Александр Иванович Бородулин
Удивительные числа Фибоначчи
Один минус ноль равно одному.
Три минус один равно двум.
Шесть минус три равно трем.
Десять минус шесть равно четырем.
Пятнадцать минус десять равно пяти.
Уже совершенно ясно, что получается ряд натуральных чисел!
Если любое число из натурального ряда является суммой того количества единичек, которое совпадает с порядковым номером этого числа в ряду, то, вполне возможно, что любое число из нашего, пока непонятного, ряда является накопительной суммой натуральных чисел до порядкового номера этого числа. Давайте сразу это проверим!
Один плюс два равно трем.
Один плюс два плюс три равно шести.
Один плюс два плюс три плюс четыре равно десяти.
Один плюс два плюс три плюс четыре плюс пять равно пятнадцати.
Ура! Наши предположения оказались верными!
Теперь, ради забавы вспомним, что многие жители западной части нашей планеты панически боятся числа шестьсот шестьдесят шесть. В чем же причина такого необъяснимого страха? Почему они не боятся, например, числа сто одиннадцать или девятьсот девяносто девять? Дело в том, что число шестьсот шестьдесят шесть – это сумма натуральных чисел от одного до тридцати шести. А тридцать шесть – это максимальный номер на рулетке, в которую так любят играть «прожигатели жизни». Тупость этих, иначе не скажешь, олухов, заключается в том, что они боятся обыкновенного безобидного числа, а вот в азартные игры, которые, всем без исключения, приносят только несчастья, с бараньим упорством, продолжают играть!
Чтобы проверить, что число шестьсот шестьдесят шесть является суммой чисел от одного до тридцати шести, вовсе не обязательно складывать все эти числа, как, непременно, но очень быстро, сделал бы компьютерный процессор, можно умножить число тридцать шесть на следующее число, то есть тридцать семь, и разделить результат на два. К слову число тридцать семь, а точнее утроенное число тридцать семь является основанием всех трехзначных чисел с одинаковыми цифрами.
Итак, мы нашли правило образования ряда накопительных сумм натуральных чисел. Но зачем нам это? Как мы можем применить этот ряд на практике? Дело в том, что накопительной суммой натуральных чисел определяется количество возможных попарных сочетаний из некоторого набора чисел. Это звучит достаточно витиевато, поэтому лучше привести пример.
Представьте, что у вас есть три тюбика с красками: красной, желтой, синей. Нужно узнать, сколько смешанных цветов мы получим, смешивая краски только по две, и только пополам? На этот вопрос мы легко дадим ответ перебирая возможные варианты. Красный с желтым. Желтый с синим. Синий с красным. Всего лишь три варианта. Результатами станут оранжевый, зеленый и фиолетовый цвета. Таким образом в радуге вовсе не семь, а шесть цветов! Дело в том, что описавший спектральное разложение белого света ученый Исаак Ньютон был весьма склонен к мистике, и считал число семь магическим. Поэтому и слукавил, назвав голубой и синий двумя разными цветами.
Что же касается составления возможных попарных сочетаний из большего количества исходных предметов, надежнее и быстрее умножить число исходных предметов на число большее на единицу и разделить на два.
Например, учитель повел на экскурсию учеников в количестве восьми человек (не всех учеников заинтересовала эта экскурсия). Нужно разместить всех заинтересованных в ряд по два. Главное – замыкающая ряд пара! Не важно мальчик с девочкой, мальчик с мальчиком или девочка с девочкой. Сколько есть вариантов? Не будем заморачиваться, и умножим восемь на девять и разделим на два. Получим тридцать шесть! Согласитесь, что вычислить это вручную было бы весьма затруднительно!
Ну, а теперь, пора вернуться к ряду «Фибоначчи».
Первое число – один. Второе число – один. Третье число – два. Четвертое число – три. Пока смущают только две единицы в начале, а так вроде бы нормальное возрастание. Однако, продолжим! Пятое число – пять. Шестое число – восемь. Седьмое число мы пока не знаем, но, обязательно узнаем, если поймем закономерность. А есть ли она, эта закономерность? Закономерность есть всегда, когда задано какое-либо правило развития! Поэтому закономерность точно есть, только сложно ли будет ее обнаружить?
Попробуем установить ряд разниц между числами. Один минус один будет ноль. Два минус один будет один. Три минус два будет один. Пять минус три будет два. Восемь минус пять будет три. Получился ряд ноль, один, один, два, три. Похоже на ряд натуральных чисел, но все портит вторая единица!
Все же нам необходимо попыхтеть и установить вручную, сколько же монет окажется на поле чудес в седьмой день.
Вспомним: в шестой день на поле будут три деревца с «плодами» и два молодых деревца. Что произойдет на следующий, то есть седьмой, день? Все пять деревьев принесут «плоды», а из трех «плодов» прошлого дня вырастут молодые деревца. Таким образом, на чудесном нашем поле уже будут тринадцать монеток! То есть на пять больше, чем в шестой день. Это обусловленно тем, что плодоносящих деревьев было пять. Теперь мы можем еще раз выстроить числовой ряд из разниц. Ноль, один, один, два, три, пять.
Получается такой же ряд, только «сдвинутый» на день назад!
Ну вот теперь, совершенно очевидно, что следующее число образуется добавлением предыдущего к текущему. Так ли это?
Давайте же немедленно проверим наше предположение!
Ноль плюс один будет один. Один плюс один будет два. Два плюс один будет три. Три плюс два будет пять. Пять плюс три будет восемь. Восемь плюс пять будет тринадцать.
Снова Ура! Вот мы и разгадали эту весьма не простую задачу! Каждое последующее число образуется сложением двух предшествующих чисел!
Но давайте закрепим наш результат! По нашим расчетам в восьмой день на поле чудес будут находится, тринадцать плюс восемь, двадцать одна монетка.
Проверим это пересчетом. К окончанию седьмого дня было пять деревьев с плодами и три молодых деревца. Значит, в восьмой день восемь деревьев принесут по новой монетке, и вырастут пять новых деревьев. Как будем считать? К удвоенному количеству плодоносящих деревьев (удвоенное потому, что одна монетка в корнях, вторая на ветвях) прибавим количество пока еще молоденьких деревьев (только одна монетка, которая в корнях). Дважды восемь будет шестнадцать. Плюс еще пять, будет двадцать одна.
Мы – молодцы! Закономерность найдена!
Теперь мы можем точно подсчитать количество монеток в любой день!
Причем мы знаем, что текущее число соответствует количеству плодоносящих деревьев, предыдущее число соответствует количеству молоденьких деревьев. Кстати! Давайте уже выйдем со сказочного поля чудес, и рассмотрим развития этого числового ряда в реальности.
Однажды погожим весенним утром, когда из, согретой лучами солнышка, земли взошел тоненький, нежный росток. Первые два месяца он просто тянулся к солнышку. Вторые два месяца он стал крепнуть и в последующие два месяца он еще подрос сам, да еще пустил новую нежную веточку. Но тут наступила осень, а потом снежок укрыл этот маленький, но живучий росток от зимних морозов. Долго длилась зима, но росток все это время крепко спал, и проснулся только тогда, когда земля снова согрелась, и питательные соки побежали по росточку. И за четвертые два, благоприятных для роста, месяца подрос основной стебелек, который пустил еще одну веточку, а также подросла и окрепла веточка, которая появилась еще прошлым летом. Прошло еще два теплых месяца. Пятые по счету из теплых. Стебель еще подрос и вывел еще одну веточку. Первая веточка сама подросла и вывела уже свою веточку. Вторая веточка тоже подросла. И теперь, растение состояло уже из пяти оконечностей, три из которых в следующие два месяца выпустят по новой веточке.
Дальнейшая программа развития этого растения при благоприятных условиях нам уже хорошо известна.
Возможно, вам, Ребята, придется услышать такую формулировку: «Даже галактики закручиваются, подчиняясь закону Фибоначчи!» Подобные формулировки в основе своей неправильны и просто невежественны! Природные явления не подчиняются закономерностям, которые открыли люди! Они существовали, существуют и будут существовать всегда, вне зависимости от их открытия людьми или какими-либо другими существами, которые сами являются творениями Природы. Правильно, надо говорить: «Формирование галактических спиралей математически можно описать числовой последовательностью, которую впервые определил Леонардо Пизанский».
Но давайте поинтересуемся, есть ли у это числового ряда зеркальное отражение? Ведь мы начали с двух единиц. А это значит, что вторая единица получилась в результате сложения предыдущей единицы с каким-то другим числом. Совершенно ясно, что это число – ноль. Тогда первая единица является суммой этого нуля и какого-то числа. Понятно, что число – один. Число ноль является суммой этой единицы и еще одной единички, к которой следует прикрепить знак «минус». И вот эта минусовая единичка может сложиться только с числом два, чтобы получилась просто единичка. Продолжая таким образом, мы, с удивлением, увидим, что в зазеркалье числа «Фибоначчи» имеют прикрепленный минус только через одного!
И, как обычно, подружившись с кем-нибудь или с чем-нибудь, возникает желание поиграть.
Как же можно поиграть с числами «Фибоначчи?» Ну, например, давайте попробуем поиграть в «чехарду», когда предыдущий перескакивает через текущего и становиться следующим. С числами можно тоже так поиграть.
Например, мы теперь знаем, что пять получается в результате сложения числа три и числа два. А можем ли мы получить число пять в результате сложения числа два и числа один, то есть предпредыдущих чисел?
Если мы удвоим число два и прибавим один, то получим пять. А если удвоим число три и прибавим два, то получим восемь. А если удвоим число пять и прибавим три, то, как уже всем понятно, получим тринадцать.
А как получить число тринадцать из трех и двух? Попробуем утроить число три и прибавить два. Упсс! Получится одиннадцать. А нам надо тринадцать! Что мы сделали не так? Мы увеличили один множитель, но совершенно забыли увеличить второй. Исправим эту оплошность и проверим. Три умножить на три и прибавит удвоенное два. Получилось! В смысле, получилось тринадцать.
А теперь давайте узнаем десятое число, не узнавая пока, девятое число. Итак! Шестое число – восемь. Седьмое число – тринадцать. Шестое число удвоим. Будет шестнадцать. Седьмое число утроим. Получится тридцать девять. Теперь, осталось их сложить, и получить пятьдесят пять.
Обратите внимание, Ребята, что число пятьдесят пять – это сумма чисел от одного до десяти. Проверим! Десять умножим на одиннадцать и разделим пополам. Значит, десятое число ряда накопительных сумм натуральных чисел совпадает с десятым числом ряда «Фибоначчи». На этом этапе ряд «Фибоначчи» догнал ряд накопительных сумм, и в дальнейшем, уже недосягаемо, «уйдет в отрыв».
А теперь давайте узнаем число из ряда «Фибоначчи» под номером девять. Для этого просто вычтем из пятидесяти пяти двадцать один. Получим тридцать четыре. Проверим другим способом. К двадцати одному прибавим тринадцать, или к удвоенному числу тринадцать (двадцать шесть) прибавим восемь, или к утроенному числу восемь (двадцать четыре) прибавим удвоенное число пять (десять). Есть еще варианты? Безусловно есть!
Попробуем к пяти, умноженному на четыре, прибавить утроенную тройку. Получилось двадцать девять. Что-то сделали не так! Не хватает пятерки! Значит, пять нужно умножать не на четыре, а на пять! А! Вот в чем хитрость!
Умножать надо только на те числа, которые сами входят в ряд «Фибоначчи!»
Для проверки, умножим шестое число на пятое (сорок), прибавим пятое число, умноженное на четвертое (пятнадцать). Получим десятое число (пятьдесят пять). Неужели мы обнаружили закономерность чисел «Фибоначчи» по номерам? Ведь, шесть плюс пять, плюс еще пять, и плюс четыре будет двадцать. А если двадцать поделить пополам будет десять!
