Ярослав Суков
Эффект бабочки в трейдинге

«На рынке нет мелочей. Есть лишь те детали, значение которых мы ещё не вычислили.»

Ярослав Суков

Введение

1. От Взмаха Крыла до Финансового Урагана: Как Обуздать Хаос

Представьте себе: ясное утро 1961 года. Ученый-метеоролог Эдвард Лоренц сидит за громоздким компьютером LGP-30, пытаясь смоделировать поведение атмосферы. Он решает сэкономить время и вводит не исходные данные, а числа, округленные до тысячных. Отходит выпить кофе, возвращается – и замирает. График на распечатке, который должен был почти точно повторять предыдущий, ушел в совершенно иное, непредсказуемое русло. Микроскопическое изменение – ввод 0.506 вместо 0.506127 – привело к радикально иному долгосрочному прогнозу погоды. Так родилась «чувствительность к начальным условиям». А позже – поэтичный образ: «Может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?»

Теперь перенесемся в наши дни. Рынки. Электронные стаканы заказов. Тик за тиком. 7 утра понедельника, аналитик крупного хедж-фонда в Лондоне, не выспавшись после рождения ребенка, чуть медленнее обычного реагирует на всплеск волатильности в азиатской сессии. Он нажимает не «отклонить», а «подтвердить» алгоритмический сценарий. Алгоритм исполняет серию ордеров.

Это создает микроскопический, почти невидимый дисбаланс ликвидности в ETF на европейские облигации. Его ловит высокочастотный маркет-мейкер в Чикаго, чей собственный алгоритм, следуя протоколу, уходит в сторону, мгновенно перекладывая риск на фьючерсы. Через 47 секунд цепная реакция достигает японского рынка гособлигаций, где робот пенсионного фонда интерпретирует поток как сигнал о надвигающемся росте ставок.

Он начинает распродавать. К 9:30 утра по Нью-Йорку, фондовые индексы падают на 2% без видимых новостных причин. Миллиарды капитала испаряются. Все началось с одного уставшего щелчка мыши – «взмаха крыла» в сердце финансовой системы.

Добро пожаловать в реальный мир, где Эффект Бабочки – это не метафора, а ежесекундная операционная реальность. Где триллионы долларов управляются алгоритмами, чьи уравнения – прямые потомки тех, что изучал Лоренц. Где нелинейность, каскады и непредсказуемость – не досадное отклонение, а сама ткань рынка.

Но вот парадокс, который лежит в основе этой книги:

То, что создает риск, также является источником величайших возможностей. Хаос – это не стена. Это – лестница.

Цель этой книги – дать вам не бинокль для наблюдения за хаосом, а карту и компас для навигации в нем. Мы не будем просто восхищаться «чудесами сложности». Мы разберем ее на составные части, поймем ее язык и – самое главное – научимся извлекать из ее поведения алгоритмическое и интеллектуальное преимущество.

Эта книга – гибрид. Как и современный рынок. Здесь мысль и действие сплетены воедино.

Часть I: Мышление (Научно-популярный детектив). Мы станем философами и историками рынка. Отправимся от кофейных лавок Амстердама XVII века, где рождалась первая биржа, до серверных ферм в Нью-Джерси, где свет передает данные быстрее звука.

Мы увидим, как идеи теории хаоса, сетевой теории, поведенческой экономики и эволюционной биологии объясняют паники, пузыри и неожиданные устойчивые тренды. Вы поймете почему рынок – это сложная адаптивная система, а не просто случайное блуждание или механический цикл.

Часть II: Инструменты (Мастерская трейдера-ученого). Здесь мы переведем философию в практику. Мы рассмотрим нелинейные математические модели (логистическое отображение, аттракторы), не углубляясь в дебри доказательств, но четко улавливая их финансовую суть.

Вы увидите, как крошечные аномалии в корреляциях или в распределении хвостов риска могут быть теми самыми «взмахами крыльев», предшествующими крупным движениям. Мы создадим мысленные и цифровые «песочницы» для симуляции рыночного хаоса.

Часть III: Алгоритмическое Преимущество (Архитектор будущего). Это кульминация. Как спроектировать стратегию, которая не боится хаоса, а использует его логику? Мы разберем кейсы: от «Черного лебедя» Нассима Талеба (антихрупкость) до алгоритмов, выискивающих «предвестников фазового перехода» в социальных медиа и данных спутников. Вы познакомитесь с концепцией «ловли бабочек» – не предсказания ураганов, а построения робастных систем, которые выигрывают от непредсказуемости, и «симуляции ураганов» – стресс-тестирования своих идей в миллионах сценариев.

Где метафора «бабочки» точна, а где обманчива?

Метафора точна в главном: в современных гиперсвязанных финансах незначительные события в периферийных секторах могут (ключевое слово!) каскадно усилиться и вызвать глобальные последствия. Но она обманчива в трех аспектах:

1. На рынке летают миллиарды бабочек. Не один взмах, а постоянный хоровод взаимовлияющих сил.

2. Мы не знаем, какая именно бабочка «опасна». Это узнается лишь ретроспективно.

3. Самое важное: мы можем построить радар, который видит не бабочку, а зарождающийся паттерн урагана. И именно на этом строится преимущество.

Эта книга для вас, если вы:

Трейдер или фондовый аналитик, уставший от линейных индикаторов и ищущий глубинное понимание рыночной динамики.

Разработчик алгоритмов, желающий вдохнуть новые, междисциплинарные идеи в свои модели.

Частный инвестор, который чувствует, что традиционные подходы трещат по швам, и хочет мыслить на опережение.

Исследователь или студент, видящий в финансовых рынках самую захватывающую лабораторию прикладной математики, психологии и физики сложных систем.

Просто любознательный, очарованный точками соприкосновения науки, технологий и общества.

Как устроена эта книга:

Каждая глава – это слоеный пирог. Историческая или научная завязка, погружение в концепцию, разбор реального рыночного кейса (от краха LTCM до Flash Crash и мемных акций), и затем – «Лаборатория»: практические упражнения, простые симуляции на Python (с кодом в приложении) или вопросы для «мысленного моделирования». В конце ключевых глав – «Философия неуязвимости» – краткий вывод, как интеграция этих идей в свою операционную систему принятия решений.

Мы стоим на пороге новой эры, где искусственный интеллект встретится с финансовым хаосом. Слепое применение силы (больше данных, быстрее железо) перестает работать. Победит тот, кто поймет логику самой системы. Эта книга – ваш проводник в эту логику.

Готовы совершить взмах, который изменит все?

2. Почему современный трейдинг живёт в режиме «ХАОС 24/7»

Тишина перед… чем именно?

23 октября 2014 года. 21:45 по Гринвичу. На экранах трейдеров по всему миру происходит нечто необъяснимое. За 12 секунд – фьючерс на 10-летние казначейские облигации США, самый ликвидный инструмент на планете, совершает «ралли-обвал». Он взлетает на величину, эквивалентную типичному движению за целый месяц, и тут же обваливается обратно. Объем торгов в эти секунды превышает средний недельный оборот небольшой европейской биржи. Никаких новостей. Никаких сбоев в отчетности. Просто рынок, подобно океану в штиль, внезапно породил и схлопнул цунами высотой в сто футов, даже не потревожив поверхность.

Такого не могло произойти в 1985 году. Или в 1999-м. Это – дитя новой эпохи. Эпохи постоянного, непрерывного, алгоритмического хаоса. Мы покинули мир дискретных событий и вошли в мир непрерывной нелинейности.

От Ревущей Толпы к Шепоту Чипов: Краткая История Ускорения

Представьте биржевой зал Чикагской товарной биржи (CME) в 1980-е. «Хаос» тогда был шумным, медленным и человеческим. Это был хаос жестов, криков, бумажных квитанций. Сигналы распространялись со скоростью звука и мышечной реакции. Система была сложной, но «прерывистой» – между торгами были паузы, ночь была священным временем покоя, а информация текла по узким каналам.

Три технологических Больших Взрыва уничтожили эту старую вселенную:

1. Цифровизация (1990-е): Торговые терминалы, первые электронные стаканы. Хаос стал видимым и измеримым в виде стакана заявок. Скорость возросла до скорости локальной сети.

2. Алгоритмизация (2000-е): Человек перестал быть исполнителем, стал "архитектором правил". VWAP, TWAP, статистический арбитраж. Рынок превратился в арену взаимодействия автоматонов, следующих логике, но лишенных интуиции.

3. Гиперскорость и Глобальная Связность (2010-е → по н.в.): Здесь родился «хаос 24/7». Высокочастотный трейдинг (HFT) сократил временные горизонты до микро- и наносекунд. Криптовалютные рынки, никогда не спящие, добавили новый, абсолютно дикий контур. Социальные сети (от Twitter до Reddit) стали нелинейным усилителем коллективной психологии, где твит может обладать большей силой, чем отчет ФРС.

Современная экосистема – это не одна биржа. Это глобальная нейронная сеть, где:

Нейроны – это алгоритмы (HFT-маркет-мейкеры, арбитражные роботы, институциональные «алго-снайперы»).

Синапсы – это оптоволоконные линии (спутниковые каналы, прямые подключения к биржам).

Нейромедиаторы – это потоки данных: не только цены, но и новости, обработанные NLP, настроения из соцсетей, данные спутников о запасах нефти, транзакции в блокчейне.

Эта сеть всегда включена, всегда обучается, всегда реагирует.

Технологические Драйверы «Непрерывного» Хаоса

1. Ускорение как самоцель и как ловушка. Когда все конкурируют за наносекунды, система достигает фундаментальных физических пределов (скорость света). Это создает не стабильность, а хрупкость. Алгоритмы, знающие о своем скоростном превосходстве, ведут себя агрессивнее. Те, кто медленнее, вынуждены использовать более хитрые, предсказательные или дестабилизирующие стратегии. Скорость не устраняет хаос – она сжимает его во времени, делая вспышки более резкими и частыми.

2. Распределенность и эхо-эффекты. Событие в сингапурском крипто-пуле моментально отражается в цене фьючерса на S&P 500 в Чикаго через общих алгоритмических арбитражеров. Нет больше изолированных «сегментов». Каждый рынок – суперпозиция всех остальных.

Это создает каскадные отказы, когда сбой в одном узле сети (например, сбой ценообразования у одного маркет-мейкера) не гасится, а многократно отражается и усиливается другими алгоритмами, интерпретирующими его как сигнал.

3. Автоматизация принятия решений и петли положительной обратной связи.

Человек обладает внутренним «демпфером» – сомнением, усталостью, интуитивным страхом. Алгоритм, следующий правилу «продавать при падении цены на X% за интервал Y», не сомневается. Если сотни алгоритмов следуют похожим правилам (риск-менеджмент по VaR, стоп-лоссы), их совместное действие создает нелинейный коллапс ликвидности. Они не «паникуют», они холодно и эффективно исполняют код, что ведет к коллективной панике системы. Это и есть «флэш-крэш» в чистом виде.

Анатомия Микрокатаклизмы: Уроки из Сердца Бури

Флэш-крэш 6 мая 2010 года – классический учебник. За 36 минут индекс Dow Jones потерял почти 1000 пунктов (9%), а потом отыграл большую часть падения. Расследование выявило не «виновника», а каскадный сбой экосистемы:

1. Начальное условие (бабочка): Крупный ордер на продажу E-Mini S&P фьючерсов, исполненный алгоритмом, не учитывающим ликвидность.

2. Нелинейный усилитель (ураган): HFT-алгоритмы, выступавшие как маркет-мейкеры, не просто остановились – они развернулись и стали агрессивными продавцами, мгновенно истощив ликвидность.

3. Сетевая связность (штормовой фронт): Паника перекинулась на тысячи отдельных акций, где цены на секунды упали до абсурдных величин (Procter & Gamble за центы).

4. Системный откат (глаз бури): Человеческие трейдеры и более медленные алгоритмы, увидев абсурдные цены, вошли как покупатели, вернув систему к равновесию.

Вывод: В эпоху 24/7 хаоса ликвидность – иллюзия. Она есть, пока в нее верят алгоритмы. Она исчезает в наносекунду, когда срабатывает триггер. Риск сместился с «куда пойдет цена» к «как поведет себя сеть».

Последствия: Новая Психология и Новая Математика Риска

Для управления риском: Старая парадигма (нормальное распределение, VaR) мертва. Она предполагала мир постепенных изменений. Новая парадигма – это теория экстремальных значений, сценарный анализ и постоянная «стресс-симуляция» сетевых эффектов. Риск-менеджер теперь должен быть системным инженером, думающим не в терминах «волатильности акции А», а в терминах «уязвимости связей между алгоритмами Б и В при событии Г».

Для психологии трейдера: Это самый глубокий вызов. Человеческий мозг эволюционировал для решения задач в скоростном диапазоне от секунд до часов. Он не способен воспринимать микроструктурные события. Интуиция, «чувство рынка», становятся смертельно опасными. Возникает цифровой невроз: постоянное ожидание «флэша», паралич перед лицом нечитаемой скорости, попытки конкурировать с машиной там, где это бессмысленно.

Но есть и светлая сторона. Эта новая реальность открывает двери для трех новых типов преимуществ:

1. Скоростное (удел избранных с доступом к ядерным реакторам и прямой прокладке кабелей).

2. Аналитическое (понимание сетевой структуры, выявление хрупких узлов, предвестников каскадов).

3. Антихрупкое (создание стратегий, которые выигрывают от волатильности и нелинейных скачков, а не страдают от них).

Вывод: Мы не можем остановить машину 24/7. Мы не можем замедлить время. Но мы можем сменить перспективу. Перестать быть жертвой хаоса, мечущейся в его потоках. Наша цель – стать его картографом, экологом и, в конечном итоге, архитектором устойчивых систем, способных не просто выживать в непрерывном шторме, но и использовать его энергию для движения вперед.

Следующая глава – ваша первая карта. Мы спустимся на уровень нелинейной математики, чтобы понять язык, на котором говорит этот новый мир. Мы увидим, как простые уравнения порождают невероятную сложность, и как это знание превращается из абстракции в ваш самый мощный инструмент.

Лаборатория 2.1: Мысленный эксперимент

Закройте глаза. Представьте глобальную паутину из света, где по нитям бегут искры данных. Каждая искра – торговый ордер. Узлы – алгоритмы, которые зажигаются, гаснут или вспыхивают ярче в ответ. Теперь представьте, что в одном узле появляется крошечная, но странная искра – аномалия. Следите за ней мысленно. Как она путешествует? Гаснет ли она? Или ее подхватывают, копируют, усиливают другие узлы, пока вся сеть не начинает пульсировать в новом, непредсказуемом ритме? Вы только что смоделировали 12 секунд из жизни рынка 24/7.

3. О том, как малые решения формируют большие судьбы портфелей

Полет Икара, версия 2.0

Давайте перенесемся в лабораторию NASA, 1986 год. Инженеры изучают обломки шаттла «Челленджер». Трагедия, унесшая семь жизней, произошла из-за крошечной неполадки – уплотнительного кольца твердотопливного ускорителя, потерявшего эластичность на холоде. Но корень катастрофы лежал глубже: в цепочке микро-решений. Кто-то проигнорировал слабые сигналы на предыдущих запусках. Кто-то решил, что презентацию для руководства можно упростить, убрав технические детали. Кто-то, под давлением графика, согласился на запуск при температуре ниже расчетной. Каждое решение в отдельности казалось оправданным, разумным, незначительным. Их совокупность создала фатальную траекторию.

Ваш торговый день – это непрерывная череда таких «уплотнительных колец». Каждое микро-решение – это взмах крыла в локальной атмосфере вашего портфеля. И законы нелинейной динамики беспощадны: в сложной системе малые причины не просто имеют большие следствия – они накапливаются, искажаются и умножаются.

Анатомия Микро-Решения: Где Прячутся Бабочки

В эпоху алгоритмов и big data ключевые решения часто маскируются под рутину. Вот главные категории:

1. Размер позиции («Сколько?»): Решение нажать не 1.00, а 1.05 в поле объема. Кажется, всего 5%. Но эта «крошка» риска, помноженная на последующую волатильность и, возможно, эмоциональную привязанность к увеличенной позиции, может изменить всю геометрию портфельного риска.

2. Тайминг и нетерпение («Когда именно?»): Решение войти не после теста ключевого уровня, а за 3 тика до него, потому что «кажется, что пошло». Или выйти из прибыльной сделки на 80% от цели, потому что «нельзя жадничать». Эти микро-отклонения от системы, словно небольшой сбой в часовом механизме, со временем приводят к рассинхронизации всей стратегии с рыночным ритмом.

3. Риск-менеджмент как рутина («На автопилоте»): Механическая установка стоп-лосса на уровне round number (например, 50.00) вместо уровня, основанного на волатильности (ATR). В спокойном рынке разница невелика. Но в момент стресса именно вокруг круглых чисел концентрируется ликвидность и срабатывают ордера тысяч других трейдеров, превращая ваш технический стоп в магнит для проскальзывания.

4. Микро-исполнение («Как?»): Использование рыночного ордера вместо лимитного в моменты низкой ликвидности. Пропуск одного пункта в комиссионных при выборе брокера. Пренебрежение разделением крупного ордера на части (алгоритмическим исполнением). Каждая такая «мелочь» – это крошечная утечка капитала. А как известно, через небольшую течь может уйти целый корабль.

Механика Накопления: Эффект «Снежного Компаундинга»

Финансовый мир обожает силу компаундинга для капитала. Но существует и темный двойник этой силы – компаундинг ошибок и потерь.

Представьте простую математику:

Вы совершаете одну микро-ошибку в день, которая стоит вам 0.1% от капитала (неудачное исполнение, неоптимальный стоп).

За месяц (20 торговых дней) – это уже 2% (0.1% * 20). Кажется, терпимо.

Но вот ключ: эти потери сокращают базу для будущей прибыли. Чтобы отыграть 2%, нужно заработать чуть больше. Вы начинаете компенсировать – увеличиваете размер следующих сделок, торгуете чаще. Это порождает новые микро-ошибки, часто более крупные.

Через полгода вы не просто теряете условные 12%. Вы теряете дисциплину, доверие к системе и, главное, психологическую устойчивость. Ваша «функция полезности» искажается. Это нелинейный психологический ущерб, который начинает влиять на качество всех последующих решений. Ошибка перестает быть статистической – она становится системной.

Сценарий Катастрофы: Цепочка за 6 часов

9:00. Алекс, портфельный менеджер, начинает день с легкой головной болью. Он решает пропустить утренний ритуал просмотра экономического календаря и уровней ликвидности. (Бабочка №1: пропуск подготовки).

10:15. Алгоритм Алекса получает слабый сигнал на покупку акции X. Сигнал не дотягивает до порога входа по правилам, но Алекс, чувствуя, что «отстает от плана», вручную одобряет сделку, слегка увеличив размер. (Бабочка №2: нарушение критериев входа).

11:30. Рынок делает ложный вымпел против позиции. Стоп-лосс еще не достигнут, но Алекс, помня об увеличенном размере, вручную двигает стоп ближе к цене, «чтобы сохранить капитал». (Бабочка №3: вмешательство в риск-менеджмент).

12:45. Цена отскакивает в его сторону, но не доходит до тейк-профита. Вместо того чтобы ждать, Алекс, желая «зафиксировать хоть что-то», закрывает позицию вручную на мелкой прибыли, которая не покрывает комиссии и упущенную прибыль от других идей. (Бабочка №4: нарушение правил выхода).

14:00. Раздраженный «упущенной» прибылью (хотя сделка формально была в плюсе), Алекс видит сильный импульс в акции Y. Чтобы «наверстать», он входит с позицией в 2 раза больше обычной, игнорируя тот факт, что импульс уже отыгран. (Бабочка №5: месть рынку и превышение лимита).

15:00. Выпускаются неожиданные данные по инфляции. Рынок обваливается. Увеличенная позиция Алекса моментально достигает жесткого стоп-лосса, выводя из строя половину его суточного лимита убытков. День окончен катастрофой, корни которой – не в данных по инфляции, а в пяти микро-решениях, принятых на фоне легкой головной боли и чувства «отставания».

Практические Правила «Профилактики Бабочек»

Это не теория, а техника безопасности. Как скафандр для выхода в открытый космос рыночного хаоса.

1. Чеклист ДО, ВО ВРЕМЯ и ПОСЛЕ торгов:

До: Проверка календаря, уровней ликвидности, состояния собственных лимитов. Ментальная настройка: «Я – оператор системы».

Во время: Перед любым вмешательством в работу алгоритма или системы задать вопрос: «Это действие предусмотрено моим планом? Если да, по какому правилу? Если нет, могу ли я задокументировать причину после* закрытия торгов?»

После: Холодный разбор журнала сделок. Поиск не запланированных ручных действий. Оценка качества исполнения.

2. Автоматические Фильтры:

Технические: Хард-лимиты на размер позиции и суточный убыток, выставленные на стороне брокера (непреодолимые). Использование алгоритмических ордеров (Iceberg, TWAP) для скрытия намерений и сглаживания воздействия на рынок.

Психологические: Правило «5 минут» – любое отклонение от плана требует 5 минут ожидания и письменного обоснования в торговом журнале. Отсутствие доступа к кнопке «отмена стопа» во время жизни позиции.

3. Контроль Качества Исполнения (Transaction Cost Analysis – TCA):

Регулярно анализировать не только ЧТО вы купили, но и КАК. Среднее проскальзывание, цена исполнения относительно VWAP (средневзвешенной цены за период). Это превращает невидимые «утечки» в измеримые метрики, которыми можно управлять.

Рабочая Тетрадь: Упражнения по Анализу Собственных Микро-Решений

Упражнение 1: «Археология одной убыточной сделки».

Выберите свою последнюю значительную потерю. Вместо анализа рынка, проанализируйте цепочку своих решений. Разбейте сделку на 5-7 этапов (идея, вход, управление, выход и т.д.). Для каждого этапа ответьте: Было ли это решение полностью предписано моей системой? Если я отклонился, что было конкретной мыслью или чувством в тот момент (например: «поспешил», «испугался», «захотел отыграться»)?

Упражнение 2: «Дневник утечек».

В течение недели ведите отдельный журнал всех микро-действий, не связанных напрямую с рыночной идеей:

Корректировка ордера на 1-2 тика.

Вход до получения полного сигнала.

Просмотр счета во время удерживания позиции.

Зафиксируйте их частоту и контекст. Ваша цель – не судить, а обнаружить паттерны. Вы «подкручиваете» на просадках? Или на удачах?

Упражнение 3: «Симулятор хрупкости».

Возьмите свою торговую систему. Внесите в ее логику одно небольшое постоянное искажение (например, уменьшите целевой риск на 10% для всех сделок ИЛИ добавьте случайную задержку в 1 минуту на исполнение сигнала). Запустите бэк-тест или мысленно проиграйте последние 20 сигналов. Посмотрите, как это микро-изменение нелинейно повлияло на общий результат (кривую доходности, максимальную просадку). Это научит вас чувствительности системы к малым изменениям.

Философия Неуязвимости. Глава 3.

Мастер управляет не рынком, а границами своей системы. Каждое микро-решение – это кирпичик в стене, отделяющей порядок вашего замысла от хаоса внешнего мира. Не бывает «незначительных» решений в системе, где всё взаимосвязано. Бывают только решения, последствия которых вы пока не научились отслеживать.

Ваша сила – не в том, чтобы никогда не ошибаться, а в том, чтобы построить такой процесс, где ошибка не может пройти незамеченной и не может породить больше одной ошибки. Вы строите не только портфель. Вы строите среду, в которой принимаете решения. И от качества этой среды зависит всё.

Следующая глава перенесет нас из внутреннего мира решений во внешний мир рыночных сил. Мы будем говорить о памяти рынка – о том, как прошлые цены, как гравитация, формируют настоящее, и как это знание позволяет видеть точки, где рождаются финансовые «ураганы».

ЧАСТЬ I. АНАТОМИЯ ХАОСА

Глава 1. Фрактальный мир финансовых рынков

Пролог: Вселенная в Зерне Песка

В 1970-х годах математик Бенуа Мандельброт, анализируя столетние данные о ценах на хлопок, совершил открытие, перевернувшее финансовый мир. Он обнаружил, что график годичных колебаний цены и график месячных или дневных движений, будучи помещены рядом без маркировки масштаба, были визуально неотличимы.

Хаотичные всплески и затишья повторялись на всех уровнях. Это наблюдение привело его к революционному выводу: рынки не подчиняются плавной геометрии Евклида или случайным блужданиям теории эффективного рынка. Они следуют геометрии природы – фрактальной геометрии.

Фрактал (от лат. fractus – дробный, изломанный) – это структура, части которой подобны целому. Сломайте ветку папоротника – и в руке окажется миниатюрная копия всего растения. Рассмотрите береговую линию с самолета, затем с высоты птичьего полета, а после – на спутниковом снимке: ее изрезанная сложность повторяется на любом масштабе.

Рынок – это такой же природный объект. Его «пейзаж», выстраиваемый ценой, объемом и волатильностью, фрактален. Каждая дневная свеча содержит в себе микро-вселенную пятиминутных баров со своей внутренней структурой, а сама является частицей в недельном или месячном движении. Понимание этого – ваш первый и самый важный шаг к навигации в хаосе.

Визуальное доказательство: Самоподобие в графиках

Откройте любой ценовой график. Теперь последовательно уменьшайте масштаб: с месячного до недельного, дневного, часового. Вы не увидите принципиально новых, неожиданных форм. Вы увидите вариации одной и той же темы:

Цены: Резкие трендовые импульсы, за которыми следуют коррекционные волны, видны и на 5-минутном, и на годовом графике. Паттерн «пик-спад-отскок» рекурсивно воспроизводится во всех временных рамках.

Волатильность: Периоды затишья сменяются вспышками активности. Эта «кластеризация волатильности» (когда за высокой волатильностью следует высокая, а за низкой – низкая) одинаково характерна как для внутридневной торговли, так и для долгосрочных инвестиций.

Объемы: Всплески объема сопровождают ключевые развороты и пробои на всех таймфреймах, подчеркивая фрактальную природу точек рыночного напряжения.

Это свойство называется масштабной инвариантностью или скейлингом. Рынок не имеет «любимого» масштаба времени. Он ведет себя статистически похоже, будь вы скальпер, держащий позицию минуты, или инвестор, смотрящий на десятилетия.

Математика порядка в хаосе: Инструменты для измерения сложности

Как измерить степень этой фрактальности и извлечь из нее практическую пользу? На помощь приходят математические инструменты.

Показатель Херста (H): Ключевой параметр, измеряющий «память» процесса. Его значение колеблется от 0 до 1.

H = 0.5: Классическое случайное блуждание (броуновское движение). Прошлое не влияет на будущее.

H > 0.5 (Персистентность): Процесс обладает долгосрочной памятью. Растущий тренд с большей вероятностью продолжится, а падающий – усилится. Рынки в трендовых фазах демонстрируют именно это.

H < 0.5 (Антиперсистентность): Процесс склонен к развороту. Рост, скорее всего, сменится падением, и наоборот. Характерно для флэтовых, коррекционных рыночных состояний.

Метод нормированного размаха (R/S-анализ): Классический способ оценки показателя Херста, анализирующий зависимость размаха цен от рассматриваемого периода времени.

Многофрактальный детрендированный флуктуационный анализ (MF-DFA): Более совершенный инструмент. Он позволяет выявить, что рынок – не просто фрактал, а мультифрактал. Его сложность не описывается одним числом (как у снежинки Коха), а требует целого спектра показателей. Это означает, что поведение рынка в периоды экстремальной волатильности (например, во время краха) подчиняется иной фрактальной логике, чем в периоды затишья.

Эмпирические факты как следствие фрактальности

Два самых известных и важных эмпирических факта о финансовых рынках – прямые производные их фрактальной природы.

1. «Тяжелые хвосты» (Heavy Tails) распределения доходностей. В нормальном (гауссовом) распределении экстремальные события (движения в 5-7 стандартных отклонений) практически невозможны. На реальных рынках они происходят в десятки раз чаще. Эти «черные лебеди» живут в «тяжелых хвостах» распределения. Фрактальная структура подразумевает склонность системы к резким, каскадным изменениям, что и объясняет частоту крахов и пузырей.

2. Кластеризация волатильности. Волатильность – мера рыночного «нерва» – не постоянна. Она собирается в кластеры: дни высокой нестабильности следуют друг за другом, как и периоды затишья. Это прямое проявление долгосрочной памяти рыночной системы – еще одного краеугольного свойства фракталов.

Философия фрактального моделирования: От прогноза к распознаванию паттерна

Традиционный подход к прогнозированию ищет линейные причинно-следственные связи: «если X, то Y». В мире фракталов это бесполезно. Фрактальное мышление меняет парадигму:

Мы отказываемся от точного предсказания следующей точки. Вместо этого мы учимся распознавать класс паттернов, в котором находится рынок, и его потенциальную зону аттракции.

Это переход от вопроса «Куда пойдет цена?» к вопросам:

«В каком фрактальном режиме мы находимся?»

(Трендовый H>0.5 / Флэтовый H<0.5 / Турбулентный мультифрактал).

«Каков масштаб текущей внутренней структуры?»

«Где находятся ключевые уровни сходимости (фрактальные поддержка/сопротивление), где малый масштаб может спровоцировать изменение крупного?»

Практическая секция: Вычисляем и интерпретируем

Рассмотрим, как на Python можно оценить показатель Херста (упрощенный метод через R/S-анализ).

python

import numpy as np

import pandas as pd

import yfinance as yf

from matplotlib import pyplot as plt

# Загружаем данные (например, индекс S&P 500)

data = yf.download('SPY', start='2020-01-01', end='2025-01-01')

close_prices = data['Close'].values

returns = np.diff(np.log(close_prices)) # Логарифмические доходности

# Функция для расчета показателя Херста (R/S анализ)

def hurst_exponent(ts):

lags = range(2, 100) # Диапазон лагов (масштабов)

tau = [np.sqrt(np.std(np.subtract(ts[lag:], ts[:-lag]))) for lag in lags]

poly = np.polyfit(np.log(lags), np.log(tau), 1)

return poly[0] * 2.0 # Показатель Херста H

H = hurst_exponent(returns)

print(f"Показатель Херста (H) для доходностей SPY: {H:.3f}")

# Визуализация

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(data.index[1:], returns, alpha=0.7)

plt.title(f'Доходности SPY | Показатель Херста H = {H:.3f}')

plt.xlabel('Дата')

plt.ylabel('Лог. доходность')

if H > 0.55:

plt.annotate('РЕЖИМ: ПЕРСИСТЕНТНОСТЬ (трендовый)', xy=(0.05, 0.95), xycoords='axes fraction', color='green')

elif H < 0.45:

plt.annotate('РЕЖИМ: АНТИПЕРСИСТЕНТНОСТЬ (флэтовый, коррекционный)', xy=(0.05, 0.95), xycoords='axes fraction', color='red')

else:

plt.annotate('РЕЖИМ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ', xy=(0.05, 0.95), xycoords='axes fraction', color='grey')

plt.grid(True)

plt.show()

Интерпретация результата:

H ≈ 0.58-0.65: Рынок в трендовом, направленном режиме. Стратегии следования за трендом имеют повышенные шансы.

H ≈ 0.35-0.45: Рынок в коррекционном или флэтовом режиме, склонен к разворотам. Эффективны контртрендовые стратегии, торговля в диапазоне.

H ≈ 0.5: Рынок в переходном или высокоэффективном состоянии, слабо предсказуем. Требуется максимальная осторожность и упор на риск-менеджмент.

Сравнительная коробка: Классические ряды vs Рыночные данные

Классический стационарный временной ряд (например, температура)

Признаки:

1. Память: Краткосрочная, быстро затухает

2. Распределение: Часто нормальное (Гаусс)

3. Волатильность: Относительно постоянная

4. Самоподобие: Отсутствует

5. Прогнозирование: Линейные модели (ARIMA и др.) часто эффективны

Фрактальный рыночный ряд (цена, волатильность)

Признаки:

1. Память: Долгосрочная (персистентная)

2. Распределение: «Тяжелые хвосты» (экстремумы часты)

3. Волатильность: Кластеризуется (всплески и затишья)

4. Самоподобие: Присутствует на всех масштабах

5. Прогнозирование: Линейные модели часто терпят крах. Требуются нелинейные, хаотические и фрактальные модели.

Визуальные схемы для воображения:

Микроскоп на свече: Представьте одну дневную свечу. Увеличьте ее. Внутри вы увидите полноценный часовой график со своими трендами, пробоями и консолидациями. Увеличьте один из этих часовых баров – и откроется 5-минутная структура.

Снежинка рынка: График цен похож на бесконечно сложную снежинку Коха. Какую бы его часть вы ни увеличили, вы увидите не гладкую линию, а новую, столь же изломанную и сложную структуру.

Философия Неуязвимости.

Фрактальность рынка – это не просто любопытный факт. Это декларация его фундаментальной природы. Это означает, что правила игры одинаковы для игрока на пятиминутках и для пенсионного фонда с горизонтом в пять лет.

Масштаб – лишь вопрос вашего восприятия. Ваше преимущество рождается не из знания «секретного индикатора», а из глубокого осознания этой иерархической, самоподобной структуры. Вы учитесь видеть в локальном ценовом движении отголосок глобального паттерна, а в глобальном тренде – сумму тысяч микроскопических решений. Вы перестаете бороться с хаосом и начинаете читать его бесконечно повторяющуюся, сложную поэзию.

Глава 2. Микрособытия, меняющие макротренды

Триггер Титаника

Когда 14 апреля 1912 года впередсмотрящий «Титаника» Фредерик Флит заметил айсберг, до столкновения оставалось 37 секунд. Команде на мостике потребовались драгоценные секунды, чтобы осознать сообщение, после чего первый помощник Уильям Мердок отдал роковую команду: «Лево на борт! Полный назад!».

Позже эксперты установят: если бы команда действовала на 5 секунд быстрее, или если бы корабль не пытался развернуться, а встретил препятствие «в лоб», катастрофы удалось бы избежать. Судьба 1500 человек зависела от микро-задержки в передаче информации и микро-решения одного человека.

Современный рынок – это флот «Титаников», плывущих в тумане данных. Каждую миллисекунду происходят тысячи микрособытий. Большинство из них – безобидные льдинки, растворяющиеся в океане ликвидности. Но одно, попавшее в точку системной уязвимости, способно запустить неостановимую цепную реакцию. Эта глава – о том, как находить эти точки до столкновения.

Анатомия микрособытия: от пульса до инфаркта

Микрособытие – это элементарная частица рыночной реальности. Его ключевая черта: локальность во времени и пространстве. Оно затрагивает один или несколько инструментов в течение предельно короткого интервала.

Типология триггеров:

1. Операционные микрособытия:

Сделка-«кит»: Крупный ордер, разбитый алгоритмом на сотни частей, но всё ещё создающий устойчивый поток давления на один бок рынка.

Отказ ордера (Order Cancellation): Маркет-мейкер внезапно снимает свои лимитные заявки с нескольких уровней стакана. Это не продажа – это исчезновение ликвидности, создающее вакуум.

Ошибка маркет-мейкера (Fat Finger/Ghost in the Machine): Человеческая или алгоритмическая ошибка, приводящая к исполнению ордера по абсурдной цене (например, продажа по цене на 90% ниже рынка). Эта аномалия становится маяком для арбитражеров.

2. Информационные микрособытия:

Новостной хедлайн: Машинное прочтение новости, где слово «снижение» (downturn) интерпретируется как более негативное, чем «замедление» (slowdown).

Твит-событие: Сообщение в соцсети от влиятельной фигуры (необязательно финансовой). Алгоритмы sentiment-анализа улавливают всплеск тональности и могут генерировать автоматические ордера.

«Темные пулы» и проскальзывание: Крупная сделка, исполненная в темном пуле, внезапно проявляется в публичном стакане через изменение объема или производных, шокируя алгоритмы, не имеющие доступа к этим данным.

3. Технологические микрособытия:

Latency Arbitrage (Арбитраж задержек): Алгоритм, используя физическое преимущество в скорости, видит сделку на одной бирже и успевает проскальзывать перед ней на другой, где цена ещё не обновилась.

Quote Stuffing (Мусорные котировки): Алгоритм наводняет стакан тысячами фиктивных ордеров на долю секунды, чтобы создать искусственную картину ликвидности или спровоцировать срабатывание чужих алгоритмов, основанных на отслеживании порядка в стакане.

Механика Каскада: Как Локальный Шок Становится Глобальным

Представьте камеру Вильсона – прибор, где частица оставляет за собой цепочку конденсата. Микро событие – такая же частица. Его траекторию определяет среда – сеть алгоритмических стратегий.

Пошаговая механика (на примере сбоя маркет-мейкера в фьючерсах):

T+0 мс: Алгоритм маркет-мейкера А в инструменте X из-за сбоя внутреннего риска мгновенно снимает все свои лимитные заявки на покупку на 5 уровней вглубь стакана. Объем ликвидности на лучшем предложении падает на 70%.

T+1 мс: Алгоритм B (арбитражный) мониторит соотношение ликвидности X и связанного ETF Y. Он фиксирует аномалию: в X ликвидность исчезла, а в Y – ещё нет. Следуя логике «дешевле купить Y, продать X», он выставляет в Y крупный рыночный ордер на покупку.

T+3 мс: Алгоритмы C (высокочастотные трейдеры) в Y видят агрессивную покупку. Их логика говорит: «Кто-то знает то, чего не знаем мы». Они разворачиваются и тоже начинают покупать, двигая цену Y вверх.

T+5 мс: Алгоритмы D (портфельные хеджеры), отслеживающие корреляцию X и Y, видят, что Y растет, а X – нет. Их модель интерпретирует это как распад корреляции и сигнал к хеджированию. Они начинают продавать X, усугубляя дисбаланс.

T+100 мс: Цена X падает достаточно для срабатывания кластера стоп-лоссов розничных трейдеров и консервативных институциональных алгоритмов. Возникает лавинообразная продажа. Микро событие породило*самоисполняющееся пророчество.

Роль скорости: В этом процессе миллисекунды – это метры. Алгоритм, реагирующий за 0.5 мс, увидит лишь исчезновение ликвидности. Алгоритм за 5 мс увидит начало арбитражной атаки. Алгоритм за 50 мс получит уже сформировавшийся тренд. Их реакции будут принципиально разными: первый попытается уйти с дороги, второй – присоединиться к движению, третий – паниковать.

Кейс-детектив: Flash Crash 2010 – Расследование по Миллисекундам

Это не просто пример, это Розеттский камень микрособытий. Разберем его не по минутам, а по логическим фазам, как расследуют авиакатастрофу.

1. Фаза 1: Инициирующее микро событие (Бабочка).

Что: Алгоритмический ордер на продажу 75 000 контрактов E-mini S&P 500 (объем ~$4.1 млрд). Ключевая ошибка: алгоритм продавал без учета цены и ликвидности, лишь для достижения целевого объема.

Почему это микро событие: В нормальных условиях даже такой крупный ордер был бы поглощен. Но его исполнение в тот конкретный момент низкой ликвидности создало устойчивый односторонний поток.

2. Фаза 2: Алгоритмическое столкновение и обратная связь (Усиление).

HFT-алгоритмы, выступавшие маркет-мейкерами, не просто удовлетворили спрос. Они, видя постоянное давление на продажу, сами развернулись и стали нетто-продавцами, мгновенно испарив ликвидность. Это была не «паника», а холодная логика: их риск-менеджмент запрещал им накапливать инвентарь в падающем рынке без хеджа.

3. Фаза 3: Сетевой каскад и разрыв связей (Ураган).

Дисбаланс перекинулся на отдельные акции через ETF и индексные арбитражные стратегии. Начался разрыв рыночных связей: акции компаний торговались по центам, в то время как фьючерс был лишь на несколько процентов в минусе. Система потеряла информационную целостность.

4. Фаза 4: Откат и поиск равновесия (Глаз бури).

Более медленные, «умные» алгоритмы и люди увидели абсурдные цены как возможность. Они начали скупать акции за бесценок, выступая в роли непреднамеренных стабилизаторов. Рынок нашел новое, хаотичное равновесие.

Вывод по кейсу: Flash Crash не был вызван «одной ошибкой». Он стал продуктом взаимодействия предсказуемых алгоритмических логик в непредсказуемых условиях, созданных инициирующим микро событием. Каждый алгоритм делал «правильные» с его точки зрения вещи. Совместно они создали катастрофу.

Практикум: Как Обнаружить Бабочку до Урагана

Фильтрация микрособытий – это feature engineering для машинного обучения и трейдинга. Мы ищем не сами события, а их уникальные «отпечатки пальцев» в данных.

1. Признаки (Features) для обнаружения в стакане котировок (Order Book):

Скорость исчезновения/появления ликвидности (Order Book Imbalance Velocity): Измеряет, как быстро соотношение объемов на биде и аске меняется за единицу времени (например, за 100 мс). Резкий скачок – признак ухода маркет-мейкера.

«Энтропия» стакана: Мера беспорядка в распределении заявок по уровням. Внезапное «упорядочивание» (все заявки собираются на 1-2 уровнях) или полный «хаос» (равномерное размазывание) могут быть сигналами.

Микроструктурный «снепшот»: Вместо анализа цен – анализ **количества и размера заявок** на каждом уровне. Внезапное накопление крупных лимитных ордеров на одном уровне – потенциальный «магнит» для цены.

2. Алгоритмические «отпечатки»:

Кластеризация времени сделок: Если сделки происходят с микроскопически точными интервалами (например, каждые 2 мс), это вероятный след одного алгоритма.

Анализ последовательности «заявка-отмена» (Order-to-Cancel Ratio): Аномально высокий процент отмененных к исполненным заявкам – признак HFT или quote stuffing.

3. Практическое задание: Симуляция микро шока.

Цель: Оценить устойчивость вашего гипотетического портфеля к внезапному исчезновению ликвидности.

Инструменты: Python, библиотеки pandas, numpy.

Шаги:

1. Создайте упрощенный портфель из 5-10 активов с историческими данными.

2. Выберите один актив как «эпицентр». В определенный момент времени (например, 2023-06-15 14:30:00) искусственно обнулите 70% ликвидности на первых 3 уровнях стакана (представьте, что маркет-мейкер ушел).

3. Смоделируйте простую реакцию: все алгоритмы, чьи стоп-лоссы были на этих уровнях, исполняются по худшей доступной цене (следующий уровень). Это создает волну продаж.

4. Через заданный интервал (например, 5 секунд) верните ликвидность.

5. Проанализируйте:

Насколько упала цена «эпицентра»?

Как изменилась корреляция между активами в портфеле в момент шока?

Каков был максимальный просадок (drawdown) портфеля?

Сколько времени потребовалось на восстановление?

Код концепта (псевдокод):

python

# Концепт функции оценки уязвимости

def assess_portfolio_shock(portfolio_data, shock_asset, shock_time):

# 1. Загружаем микростурктурные данные (стакан) на момент shock_time

order_book_snapshot = get_order_book(shock_asset, shock_time)

# 2. Применяем шок: снижаем ликвидность на биде

shocked_bid_liquidity = order_book_snapshot.bid_volume * 0.3 # Убираем 70%

# 3. Имитируем каскад: находим все стоп-лоссы, размещенные в зоне исчезнувшей ликвидности

triggered_stops = find_stop_orders_in_range(order_book_snapshot.bid_prices)

# 4. Исполняем их, рассчитывая новую цену с учетом проскальзывания

new_price, slippage = execute_orders_with_slippage(triggered_stops, shocked_bid_liquidity)

# 5. Оцениваем воздействие на портфель через бета-коэффициенты и корреляции

portfolio_impact = calculate_beta_impact(portfolio_data, shock_asset, new_price)

return {

'price_impact_%': (new_price / order_book_snapshot.mid_price – 1) * 100,

'estimated_slippage': slippage,

'portfolio_drawdown_%': portfolio_impact,

'cascade_potential': len(triggered_stops) # Количество затронутых ордеров

}

В мире, где ураганы рождаются от взмаха крыла, главный навык – не умение предсказывать погоду, а искусство строить дома, которые устоят при любом ветре. Ваша задача – не ловить каждую бабочку (это невозможно), а знать, какие из них ядовиты для вашей экосистемы, и иметь план дезинфекции. Перестаньте спрашивать: «Что послужило причиной обвала?» Начните спрашивать: «Где в моей системе находятся точки контакта с неизвестным, и что происходит, когда в них попадает микро событие?» Ваша устойчивость – это функция не от силы ваших предсказаний, а от глубины вашего понимания собственных уязвимостей.

В следующей главе мы соберем мозаику воедино. Мы построим карту «погоды» рынка – систему для распознавания режимов, в которых микрособытия превращаются в макро катастрофы. Вы узнаете, как отличить «здоровую» волатильность от «лихорадочной» и как настроить свои алгоритмы на смену сезонов рыночного климата.

Глава 3. Хаос, порядок и точка бифуркации

Пролог: Мост Такома-Нэрроуз и Танцующий Шпиль

7 ноября 1940 года. Недавно открытый мост Такома-Нэрроуз в штате Вашингтон, прозванный «Танцующей Герти», вошел в резонанс с порывами ветра. Инженеры наблюдали, как его полотно вместо привычных колебаний начало изгибаться волнами высотой в несколько метров, а затем – скручиваться. Через несколько часов мост рухнул.

Это была не ошибка расчета прочности, а фундаментальное непонимание динамической устойчивости. Система (мост) достигла точки бифуркации, где небольшое увеличение параметра (скорость ветра) привело не к пропорциональному усилению колебаний, а к качественному скачку – переходу от одной формы колебаний к другой, разрушительной.

Финансовые рынки – это такие же динамические системы. Они могут долго «колебаться» в знакомом диапазоне, пока небольшое изменение ключевого параметра – процентной ставки, уровня доверия, концентрации ликвидности – не толкает их к качественному переходу (бифуркации). Понимание этой математики – ключ к распознаванию моментов, когда правила игры меняются навсегда.

Базовая теория бифуркаций: математика революций

В теории динамических систем бифуркация – это качественное изменение поведения системы при плавном изменении одного из управляющих параметров. Это не постепенная эволюция, а революция.

Экономическая интерпретация: Управляющий параметр – это, например, стоимость заемного капитала (ставки) или степень рыночного левериджа. Пока ставки низкие, рынок «живет» в режиме роста и умеренной волатильности (устойчивый аттрактор). Но когда ставки переходят некий порог, этот режим теряет устойчивость. Система больше не может в нем оставаться и скачком переходит в новый режим – например, кризис ликвидности или дефляционный коллапс долга (новый аттрактор).

Локальные и глобальные бифуркации в рынках

Локальная бифуркация – смена режима в одной точке системы.

Пример: «Слом» отдельной пары валют. Когда ЦБ Швейцарии в январе 2015 года неожиданно отменил валютный потолок франка к евро, параметр «готовность ЦБ поддерживать курс» мгновенно изменился. Это вызвало бифуркацию: старый режим (стабильный курс) рухнул, система скачком перешла в новый режим (волатильный курс на 20-30% выше). Локальный шок был колоссальным, но глобальная система выдержала.

Глобальная бифуркация (Катастрофа) – смена режима всей системы.

Пример: Кризис 2008 года как бифуркация ликвидности. Управляющий параметр – доверие в системе репо и межбанковского кредитования. Пока доверие высоко, кредит течет, рынок функционирует. Но с накоплением токсичных активов и банкротством Lehman Brothers параметр «доверие» пересек критический порог. Произошла глобальная бифуркация: система скачком перешла из режима «ликвидность есть» в режим «ликвидности нет». Замерли не один, а все ключевые рынки – кредитные спреды (например, TED Spread) взлетели, как сигнальная ракета катастрофы.

Схема: От равновесия к катастрофе

ТОЧКА БИФУРКАЦИИ (Крах Lehman) – Плавный рост рисков – Стабильный режим (Доверие высоко) либо

ТОЧКА БИФУРКАЦИИ (Крах Lehman) – Качественный скачок – Новый режим (Кризис ликвидности, заморозка кредита)

Кредитный спред (TED Spread) в этой модели выступает параметром порядка – макроскопической величиной, чье резкое изменение сигнализирует о смене фазы во всей системе (как переход воды в лед при 0°C).

Индикаторы приближающейся бифуркации: Датчики давления системы

До бифуркации система становится «мягкой», теряет устойчивость. Это проявляется в аномалиях:

1. Критическое замедление (Critical Slowing Down): Системе требуется все больше времени, чтобы вернуться к равновесию после мелких шоков. На рынках это проявляется как рост автокорреляции волатильности и увеличение дисперсии доходностей.

2. Универсализация корреляций: В моменты стабильности активы движутся, исходя из своих фундаментальных свойств. На пороге кризиса корреляции между разнородными активами стремятся к 1 или -1. Все начинает падать (или расти) вместе, так как доминирующим фактором становится системный риск, а не индивидуальные особенности.

3. «Прессы» ликвидности (Liquidity Squeezes): Появление частых, резких, но локальных провалов в ликвидности – признак, что система тестирует границы устойчивости. Алгоритмы начинают вести себя «нервно», быстро убирая заявки.

4. Аномальное поведение производных: Кривые волатильности (volatility smile/skew) становятся экстремально искривленными, цены на защитные опционы (out-of-the-money puts) растут непропорционально – «умные деньги» готовятся к скачку.

Модели: Логистическое отображение – игрушечная Вселенная кризисов

Простейшая модель, демонстрирующая рождение хаоса через бифуркации – логистическое отображение: `x_next = r * x_current * (1 – x_current)`. Где `x` – число между 0 и 1 (например, отношение текущей цены к максимуму), а `r` – управляющий параметр (например, темп роста кредита или агрессивность трендовых стратегий).

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.