем рассмотреть Гиппократовские типы темпераментов не как классы эквивалентности, а как классы толерантности. Проанализируем с этой точки зрения тест Айзенка. Автор теста разработал опросник, который позволяет оценить личность человека по двум основным свойствам – экстравертированность (открытость человека внешнему миру, его общительность, заинтересованность и т. п.) и нейротизация (нервозность человека, его тревожность, боязнь общения и т. п.). Каждое из свойств измеряется по 24-балльной шкале, следовательно, каждому человеку может быть поставлена в соответствие пара чисел. Меланхолик характеризуется высоким нейротизмом и низкой экстраверсией, холерик – высоким нейротизмом и высокой экстраверсией, флегматик низкой экстраверсией и низким нейротизмом, сангвиник – высокой экстраверсией и низким нейротизмом. Легко видеть, что для некоторых пар типов характерно наличие одного общего свойства, а для других, напротив, характерно отсутствие общих свойств. Так, холерик и меланхолик одинаково характеризуются высоким нейротизмом, а флегматик и меланхолик имеют одинаково низкую экстравертированность. Напротив, холерик и флегматик не имеют между собой ничего общего. Отношение «иметь хотя бы одно общее свойство» является отношением толерантности. Действительно, каждый тип имеет сам с собой даже два общих свойства, и если он имеет общее свойство с «соседним» типом, то и тот имеет это же общее свойство с ним. Например, холерик и сангвиник находятся в отношении толерантности так же, как холерик и меланхолик, в то время как меланхолик и сангвиник – нет, также как и холерик и флегматик. Действительно, как на основе интуитивных представлений, так и из многочисленной литературы ясно, что сангвиника с меланхоликом, также как и флегматика с холериком спутать очень трудно. В то время как в зависимости от ситуации флегматик может вести себя как меланхолик или как сангвиник, холерик также может впадать в меланхолию или, напротив, быть спокойным как сангвиник. Таким образом, мы видим, что отношение толерантности, заданное на том же самом множестве, позволяет несколько с иной точки зрения взглянуть на проблемы психологических типов. Мы видим, что даже такие простейшие модели как множества с заданным отношением уже в существенной мере определяют направление исследовательского поиска. Легко понять, каким мощным орудием располагает исследователь, если он ясно представляет себе, с какой моделью работает.