Ли Филлипс
Наставница Эйнштейна. Как Эмми Нётер изобрела современную физику

Моим детям

Lee Phillips

EINSTEIN’S TUTOR

The Story of Emmy Noether and The Invention of Modern Physics

This edition published by arrangement with PublicAffairs, an imprint of Perseus Books LLC, a subsidiary of Hachette Book Group, Inc. USA via Igor Korzhenevskiy of Alexander Korzhenevski Agency (Russia). All rights reserved

Научный редактор: Маргарита Ремизова, доктор биологических наук

© Lee Phillips, 2024

© Семиколенных М.В., перевод на русский язык, 2025

© Издание на русском языке. ООО «Издательство АЗБУКА», 2025

КоЛибри®

* * *

Ли Филлипс рисует вдохновляющий портрет немецко-еврейского математика Эмми Нётер, женщины «безграничной щедрости [и] неиссякаемого оптимизма» – женщины, которая была одним из трех самых гениальных умов в истории науки, не уступая ни Альберту Эйнштейну, ни Давиду Гильберту. Филлипс рассказывает захватывающую историю о том, как Нётер разрешила головоломку, созданную Эйнштейном в его общей теории относительности, – головоломку, которую сам великий человек не смог разгадать. Ее работа, известная как теорема Нётер, позволила современной науке переосмыслить всю систему теоретической физики и построить современную стандартную модель Вселенной. Это захватывающая история о том, как женщины заняли свое законное место в мире науки.

Шэрон Берч Макгрейн, автор книги «Женщины – лауреатки Нобелевской премии в науке»

Эмми Нётер признана одной из самых творческих и важных фигур в истории математики. Однако, как однажды написала газета New York Times, мало кто может сравниться с Нётер «в глубине ее ошеломляющей и незаслуженной безвестности». В этой важнейшей книге Филипс борется с этим хроническим пренебрежением. Он успешно переплетает увлекательную историю жизни Нётер с ее математическими теориями, попутно объясняя, как ее знаменитая теорема стала основой современной физики.

Марио Ливио, астрофизик, автор книги «Галилей и отрицатели науки»

Филлипс точно передает бодрящую атмосферу математики, окружавшую Нётер в ее время.

Wall Street Journal

В исследованиях работ Альберта Эйнштейна роль немецкого математика Эмми Нётер упоминается минимально, если вообще упоминается. Тем не менее она сыграла решающую роль в разрешении парадокса общей теории относительности благодаря своей теореме, связывающей симметрию и законы сохранения энергии… В этой книге физик Ли Филлипс показывает настояющую Эмми Нётер.

Nature

Эта история полна уроков для международного научного сообщества в наши дни.

Times Literary Supplement

Работы Филлипса блистают своим исчерпывающим историческим повествованием… Доступные как для неспециалистов, так и для опытных физиков… в конечном счете каждый узнает что-то новое из этой книги.

Science Magazine

Масштабное исследование, которое воздает должное незамеченному новатору и гению Нётер.

Publishers Weekly

Введение
«Наиболее фундаментальное из физических открытий»

Ученый вы, студент или просто человек, интересующийся историей идей, – у вас, несомненно, есть какое-то понятие о том, что такое физика и как она развивалась на протяжении столетий. Каково бы ни было происхождение этих представлений, весьма вероятно, что имя Эмми Нётер не сразу приходит вам на ум. Альберт Эйнштен, Эрвин Шрёдингер, Поль Дирак, Нильс Бор, Вернер Гейзенберг… вот некоторые из имен, знакомые любому, кто читает книги о становлении современной физики – о важнейших открытиях XX века, изменивших наши представления о времени, пространстве и самой природе реальности. И как раз эти имена занимают видное место в учебниках физики.

Так кто же такая Эмми Нётер?

На следующих страницах я надеюсь убедить вас в том, что она заслуживает в истории физики – и науки в целом – место рядом с перечисленными выше учеными и что это место она заслуживает благодаря влиянию открытий, обнародованных ею в 1918 году.

Четыре полученных ею тесно связанных результата, в совокупности называемые теоремой Нётер, закладывают фундамент современных поисков святого грааля физики: общей теории, которая связала бы квантовую механику с тяготением. Благодаря теореме Нётер также появилась методология для построения наиболее достоверной теории в истории физики: стандартной модели. Эта концептуальная схема охватывает все элементарные частицы и их взаимодействия – это современная теория материи. Кроме того, открытие Нётер позволило разрешить сложную загадку незадолго до появления окончательно сформулированной общей теории относительности Эйнштейна: проблему сохранения энергии, которая не поддавалась ни Эйнштейну, ни нескольким величайшим математикам мира. Попытка взять эту задачу приступом положила начало цепи рассуждений, в конечном счете приведшей Нётер к ее великой теореме. Попутно ей случилось преподать Эйнштейну некоторые математические премудрости, без которых тот не мог закончить работу – тем самым она вошла в число нескольких неупоминаемых авторов теории, остающейся для нас современной теорией тяготения. Я могу еще немало рассказать в этой книге об унификации, стандартной модели, общей теории относительности и их взаимосвязях с теоремой Нётер. Пока что достаточно упомянуть, что эти предметы, по сути, определяют основную проблематику того, что мы считаем современной физикой, и все они в конечном счете связаны с теоремой Нётер – и зачастую ею обусловлены.

Эта теорема не просто закладывает фундамент современной физической теории и предлагает ориентир для дальнейшего развития физики. Она дает современное определение понятию энергии и делает очевидным значение симметрии в природе. Она упорядочивает физику прошлого, завершая ее теоретические построения и доводя их до совершенства. То, как теорема демонстрирует активную роль симметрии в природе, дает такую пищу для размышлений, что сегодня ее используют в биологии, вычислительной технике, экономике и множестве других наук.

В этой книге я прослеживаю удивительный путь теоремы: историю ее создания, а также события и биографии, создавшие условия для ее рождения. Я исследую, как уникальный гений Эмми Нётер позволил ей увидеть нечто совершенно неожиданное и прийти к открытиям, которые до сих пор, столетие спустя, поражают тех, кто с ними знакомится. Я рассказываю, как теорема на несколько десятилетий выпала из поля зрения и чуть не была потеряна для мира и как ее повторно открыли физики, создававшие новую теорию материи. Наконец, мы увидим, как теорема Нётер обрела новую жизнь, направляя исследования в областях, весьма далеких от физики.

История Эмми Нётер – это история женщины, более трех десятилетий следовавшей за своей звездой в мире, фраппированном уже одним ее желанием стать математиком. Но каковы бы ни были шансы, именно математиком ей и предстояло стать. Несмотря на то что ее лишали возможностей, не замечали, исключали и ожидали, что она станет работать, не претендуя на оплату или должность, она не только продолжала свой путь, но и превосходила окружавших ее мужчин. История Эмми Нётер – это также история солидарности и преданности тех немногих, кто боролся за ее дело.

Такие представления о роли Нётер поддерживаются суждениями многих выдающихся современных физиков, например лауреатом Нобелевской премии Фрэнком Вильчеком. Вильчек и другие известнейшие исследователи, хорошо знакомые с тем, как устроена их дисциплина и чем она обязана теореме Нётер, временами покидают свои кабинеты и лаборатории, чтобы в своих книгах рассказать о науке профанам, объяснив важные идеи физики, изложив ее историю и описав ее возможное развитие в будущем. Как и я, они убеждены, что теорема Нётер – это одна из масштабных идей, и считают ее создательницу обделенной вниманием фигурой в истории науки. По мнению Вильчека, теорема Нётер – это «наиболее фундаментальное из физических открытий»[1].

Такие прославленные физики, как Леон Ледерман и Кристофер Хилл, говорят, что теорема Нётер – это «одна из важнейших математических теорем, определяющих развитие современной физики, возможно, равная по значимости теореме Пифагора», и что она «задает тон современной научной методологии»[2].[3]

Брайан Грин, физик-теоретик, хорошо известный благодаря книгам и выступлениям на телевидении, в которых он объясняет современную физику, а также наиболее выдающийся из ученых, пытающихся сформулировать единую теорию, убежден, что «теорема Эмми Нётер настолько важна для физики, что ее создательница заслуживает не меньшей славы, чем Эйнштейн. Но многие о ней даже никогда не слышали»[4].

Эмми Нётер родилась в Германии в конце XIX века, а умерла в США в XX веке. Она посвятила жизнь изучению и преподаванию чистой математики из-за ненасытной любви к этой науке, хотя ей пришлось столкнуться с рядом жестоких обстоятельств и несправедливостей, возникших на ее пути лишь по одной причине – она была женщиной.

Она хотела изучать математику в университете, но женщинам не позволялось туда поступать, а потому она ходила на занятия вольнослушательницей – когда ей это разрешали. После того, как немецкое общество смягчилось и разрешило женщинам учиться в университетах, Нётер получила ученую степень. Она отправилась работать в университет, который был мировым лидером в области математики, по приглашению величайшего математика мира – но не получила места в штате или какой-либо платы, поскольку женщинам не разрешалось преподавать. Примерно пять лет спустя это правило тоже изменилось, и ее наняли, но неохотно, платили мизерную зарплату, подчеркнуто лишив всех социальных пособий, полагавшихся государственным служащим, и предупредив, что у нее нет никаких полномочий.

Она стала одной из первых жертв проведенных нацистами чисток сотрудников немецких университетов, поскольку была одновременно и женщиной, и еврейкой. Убежав в США, как уже сделал ее коллега Альберт Эйнштейн, она не попала вместе с ним и другими беженцами-интеллектуалами в новый Институт перспективных исследований, но заняла незначительное место, причем ее намеренно держали вдалеке от коллег-мужчин.

Если бы век спустя мы каким-то образом смогли различить голос Нётер, то не услышали бы жалобных сетований. Вместо этого мы бы услышали громкий смех, который так часто описывали ее соотечественники. Кажется, она никогда не роптала на судьбу и не пыталась улучшить собственное положение, хотя энергично сражалась за своих друзей. Она просто продолжала делать то, что ей позволяли обстоятельства, таким образом, чтобы не приходилось отказываться от своих интересов – ее единственного интереса – изучать и преподавать математику.

Ей запретили поступить в университет – она посещала его вольнослушательницей; ей запретили работать – она работала бесплатно; гитлеровский режим вообще запретил ей преподавать – она преподавала втайне ото всех в своей квартире. И все это время она наслаждалась жизнью, подбадривала всех вокруг и смеялась – смеялась от радости, или иронически, или наслаждаясь абсурдностью ситуации.

* * *

Развернутый ответ на вопрос, почему же Эмми Нётер так мало известна несмотря на то, что ее вклад в историю физики XX века не меньше, чем у других, будет сложным, подчас неочевидным и многоаспектным. Я постепенно отвечу на него в книге, а в этом введении кратко охарактеризую некоторые из причин такого положения дел.

Прежде всего своей сравнительной малоизвестностью Нётер обязана систематическому замалчиванию ее славы и места в истории коллегами, чиновниками и исследователями, сведшими ее вклад и значение к минимуму. Доказательства, что это происходило из-за ее пола, очевидны и многочисленны: подчас они принимают форму откровенных высказываний самих обидчиков, которые не видели причин скрывать свои предрассудки. В том, что касается обстоятельств ее жизни, можно добавить, что она была не только женщиной, но и еврейкой в Германии 1930-х годов.

Со своей стороны Нётер не делала ничего, что могло бы добавить ей влияния или упрочить ее положение. Она была в высшей степени великодушна и помогала коллегам и ученикам на ранней стадии карьеры, даря им математические результаты: теоремы, которые она доказала, и проблемы, которые разрешила, но не дала себе труда опубликовать. Она поощряла юных коллег дорабатывать и расширять ее открытия и публиковать их под собственным именем. То были подлинные драгоценности, которые обычный ученый стал бы ревниво охранять и полировать, доводя до состояния готовности к публикации, которая способствовала бы его карьере. Но Нётер, которую переполняли идеи и находки, с радостью раздавала их, чтобы помочь друзьям. Понимая, сколь важна ее работа в области математики, она, однако, не занималась саморекламой и редко ссылалась на свои эпохальные открытия в области физики, которые были для нее побочным результатом, преданным забвению почти сразу же после его достижения. Эта привычка в сочетании с легкомысленным отношением – даже среди тех, кто ее поддерживал, – к вопросам репутации и приоритета привела к тому, что ее роль в подготовке собственных публикаций оказалась незамеченной даже после того, как они стали элементом аппарата современной физики.

В последние десятилетия мы стали свидетелями постепенного восстановления доброго имени Нётер и растущего признания ее теоремы как ключевого компонента в развитии фундаментальной физики после 1918 года. Как уже было сказано, этот пересмотр по большей части осуществляется силами ученых-популяризаторов науки, которые понимают, что теорема Нётер стала основанием, на котором возведено все здание теории, ее вездесущим руководящим принципом и ограничением. Мне бы хотелось, чтобы эта книга способствовала такой переоценке, и я уверен, что пройдет совсем немного времени, как сама идея повествования об истории современной физики, в котором Эмми Нётер не выведена в качестве главной героини, станет столь же неслыханной, как и идея подобного рассказа, в котором забыли упомянуть Эйнштейна.

* * *

Как я узнал об Эмми Нётер и том, что она сделала для физики?

Листая в годы учебы в колледже пособия по углубленному изучению классической механики, я наткнулся на нечто, что внезапно зацепило мое внимание. Автор сделал небольшое отступление от привычного изложения материала, чтобы описать некоторые результаты, которые удивили меня и поразили огромной глубиной – они демонстрировали, как физика способна уловить гармонию и единство природы.

В том учебнике я обнаружил доказательства, что законы сохранения в классической физике – привычные законы сохранения энергии, момента и момента импульса – были (каждый из них) эквивалентны симметрии времени или пространства. Идеи наподобие сохранения энергии были не просто дополнениями к механике, облегчающими решение задач, в которых шла речь, скажем, о траектории пушечных ядер; они предполагались самой структурой пространства и времени. Такая взаимосвязь между понятиями, которые ранее казались не имеющими друг к другу отношения, описанная ясным языком математики, была не только неожиданной, но и, складывалось впечатление, предполагала следствия, выходившие за рамки физики и принадлежавшие скорее к области философии. По самой меньшей мере эти прекрасные взаимосвязи пробуждали несметное множество вопросов и побудили меня внимательнее посмотреть на предмет изучения.

Я не забыл об этих взаимосвязях и после колледжа, в аспирантские годы. Но на протяжении всего этого периода я никогда больше о них не слышал – по крайней мере, не напрямую. В то время подобное умалчивание не вызывало вопросов. Я предположил, что те выводы ограничивались классической механикой, хотя никогда не забывал о них в ходе своей научной работы.

Много лет спустя я убедил редакторов сетевого научного журнала разрешить мне написать предназначенную для широкой публики статью о взаимосвязях между законами сохранения и симметрией. Я все еще был не очень хорошо знаком с предметом, но знал, что он занимателен и важен, хотя и не очень широко известен. Я был уверен, что смог бы также сделать его интересным для неспециалистов, чтобы показать, как физика может будить мысль и восхищать даже там, где речь не идет о чудесах квантового мира и относительности – показать, как прекрасна может быть даже классическая механика.

Готовясь к написанию статьи, я, наконец, узнал, как возникли эти идеи. То были простые, частные случаи сложной теоремы, опубликованной в 1918 году женщиной, о которой я никогда не слышал, чье имя ни разу не было упомянуто за те долгие годы, пока я изучал физику. Женщину звали Эмми Нётер, а результат ее работы знакомые с ним физики назвали теоремой Нётер. По сути, складывалось впечатление, что эти физики принадлежали к тайному обществу. Они говорили об этой теореме как об одном из важнейших открытий в области теоретической физики – если не вовсе о единственном. Они сетовали на то, что ее автор не была широко известна – она вообще мало кому была известна, ее имя редко упоминалось как в университетских аудиториях, так и в популярных книгах по истории науки. И эти ученые не были ни чудаками, ни сектантами. Они принадлежали к числу наиболее выдающихся физиков.

Я продолжил читать о теореме и стоявшей за ней женщине. Я познакомился с ее поразительной, окрыляющей и трагической биографией. Я узнал гораздо больше о некоторых из людей, чьи жизненные пути пересеклись с ее дорогой, людей, чьи имена встречались мне в ходе научной работы: Давиде Гильберте, Феликсе Клейне, Германе Вейле, Эйнштейне и др. Я двинулся дальше и погрузился в архивные материалы, из которых узнал о ранее неизвестных эпизодах краткого периода, который она провела в США. Я узнал, что, в самом прямом смысле слова, ступал по ее надгробию, не подозревая об этом.

* * *

Чтобы прочитать и понять эту книгу, не нужно быть знатоком физики или высшей математики. Вполне достаточно будет смутных воспоминаний, что такое теорема Пифагора. Я хочу описать значение и содержание теоремы Нётер таким образом, чтобы любой мог понять и оценить сказанное. Это возможно, поскольку суть теоремы интуитивно ясна, несмотря на то что для ее доказательства нужно прибегнуть к высшей математике. А то, почему она имеет ключевое значение для физики и других областей знания, можно прекрасно объяснить и без формул. Я помогу вам по-настоящему понять значение этого открытия, чтобы вы были в силах оценить, как уже в более близкие к нам времена она используется не только в физике, но и в других науках – например, в биологии и экономике. Если вы последуете за мной, то увидите, как одна эта влиятельная идея связывает множество областей мысли, которые на первый взгляд далеки друг от друга.

Перед вами не биография Эмми Нётер, скорее это биография идеи. Нётер посвятила свою жизнь математике, и центром добросовестного рассказа о ее жизни должна быть столь важная для нее работа и воздействие этой работы на историю мысли. Для этого я остановлюсь на анализе различных физических и математических проблем и расскажу о них настолько скрупулезно, насколько это возможно без использования уравнений, чтобы связать их с идеей, которая останется в центре истории: с теоремой Нётер. Значительная часть этого анализа перенесена в приложение. Там любопытный читатель найдет более подробный рассказ, в котором исследуется история физических и математических идей, отношения между ними и их связь с размышлениями Нётер. Несколько более специализированный характер приложения удовлетворит наиболее заинтересованных или любящих математику читателей, тогда как вынесение этих подробностей за скобки позволит мне с большей прямотой говорить о других сторонах этой истории, а именно – о сплетающихся нитях человеческих судеб.

* * *

Для тех, кто хочет глубже разобраться в упомянутых мной темах, я привожу множество ссылок на дополнительную литературу, чтобы подтвердить свои суждения или предоставить материал для дальнейшего изучения. В некоторых случаях я ссылаюсь на техническую литературу, чтобы указать специалистам на, возможно, неочевидные источники; в других случаях я ссылаюсь на всевозможные материалы – от научно-популярных статей и книг до видеозаписей и комиксов. Ни одна ссылка ни в коем случае не является безоговорочной рекомендацией. Многие из цитируемых мной источников несвободны от заблуждений (я потерял счет биографическим заметкам о Нётер, в которых ошибочно утверждается, что она умерла от рака), но помимо заблуждений в них можно обнаружить интересные мысли и информацию. Вы заметите, что на многие книги (например, великолепную биографию Гильберта, написанную Констанс Рид) я ссылаюсь постоянно. Рассматривайте такие ссылки как замену традиционному списку рекомендованной литературы.

* * *

Я не профессиональный историк, но чтобы рассказать эту историю, мне пришлось попытаться им стать. Теперь я по-новому смотрю на сложность и меланхоличность стоящей перед историком задачи. Хочется рассказать историю прошлого, в которой каждое событие естественным образом ведет к следующему, где мотивация человеческих поступков понятна, а предметы и явления сочетаются таким образом, что результат по меньшей мере не представляется совершенно случайным и хаотичным. Но в источниках, к которым мы обращаемся, чтобы попытаться реконструировать версию прошлого, можно найти противоречащие друг другу свидетельства о каждом важном событии или поворотном моменте, ложь и прихотливые фантазии. Мотивация действующих лиц загадочна. Но каким-то образом из этой мешанины противоречивых деталей нужно составить некий внятный рассказ – в противном случае не было бы того, что зовется историей. Я обнаружил, что понимающе киваю, читая слова, вложенные Марком Твеном в уста Геродота: «Очень мало событий случается вовремя, остальные и вовсе не случаются. Добросовестные историки исправят эти недостатки».[5]

Кроме того, постоянно приходится сопротивляться желанию судить людей прошлого или думать о них так, будто это наши соседи в странных одеждах. Прошлое – это иной мир, оторванный от наших представлений не менее радикально, чем был бы отрезан изолированный регион. Нужно стараться относиться к людям другой эпохи как антрополог.

Все это делает задачу очень сложной.

Отсюда и меланхолия: совсем скоро мы сближаемся с мужчинами и женщинами прошлого, с которыми проводим вместе столько времени. Они дороги нам, будто друзья или родные. И мы испытываем смешанные чувства, поскольку знаем об их будущем. Реконструируя выбор, с которым сталкивались наши герои, мы временами знаем, что они пойдут по неверному пути, который приведет их к несчастью. Или, быть может, перед ними лишь одна дорога, и, наблюдая, как они идут по ней, мы знаем, что они не готовы к поджидающим их ужасам. Ни в том, ни в другом случае мы не в силах их предупредить; мы никак не можем помочь. Но, возможно, если бы можно было позволить испытываемым нами в эти минуты слабым, иррациональным приступам душевной боли оживить наши рассказы о прошлом, они показались бы читателю более содержательными. Во всяком случае, так я себя утешаю.

Наконец, знакомясь с этими историческими фигурами, я совершил приятное открытие. В молодости мы склонны искать героев – будь то настоящее или прошлое. Но, найдя их, а затем лучше изучив их жизнь, мы почти всегда испытываем разочарование или даже приходим в ужас. Они не соответствуют нашим стандартам. Нами овладевает цинизм. Изучая главных героев своего рассказа, я постоянно ожидал подвоха – как раз потому, что они казались вполне безупречными. Однако подвоха я так и не дождался. Наши протагонисты – в особенности Эмми Нётер и Давид Гильберт – не разочаровывают. Они неизменно были отважны, великодушны и гениальны. Я мог бы даже осмелиться сказать, что для некоторых из нас они могут стать настоящими героями.

1
Перепутья
«Прекраснейшая из физических теорий»

В этой главе мы познакомимся с тремя людьми, играющими в нашей истории главные роли.

Первой, разумеется, будет Эмми Нётер, жизнь и работа которой являются центром для всех остальных орбит. Мы проследим за ее жизнью с ранней юности и до 1915 года, когда ее жизненный путь пересекся с путем Альберта Эйнштейна.

Я отмечу важные для нашего повествования подробности, касающиеся жизни и работы Эйнштейна в тот же период. В этой главе о нем будет сказано чуть меньше, поскольку активным участником истории он стал после 1915 года – во время событий, о которых пойдет речь во второй главе. Но неплохо было бы знать, почему и при каких обстоятельствах он выходит на сцену.

И, наконец, Давид Гильберт. Давний знакомый Нётеров, знавший о работе Эйнштейна и жаждавший узнать больше, Гильберт был в этой троице связующим звеном, создавшим условия, в которых Нётер совершила свое эпохальное открытие.

Помимо этих троих действующих лиц, без которых нельзя обойтись, в этой главе впервые появляются еще несколько героев, играющих роли второго плана. Один из них – не человек, но место. Я не первый, написавший, что, по всей видимости, дух великого Гёттингенского университета сыграл активную роль в том, что в его стенах было сделано множество грандиозных открытий в области математики и точных наук. Гёттинген с его традицией свободы, терпимости и ревностной меритократии был своего рода молчаливым коллегой, сотрудником и вдохновителем длинного ряда ярчайших фигур истории мысли последних трех веков.

Был также Феликс Клейн – еще один титан математики XX века. Он был новатором в области преподавания, который в рамках программы подготовки отделения математики Гёттингенского университета к блистательному будущему решил взять Гильберта под крыло.

Таковы события и обстоятельства, которые, начиная примерно с первых лет предыдущего столетия, в конце концов летом 1915 года свели Нётер, Гильберта и Эйнштейна вместе.

Эмми

Мальчики не хотели с ней танцевать.

В 1890-х годах в Германии не было никаких электронных игр. Чтобы провести время вместе, люди часто приходили друг к другу в гости, играли на музыкальных инструментах и танцевали. Мать Эмми Нётер была хорошей пианисткой и часто играла вместе с великолепным скрипачом.

Согласно всем свидетельствам, Эмми была одаренной, живой, доброй и приветливой девочкой. Но здесь мы сталкиваемся с той же проблемой, что и все остальные, кто решался писать о ее жизни. Поскольку ее положение было вовсе не примечательным, поскольку никто из окружающих никак не мог предвидеть, что в истории науки ей предстоит занять место среди обитателей Олимпа, не было никаких причин фиксировать подробности ранних лет ее жизни. Также обстоит дело с любой исторической фигурой, которая поначалу кажется неприметной гусеницей, а затем, в безвестии пережив период окукливания, разворачивает крылья, превращаясь в редкую и великолепную бабочку. И те, кто задыхается от восторга при виде порхающего в лучах солнца отважного существа, вновь не заметят его замаскированного собрата, лакомящегося листьями поблизости. Такое положение дел – вполне банальный парадокс, с которым сталкивается биограф ученого или художника, – в данном случае, быть может, усугубляется потому, что предмет нашего интереса, в конце концов, был просто девочкой.

Матери мальчиков-подростков, которым случалось оказаться среди гостей в большой, расположенной на втором этаже квартире Нётеров или в других местах встреч, знали, что ей нравится танцевать, а потому время от времени упрашивали своих сыновей дать ей шанс[6]. В конце концов, в руководстве по этикету, опубликованном за несколько лет до рождения Эмми, говорилось: «Подлинно учтивый и воспитанный человек не станет уделять все время и внимание царицам бала, но хотя бы немного позаботится о не пользующихся вниманием девушках, остающихся в забвении и небрежении, у которых может и не оказаться возможности потанцевать, если он не придет к ним на помощь»[7].

Ни у кого не было к ней претензий. В сущности, она всем нравилась. Но Эмми была не очень хороша собой и вовсе не грациозна. Она была близорука и немного шепелявила. Мальчики увивались около других девиц.

Возможно, мальчиков отпугивало кое-что еще. Собраниям в доме Нётеров был свойственен ученый дух. Семья проживала в Эрлангене, университетском городе. Университет Эрлангена был одним из немецких свободных университетов, называвшихся так в силу независимости от какой бы то ни было церкви. Отец Эмми, Макс Нётер, был там видным профессором математики. Он не отличался крепким здоровьем, поскольку в детстве перенес полиомиелит, навсегда оставивший на нем свою печать.

Разумеется, многие гости принадлежали к университетской среде. Время от времени собравшимся молодым людям задавали вопрос – иногда в форме математической задачи: «Кто может мне сказать…?» Эмми тут же давала ответ, тогда как другие все еще пытались понять, о чем их спрашивают.

Сейчас мы живем в другом мире, но кое-что практически не изменилось. В присутствии женщин, которые заметно умнее их, многие мужчины чувствуют себя… словно оскопленными. Это легко заметить и в наше эгалитарное время. В конце XIX века Германия была не просто уютно патриархальной. Что касалось прав женщин, она как в социальном, так и юридическом отношении существенно отставала от большинства прочих европейских стран. Можно себе представить, насколько некомфортно чувствовали себя от природы самоуверенные мальчики-подростки, когда их затмевала одна из тех, кто, как всем было известно, просто не годился для интеллектуального труда.

Нет, танцевать с ней они не хотели. Они знали, что в танце остроумия покажут себя увальнями.

Через 20 лет другой человек загадает Эмми новую загадку. Самый известный математик мира, Давид Гильберт, задаст ей вопрос. Эхо ее ответа раскатится по всему зданию науки. Ее открытие приведет к унификации физики и позволит ответить на множество вопросов, вплоть до сегодняшнего дня определяя развитие этой науки. Но мы немного забегаем вперед.

Гёттинген, 1890 год

Гёттинген – еще один университетский город, расположенный примерно в трехстах километрах к северу (и чуть восточнее) от Эрлангена, если двигаться по современным магистралям. Этот – также свободный – университет наряду с Эрлангеном пользовался устойчивой репутацией оплота точных наук и математики.

В 1890 году отделением математики этого университета заправлял Феликс Клейн. Сегодня его имя хорошо известно в кругу физиков и среди математиков. Он известен также неспециалистам благодаря своим богатым творческим способностям, проявившимся во многих областях математики и точных наук, в том числе – в изобретении таких разнообразящих досуг диковин, как бутылка Клейна[8]. Она представляет собой трехмерную версию ленты Мёбиуса, которую некоторых из нас побуждали смастерить в начальной школе, изготовив из бумаги парадоксальным образом одностороннюю петлю. Бутылка Клейна расширяет парадокс, добавляя третье измерение: мы получаем контейнер, который вместо того, чтобы иметь, как обычно, внутреннюю и наружную поверхность, обладает лишь одной, непрерывной. Подобные явления – прекрасная тема для беседы.[9]

Клейн посвятил себя интеллектуальной деятельности, но, если нужно, мог действовать решительно. Этот математик с азартом тратил существенные силы и время на политические игры, чтобы получить то, чего хотел для своего отделения и университета. Он превратил отделение математики в кузницу кадров международного значения, добиваясь от немецкой бюрократии денежных средств и целого ряда уступок.

Вскоре после того, как он стал профессором Гёттингенского университета, Клейн начал работу над в высшей степени амбициозным планом превращения университета в своего рода аналитический центр в области физических и математических наук. Его амбиции распространялись за пределы Гёттингена: на преподавание науки и техники во всей Германии, в том числе и на политику в отношении средней и старшей школы. С этой целью Клейн выступал за допуск женщин к обучению в Гёттингене, а также пытался привлечь больше иностранных студентов[10]. Как организатор образования, Феликс Клейн с его удивительно глубокими представлениями о преподавании точных наук вообще и о месте Гёттингена в этом процессе в частности опередил свое время. Примером его оригинального и передового мышления является попытка (в конечном счете небезуспешная) привлечь средства немецкой промышленности для финансирования образования и исследований, ориентированных на техническое применение. Он воспользовался тем, что промышленники осознавали необходимость существования в будущем множества рабочих, обученных всевозможным прикладным наукам. Этот подход лишь недавно был перенят в США, где корпоративные субсидии подчас компенсируют недостаточность государственного финансирования народного просвещения, как того хотел Клейн для Гёттингена. Клейн также значительно способствовал более активному преподаванию в Гёттингене прикладных наук, поскольку был убежден, что эти дисциплины наряду с чистой физикой и математикой образовывали единое интеллектуальное поле и могли поддерживать и подкреплять друг друга.

Клейн не смог бы совершить свои прогрессивные подвиги на административном поприще в одиночку. Его соратник в правительстве, человек по имени Фридрих Альтхоф, заведовал всей прусской системой высшего образования. Альтхоф относился к идеям Клейна с достаточной симпатией, чтобы побороться с бюрократией ради их воплощения. В этом ему помогала его своеобразная бестактность. Основоположник квантовой механики Макс Борн много лет спустя вспоминал о нем как о «широко известном и внушавшем ужас своей черствостью и грубостью»[11]. Делу, определенно, пошло на пользу и то, что Клейн с Альтхофом были добрыми друзьями; они вместе сражались во время Франко-прусской войны[12].

Беглый взгляд на глубокие перемены, которые принес Европе этот продолжавшийся в течение года конфликт, показывает, в какой культурной и политической среде жили наши герои. По окончании войны, в мае 1871 года, остававшиеся доселе независимыми немецкие земли обнаружили, что вошли в состав объединенной Германии. Тем не менее они в значительной мере сохранили свою культурную идентичность и – до известной степени – административную автономию. Например, Альтхоф заведовал образовательной политикой в одной лишь Пруссии. Но, поскольку в объединенной Германии Пруссия задавала тон, и поскольку там были сосредоточены наиболее важные университеты, должность Альтхофа была наиболее значимой для формирования немецкой образовательной политики в целом.

Три наших главных героя происходили из разных областей только что объединившейся Германии. Родной город Гильберта находился на восточной окраине Пруссии – земли, где также разворачивалась его карьера. Эйнштейн родился в Ульме (городе, чьим девизом было «Ульм – город математиков»), в располагавшемся на юге Германии Королевстве Вюртемберг. Эрланген, где появилась на свет, выросла и получила образование Эмми Нётер, находится в Баварии. Франко-прусская война привела к низложению Наполеона III, учреждению Третьей Французской республики и значительному снижению французского влияния в Европе – а также большим территориальным уступкам Франции в пользу Германии. Переустройство Европы было масштабным процессом, включавшим объединение Италии.

Эта глава начинается с периода, последовавшего за Франко-прусской войной, и завершается на ранних этапах войны Великой, или, как мы называем ее сейчас, Первой мировой. Франко-прусская стала одним из факторов, приведших к такой Великой войне, как Первая мировая война – одной из причин Второй мировой. Помимо прочего, блистательная победа во Франко-прусской войне пробудила в значительной части немцев своего рода воинственную гордость и помогла примириться с новыми военными кампаниями. Как мы увидим, многие из главных героев этой книги испытывали отвращение к подобным милитаристским настроениям.

Смерть ведущего профессора математики в другом университете привела к раунду характерных для этой среды игр с преподавательскими ставками и переговоров. В результате всех перестановок в 1894 году на отделении математики Гёттингенского университета появилась вакансия (что было делом редким), и Клейн получил (не менее редкую) возможность повлиять на формирование отделения таким образом, чтобы оно подошло еще ближе к воплощению его идей и значительно укрепило свой международный авторитет: для этого он хотел ввести в число сотрудников восходящую звезду, которую ожидало блистательное будущее.

Клейн прекрасно знал, кого хочет пригласить. Своему избраннику он послал письмо с пометкой «Строго конфиденциально». Клейн не знал, сможет ли он организовать официальное предложение занять освободившееся место своему кандидату. То была непростая игра, в которой под надзором министерства участвовали несколько университетов.

Интриги, которые плелись вокруг назначений на штатные должности, были одной из своеобразных особенностей немецкой университетской системы, представляя собой хитросплетение старинных традиций, которым многие авторы ставили в заслугу внушительное положение, которое немцы на протяжении столетий занимали в ученом мире. Одно из обстоятельств, делавших назначение конкретных профессоров ключевым для возвышения и успеха принимающих их факультетов, было связано со своеобразной свободой, которой пользовались немецкие студенты. Об этой традиции не слыхивали в большинстве других стран – например, в США. Университетский студент в Германии мог без ограничений посещать любые занятия, какие хотел, и даже путешествовать от университета к университету, чтобы послушать лекции любого профессора, чья слава привлекла его внимание. Часть дохода учебного заведения – и персональный доход менее именитых лекторов – зависели от того, удастся ли привлечь студентов.

Клейну нужно было знать, не растратит ли он попусту время и политический капитал, а потому он настоял на том, чтобы Гильберт дал ему одно обещание: если место будет предложено, тот его примет.

Гильберт, 1890 год

Давиду Гильберту не потребовалось долго думать, чтобы ответить на «строго конфиденциальное» письмо Клейна. Он не стал обсуждать условия, а ответил тотчас же: «Разумеется, я бы с огромной радостью и без колебаний принял приглашение Гёттингенского университета»[13].

Гильберту было 32 года, и он преподавал математику в Кёнигсберге. На современной карте места, где он родился, не найти – во всяком случае, не под тем именем, которое оно тогда носило. Кёнигсберг, город в Восточной Пруссии, по окончании Второй мировой войны вошел в состав России и был переименован в Калининград. Ни один из Кёнигсбергов на нынешней карте Германии не является Кёнигсбергом Гильберта. Но связанная с городом знаменитая математическая задача сохраняет прежнее имя. В так называемой задаче о кёнигсбергских мостах требуется построить маршрут, проходящий по каждому из семи мостов этого города один и только один раз[14].

Кёнигсберг занимает достаточно важное место в истории научной мысли; в этом городе родились или были воспитаны несколько видных математиков и ученых; кроме того, это колыбель Иммануила Канта, труды которого, как считается, повлияли на философию математики Гильберта. Одна из важнейших и значимых книг Гильберта, «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie), открывается эпиграфом из Канта: «Так всякое человеческое познание начинается представлениями, переходит к понятиям и кончается идеями»[15]. Немецкие студенты той эпохи имели обычай путешествовать между учебными заведениями, дегустируя их «продукцию» на пути к получению степени. Однако Гильберт остался учиться в университете родного города, где на всю жизнь стал добрым другом Германа Минковского, которому предстояло в конце концов прославиться как одному из основателей концепции четырехмерного пространства-времени и который несколько раз появится в следующих главах[16]. В Кёнигсберге Гильберт сделал несколько потрясающих математических открытий; приглашение Клейна попало к молодому профессору в тот момент, когда он еще только делал карьеру, но некоторые из его находок уже привлекли внимание всего света.[17]

В этот период у Гильберта появилась привычка вести дискуссии о математике во время прогулок, демонстрируя некоторую неприязнь к более традиционным местам вроде кабинетов и библиотек. Хотя эти предпочтения способствовали созданию образа человека эксцентричного или, может быть, лучше сказать «яркой индивидуальности» (и эту репутацию Гильберт уже заслужил), такая непоседливость не была среди немецких математиков делом неслыханным или уникальным. В Гёттингене, в итоге ставшем для Гильберта домом, существовала своего рода традиция перипатетической математики, поддержанию которой способствовали окружающие город манящие леса, в значительной степени сохранившиеся и сегодня. Здесь его привычка к математическим прогулкам была с радостью поддержана коллегами, в том числе Эмми Нётер, которая, как мы увидим, в конечном счете привезла этот метод работы в США. Гильберт и Минковский регулярно прогуливались со своим любимым преподавателем математики, Адольфом Гурвицом[18]. К ним вскоре присоединились новые спутники, и прогулки превратились в ежедневный передвижной математический семинар, где знание не только передавали, но и создавали новое.[19]

Феликс Клейн в Гёттингене был счастлив получить от Гильберта согласие, но знал, что настоящая битва впереди. Ученый совет должен был одобрить такую кандидатуру на должность.

Добиться этого было непросто, поскольку у Гильберта, помимо прочего, была репутация человека, питающего открытую неприязнь ко всякого рода властям. Молодой профессор, усердно трудившийся в своем сравнительно захолустном университете, уже стал притчей во языцех.

Из Кёнигсберга доносились скандальные известия. Для той эпохи поведение Гильберта и его манера одеваться казались шокирующе небрежными. Он регулярно появлялся на танцах и других общественных мероприятиях, где без зазрения совести флиртовал со множеством девиц. В представлении очень многих он никак не походил на благопристойного немецкого профессора.

Защитниками Гильберта в ученом совете в Гёттингене были лидеры математического сообщества, тоже знаменитые математики и ученые. Они все знали о его странностях, но их это не заботило. Они очень хотели заполучить Гильберта, который, став сотрудником Гёттингена, сильно упрочил бы и без того блистательную репутацию их коллектива.

Их оппонентами были профессора философии, филологии, литературы и богословия – гораздо более консервативные, чем специалисты в области точных наук и математики. Мы столкнемся с этим сюжетом снова. Эти гёттингенские старейшины не желали иметь с Гильбертом ничего общего. К ним следовало найти подход.

В конце концов Клейн победил, поскольку пользовался значительным влиянием как легендарный математик и наставник, и его победе способствовали связи с Фридрихом Альтхофом, министром образования. За годы, потраченные на формирование факультета, Клейн также превратился в искушенного академического стратега, умело проводящего переговоры со своими коллегами и склонявшего тех на свою сторону. В какой-то момент еще один научный сотрудник, по всей видимости, не слишком хорошо знакомый с репутацией Гильберта, но знавший, что тот молод, упрекнул Клейна в том, что он, судя по всему, ищет покладистого кандидата – возможно, полагая, что ему нужен кто-то, кем можно будет помыкать. Клейн заверил его, что, напротив, «обратился к человеку с самым непростым характером»[20].

Уникальное положение Клейна позволяло ему манипулировать профессорами-гуманитариями. Можно сказать, что администрирование образования было его вторым призванием, поскольку он приобрел невероятную сноровку в замысловатых политических маневрах, характерных для немецкой академической жизни.

После ряда напряженных встреч и переговоров Клейн преуспел. Гильберт поднялся на борт.

Эмми Нётер, математик

Наступил 1900 год, и Эмми Нётер только минуло 18 лет. Казалось весьма вероятным, что замуж она никогда не выйдет.

А потому она пошла по пути, обычному для умных девушек ее времени и круга. Преподавание языков было одним из немногих социально приемлемых квазиакадемических поприщ, доступных женщинам, а для незамужней девушки из семьи ученых эта профессия была практически неизбежной судьбой. Эмми сдала необходимые экзамены и стала дипломированной преподавательницей французского и английского для девочек[21].

Преподавать языки она так и не начала. Вместо этого Нётер поддалась неуемному желанию расширить свои познания, выйдя за пределы того, что было получено ею в рамках традиционного образования. Нам неизвестно, что ее к этому подтолкнуло. Возможно, беглое знакомство с предметами сложных научных изысканий, в которые были погружены некоторые из ее родных и их друзей. Возможно, наиболее глубоким стало влияние ее отца, работавшего на переднем крае математического знания того времени (по мнению некоторых, «одного из лучших математиков XIX века»)[22]. Прошло совсем немного времени, и дочь Макса Нётера попыталась утолить этот голод, вольнослушательницей посещая университетские курсы по целому ряду предметов.

Понять, сколь необычной была ее жажда образования, можно, познакомившись со статистикой: в Эрлангене учились 984 студента мужского пола – и две вольнослушательницы[23]. Одним из препятствий было враждебное отношение некоторых профессоров к одному лишь присутствию женщин на их лекциях. Министерство образования некоторое время боролось с консервативной профессурой, силясь убедить их, что нельзя прогонять женщин без каких-либо на то оснований. Эта битва продолжилась и после того, как Нётер закончила свое формальное образование. Положение отца Эмми помогло убедить большинство профессоров разрешить ей присутствовать на их занятиях, но временами ей приходилось и в самом деле сражаться за это право. Однако в тот момент женщинам уже разрешалось сдавать выпускные экзамены – хотя и не экзамены по окончании отдельных курсов, – и в 1903 году Нётер успешно прошла финальную аттестацию.

К этому времени она с головой ушла в изучение математики. Она продолжала посещать занятия углубленного уровня, и не только в родном университете: она провела семестр в Гёттингене, уместив в своем расписании огромное множество лекций. Для начинающего математика это, должно быть, был головокружительный опыт. Список профессоров, чьи занятия она посещала, производит впечатление переклички математических знаменитостей и включает множество имен, которые – как Клейн или Гильберт – будут знакомыми любому современному студенту, изучающему математику или физику.

Вспоминая о том времени, великий математик и физик Герман Вейль описывал его так: «В юности Эмми Нётер принимала посильное участие в работе по дому, вытирала пыль, готовила обед, ходила на танцы. Судьба обычной немецкой женщины была бы уготована ей, если бы как раз в то время перед девушками в Германии не открылась возможность вступить на научное поприще, не встретив сколько-нибудь заметного сопротивления. В характере Эмми не было ничего бунтарского, она покорно воспринимала окружающий мир таким, каким он был. Но вот она стала математиком»[24].

Возможно, если бы у Вейля была возможность отредактировать сказанное, он изменил бы свое замечание насчет «сколько-нибудь заметного сопротивления». Они с Нётер были слишком хорошо знакомы, чтобы он не знал о сопротивлении, и весьма сильном, с которым она сталкивалась при каждой попытке продолжить академическую карьеру, – о препятствиях, которых не существовало для него и других мужчин, соответствовавших тем же, что и она, квалификационным требованиям. Он прекрасно знал о ее талантах и считал, что она его превосходит. Как подробно показано на следующих страницах этой книги, другие его утверждения и действия позволяют предположить, что, по его мнению, с ней поступают несправедливо. Вейль хочет, чтобы мы понимали характер и склад ума его подруги, Эмми Нётер: ее жизненный путь определялся всепоглощающей страстью к математике. Все необычные шаги, которые она совершала, были результатом того, что она следовала за предметом своей страсти; не будь его, у нее не было бы стимула сойти с более торного пути.

Гильберт в Гёттингене

В Гёттингене Давид Гильберт оправдывал лучшие надежды тех, кто хотел, чтобы он туда перебрался, и подтверждал худшие опасения тех, кто был против его кандидатуры.

Обосновавшись в университете, он принялся оставлять в памяти сталкивавшихся с ним людей ряд неизгладимых отпечатков. Впоследствии один из студентов вспоминал о «странном впечатлении», которое производил Гильберт – этот впопыхах и небрежно одетый человек, «вовсе не похожий на профессора»[25].

Что касается Гильберта, то, на его вкус, атмосфера в Гёттингене была чересчур чинной. Там было множество мотивированных студентов, изучавших математику; в Гёттинген их привлекала международная известность Феликса Клейна. Но обстановка там в те времена все еще была довольно формальной и холодной, а иерархические отношения между преподавателями разного положения и между сотрудниками университета и студентами тщательно соблюдались[26]. Это было не в стиле Гильберта.

Год еще не закончился, как Гильберт вдобавок к своим нетрадиционным взглядам на жизнь и академическую среду начал окружать себя людьми, которые ему нравились и с кем он мог с пользой обсуждать математику, не оглядываясь на то, какие манеры и привычки могли ожидаться от человека его положения[27]. Студенты и молодые преподаватели были совершенно очарованы Гильбертом, вовсе не похожим на внушающего благоговение небожителя-Клейна. Их забавляла его манера выражаться и провинциальный кёнигсбергский говор, и они позволяли себе слегка и добродушно подтрунивать над некоторыми характерными для него оборотами речи[28].

Вскоре гёттингенские студенты узнали о другой стороне характера Гильберта. Он был интеллектуально строг, не терпел небрежных рассуждений или унылых докладов и мог быть беспощадным оппонентом. По словам Вейля, который был в то время одним из студентов Гильберта (и которому самому предстояло стать знаменитым математиком, главой математического отделения и важным действующим лицом нашей истории): «Прежде чем произнести в его присутствии ложь или пустую фразу, следовало дважды подумать: его прямота была небезопасна»[29].

Вейль вступил в ряды гёттингенских студентов в 1903 году[30]. Как и многие другие, он вскоре был очарован умом, подобного которому раньше попросту не встречал: «Но двери нового мира распахнулись передо мной, и, хотя я сидел у ног Гильберта не так уж долго, в моем юном сердце созрела решимость во что бы то ни стало прочитать и изучить все, написанное этим человеком»[31].

Однажды, узнав, что один из его студентов обратился от математики к поэзии, Гильберт сказал, что это к лучшему, поскольку тому недоставало воображения, чтобы стать математиком[32]. И это была одна из основных жалоб Гильберта на его гёттингенских студентов: подчас они не демонстрировали достаточного богатства воображения.

В Гёттингене Гильберт упрочил свою репутацию человека эксцентричного. К концу первого проведенного там года он со своей молодой семьей построил дом, устроенный так, чтобы Гильберту легче было реализовать свою склонность работать на улице, вдали от пыльных книг и библиотек. У Гильберта была огромная грифельная доска, висевшая на стене соседнего дома, а на его участке была устроена крытая прогулочная галерея, чтобы можно было работать на улице даже в дождь[33]. Через несколько лет он приобретет велосипед и научится ездить на нем – ему тогда было 45[34]. Новое средство передвижения стало частью рабочей рутины Гильберта, включавшей в себя расчеты на расположенной на свежем воздухе грифельной доске, прогулки, садоводство и наслаждение быстрой ездой на велосипеде. Он пропадал в бильярдных с младшими преподавателями – которых, как ожидалось, должен был сторониться. Зимой он приезжал на занятия на лыжах. Когда ему хотелось погулять с Минковским, Гильберт шел к дому своего друга и бросал в его окно камешки – еще одна привычка, вовсе не шедшая на пользу его репутации[35]. Возможно, еще больше о необычном складе ума Гильберта скажет тот факт, что когда его сын Франц пошел в школу и ему задали вопрос о его вероисповедании, мальчик понятия не имел, что ответить[36].

Среди всех неурядиц, конфликтов и, наконец, ошеломительного успеха, которыми была отмечена карьера Гильберта в Гёттингене, постоянным источником поддержки и жизненно важной посредницей и помощницей была его жена, Кете Ерош. Она понимала, когда мужу нужно было поработать в тишине, и оберегала его от постоянного потока студентов и коллег, стучавших в двери их дома. О Гильберте можно с уверенностью сказать, что он был непростым человеком и, кроме фрау Гильберт, его никто не понимал.

В 1900 году, всего лишь через пять лет после начала работы в Гёттингене, Гильберт произнес речь, в которой выделил десять (впоследствии их число было увеличено до 23) важнейших нерешенных математических проблем. То были не просто загадки, но своего рода набросок будущего математики.

Именно друг Гильберта Минковский заронил идею таких лекций[37]. Он заметил, что при планировании выступления в ознаменование наступления нового века Гильберт мог бы подумать о том, чтобы «заглянуть в будущее» и составить «список задач, на которых в грядущем столетии математикам следовало бы попробовать свои силы. С такой темой ваши лекции оставались бы предметом дискуссий и десятилетия спустя». По сути, прошло больше сотни лет, а мы продолжаем их обсуждать.

Интеллектуальный авторитет Гильберта и его неоспоримое господство над всем миром математических исследований были к тому моменту таковы, что эти так называемые «проблемы Гильберта» глубоко повлияли на развитие математики. Они до сих пор известны любому математику, и некоторые из них остаются нерешенными. Найти решение для нерешенной задачи из этого списка позволит любому математику, в этом преуспевшему, заявить о себе.

Доктор Эмми Нётер

Эмми Нётер сдала выпускные экзамены летом 1903 года и немедленно начала работать над докторской диссертацией[38]. Теперь она была предана математике и направлялась туда, где, как уже всем было известно, находилась столица математического мира: в Гёттингенский университет.[39]

Там она провела семестр – официально снова в роли вольнослушательницы. По закону женщины все еще не могли быть приняты в немецкий университет, даже если им и разрешалось сдать выпускные экзамены. Эмми Нётер посещала лекции ряда гениев, чьи имена навеки вошли в историю науки и математики: Карла Шварцильда, Германа Минковского, Отто Блюменталя и самих Феликса Клейна и Давида Гильберта. Шварцшильд был исключительно математически одаренным астрономом; другие, как отмечалось выше – математиками.

После этого головокружительного семестра в Гёттингене Нётер вернулась домой. Закон, наконец, изменился, и женщины получили право наравне с мужчинами поступать в университеты и получать ученые степени. Весной 1904 года Нётер официально поступила в Университет Эрлангена, чтобы изучать математику[40]. Эрланген делился на «факультеты»; математику преподавали на Втором отделении философского факультета. Когда Нётер поступила туда, на факультете обучалось 46 студентов мужского пола – и одна она. Единственные ее товарки обучались на медицинском факультете, где среди 159 студентов-мужчин были три полноправные студентки и две вольнослушательницы.

Ее отец Макс вместе с еще одним видным математиком, Паулем Горданом, вел основные курсы на отделении математики. Эмми и ее брат Фриц, изучавший математику и физику, часто посещали лекции своего отца.

Гордан был одним из экспертов мирового уровня по тому, что называлось теорией инвариантов. Под его руководством Эмми Нётер начала активно изучать этот предмет, и в декабре 1907 года получила степень PhD, summa cum laude[41][42], за посвященную ему диссертацию.

* * *

В следующих двух главах будут изложены предпосылки появления теоремы Нётер и описаны как внешние обстоятельства, так и подготовительная работа, проделанная ею перед тем, как она совершила революционное открытие в области физики. Основное направление этой подготовительной работы Нётер связано с эволюцией ее математического стиля и подходов; этот путь начинается с обучения у Гордана, и первой вехой на нем стала ее диссертация. Гордан был прекрасно известен своим в высшей степени обстоятельным, вычислительным методом проведения математических изысканий. Его статьи зачастую состояли из длиннейших рядов уравнений без каких-либо текстуальных пояснений. Нётер усвоила подход своего научного руководителя, и ее диссертация – ярчайший пример подобного стиля. Для исследователей нет ничего удивительного в том, чтобы в начале карьеры перенимать подходы своих наставников, – даже для тех исследователей, кого, как Нётер, оригинальность мышления вскоре увлечет на совсем иной путь.

Однако в случае Эмми Нётер эти расхождения оказались резко выраженными. Много времени спустя Герман Вейль будет оглядываться на карьеру Нётер: «Трудно представить себе бо́льший контраст, чем тот, который существует между ее первой работой – диссертацией – и работами, выполненными в пору профессиональной зрелости: первая являет собой яркий пример формальных вычислений, вторая – не менее яркий и впечатляющий пример аксиоматического мышления в терминах абстрактных понятий в математике»[43].

Скорее всего, Нётер бы с ним согласилась. Вступив в более зрелую фазу своего творческого пути, она стала нетерпимой к любым упоминаниям об этой диссертации и называла ее «бредятиной» – а подчас и более крепким словом.

Различие в подходах к математике или стилях математического мышления, о котором говорит Вейль, усугубленное бранью Нётер, – это различие между наглядными, подчас трудоемкими вычислениями и работой на более высоком концептуальном уровне, характеризуемом размышлениями о структуре, скрывающейся за задачей. Во втором случае математик иногда доказывает нечто, касающееся природы, скажем, решений уравнения (существуют ли они? бесконечно или конечно число таких решений?), может быть, даже не пытаясь выстроить хотя бы одно из этих решений.

Альберт Эйнштейн

Сегодня множество историков и популяризаторов науки называют 1905 год «годом чудес» Эйнштейна (а кое-кто предпочитает щегольнуть латинским выражением: annus mirabilis). В том году 26-летний Эйнштейн опубликовал пять статей. Каждая из них была блестящей; некоторые – навсегда изменили ход человеческой мысли. Одна из этих работ принесла ему Нобелевскую премию: то был расчет, ознаменовавший рождение квантовой механики. Из другой статьи 1905 года мы узнали о том самом физическом уравнении, которое известно каждому: E = mc² (хотя изначально оно появилось в несколько иной форме). Среди этих пяти статей была та, что положила начало специальной теории относительности; сформулированные в ней идеи в популярном изложении на десятилетия превратятся в тему бесед на коктейльных вечеринках и породят бесчисленное множество набросков поездов, нацарапанных на бумажных салфетках. Благодаря еще одной из этих пяти статей Эйнштейн получит докторскую степень (по физике) за два года до того, как Эмми Нётер свою – в области математики.

Всего этого Эйнштейн добился, работая в патентном бюро в швейцарском городе Берне. Его задачей была оценка патентных заявок. Работа ему нравилась, поскольку была до известной степени занимательной, не требовала особых усилий, приносила неплохой доход и оставляла много времени для размышлений о физике. Он шутил, что его рабочий стол в бюро, набитый теоретическими вычислениями, представлял собой «физический факультет». Преподавать ему не особенно нравилось.

Хотя Эйнштейн и был доволен своей работой в патентном бюро, нам нужно спросить: а что он там делал? По окончании университета, в 1900 году, он оказался единственным студентом-физиком, не получившим должности ассистента. В течение года он оставался без работы и безуспешно искал себе место в различных университетах. Вполне вероятно, проблема Эйнштейна состояла в том, что он попросту обижал своих наставников. Он пропускал много занятий, предпочитая заниматься самостоятельно. Он сам решал, какие занятия слишком скучны или бесполезны, чтобы тратить на них время. Хоть сколько-нибудь мнительные преподаватели обычно легко вызывают чувство неприязни у слишком умных и не считающихся с их мудростью студентов. А молодой Эйнштейн был в целом не слишком дипломатичен.

После года безработицы, в течение которого он зависел от материальной поддержки не слишком состоятельных родителей, Эйнштейн наконец получил место школьного учителя, а также стал давать частные уроки[44]. Работа понравилась ему гораздо больше, чем он ожидал, в особенности потому, что обе должности оставляли ему достаточно свободного времени и энергии, чтобы работать над физическими проблемами. Год проработав учителем, он с помощью друга и товарища по университету Марселя Гроссмана нашел место в патентном бюро (как станет ясно ниже, Гроссман оказал ему кое-какую еще более ценную помощь). Эта работа была более надежной (работа в школе была временной) и подходила ему даже еще больше. По сути, проведенные в патентном бюро дни были одними из самых счастливых в его жизни.

Хотя во время жизни в Берне Эйнштейн проделал огромную прорывную работу в потрясающе разнообразных областях науки, то, что имеет прямое отношение к нашей истории – это его работа над тем, что мы сегодня называем специальной теорией относительности.[45]

Я не стану подробно излагать содержание этой теории, так как существует множество великолепных книг и статей, в которых это сделано, и наша история этого не требует. Однако нам понадобится сделать краткий обзор и, в особенности, понять одну конкретную точку зрения на эту теорию. Этот аспект специальной теории относительности не затрагивается в большинстве упрощенных или научно-популярных ее изложений. Он тесно связан с теорией инвариантов, предметом докторской диссертации Эмми Нётер. В тот момент, когда вышла статья Эйнштейна, Нётер была погружена в теорию инвариантов.

Во-первых, почему теорию Эйнштейна называют теорией относительности? Она касается того, как описывать вещи с разных позиций – или относительно разных точек зрения. В этом случае точки зрения являются различными системами отсчета. Под этим термином имеются в виду просто совокупности обстоятельств, двигающиеся с какой-то постоянной скоростью, то есть в неизменном темпе и в каком-то конкретном, неизменном направлении. Если вы находитесь в поезде, плавно движущемся вперед с постоянной скоростью, а я стою на платформе, то мы находимся в разных системах отсчета того типа, который рассматривается в этой теории. Первую теорию относительности Эйнштейна назвали специальной в противовес той, что была сформулирована позднее. Общая теория относительности является, скажем так, более общей: в ней рассматриваются системы отсчета, движущиеся в любых направлениях.

Первая четко сформулированная теория относительности была изложена Галилеем, и сегодня мы называем ее принципом относительности Галилея. Согласно этому принципу, я, стоящий на платформе, буду считать, что вы движетесь (например) направо со скоростью поезда, а вы – считать, что я движусь налево с той же скоростью. Если вы бросите мяч в направлении головного вагона поезда, то я увижу, как к скорости поезда прибавилась скорость, приданная вами мячу. Другой пример – это траволаторы, которые мы сегодня привыкли видеть в аэропортах. Когда вы идете по нему со своей обычной скоростью, то, взглянув в сторону, заметите, что окружающие предметы движутся, возможно, быстрее, чем вы привыкли; скорость, с которой они движутся, это скорость ленты плюс скорость, с которой идете вы.

Принцип относительности Галилея – это инстинктивно понятная теория относительности, в которую мы, обычно сами того не сознавая, верим, если и покуда не записываемся на курс физики и в результате обучения не утрачиваем свои инстинкты. Очевидно, что она верна. Эту теорию относительности, просуществовавшую более 300 лет, унаследовал Эйнштейн, доказавший, что она не может быть верна, если верны некоторые другие ставшие нам известными вещи.

Опустим доказательства и перейдем к некоторым следствиям. Однако вкратце отметим, что фундаментальная и безусловная истина, с помощью которой Эйнштейн доказал, что принцип относительности Галилея следует заменить, такова: в вакууме свет обладает одной скоростью, и эта скорость одинакова для всех вне зависимости от того, из какой системы отсчета она измеряется. Это означает, что если, шагая по траволатору в аэропорту, вы достанете фонарик и включите его, направив прямо от себя, то узнаете (при наличии подходящего оборудования), что свет движется от вас с этой универсальной скоростью, обозначаемой константой с. Пока что тут нет ничего удивительного. Но это также означает, что человек, стоящий неподвижно на полу рядом с вами, замерит в точности ту же скорость с. Это наблюдение прямо противоречит тому, что, как нам кажется, мы интуитивно знаем о бросаемых в поезде мячиках. (Разумеется, в аэропорту нет вакуума, но атмосфера в нем влияет на скорость света лишь незначительно, и идея остается той же.)

Сделав это (подтвержденное экспериментами) допущение о скорости света и беспощадно применив простую логику к остроумным мысленным экспериментам, Эйнштейн вывел свою специальную теорию относительности.

Неизменность скорости света предполагалась также электромагнитной теорией Джеймса Клерка Максвелла. В известном смысле теория Максвелла была первой единой физической теорией: великий шотландский физик использовал критерии математической красоты и симметрии, чтобы скомбинировать существующие теории электричества и магнетизма, превратив их в набор уравнений, показывающих, что каждая из этих теорий была составной частью другой. Эти уравнения показывали, что колеблющиеся электрические и магнитные поля распространялись в пространстве в виде волн – световых, тепловых или радиоволн – со скоростью, которая была физической константой и не зависела от движения их источника или наблюдателя. Эйнштейн неизменно руководствовался теорией Максвелла при разработке собственной новой физики; то была общепризнанная теория, которая считалась соответствующей реальному положению дел и показывала, что принцип относительности Галилея небезупречен.

Помимо прочего, из специальной теории относительности следует, что если вы будете измерять течение времени на протяжении секунды в системе отсчета, движущейся относительно той, в которой находитесь сами, то обнаружите, что она длиннее, чем секунда в вашей системе отсчета. Иными словами, если, стоя на платформе, вы посмотрите на часы на проходящем мимо поезде, то увидите, что часы тикают медленнее, чем часы на платформе, где вы стоите. В сравнении с вашим, время в поезде замедляется. Почему до Эйнштейна этого никто не заметил? Разумеется, этот эффект – эффект реальный и ныне с невероятной точностью подтвержденный многочисленными экспериментами, – столь незначителен, что для его наблюдения вам потребуются либо сверхточные часы, либо скорости, весьма близкие к скорости света. И подтвердили его обоими способами: с помощью установленных на самолетах атомных часов и посредством наблюдений, показывающих, что элементарные частицы, двигающиеся со скоростью, близкой к скорости света, «живут» дольше, чем те, что ведут более размеренный образ жизни.

Еще одно следствие теории – что из-за скорости изменяется само пространство. Если бы у вас был способ с исключительной точностью измерить длину вагона в момент, когда он проезжает мимо вас, вы увидели бы, что он короче, чем когда поезд стоит на месте. Чем быстрее движется поезд, тем сильнее он сжимается в направлении движения.

Не буду больше говорить об этих эффектах; только на всякий случай проясню один запутанный вопрос: как бы быстро ни двигался поезд, сидящие в нем люди не заметят ничего необычного ни в отношении самих себя, ни в том, что происходит в поезде. Согласно замерам тех, кто остался на платформе, их часы замедляются, но и сами они замедляются. Замедляется само время, так что замечать нечего. То же касается и пространства: у людей нет способа определить, что вещи стали короче, поскольку короче стали и используемые ими для измерений линейки. Сжатие происходит относительно других систем отсчета.

В 1902 году Герман Минковский перебрался в Гёттингенский университет. Примерно в то время, когда Эмми Нётер получала докторскую степень, он читал там лекцию о недавно сформулированной специальной теории относительности Эйнштейна. Он не только прекрасно ее понял, но и нашел более наглядный (по его мнению) способ описания этих преобразований пространства и времени. По сути, то был элегантный математический фокус. «В изложении Эйнштейна его фундаментальная теория с математической точки зрения выглядит несуразной, – отмечал он, – я могу так говорить, поскольку математику он изучал в Цюрихе под моим руководством»[46]. Да, Минковский был одним из университетских преподавателей математики Эйнштейна.

Минковский показал, что в специальной теории относительности преобразование пространства и времени между разными системами отсчета с математической точки зрения тождественно вращению пространственно-временной системы координат (системы осей, на которых мы отмечаем положение объектов во времени и пространстве – пространстве одно-, двух- или трехмерном). Это наблюдение сделало неизвестное знакомым, поскольку, хотя преобразования Эйнштейна были для механики чем-то новым и странным, во вращении все уже прекрасно разбирались. Любые известные нам из геометрии математические уловки и механизмы могли теперь сделать расчеты, касающиеся специальной теории относительности, более простыми и интуитивно понятными. По сути, своим представлением о четырехмерном пространстве-времени мы обязаны Минковскому. В таком пространстве-времени три пространственных измерения сочетаются со временны́м, но не так, как это могли бы сделать Галилей или Ньютон, у которых пространство и время имели совершенно разную природу. В пространстве-времени Минковского временны́е и пространственные координаты теснее друг с другом связаны: у Минковского при вращении временны́е и пространственные интервалы смешиваются воедино.

Показав, что описанные Эйнштейном преобразования пространства-времени эквивалентны вращению, Минковский обнаружил скрытую симметрию в уравнениях специальной теории относительности – симметрию, которой не заметил Эйнштейн. Важным аспектом этой математической перспективы было открытие, что при вращении системы координат (и, следовательно, изменении мер пространства и времени) кое-что остается неизменным. Эти важные, неизменяемые величины являются инвариантами специальной теории относительности и связаны с теорией инвариантов, которой Эмми Нётер посвятила докторскую диссертацию. Как мы увидим ниже, это включение элементов теории инвариантов в теорию относительности – первая из предпосылок достигнутого Нётер результата.

Уловка Минковского изящно акцентирует радикальное следствие теории относительности: пространство и время не являются неизменно изолированными. Все, что нужно – это ступить на движущуюся платформу, и пространство, и время, некогда бывшие разными понятиями, смешиваются.

Минковский отметил, насколько революционным является этот вывод: «С этих пор пространство само по себе и время само по себе обречены раствориться в тенях, и лишь своего рода союз двух этих явлений будет сохранять самостоятельную реальность»[47].

В своей книге о том, как Эйнштейн разработал общую теорию относительности, Джон Гриббин выдвигает предположение, что широким одобрением своих идей и даже своим академическим успехом в целом Эйнштейн был в значительной мере обязан той пространственно-временно́й формулировке, которую дал его специальной теории относительности Минковский[48]. Хотя, как мы отметили, Эйнштейн оценил работу Минковского в области теории относительности, сомнительно, что он придавал ей такое же важное значение.

Эйнштейн не сразу понял, что замыслил Минковский. Собственно, он раздраженно сострил: «С тех пор, как математики набросились на мою теорию относительности, я сам ее больше не понимаю»[49]. Некоторое время он считал формулировку Минковского, описывающую четырехмерное пространство-время, своего рода бессмысленным проявлением учености, а статьи Минковского «излишне запутанными»[50]. Все это было сказано в контексте его подозрений, что гёттингенские математики подчас хотели скорее покрасоваться, чем попытаться изложить дело ясно – по крайней мере, когда их работа касалась физики[51]. Однако в конечном счете Эйнштейну пришлось пересмотреть это мнение[52]. Он не только оценил подход Минковского, но и впоследствии использовал его в собственных работах.

Эмми Нётер, преподавательница математики

Здоровье отца Эмми Нётер, всегда бывшее шатким, после получения его дочерью докторской степени постоянно ухудшалось. Ему все сложнее было преподавать.

Наличие степени не означало в случае Эмми работы в университете. В Германии первого – и большей части второго – десятилетия XX века не существовало такого явления, как должность университетского преподавателя для женщины. Разумеется, ей это было известно. Она знала, что доктор Эмми Нётер не сможет стать профессором математики, тогда как ее друзья и коллеги мужского пола с такими же дипломами нашли работу. Она работала над диссертацией не для того, чтобы получить профессиональную квалификацию; она делала это из бескорыстной жажды знаний и ради опыта исследовательской работы.

А потому она осталась в Эрлангене и стала неоплачиваемым ассистентом своего отца. Она также начала работать над собственным исследовательским проектом, который изначально был связан с темой ее диссертации, еще немного продвинувшись в изучении теории инвариантов. Она стала членом нескольких математических обществ и начала посещать их заседания. Участие в этих ассоциациях позволило ей обсуждать свою работу с более широким кругом исследователей и помогло этому широкому кругу познакомиться с ней. Собрания радовали ее и рождали новые мысли, и время от времени она с удовольствием делала доклады о своей работе. Вечера после официальных заседаний были полны бурного неформального общения, и Эмми Нётер часто присутствовала на этих собраниях. Почти всегда она была на них единственной женщиной-математиком – иными словами, единственной женщиной, которая не была замужем за математиком[53].

В 1910 году ее научный руководитель Пауль Гордан вышел на пенсию. Человек, сменивший на посту того, кто заменил Гордана – Эрнст Фишер, – стал важнейшим среди ее наставников. На протяжении пяти следующих лет они непрестанно беседовали о математике. Нётер оставила пространные заметки об этих беседах и часто присылала Фишеру открытки, исписанные математическими выкладками несмотря на то, что оба жили в Эрлангене[54].

Под руководством Фишера Нётер сильно изменилась как математик. Она отказалась от усвоенного ею от Гордана стиля, предполагавшего скрупулезные, почти алгоритмические вычисления, и начала осваивать более абстрактную методологию. То был стиль, который ассоциировался с Гильбертом и его методами доказательства, которые Гордан отмел как богословские. Она с энтузиазмом восприняла этот новый подход к математике и начала с пренебрежением относиться к методу, которому изначально была обучена.

Ее отец более не мог преподавать или исполнять другие свои обязанности. Его дочь начала преподавать его курсы в качестве постоянного, неоплачиваемого замещающего преподавателя. Она даже руководила докторантами. Она публиковала новые статьи, получавшие большое одобрение, и продолжала посещать конференции и выступать на них.

Короче говоря, в тот момент жизнь Нётер напоминала жизнь первоклассного математика на заре многообещающей научной карьеры, жизнь, которая неизбежно должна была принести уверенность в завтрашнем дне и жизненные блага, связанные с престижными должностями. Она преподавала, руководила диссертантами и, благодаря собственной исследовательской работе и активному участию в конгрессах и собраниях коллег, завоевала стремительно упрочивавшуюся международную репутацию. Коллеги же – сообщество математиков – по большей части принимали ее как равную: она и была им равна – она входила во все еще узкий круг посвященных, говоривших на своем тайном языке.

Однако, как бы высоко ни ценили ее товарищи, Нётер не было суждено насладиться карьерой первоклассного математика. Из-за немецких законов, регламентов, традиций и господствовавших в обществе настроений университет продолжал пользоваться плодами ее неоплаченного труда, а ей самой и дальше дозволялось укреплять репутацию немецкой науки, но официального признания своих заслуг она при этом ожидать не могла. Вместо этого она наблюдала, как вереница уступавших ей талантом мужчин непрерывно поднимается по карьерной лестнице, оставляя ее позади. Положение начало меняться лишь по окончании Великой войны.

Хотя некоторые из ее коллег сетовали на то, как с ней обращаются, и даже вступали в бой за то, чтобы найти для нее место, сама она, судя по всему, вела себя в соответствии с процитированными выше словами Вейля: сложившиеся обстоятельства не вызывали у нее протеста. Нет свидетельств, чтобы она хоть раз возмутилась тем, как с ней обходятся; ни в одном из ее писем или сохранившихся высказываний нет никаких следов горечи или жалости к себе. Напротив, казалось, что она с юмором (но вовсе не сквозь розовые очки) смотрит на свое положение и мир в целом. Она ничего не ждала. Она была очень счастлива тому, что у нее есть возможность заниматься исследованиями, преподавать и беседовать о математике – единственном предмете, доставлявшем ей ничем не омраченную радость.

* * *

Слава Гильберта продолжала греметь. Он закрепил за Гёттингеном статус генерального штаба математики в западном мире. Теперь любой исполненный надежд математик хотел там учиться – и Гильберт был тому основной причиной. Он быстро превращался в первую подлинную математическую суперзвезду и сделал факультет математики Гёттингенского университета главной целью студентов, прибывавших со всей Европы, из Америки и даже из далекой Японии.

Кажется, слава никак не отразилась на Гильберте. Его бывший студент, Отто Блюменталь, отмечал, что тот воспринимал похвалы с «наивным, сдержанным удовольствием, не позволяя себя смутить и заставить демонстрировать ложную скромность»[55]. К этому времени сотни людей регулярно заполняли лектории Гёттингенского университета, чтобы его послушать: в аудиториях не было свободных мест, и люди рассаживались на подоконниках. Тем не менее, согласно одному из очевидцев: «Поведение Гильберта не изменилось бы, даже войди в аудиторию сам император». Но причиной тому было не раздутое самомнение: «Гильберт оставался бы собой, даже перебиваясь с хлеба на воду»[56].

Хотя лекции Гильберта были очень популярны, нетрадиционные подходы иногда навлекали на его голову неприятности[57]. Поскольку он предпочитал вести импровизированные вычисления на доске, объясняя их по ходу дела вместо того, чтобы переписывать материал тщательно подготовленной лекции, то, естественно, иногда заходил в тупик. Если вокруг не было никого, способного понять, куда двигаться дальше, он просто пожимал плечами и говорил: «Что ж, мне следовало бы подготовиться получше». Хотя такой подход может показаться залогом катастрофы, он позволял студентам увидеть, какие трудности и творческие усилия сопряжены с настоящими занятиями математикой. По сути, они могли стать свидетелями процесса открытия, что сделало лекции Гильберта столь памятными для многих. Присутствие на занятиях Гильберта составляло для большинства освежающий контраст с идеально проработанными и безупречными лекциями Феликса Клейна. Пауль Эвальд, которому предстояло стать выдающимся физиком и кристаллографом, но в то время работающий «стенографистом» на лекциях Гильберта, описывал происходящее как опыт присутствия при спонтанном создании Гильбертом новой математики, а не механическом повторении прописных истин[58].[59]

В начале 1900-х годов Гильберт получил звание, бывшее, грубо говоря, немецкой версией британского рыцарства[60]. Однако он с раздражением и даже грубостью относился к тем, кто настаивал на использовании при обращении к нему этого титула[61]. Гильберта не сильно тревожило то, как именно к нему обращаются, но он был нетерпим к излишней официальности и в особенности заискиванию.

Клейн и Гильберт представляли собой интересный пример разительного контраста. Клейн тоже получил звание рыцаря и предпочитал, чтобы к нему обращались, используя предполагавшийся этим званием титул. Американский математик Норберт Винер посетил Клейна после того, как немецкий профессор вышел в отставку. Винер постучал в его дверь и спросил экономку, дома ли «профессор». Она строго поправила его, сказав, что Клейн дома, но поставив вместо «профессора» громкий титул[62]. А когда бывшего студента спросили, какое обращение в те годы предпочитал Гильберт, тот ответил: «Гильберт? Ему было все равно. Он был королем. Он был Гильбертом».

За время пребывания в Гёттингене Гильберт произвел глубокое впечатление на длинный ряд студентов и коллег, многих из которых впоследствии прославил вклад, сделанный ими в математику и точные науки. Макс фон Лауэ, будущий нобелевский лауреат в области физики, но в те годы – студент, посещавший некоторые из прочитанных Гильбертом в Гёттингене лекций, сказал о своем профессоре: «Этот человек живет в моей памяти как, пожалуй, величайший из гениев, которых я видел в своей жизни»[63]. Размышляя о значении этого воспоминания, мы должны иметь в виду, с каким огромным числом первоклассных научных умов сталкивался за свою жизнь фон Лауэ.

Математик Харальд Бор вспоминал о Гильберте так: «Вся гёттингенская жизнь была озарена блистательным гением Давида Гильберта, будто связывавшего нас воедино… практически каждое его слово о задачах, стоящих перед нашей наукой, и о мире в целом казалось нам поразительно свежим и обогащающим»[64].

Минковский позднее писал Гильберту: «…у тебя можно многому научиться – не только математике, но также искусству разумного, подобающего философу наслаждения жизнью»[65].

Несмотря на то, что Гильберт был постоянно погружен в самые возвышенные области чистой математики, было бы ошибкой думать о нем как о рассеянном и отрешенном профессоре; когда обстоятельства того требовали, ему не была чужда проницательность в житейских делах. Такая ситуация возникла, когда его имя внезапно прогремело, и ему предложили занять престижную профессорскую должность в Берлине[66]. Студенты Гильберта боялись, что такая возможность слишком соблазнительна, чтобы от нее отказаться, но тем не менее попытались убедить того остаться в Гёттингене. Казалось, что Гильберт был поглощен собственными мыслями и, к их смятению, не развеял их страхи. Однако они ничего не знали о подковерной игре, которую начал их любимый профессор, планировавший использовать это предложение как рычаг давления. Продемонстрировав немалый дипломатический талант, он сумел надавить на соратника Клейна, Фридриха Альтхофа, заставив того учредить в Гёттингене новую должность и согласиться на то, чтобы ее занял старый друг Гильберта, Минковский. Когда пыль улеглась, все в Гёттингене сияли от радости – включая самого Гильберта; его научную жизнь теперь должно было еще больше обогатить присутствие одного из любимых товарищей по занятиям математикой. Впоследствии выяснилось, что Минковский оказал на Гильберта важное влияние, убедив того, что весьма существенно, глубже погрузиться в изучение физики[67].

Гёттинген – это больше, чем место работы, гораздо больше, чем просто учебное заведение. Старый университет – один из главных героев в этой истории: сам дух места, бремя его великолепной истории, то, какую среду он создавал для интеллектуальных странствий, разворачивавшихся как в его стенах, так и на тропинках окружающих его лесов, делает его активным участником эпохальных открытий Гильберта и его друзей. Американские физики Леон Ледерман и Кристофер Хилл так описывали немецкий университет той эпохи:

Немецкий университет конца XIX – начала XX веков… представлял собой в высшей степени влиятельное сообщество, в особенности в области точных наук и математики – здесь он считался лучшим в мире. В то время он был местом формирования высочайших научных стандартов, колыбелью квантовой механики и общей теории относительности Эйнштейна – а также большей части современной математики… здесь представителей этнических меньшинств ждало толерантное, открытое и восприимчивое общество, место, где можно было процветать, сулившее отдохновение от твердокаменного националистического консерватизма остававшегося за его стенами общества. То была спокойная, располагающая к созерцательности среда, сообщество ученых, объединенных глубокой и неизменной приверженностью абстрактным предметам их интереса[68].

Ледерман и Хилл говорят не о самом Гёттингене, но в целом о немецких университетах; Гёттингену посчастливилось завоевать в то время славу столицы математики и точных наук. Разумеется, у этой терпимости, свободы и меритократии были ограничения: этнические меньшинства – да, женщины – определенно, нет. Было и другое ограничение, классового характера. Оно не налагалось непосредственно самими университетами, но было фактическим препятствием, возникавшим вследствие организации немецкой системы образования. Лишь те, кто обладал определенным материальным положением, могли подготовиться к сдаче экзамена, прохождение которого позволяло причаститься этой меритократии.

В какой мере внушающая благоговение репутация немецких ученых, подвизавшихся в области математики и точных наук, была обязана своим существованием устрашающей немецкой системе университетского образования, а не, скажем, случаю, собравшему вместе множество блестящих умов, или каким-либо иным культурным и историческим обстоятельствам? Несомненно, отвечая на подобные вопросы, невозможно оперировать численными показателями, но столь же несомненно, что влияние университета было огромным.

Хотя его авторитет и круг обязанностей продолжали расширяться, Гильберт сохранял бескомпромиссную преданность своим принципам. Он пришел в ужас от произведенной Германией аннексии территорий и, когда разразилась Первая мировая война, отказался подписать печально известный манифест «К культурному миру», оправдывавший немецкую территориальную агрессию[69]. Природу этого документа, который подписали 93 почтенных и влиятельных немецких интеллектуала, изобличают предостережения против «русских орд, вместе с монголами и неграми натравливаемых на белую расу»[70]. Практически все его коллеги (даже Клейн и Макс Планк) и другие известные люди со всех концов Германии чувствовали себя обязанными подписать эту писанину (что позднее заставило одних из них сгорать со стыда, а других признаваться, что они не вполне понимали масштабы преступлений Германии). Как известно, Эптон Синклер сказал однажды: «Трудно заставить человека понять что-то, если ему платят зарплату именно за то, чтобы он этого не понимал». В результате его патриотизм стал вызывать сомнения: а во время войны это не шутка.

Тем временем, по мере развертывания боевых действий, Гильберт продолжал возмущать старших коллег, игнорируя их представления о том, как следует себя вести человеку его общественного положения.

После переезда в Гёттинген исследовательские интересы Гильберта изменились: от теории инвариантов он перешел к таким предметам, как логика и основания математики. Его работа характеризовалась все большим формализмом и сосредоточенностью на структуре математических систем.

Гильберт был пионером крайне абстрактного, аксиоматического подхода к математике. Суть этого подхода может быть не вполне ясна тем, кто находит математику в принципе настолько абстрактной, что дополнительные дистинкции кажутся бессмысленными. Но существуют разные стили математического исследования. Во времена Гильберта доверяли конкретным построениям, состоящим из результатов вычислений и пояснений – не только в теории инвариантов, но и в математике в целом. Гильберт стремился избегать подробных вычислений, вместо этого демонстрируя (подчас не напрямую) логическую необходимость выводов, которые стремился доказать. В конце концов критикам пришлось признать целесообразность его методов, и аксиоматический подход к математическим исследованиям получил широкое распространение.

В своей книге «Женщины-ученые, лауреатки Нобелевской премии» (Nobel Prize Women in Science) Шэрон Макгрейн описывает более широкий культурный контекст, в котором проявлялась склонность Гильберта к абстрактному мышлению: «Интеллектуалов начала XX века – в том числе математиков, художников, архитекторов, музыкантов, танцоров, писателей и физиков – завораживала идея абстракции. В стремлении избавить реальность от ее особых, индивидуальных примет, они искали общие, неизменно остающиеся справедливыми принципы. В Гёттингенском университете Давид Гильберт, считавшийся величайшим математиком со времен Карла Фридриха Гаусса, использовал в высшей степени абстрактные методы. В Эрлангене Нётер начала применять его подход к алгебре»[71]. Макгрейн также отмечает, что Эмми Нётер начала свою математическую карьеру, в известном смысле пребывая в тени своего знаменитого отца, и была известна как дочь Макса Нётера, но в конечном счете о Максе начали говорить как об отце Эмми Нётер, и так он известен и поныне.

В своей «Страсти к открытию» (A Passion for Discovery) Питер Фройнд придерживается того же мнения. Он отмечает сходства между все большей абстрактностью математики и физики начала XX века и появлением более высокой степени абстракции в искусстве, нашедшей, по его мнению, отражение в работах Василия Кандинского, Арнольда Шёнберга, Джеймса Джойса и других деятелей искусства[72].

Едва ли не впервые интерес Гильберта к логической структуре математики выразился в «Основаниях геометрии» – книге, опубликованной в 1899 году[73]. Этой книге и подходу, о котором в ней шла речь, предстояло оказать глубокое воздействие на последующее развитие математики[74]. Через год после ее публикации в прогремевшей речи Гильберта, содержавшей перечень 23 его знаменитых проблем, проблема под номером шесть побуждала ученых применить используемый в книге о геометрии аксиоматический подход к различным областям физики.

Возможно, Гильберт помнил о семестре 1903 года, когда Эмми Нётер слушала его лекции, а может быть, и нет. Вероятно, он помнил об этом хотя бы потому, что присутствие женщины-студентки на занятиях было делом необычным, хотя и – в Гёттингене – не неслыханным. Возможно, он по крайней мере однажды встречался с юной Эмми, когда навешал ее отца. В любом случае, к 1913 году он должен был знать о ее репутации и математических исследованиях. Мир математики все еще был довольно тесен. Активно работающий математик, как правило, знал о других своих коллегах, чьи изыскания приносили плоды – в особенности (как было в случае Гильберта и Нётер), когда они работали в одной и той же либо смежных областях.

В 1913 году Эмми и Макс Нётер посетили Гёттинген, чтобы вместе с Гильбертом и Клейном поработать над некрологом Пауля Гордана. «Король инвариантов» умер.

Мы не знаем, как и когда Гильберт впервые узнал об Эмми Нётер; но даже если он не обратил внимания на вольнослушательницу, посещавшую его лекции вскоре после защиты диссертации, во время визита 1913 года она произвела и на Гильберта, и на Клейна сильное и приятное впечатление.

Серия статей Нётер, начавшая выходить после присуждения ей докторской степени, не могла не привлечь внимания Давида Гильберта[75]. Его шансы заметить эти работы в те дни (до того, как рост количества публикаций вышел из-под контроля) были даже выше. В своих статьях Нётер расширяла теорему Гильберта о базисе и пробовала разобраться со связанными с ней сложностями, доказывала предположение, выдвинутое Гильбертом в 1914 году, и частично решала 14-ю проблему Гильберта из его знаменитого перечня задач для нового века. Она также завоевала репутацию экспертки в области, называемой теория дифференциальных инвариантов.

Помнил Гильберт Нётер по прежним встречам или нет, представшая перед ним теперь женщина сильно изменилась. Эмми уже совершенно не походила на заурядную даму среднего класса. Она полностью вошла в математический режим.

Она носила одежду, укороченную до минимальной удобной длины, и необычно короткие волосы (эта прическа вошла в моду несколько десятилетий спустя); это привлекало к ней внимание, о чем она, казалось, не подозревала. Некоторое время она выбирала наряды, которые, по свидетельствам очевидцев, были странными для приличной молодой женщины: например, простые черные сюртуки, из-за которых, по воспоминаниям одного из столкнувшихся с ней студентов, казалась похожей на железнодорожного кондуктора. В целом, она выглядела настолько необычно, что люди на улице подчас замирали и пялились на нее.

Под занавес работы над некрологом Гильберт и Клейн пригласили Нётер в Гёттинген, чтобы заниматься математикой бок о бок с ней.

Все дело в тяготении

Примерно одновременно с тем, как Эмми Нётер приняла приглашение в Гёттинген, Эйнштейн воспользовался предложением приехать в Германию и занять должность научного сотрудника в Берлине. Одним из важнейших преимуществ этой работы было то, что от него не требовалось преподавать.

Своими статьями 1905 года Эйнштейн перевернул физику с ног на голову – но то было лишь начало. После этого он немедленно приступил к своему грандиозному проекту: превращению специальной теории относительности в общую.

Специальная теория относительности касалась лишь того, что физики называют инерциальными системами отсчета, – упомянутых выше систем отсчета, движущихся с постоянной скоростью. Общая теория относительности должна была расширить эти условия и охватить любые системы отсчета: в частности, двигающиеся с ускорением. Под ускоренными системами отсчета физик понимает системы, у которых меняется скорость, или направление, или и то и другое одновременно.

Общая теория относительности должна была быть теорией тяготения. Разумеется, одна такая теория уже была сформулирована: закон всемирного тяготения Ньютона, согласно которому сила притяжения любых двух объектов пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. На протяжении веков человечество вполне довольствовалось этим. Наиболее поразительно то, что, используя один простой закон (а также сформулированные им законы движения), Ньютон смог объяснить, откуда берутся эллиптические орбиты Иоганна Кеплера – объяснение, которое было равносильно последнему аккорду коперниковской революции.

В ходе коперниканской революции геоцентрическая система была заменена гелиоцентрической. До Коперника все небесные тела вращались вокруг нас: они двигались по круглым орбитам, а также описывали маленькие окружности – печально знаменитые эпициклы. После Коперника наша Земля и другие планеты стали вращаться вокруг Солнца, но эпициклы сохранились – без них модель не соответствовала наблюдениям. Эпициклы были нужны потому, что орбиты представляли собой вовсе не окружности, чего Коперник не знал. Он, будучи адептом древнего культа циркулярного совершенства, и помыслить об этом не мог.

Кеплер заменил окружности эллипсами, а также сформулировал несколько законов, определяющих скорость движения каждой планеты по эллиптической орбите. Эта модель заменила сложную систему эпициклов немногими простыми правилами, не противоречившими наблюдениям, но была чисто геометрическим решением: никто не знал, как возникли эти эллиптические орбиты.

Ньютон показал, что эллипсы Кеплера определяются простым законом тяготения, заменив лишенное оснований геометрическое описание подлинным законом природы, системой причинно-следственных связей. То было также великим объединением: сила, связывавшая Вселенную воедино, была той же силой, под действием которой падает с дерева яблоко. Эта унификация объясняет, почему ньютоновский закон всемирного тяготения важен и почему он был поворотной точкой в нашем понимании Вселенной и занимаемого нами в ней места.

Однако с ньютоновским тяготением не все было так просто. С ним связано несколько концептуальных проблем и одна эмпирическая. Эмпирическая заключалась в давно известной аномалии, наблюдаемой на орбите Меркурия. Ее эллипс не оставался неизменным, но каждый год претерпевал незначительную прецессию. Эллипсы не обладают идеальной симметрией окружностей: они продолговаты, а значит имеют два радиуса (или оси) разной протяженности. Прецессия орбиты Меркурия означает, что любая из этих осей начинает медленно вращаться вместо того, чтобы неизменно указывать в одном и том же направлении. Направление орбиты, в котором она сплющивается, медленно меняется. Можно сказать и иначе: завершив годовой путь, планета не возвращается в исходную точку – ее орбита не замыкается.

Конечно, ни одна из орбит планет нашей Солнечной системы не является совершенным замкнутым эллипсом. Происходит это потому, что каждая орбита отклоняется от идеальной вследствие присутствия всех других движущихся по орбитам планет – в особенности расположенных поблизости. Когда мы говорим, что орбита Меркурия аномальна, мы имеем в виду, что наблюдаем некую дополнительную прецессию, которую уже не можем объяснить воздействием известных планет. Долгое время астрономы полагали, что эта неправильность орбитального движения должна объясняться наличием планеты, которую мы до сих пор непосредственно не наблюдали. Однако поиски этой планеты там, где, исходя из вычислений, она должна была находиться, ничего не дали[76].

Эйнштейн был одним из немногих физиков, полагавших, что в модификации нуждается сам закон тяготения. Нам не следует искать неведомую планету – искать следует новую физику. Он был единственным, кто преуспел в поиске этой модификации.

С ньютоновским законом всемирного тяготения было связано несколько концептуальных проблем. Одна состояла в магическом характере закона, действовавшего на расстоянии. Согласно модели Ньютона, сила тяготения мгновенно распространяется по пространству без каких-либо ограничений. По мере движения масс, приведших к возникновению тяготения, силы – даже связывающие другие массы на расстоянии миллионов километров – немедленно меняют направление. Если бы Солнце внезапно исчезло, немедленно исчезло бы и его гравитационное воздействие на нашу планету. А если бы внезапно возникла другая звезда, мы почувствовали бы ее притяжение, не дожидаясь, пока ее воздействие доберется до нас сквозь пространство. Эйнштейн был не единственным ученым, которого беспокоила эта модель реальности, но он был единственным, кто знал, что в связи с этим предпринять.

Другой важной головоломкой был тот загадочный факт, что массы в двух законах Ньютона казались тождественными – без каких-либо на то оснований. Сила тяготения, притягивающая вас к земле, пропорциональна вашей массе. Второй закон движения Ньютона гласит, что сила, с которой вас нужно толкнуть, чтобы вы изменили скорость, также пропорциональна вашей массе. Эти два закона никак друг с другом не связаны, но в обоих фигурирует одна и та же масса. Измерения показали, что мы, по сути, имеем дело с одной и той же массой. Гравитационная масса была той же, что и инерционная.

Одним из следствий тождества двух масс было знаменитое наблюдение, о котором известно (хотя, возможно, это и апокриф), что его сделал Галилей во время своего эксперимента с Пизанской башней: тяжелые и легкие объекты близ поверхности Земли испытывают одинаковое ускорение свободного падения. Сопротивление воздуха усложняет доказательство, но этот эксперимент регулярно повторяется в школьных классах с использованием трубки, в которой создан вакуум и куда помещены перо и камешек. Тот же эксперимент – с пером и молотком – был также повторен на Луне астронавтом экспедиции «Аполлон-15»[77]. Наши ожидания, сформированные опытом взаимодействия с телами в атмосфере, оказываются обмануты, когда мы видим, что камень и перышко падают рядом – удивительное и запоминающееся зрелище. Сила притяжения сильнее для камня (он перевешивает на весах, поскольку сильнее притягивается к земле). Однако он в той же мере сопротивляется ускорению; оба эффекта точно уравновешивают друг друга, в результате чего ускорение свободного падения у поверхности представляется постоянным свойством Земли.

То была одна из фундаментальных загадок классической физики, но ею никто не занимался, поскольку было непонятно, с чего начать.

Именно эти концептуальные проблемы с ньютоновской силой тяготения подтолкнули Эйнштейна к размышлениям о том, возможна ли теория с большей объяснительной силой, и к тому, как устранить из своей специальной теории относительности искусственное ограничение, налагаемое на инерциальные системы отсчета. Этим обобщением, переходом к более широкому классу систем отсчета, в итоге оказалось замещение описанной выше в этой главе инвариантности вращения более общими классами преобразований, причем стала очевидна скрытая симметрия, объяснявшая природу тяготения и делавшая неизбежным тождество двух форм массы.

Размышления Эйнштейна над проблемой кажущегося тождества двух форм массы связаны с тем, что сегодня мы называем принципом эквивалентности. Сформулировать его можно по-разному. Один из подходов заключается в том, чтобы настаивать, что две массы тождественны из-за существующей в природе фундаментальной симметрии, что законы физики должны принимать одну и ту же форму, находитесь ли вы в гравитационном поле или в части пространства, где нет иного источника гравитации: например, в космическом корабле, испытывающем равнозначное ускорение.

Для объяснения этого принципа Эйнштейн предложил один из своих знаменитых мысленных экспериментов. Предположим, вы находитесь в запечатанном контейнере, где, как обычно, проводите эксперименты и делаете наблюдения, и что ваши наблюдения соответствуют тому, что вы и ваш контейнер покоитесь на поверхности Земли. Когда вы что-то роняете, вещи падают с ускорением, равным 9,8 м/с², то есть каждую секунду их скорость возрастает на 9,8 м/с. Маятники ведут себя как обычно, а встав на весы, вы замечаете, что в последнее время ваше питание здоровее не стало.

Эйнштейн отмечал, что вы сделали бы в точности те же наблюдения, если бы ваш контейнер не стоял на поверхности Земли, а его тянули бы сквозь пустое пространство с ускорением 9,8 м/с². Если не учитывать влияние приливов (чего можно добиться, ограничив измерения одной-единственной точкой и избегая изменений силы тяготения с высотой), находясь внутри ящика, невозможно сказать, что с вами происходит. Показания весов все так же разочаровывают, поскольку ваш «вес» точно воспроизводится инерционной силой, создаваемой ускорением контейнера.

Поскольку провести различие между двумя ситуациями в принципе невозможно, они должны быть фундаментально тождественны, и их тождество должно отражаться в уравнениях, описывающих силу тяготения и движение. Тождество гравитационной и инерционной масс перестало бы быть загадкой, если бы мы понимали, что сами инерция и сила тяготения в известном смысле тождественны.

Если дойти до логических следствий принципа эквивалентности, то мы в конечном счете получим уравнения общей теории относительности – теории, которую многие, включая великого физика-теоретика Льва Ландау, считают «вероятно, прекраснейшей из физических теорий»[78]. Автор недавней статьи в Economist рассуждает, в чем состоит очарование этой теории: «Для начала, она поразительно мало что объясняет и, в отличие от квантовой теории – единственной сопоставимой революции в физике XX века, – не проливает никакого света на то, что более всего занимало физиков того времени. Однако ее быстро и повсеместно восприняли – не в последнюю очередь благодаря неподдельной красоте ее математического выражения; по прошествии сотни лет любая беседа о роли эстетики в научной теории без упоминания о ней кажется незавершенной»[79].

Эйнштейн обнародовал раннюю версию теории в 1907 году, сделав попытку модифицировать ньютоновский закон тяготения и приняв во внимание предельную сигнальную скорость – ее требовала специальная теория относительности, не допускавшая мгновенного действия на расстоянии. Эта статья была первым объяснением принципа эквивалентности – принципа, который Эйнштейн назвал «своей самой счастливой [или удачной] идеей»[80].

Слава Эйнштейна среди физиков росла. Профессора со всего мира начали посещать его в его швейцарском патентном бюро. Многие с удивлением обнаруживали, что имя, которым было подписано так много важных статей, принадлежало не штатному профессору физики прославленного университета, а непринужденному молодому человеку на скромной государственной должности.

Разумеется, Эйнштейну нравилось в патентном бюро. Некоторые из его друзей, однако, полагали, что было бы лучше, будь у него работа, более подходящая серьезному ученому. В конце концов он согласился и стал профессором Цюрихского университета, но лишь после того, как университет пообещал повысить ему жалованье, чтобы сумма соответствовала той, что он получал в патентном бюро[81]. Насколько двойственным было его отношение к своему новому академическому статусу, можно узнать из его письма другу: «Так что теперь и я стал официальным членом Гильдии Потаскух и проч.»[82]. То был 1909 год – через два года после того, как Эмми Нётер получила ученую степень.[83]

Потом он получил должность профессора в Праге, затем вернулся в Швейцарию, а потом, весной 1914 года, перебрался в Берлин. Эйнштейн, Гильберт и Нётер работали теперь в круге с радиусом, быть может, 300 с небольшим километров. Менее чем через год Нётер переедет в Гёттинген, и круг схлопнется в точку.

Эмми Нётер в Гёттингене

Нётер задерживали в Эрлангене ее обязанности. Это были скорее обязанности ее отца, которые она взяла на себя. Но в апреле 1915 года она осознала, что может переехать в Гёттинген. Она начала работать бок о бок с Феликсом Клейном, Давидом Гильбертом и другими исследователями прославленного математического отделения неофициально, не получая оплаты. Сражения Первой мировой войны шли вдали от идиллического университетского городка, но их влияние ощущалось. Во времена националистического огораживания и вдвойне усугубившихся консервативных настроений старинные правила оставались незыблемы.

Через две недели после переезда в Гёттинген Нётер получила из Эрлангена известие о смерти матери[84]. За этим последовало несколько полных суматохи месяцев, в течение которых она разъезжала между Гёттингеном и родным городом. К этому времени ее отец весьма ослабел – а заботилась о нем в первую очередь мать. Несмотря на частые поездки, которые Эмми Нётер пришлось совершать на протяжении примерно года, ей удалось сделать кое-какую важную работу.

Большая часть этой работы касалась физики. Гильберт некоторое время был занят решением разнообразных вопросов теоретической физики. Клейна эта область также очень интересовала. Эмми Нётер физиком не была и не испытывала серьезного интереса к каким-либо научным исследованиям, кроме сугубо математических. Однако Гильберт с удивительной дальновидностью осознал, что ее знания и навыки дают великолепный шанс непосредственно заняться проблемой, вызывавшей у него острый интерес.

То была проблема общей относительности, над которой работал Эйнштейн. Гильберт с восхищением следил за его работой и начиная с 1912 года сделал несколько попыток убедить Эйнштейна посетить Гёттинген и обсудить общую теорию относительности с ним и другими профессорами отделения математики. До сих пор Эйнштейн отклонял приглашения. Пуристы настаивают, что теорию следует называть общей теорией относительности и никогда – общей относительностью, но я буду беспечно использовать оба выражения. Большинство физиков на практике, несомненно, так и поступают.

Гильберт понимал, что суть общей теории относительности составляют вопросы симметрии и инвариантности. Он знал, что Нётер была ведущей эксперткой по теории инвариантов и связанным с ней областям математики, которые напрямую касаются все более загадочных механизмов, в которых, казалось, нуждалась эта новая теория тяготения. Пригласив ее в Гёттинген, он знал, что теперь ему удалось собрать в одном месте трех математиков (Нётер, себя самого и Клейна), у которых были лучшие в мире шансы преуспеть в решении этой странной и интересной проблемы.

Эйнштейн садится в поезд

В июле 1915 года молодой, все еще весьма привлекательный, но удрученный научными неудачами Альберт Эйнштейн сел в поезд, направлявшийся из Берлина в Гёттинген. Он, наконец, принял приглашение Гильберта. Физик никогда не встречался с математиком, который был весьма настойчив. В дневниковых записях Эйнштейн сомневается в том, что из этой поездки может выйти какой-нибудь толк. Но ему была известна репутация Гёттингена, он знал некоторых людей из этого университета и решил, что попытка – не пытка. Предшествующие восемь лет, на протяжении которых он пытался изложить на языке математики идеи своей новой теории (теории о том, как материя и энергия рождают силу тяготения, изменяя форму пространства и времени – теории, описывающей структуру Вселенной), стали для него годами утомительного, изматывающего труда. Ему удалось составить систему из десяти уравнений, которая почти решила поставленную задачу. Но несмотря на годы серьезных усилий, ему не удалось добиться, чтобы эти десять уравнений сплясали вместе, выполняя все необходимые замысловатые па – они отказывались подчиняться.

Хореографом был сам Эйнштейн, предъявлявший к своей новой теории философски обоснованное требование – быть в высшей степени объективной. В этом контексте понятие объективный имеет конкретный и технический смысл. Вкратце идея состояла в том, что математика, описывающая пространство-время и его взаимодействия с массой и энергией, должна описывать происходящее одинаково с точки зрения любой из систем отсчета и любой из систем координат. Уравнения должны отражать объективную реальность таким способом, который не зависел бы как от метода измерения времени и пространства, так и от точки зрения наблюдателя. Эйнштейну удалось удовлетворить это требование применительно к крайне ограниченному случаю инерциальных систем отсчета, но теперь этого уже было недостаточно.

Именно это его и удручало. Он не надеялся, что поджидающие его в конечном пункте железнодорожного путешествия математики решат для него эту задачу. Но он позволил себе тешиться слабой надеждой, что они смогут хотя бы понять, чего он хочет добиться.

Окружность схлопнулась в точку.

2
Сила тяготения
«…Не будь этой теории и всего, что с ней связано, вряд ли бы я так много узнал о человеческих пороках»

Итак, Альберт Эйнштейн, Давид Гильберт и Эмми Нётер одновременно находились в Гёттингене. Их свела сила тяготения, а точнее, неослабевающее желание Эйнштейна осуществить свой революционный проект – заменить теорию всемирного тяготения, царившую над миром с 1686 года, чем-нибудь получше. Для этого он должен был до предела напрячь свои математические способности, стараясь говорить на языке, который выучил методом погружения. Решение принять, наконец, предложение Гильберта посетить мировую математическую столицу стало для него удачей. Ведь здесь он встретил не только восприимчивых и доброжелательных слушателей, но и некоторых наиболее одаренных математиков мира. Эти коллеги помогли ему вытерпеть следующие четыре месяца и завершить проект.

Каждый из обитателей Гёттингена смотрел на задачу со своей уникальной, индивидуальной точки зрения и применил к ее решению свои таланты. Гильберт мог творчески использовать соответствующий математический язык и применять его к собственным целям, хотя некоторые идиомы оставались ему неведомы. Для Нётер этот язык был практически родным, и она могла стать для остальных своих товарищей переводчицей и проводником. Лишь она была способна проникнуть в его глубочайшие тайны. Феликс Клейн принадлежал к предыдущему поколению ученых, но живо интересовался физикой и все еще был способен воспринимать новые математические идеи. Он часто играл роль посредника, пересказывая Эйнштейну объяснения Нётер и описывая полученные ею результаты в переписке, которая началась немедленно по окончании визита физика и продолжалась до обнародования им общей теории относительности – и после него. Нётер и Гильберт тоже вели в этот период переписку с Эйнштейном, но значительные успехи достигались во время дискуссий, ведшихся гёттингенской группой, и Клейн время от времени писал Эйнштейну об их результатах.

В этом горниле было выковано великое открытие Нётер, центральная идея этой книги – теорема, подробно описанная в третьей главе. Чтобы понять, откуда взялась эта теорема и почему она существует, нам нужно разобраться в обстоятельствах, которые дали ей жизнь: а обстоятельства эти были связаны с потребностью осмыслить силу тяготения и структуру космоса.

Это первая задача данной главы, но есть и другая. Поскольку статья, в которой сообщается о теореме Нётер, подписана ее именем, история признает за ней авторство этого открытия. Но отпечатками пальцев Нётер усеяна и сама общая теория относительности. Как я здесь – и не только здесь – настаиваю, если бы Эйнштейну не помогали несколько других ученых, его общая теория относительности, возможно, не была бы должным образом сформулирована, а потому имеет смысл говорить, что у этой теории несколько авторов[85]. Это не уменьшает ключевую роль, сыгранную Эйнштейном: он применил к решению этой задачи свою невероятную физическую интуицию и отказывался сдаваться. Опираясь на убежденность, рожденную этой интуицией, он на протяжении многих лет продолжал работать, сохраняя уверенность в том, что стоит на верном пути. Несколько историков выяснили, каким был вклад по меньшей мере Марселя Гроссмана и Гильберта в формулировку общей теории относительности. Но, к сожалению, о Нётер в этой связи упоминают редко; я хочу исправить это упущение.

Есть два способа рассматривать место Нётер в ряду (втором ряду) авторов общей теории относительности, где она стоит бок о бок с Гроссманом, Гильбертом и, быть может, еще двумя учеными. Во-первых, ведшаяся в то время переписка и позднейшие комментарии Эйнштейна и Клейна показывают, что она неоднократно и целенаправленно помогала Эйнштейну: помогала ему разобраться в уравнениях и подводила к заключительному выводу. Во-вторых, оригинальная и математически весьма непохожая на Эйнштейнову формулировка общей теории относительности, предложенная Гильбертом (которую история признает его достижением), также обусловлена работой Нётер. К этому предмету мы вернемся в следующей главе. Пока что достаточно будет осознать, что обоим подходам к силе тяготения – подходу Эйнштейна и подходу Гильберта – пошло на пользу сотрудничество с Нётер и что, вполне вероятно, ни один из них без нее не преуспел бы.

Ее ключевой вклад в общую теорию относительности стал одним из многих способов, которыми Эмми Нётер помогла изобрести современную физику.

Гильберт и физика

К 1915 году Гильберт, подобно пауку, сидел в центре академической паутины, чутко прислушиваясь к малейшим вибрациям, происходившим в мире математики и физики, и готовясь ради удовлетворения своего любопытства затянуть в Гёттинген людей, подобных Эйнштейну (который уже стал известен физикам всего мира).

Вплоть до этого момента Гильберт изучал чистую математику и работал именно в этой области. Почему же он внезапно увлекся физикой?

Гильберт не был дилетантом. Весь аппарат теоретической физики усеян отпечатками его пальцев. Произошло это отчасти из-за его универсального взгляда на математику и точные науки – вплоть до того, что для него границы, которые, по мнению ученых с более традиционными взглядами, разделяли различные дисциплины, были невидимы. Причиной оказанного им фундаментального влияния были также глубина, широта и прозорливая оригинальность его исследований, обеспечившая физиков новыми методами формулировки и решения проблем. Он даже (как в случае с тем, что ныне зовется гильбертовым пространством) изобретал целые математические структуры и среды, в которых ученые-физики могли бы разместить свой вычислительный инструментарий.

По сути, Гильберт сохранял живой интерес к теоретической физике на протяжении большей части своего творческого пути. Он даже обзавелся ассистентом-физиком, который информировал его о важных изменениях в этой области и объяснял то, в чем Гильберт не мог разобраться сам. Некоторые из этих секретарей-физиков впоследствии сами стали выдающимися учеными. Таким был Макс Борн – один из создателей квантовой механики и лауреат Нобелевской премии. Борн с теплом вспоминал время, проведенное с Гильбертом и Германом Минковским: «Для меня это было удивительное время ученичества. Не только в науке, но и в житейских делах»[86].

Лео Корри – выдающийся историк математики и физики в Тель-Авивском университете и президент Открытого университета Израиля[87]. В написанном в 1999 году проницательном эссе он показывает, что, думая о Гильберте как о заинтересовавшемся физикой математике, мы упускаем из виду главное[88]. В сознании Гильберта между мирами физики и математики не было четкой границы, подобной той, что обозначилась в последние десятилетия. Стены между этими дисциплинами, которые мы сегодня воспринимаем как данность, отчасти стали результатом искусственных демаркационных линий, расчерчивающих карту современного университета с его ревниво охраняющими свои пределы маленькими королевствами. Но эти стены являются также побочным продуктом усугубляющейся специализации – неустранимого свойства всех наук. В первые десятилетия XX века физик мог читать и на самом деле в значительной степени понимать все теоретические статьи, ежемесячно появляющиеся в журналах. Равным образом математик – и, определенно, математик с такими эклектичными интересами, как у Гильберта, – был по меньшей мере осведомлен о каждой из активно развивающихся областей математических исследований и знал обо всех последних открытиях. Поэтому не стоит удивляться, что Гильберт продолжил следить за научной деятельностью Нётер и понимал ее потенциальное значение для дисциплин, которыми интересовался – в том числе тех, что касались физики.

Сегодня научных журналов, число которых со Второй мировой войны начало возрастать экспоненциально, стало так много, что физик или математик конца XIX или начала XX века не мог бы и помыслить о подобном[89]. Исследователи больше не могут понять статьи об областях науки, которые не изучали, – даже те, что имеют тесное отношение к предметам их собственных изысканий.

Но давайте вернемся в 1905 или 1915 год и попытаемся взглянуть на вещи с точки зрения Гильберта. Точные науки и математика не были столь фрагментированы, и их особые языки еще не стали непроницаемыми друг для друга. Гильберт отличался необычайно широким кругом интересов и одаренностью, и казалось, что он способен составить себе представление практически обо всем, что имело отношение к математике, а также в значительной степени физике. Однако для Гильберта дело заключалось не в том, чтобы следить за отдельными дисциплинами. Он считал, что математика и физика по большому счету являются если не единой сферой деятельности, то родственными областями науки – даже если на текущей стадии развития конкретной физической теории эта родственная связь не была очевидной.

Наиболее красноречивым примером этого подхода, как указывает Корри, было отношение Гильберта к геометрии[90]. Он считал геометрию эмпирической наукой, аксиомы которой должны отражать наш опыт восприятия физического пространства. Ее теоремы можно проверить методом эксперимента – например, измеряя углы треугольника, чтобы подтвердить, что в сумме они равны двум прямым углам. Состоятельность геометрии ежедневно подтверждает наша способность ориентироваться, измерять и строить, руководствуясь ее постулатами и выводами. Открытие теорем, подразумеваемых ее аксиомами и определениями, подчиняется логическим и математическим законам, в точности как в области «чистой» математики (если такая вообще существует), но эти аксиомы и определения отражают физический опыт. Евклидова геометрия – в том числе в переработке Гильберта – принадлежит к области не только математики, но и физики[91].

Таким образом, можно понять, что логическая гигиена математической теории (например, геометрии) заботила Гильберта отчасти потому, что он желал создать наилучшую возможную науку о физическом мире. По его мнению, когда аксиоматическая структура теории прояснена, все, что остается – это, по сути, сама структура. В этом отношении, как и в некоторых других, Гильберт опережал свое время. Часто цитируют его слова, в которых он применяет эти идеи к геометрии: «…мы в любое время должны быть способны заговорить не о точках, линиях и плоскостях, а о столах, стульях и кружках пива», – хотя, к сожалению, нет авторитетного источника, который подтвердил бы аутентичность этого глубокомысленного и очаровательного замечания.

Смысл отсылки к пивным кружкам и прочему состоит в том, что сущность того или иного раздела математики определяет его структура, а не то, что мы думаем об объектах, о которых идет речь. Возможно, понятнее будет аналогия с играми: если бы, играя в шахматы, мы решили называть пешки «автомобилями», а коней – «ослами», сохранив при этом правила неизменными, мы бы продолжали играть в шахматы. Названия фигур несущественны. Некоторых математиков смущал «формальный» подход Гильберта к математике – как мне неуютно играть в шахматы, используя набор в излишне художественном исполнении, с абстрактными скульптурами вместо фигур; но это происходит отчасти потому, что я плохой шахматист, мыслящий на недостаточно высоком уровне и нуждающийся в комфорте привычного: в конях, которые похожи на коней. (Краткое напоминание о логической структуре математики можно найти в разделе «Аксиомы, определения и теоремы» в этой же главе.)

Универсальность мысли Гильберта, быть может, объяснит, почему сделанные им выводы неизменно присутствуют в инструментарии прикладной математики, к которому обращается любой физик, чтобы довести задуманное до конца. За примечательным исключением гильбертова пространства, эти разнообразные инструменты и теоремы зачастую не связаны с именем своего создателя.

Гильберт считал раздробленность наук искусственной; в своих заметках он написал, что «деление наук по специализациям и факультетам – явление антропологическое и тем самым чуждое реальности как таковой. Ведь природный феномен не задается вопросом, принадлежит ли он к области интересов физика или же математика»[92].

Как упоминалось выше, математический стиль Нётер и ее интересы начали напоминать стиль и интересы Гильберта после того, как она решительно отказалась от более раннего своего стиля, примером которого была ее диссертация. С этого момента карьеры ее интерес к абстракции и структуре становился все глубже, и, по мнению некоторых летописцев, своей исключительной сосредоточенностью на наиболее формальных уровнях математической мысли превзошел интерес самого Гильберта.

Но предшествующие параграфы подготовили нас к тому, чтобы обратить внимание на одно различие между интересами и предметами одержимости Нётер и Гильберта. Нётер навсегда осталась погруженной исключительно в абстрактную математику. Ее совершенно не интересовали (и, возможно, даже раздражали) любые разговоры о возможном практическом применении ее исследований.

Гильберт, напротив, хотел сделать для физики то же, что уже сделал для геометрии. Его «Основания геометрии» по большей части посвящены тщательному изучению того, какие теоремы от каких аксиом зависят и – что не менее важно – какие аксиомы избыточны для вывода некоторых теорем. Ему хотелось доказать как логическую непротиворечивость и полноту, так и взаимную независимость множеств аксиом, тем самым сделав абсолютно очевидным, какие разделы нашего знания от каких допущений зависят. Этой работе предстояло глубоко повлиять на дальнейшее развитие математики и стиль математического мышления. Однако она принадлежит к периоду, предшествовавшему потрясению, которое пережил мир, когда математик Курт Гёдель совершил свои открытия в области логики и, если уж на то пошло, лишь ненамного опередила формулировку Бертраном Расселом его знаменитого парадокса. Так что в известном смысле работа Гильберта принадлежит к эпохе логической наивности математики.

Рассел показал, что вариант древнегреческого Парадокса лжеца («это утверждение – ложь») сохраняется в так называемой наивной теории множеств. В своем примере он предлагает представить себе город, где брадобрей бреет всех мужчин, которые не бреются сами, – и только их. Затем он задает вопрос: «Кто бреет брадобрея?» Если он бреется сам, то он себя не бреет, поскольку бреет лишь тех, кто не бреется сам. Но если он не бреется, то бреется, поскольку бреет всех, кто не бреется сам. Таким образом, Рассел показал, что кажущиеся невинными определения множеств (брадобреев или чего угодно еще) могут приводить к парадоксам.

Выводы Гёделя показали, что большинство математических систем содержат истинные утверждения, которые невозможно доказать в рамках системы, – это сделало очевидными пределы аксиоматизации. Эта работа заставила математиков признать, что, хотя попытки всеобъемлющей аксиоматизации (подобные той, что предпринял Гильберт) ведут к ценным наблюдениям, они никогда не смогут охватить всю математику.

Аксиомы, определения и теоремы

Выше я весьма беспечно пользовался терминами, касающимися формализации, аксиоматики и абстракции; здесь стоит с большей осторожностью конкретизировать, в чем состоят эти идеи. Это поможет прояснить суть того, над чем именно работали Гильберт, Нётер и разделявшие их взгляды математики.

Для этого я предлагаю сделать небольшое лирическое отступление для тех, кто, быть может, не очень понимает, как соотносятся между собой определения, аксиомы и теоремы и что имеется в виду под этими терминами.

Математики заняты тем, что выводят истинные утверждения из того, что они считают верным (или относительно чего предполагают, что это верно). Им нужно знать, что именно означает утверждение, и быть уверенными в обоснованности своих доказательств.

Любое математическое размышление начинается с определений основных понятий – в особенности, если какие-то из них вводятся впервые. Для современной математики характерны в высшей степени аккуратные и подробные определения. В прошлом эта дисциплина обжигалась на небрежных или недостаточно строгих определениях, и математики научились с самого начала все делать как следует. Вы не столкнетесь с таким стилем определений, изучая математику в средней школе, но на уровне высшей математики он является общепринятым.

Познакомиться с формальными определениями можно, изучая евклидову геометрию, которую большинство людей проходит в средней школе. Там вы видите определения точки, линии и прочего, обычно довольно сильно соответствующие своим древнегреческим версиям. Однако эти определения часто утрачивают часть своего очарования. Евклид определял точку как «то, что лишено частей», а линию как «длину, лишенную ширины». Этим формулировкам свойственна своего рода суровая поэзия. Многие школьники задаются вопросом, зачем их заставляют выслушивать скучные констатации фактов, которые в конечном счете интуитивно ясны. Они не знают, как им повезло: современные определения в их крайней конкретности обычно гораздо сильнее наводят скуку. Одержимость подробностями, как уяснили математики, помогает избежать ошибок и двусмысленностей позднее, когда определения используются при доказательстве теорем.

Далее идут аксиомы. Это утверждения, которые мы принимаем за истинные. Обычно кажется, что они должны быть истинными; мы не можем представить себе мир, где это не так. Если они столь очевидны, то почему же мы не можем их доказать? Почему нам приходится предполагать?

У всего должно быть начало. Каждая математическая система с логической точки зрения основана на своих определениях и аксиомах. Если не предположить, без всяких доказательств, что некоторые вещи верны, то не будет того, на чем основывать дальнейшие утверждения, которые мы стремимся доказать. В правильно сконструированных математических системах все аксиомы независимы друг от друга; ни одну аксиому нельзя вывести из других. Будь это возможно, то была бы не аксиома, а теорема.

Для своей геометрии Евклид записал пять аксиом. Первая такова: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую».

Некоторые писатели утверждают, что в «Началах», своей книге по геометрии, Евклид сформулировал десять аксиом – и это не ошибка. Но Евклид назвал вторую группу из пяти аксиом «общими утверждениями». Первые пять касаются геометрических объектов: точек, линий и т. д. Вторая пятерка, общие утверждения, имеют отношение к количеству. В их число входят такие утверждения, как «равные одному и тому же равны и между собой». Пятая аксиома Евклида в своей оригинальной версии странным образом длиннее остальных и содержит больше деталей. В ней идет речь о двух линиях и третьей, их пересекающей: можно понять, пересекутся ли две первые линии, взглянув на углы между ними и третьей линией и сравнив сумму этих углов с двумя прямыми углами. Другие аксиомы элементарны: очевидно, что они истинны. Эта же требует некоторых размышлений и чертежей, прежде чем станет ясно, что Евклид говорит о параллельных линиях и что эта аксиома также очевидным образом верна.

Синонимом понятия «аксиома» является постулат. Утверждение о параллельных прямых широко известно, и обычно его называют пятым постулатом Евклида или аксиомой о параллельности.

Я так пространно говорю об аксиомах, чтобы прояснить кое-что из того, что исследовали сначала Гильберт, а затем Эмми Нётер.

Как было сказано выше, вскоре после прибытия в Гёттинген Гильберт опубликовал небольшую книжку под названием «Основания геометрии», в которой переработал наследие Евклида. Среди прочего, сделанного в этой книге, Гильберт предложил улучшенные версии пары Евклидовых аксиом.

В данном случае под «улучшенными» я имею в виду, что он нашел более простые и ясные формулировки для передачи того же самого содержания, из которых могли быть выведены те же самые теоремы. Он не изменил геометрию Евклида; он лучше ее изложил. То, что Гильберт смог усовершенствовать основу основ классической математики, то, что было выбито на камне 2000 лет назад, кое-что говорит о масштабе его интеллекта.

Гильберт счел, что первая аксиома неточна, и заменил ее улучшенной версией. Он также предложил более полезную версию бывшего предметом многочисленных дискуссий пятого постулата и упорядочил структуру всего Евклидова труда. По сути, версии аксиом, преподаваемые в школе, ближе к Гильберту, чем к Евклиду, но предмет тем не менее называется геометрией Евклида.

Гильберт в значительной мере работал в Евклидовой традиции. Большая часть изложенного в «Началах» Евклида – это математическое знание, созданное его греческими предшественниками[93]. Гениальность Евклида в том, что он собрал все эти сведения и придал им формальную структуру с ясными определениями и постулатами. Он сделал из великого множества разрозненных выводов о треугольниках, кругах и конических сечениях логическое целое, свободное от внутренних противоречий. То, что Евклид сделал для Пифагора, Евдокса и прочих, гёттингенский профессор сделал для Евклида.

За определениями и аксиомами идут теоремы. Именно ради них формулируются определения и постулируются аксиомы: теоремы – это истинные утверждения, выводящиеся из двух предшествующих структурных элементов. Дав определения точкам, линиям и некоторым другим предметам и сформулировав свои допущения, Евклид мог доказать, например, теорему Пифагора, полезный факт о прямоугольных треугольниках.

Технически теоремой является любое верное утверждение, в том числе 1 + 1 = 2, но никто не удостаивает столь банальные утверждения титула теоремы. Теоремой мы называем истинное утверждение, не являющееся очевидным, или то, которое нелегко доказать, – и в этом-то и заключается красота математики. Лучшие из теорем удивляют. Они ошеломляют: словно вы наблюдаете за парой шахматистов, игра кажется скучной, и тут, внезапно, один из игроков с тихой улыбкой двигает фигуру по доске – и ставит мат. Никто этого не ожидал. Заурядные теоремы кажутся истинными, но на всякий случай нуждающимися в доказательствах. Прекрасные теоремы – это утверждения, читая которые вы думаете: «С чего бы этому быть истиной?» А затем вы следите за рассуждением, не понимая, к чему идет дело, до тех пор, пока внезапно не видите, как ставится мат. Или, скорее, пишутся буквы QED.[94]

Я сосредоточился на геометрии как на главном примере системы аксиом в математике потому, что она является первой такой системой и во многих случаях единственным для большинства школьников поводом поупражняться в науке формальных доказательств. Поэтому геометрия будет примером, который с большей вероятностью вызовет отклик у большинства читателей. Другим примером, о котором пойдет речь в нескольких следующих главах, является та область математики, которой Нётер посвятила больше всего усилий на позднем этапе карьеры: абстрактная алгебра. Нётер не только сделала значимые для этой важнейшей математической теории выводы, но и придала новый облик всей предметной области. Я упоминаю об этом здесь, поскольку сущностью абстрактной алгебры является структура, характеризуемая формальной системой определений и аксиом – в точности как в евклидовой геометрии.

Эйнштейн, Гильберт и формализация

Гильберт был убежден, что физике мог бы пойти на пользу критический анализ ее предпосылок – нечто вроде того, что он сделал применительно к геометрии. Он полагал, что теоретическим физикам свойственна дурная привычка на скорую руку латать свои теории, добавляя аксиомы там, где это кажется необходимым, не проверяя, не являются ли новые предпосылки избыточными и не противоречат ли они старым. Чтобы такое непротиворечивое изучение предпосылок вообще было возможно, физическую теорию следовало формализировать, чтобы сделать похожей на геометрию с ее тщательно изложенными определениями и аксиомами. Обычно физики возводили свои замки совсем в ином стиле. В частности, Эйнштейн не видел в этом смысла. Он считал, что в физике формальный подход является (по крайней мере, в некоторых случаях) пустой тратой времени[95].

С точки зрения более современных представлений то, что Гильберт погрузился в изучение теории тяготения, может показаться отступлением от его основных задач, и некоторые его современники-физики (или, быть может, только Эйнштейн) могли бы счесть это посягательством на их область интересов. Но для Гильберта это был лишь новый этап процесса открытия: он стремился удовлетворить интеллектуальное любопытство относительно устройства мира, который, по его мнению, был органически единым целым.

То, как Эйнштейн относился к в высшей степени формальным подходам к теоретической физике, нашло выражение в письме к Феликсу Клейну, написанном в конце 1917 года: «Я возвращаюсь ко второму конспекту ваших лекций, несколько дней назад переданному мне нашим коллегой Зоммерфельдом, чем он заслужил мою глубокую признательность. Мне кажется, что вы очень переоцениваете ценность чисто формального подхода. Последний, несомненно, важен, когда речь идет об однозначной формулировке уже установленных истин, но как инструмент эвристики он почти неизменно терпит поражение»[96].

Здесь Эйнштейн выражает свое скептическое отношение к возможности формальной математики способствовать открытию новой физики, признавая, однако, ее ценность для прояснения структуры теории после того, как физики нащупали дорогу к сущностным выводам. Эйнштейн сохранит этот скептицизм относительно формализации физики до конца жизни.

Прежде чем у него сформировался острый интерес к общей теории относительности, Гильберт с успехом нащупывал подход к другим физическим проблемам. Например, он провел фундаментальные исследования в области статистической механики – науке определения поведения ансамблей взаимодействующих частиц.

Изучение относительности имело в Гёттингене давнюю историю еще до того, как туда добрался Эйнштейн. Преобразование Лоренца – формула, стоящая за странным и причудливым поведением пространства и времени в рамках специальной теории относительности, – впервые было выведено в этих стенах Вольдемаром Фойгтом, этот факт не слишком широко известен. История изучения относительности в Гёттингене продолжилась, когда Минковский, присоединившийся к Гильберту в 1902 году, сделал в 1907-м доклад, в котором ввел понятие четырехмерного пространства-времени в контексте специальной теории относительности[97]. В последовавшей за докладом статье Минковский отмечал, что ньютоновской теории тяготения с релятивистской точки зрения недостаточно[98]. Удивительно, как быстро он, некогда преподававший Эйнштейну математику, воспринял новую теорию и глубоко проник в ее формальную структуру. Его четырехмерная модель вращения сегодня зачастую используется для преподавания специальной теории относительности при ее углубленном изучении, хотя, как мы видели в первой главе, Эйнштейн поначалу (и в течение некоторого времени) относился к ней скептически.

Затем, в 1909 году, Гёттинген с серией лекций посетил легендарный математик Анри Пуанкаре, что стало замечательным прологом к визиту Эйнштейна. Но об этом лучше будет поговорить ниже.

После всего сказанного не вызывает удивления, что, когда Эйнштейн начал читать лекции и писать о своей новой теории тяготения, Гильберт немедленно об этом прознал – и пожелал узнать больше.

Искривленное пространство

Вернемся к Альберту Эйнштейну, который сидит в поезде, направляющемся из Берлина в университетский город Гёттинген. Сегодня на такую поездку уходит два-три часа. Тогда, в 1915 году, путешествие по уже прославившейся своей эффективностью немецкой железной дороге заняло бы ненамного больше времени.

Скажите большинству людей «Эйнштейн», и он тут же предстанет перед их мысленным взором: мудрое, морщинистое лицо; непокорная грива белых волос; международная пресса, интересующаяся его мнением по всякому вопросу – от политики до существования Бога.

Но сидящий в поезде Эйнштейн был молод и хорош собой. Он был более или менее аккуратно причесан. Хотя физикам он уже был хорошо известен, в поезде его никто бы не узнал. В нем не было ничего от добродушного мудрого старца. На деле его взгляд был полон иронии, и он был довольно-таки высокомерен. Сам образ благодушного старого мудреца был в значительной степени создан одаренными богатым воображением журналистами и первыми биографами Эйнштейна. Правда заключается в том, что ироническое отношение к тому, что он называл «бренным миром», так никогда его и не покинуло – как и раздражение по поводу плоского мышления, характерного для населяющих этот мир людей.

С профессиональной точки зрения он неплохо устроился. Но, как мы видели, его высокомерие препятствовало участию в респектабельной академической жизни и было по меньшей мере одной из причин его знаменитого отшельничества в швейцарском патентном бюро. Именно там в течение недолгих лет, проведенных на скромном государственном посту, Эйнштейна посетили наиболее важные из возникших у него научных идей. Так думал и он сам, оглядываясь на свой творческий путь. Именно в патентном бюро он написал свои пять потрясающих статей по физике, опубликованных в 1905 году – году, в котором у него нашлось время также и на написание докторской диссертации.

Нётер получила докторскую степень через несколько лет после Эйнштейна. Как мы увидим, ей на профессиональном пути также пришлось столкнуться с проволочками и препятствиями. Однако в ее случае эти помехи возникали не из-за заносчивости или неуважения к чувствам окружающих. Хотя поначалу ее грубоватые манеры могли кого-то смутить, источником ее неприятностей был не характер; вина всецело лежала на сильнейшей гендерной дискриминации, характерной для немецких законов и обычаев. Институциональные препятствия, стоявшие перед Нётер, были гораздо серьезнее тех, что пришлось преодолеть Эйнштейну. И Эйнштейну предстояло в конечном счете насладиться привилегиями, соизмеримыми с его колоссальным вкладом в науку, и заслужить громкую славу, продолжившую расти после его смерти. Несправедливости, с которыми пришлось мириться Нётер, напротив, сопутствовали всей ее карьере в Германии, последовали за ней в США и продолжали преследовать ее и после смерти.

Изумительные статьи, опубликованные Эйнштейном в 1905 году, побудили коллег выманить его из патентного бюро и обеспечить ему место почтенного научного сотрудника. Но ключ к превращению Эйнштейна из того, кто известен лишь крошечному сообществу физиков, существовавшему до войны, в знаменитейшего из когда-либо живших ученых – того, чье мгновенно узнаваемое лицо однажды украсит почтовые марки и календари, – скрывался в кипе бумаг, которые он держит в руках сейчас, сидя в поезде. Однако уравнения на этих полных математических выкладок листах, довольно аккуратно исписанных перьевой ручкой, пока что не работали.

В сравнении с попыткой разработать теорию тяготения, ради доклада о которой он пустился в путь, его теория 1905 года, работа, содержавшая уравнение E = mc², была, по словам Эйнштейна, «детской забавой»[99]. Уже в 1912 году он понял, что для того, чтобы должным образом объяснить идеи, лежащие в основе общей теории относительности, ему потребуется освоить какой-то вариант загадочной (для него) геометрии[100]. Он обратился за помощью к своему другу, Марселю Гроссману, талантливому математику и одному из его товарищей по университету[101]. Широко известно, что он написал своему старому другу: «Гроссман, ты должен мне помочь, а то я с ума сойду!»

Эйнштейн обращался к Гроссману за помощью и раньше, когда готовился к выпускным экзаменам, поскольку тот и в самом деле посещал занятия по математике и вел конспекты. Теперь он вновь обратился к своему другу и помощнику с просьбой поискать в библиотеке какой-нибудь учебник, содержащий математические сведения, необходимые для описания того, как, по мнению физика, был устроен мир. Гроссман нашел такую книгу, вернувшись из-за библиотечных стеллажей со знаниями о последних открытиях в области математики, которые, казалось, идеально подходят для решения их проблем с гравитацией. Сообщение Гроссмана сопровождалось предупреждением, что это были глубокие воды, в которые простому физику было опасно заплывать. Однако его описания нелинейных ужасов, которыми кишела эта сложная геометрия анализа кривых и плоскостей, лишь убедили Эйнштейна, что там-то и таится язык, в котором он нуждался.

Хотя эта необычная математика была сложной и загадочной, отчасти она вдохновлялась проблемами простых смертных – в конце концов, разработавшие ее математики ничего не знали об Эйнштейновой революционной концепции тяготения. Однако у дифференциального исчисления на поверхностях есть много других практических приложений: например, при описании наилучшего маршрута, которым должен следовать самолет, летящий вокруг земного шара из Нью-Йорка в Нью-Дели. Оказалось, что Эйнштейну как раз и была нужна математика, изобретенная для геометрии искривленного пространства, поскольку его незавершенная теория описывала Вселенную, где нечто наподобие кривизны было свойством самого пространства. Активное использование им этого раздела математики позволило замкнуть круг, когда один из разработчиков этой области математики включил главы о ее применении в общей теории относительности в следующий учебник по изобретенной им геометрии.

И, к счастью для Эйнштейна, Нётер уже как минимум отчасти была знакома с этой областью математики и смогла быстро освоить все, что было нужно, чтобы стать последней его наставницей.

Встреча умов

Гильберт был счастлив, что Эйнштейн наконец принял его приглашение сделать доклад. Он профинансировал этот визит так же, как оплатил ряд посещений его факультета другими учеными и математиками: потратив проценты с дохода Фонда премии Вольфскеля[102]. То была крупная премия, около миллиона долларов по тогдашнему курсу, которую математик Пауль Вольфскель учредил на рубеже веков: премию надлежало вручить первому человеку, который докажет печально знаменитую последнюю теорему Ферма. Есть по меньшей мере два объяснения того, почему Вольфскель так поступил: обе истории весьма драматичны, но радикально друг другу противоречат[103]. В конце концов в 1997 году награду получил Эндрю Уайлс с его 129-страничным доказательством, но к тому времени, к сожалению, сумма премии уменьшилась приблизительно до 30 000 долларов – из-за превратностей истории немецких денежных знаков после Первой мировой войны. Гильберт шутил (а может быть, и не шутил), что предпочел бы, чтобы последняя теорема Ферма так и осталась недоказанной, поскольку тогда премия была бы вручена и у него не стало бы средств для финансирования визитов ученых. Во всяком случае лекции Эйнштейна, прочитанные во время этой поездки, официально были вольфскельскими лекциями.

Абрахам Пайс, биограф Эйнштейна, рисует портрет ученого и характеризует состояние разрабатывавшейся им теории за два года до этих лекций: «У него нет убедительных результатов, которые оправдывали бы приложенные усилия. Он видит недостатки в уже сделанной работе. Он в высшей степени уверен в своей идее. И он совершенно одинок»[104].

К моменту совершенной в 1915 году поездки в великий университет Эйнштейн добился некоторых успехов в работе над своими уравнениями, но в целом его положение было таким, как его описывает Пайс. Однако лекции и в самом деле прошли для Эйнштейна очень удачно – гораздо лучше, чем он рассчитывал.

Эйнштейн прочитал ускоренный курс по теории относительности для математиков. Он провел в Гёттингене первую неделю июля, по большей части оставался в доме Гильберта и прочитал в итоге шесть двухчасовых лекций. Он начал со специальной теории относительности, сформулированной в 1905 году, подробно рассказал о своей долгой работе над обобщением этой теории и попытках включить в нее понятие тяготения и закончил последней, еще «сырой» версией своих уравнений гравитационного поля.

Неожиданный поворот сюжета состоял в том, что физик посвятил часть лекций рассказу математикам о математике[105]. Хотя в целом Эйнштейн оставался пока что дилетантом в большинстве областей математики (в сравнении со своей гёттингенской аудиторией), ему пришлось – с помощью друзей – набраться знаний о некоторых довольно-таки неочевидных особенностях недавно разработанных геометрических методов. Они были элементом того языка, в котором он нуждался для своего революционного геометрического описания тяготения. Для Эйнштейна было очень непросто изучить эту область математики быстро и достаточно хорошо, чтобы применять на практике. Как он писал физику Паулю Герцу: «Ты понятия не имеешь, что мне, математическому невежде, пришлось пережить, чтобы войти в эту гавань»[106].

Как бы нам ни хотелось узнать больше о судьбоносных беседах Эйнштейна и Гильберта в первую неделю их знакомства, сведений об этом, как объясняет историк математики Дэвид Э. Роу, просто нет: «Нам практически ничего не известно о том, что Гильберт с Эйнштейном обсуждали в течение недели, проведенной физиком в Гёттингене»[107].

Таинственная математика, знатоком которой пришлось стать Эйнштейну, начинается с неевклидовой геометрии, о которой я уже кратко упомянул в этой главе. В начале XVIII века (разумеется, в Гёттингене) Карл Фридрих Гаусс вывел математику на новый уровень – уровень детально проработанной теории искривленных поверхностей. Но хотя эта математика уже была очень сложной, касалась она лишь знакомых нам двухмерных поверхностей (например, поверхности шара), бывших частью повседневной, воспринимаемой зрением реальности. Еще до 1912 года Эйнштейн понял, что общая теория относительности должна быть теорией, описывающей искривленное четырехмерное пространство-время. Именно с этим он и просил Гроссмана помочь. Физик не знал, существует ли такая математика.[108]

Гроссман натолкнулся на математику Бернхарда Римана и обучил ею Эйнштейна. Риман разработал свои идеи о неевклидовой геометрии во множественных измерениях в диссертации, защищенной – да, именно в Гёттингене[109]. Гаусс был одним из рецензентов диссертации, которая его очень впечатлила[110].

Работавшие в Гёттингене в 1915 году математики были знакомы с римановой геометрией. Собственно, Герман Вейль (гёттингенский математик и бывший студент Гильберта) написал в 1913 году книгу о ней[111].

Хотя риманова геометрия в конечном счете легла в основу теории Эйнштейна, он нуждался в чем-то большем. Поскольку речь шла о физической теории, одной геометрии было недостаточно. Языком физики является математический анализ – математика, описывающая изменения и то, как меняется характер изменений. Большинство физических уравнений (и всех количественных методов исследований) содержит производные (или скорости изменения функции). Такие уравнения называются дифференциальными.

Впервые уравнениями такого типа воспользовался для описания физических процессов Ньютон. Его знаменитый второй закон, F = ma, приравнивает силу к произведению массы на ускорение; это дифференциальное уравнение, поскольку ускорение – это изменение скорости со временем, а скорость – изменение положения тела со временем. Следовательно, дифференциальное уравнение Ньютона – это утверждение, касающееся характера изменений. В этой форме уравнение обычно изучают студенты-физики, хотя в оригинальной формулировке Ньютона сила была равна изменению во времени импульса (произведения массы и скорости). Строго говоря, эта версия – более общая и функциональная форма второго закона, поскольку она напрямую применима к ситуациям, в которых меняется масса (например, когда в ракете сгорает топливо).

Нововведение Ньютона – описание физической реальности с помощью дифференциальных уравнений – было грандиозным. Эйнштейн описывал эту находку так: «…сформулировать закон движения в форме уравнений в полных дифференциалах – это, возможно, величайший из когда-либо кем-либо совершенных интеллектуальных подвигов»[112].

Пространство Ньютона мы сегодня назвали бы плоским. В его дифференциальном уравнении изменение скорости было любым преобразованием вектора скорости: разумеется, под этим подразумевалось изменение скорости, но также и любое отклонение от кратчайшего пути на плоскости – любое отступление от прямой, самого короткого пути между двумя точками. Сколь бы блестящи ни были дифференциальные уравнения Ньютона, они сообщают лишь об изменениях, происходящих в евклидовом пространстве.

Пространство Эйнштейна плоским не было, и его кратчайшие расстояния не были евклидовыми линиями. Он нуждался в некоем языке, который позволил бы записать его дифференциальные уравнения, описывающие искривленное пространство.

Эйнштейну нужно было осуществлять математический анализ в искривленном, четырехмерном пространстве-времени. Здесь Гроссман также нашел подходящую математическую литературу, которую они исследовали вместе с Эйнштейном. То была математика, позволяющая исследовать физические процессы в римановом пространстве. Одним из ее центральных объектов был тензор; эту область математики часто называют тензорным исчислением, а также подчас исчислением Риччи по имени одного из его разработчиков. Как ни странно, эта форма исчисления была разработана не гёттингенскими математиками, а двумя итальянцами, Туллио Леви-Чивитой и его учителем Грегорио Риччи-Курбасто. В 1915 году тензорное исчисление было последним словом в математике. Леви-Чивита и Риччи-Курбасто еще были живы, и, более того, Эйнштейн переписывался с Леви-Чивита, обсуждая относительность. Эйнштейн стал настоящим экспертом по этой новой математике; через несколько лет он уже знал о ней намного больше, чем почти все математики, за исключением ее изобретателей. Как оказалось, Эйнштейну пришлось объяснять гёттингенским математикам именно это новое тензорное исчисление.

* * *

Я объясню несколько простых математических понятий, чтобы познакомить вас с терминологией и помочь оценить, чего именно пытались добиться ученые и математики. Если вы поймете несколько технических терминов так, как их применяют математики, то это поможет не запутаться в общих рассуждениях.

Один из объектов, важных во всех областях математики, называется функцией. Это отображение или правило, устанавливающее соответствие одних чисел с другими. Если вы положите некую сумму на банковский счет, на который постоянно начисляются какие-то проценты, и эти проценты также будут перечисляться на тот же самый счет, то, как вам, возможно, известно, со временем сумма будет расти экспоненциально из-за эффекта сложного процента. Если вы составите таблицу, в которой отметите, сколько денег у вас будет каждый месяц, эта таблица будет представлять собой функцию: она связывает одно множество чисел (месяцы) с другим (баланс на вашем счете). Эта таблица – пример непрерывной функции, отображающей связь времени и денег.

Математический анализ – это исследование изменений функций. Скорее, этим занимается одно из направлений математического анализа – дифференциальное исчисление. Он может ответить на вопрос, насколько быстрее будут расти ваши деньги при более высокой процентной ставке.

Вектор можно представить себе как стрелу в пространстве с одним, двумя, тремя или (и здесь воображение пасует) большим числом измерений – даже бесконечным множеством измерений. Крайне важно, что векторы обладают реальностью, не зависящей от конкретных чисел, используемых для описания их координат. Вы знакомы с этой концепцией, если пользовались для ориентирования на местности магнитным компасом. Стрелка всегда будет указывать на север; это – вектор, указывающий в конкретном направлении. Когда вы медленно вращаете компас, меняются числа, на которые указывает стрелка, но сама она сохраняет свое положение.

В понятии тензора сочетаются понятия функции и вектора. Если функция отображает взаимосвязь чисел с числами, то тензор – векторов с векторами. Это функция вектора, которая дает на выходе другие векторы. Технически, чтобы называться тензором, такое отображение должно отвечать определенным условиям: о большинстве из них я умолчу, но об одном скажу. Векторы обладают независимой от системы координат реальностью, и то же самое верно для тензоров. Они должны быть независимы: поскольку мы можем представить наши векторы с помощью любого числа различных множеств координат, нашим векторным функциям или тензорам не нужно меняться вслед за изменением системы координат. Если бы они стали меняться, идея функции вектора оказалась бы бессмысленной. Наконец, если математический анализ – это раздел математики, описывающий изменение функций, то тензорное исчисление – раздел математики, описывающий изменение тензоров.

* * *

Эйнштейн использовал тензоры для описания изобретенного им четырехмерного пространства-времени, а для описания того, как согласно его теории работает физика тяготения, ему было нужно тензорное исчисление. Воспользоваться для описания физической реальности этой разновидностью математики было дерзким и рискованным шагом. Двумя годами ранее Эйнштейн показал свою работу Максу Планку, своему другу и физику, который сам совершил первый теоретический шаг по дороге, приведшей к квантовой механике. Планк попытался предостеречь его от использования экстравагантной геометрии. «Должен посоветовать тебе этого не делать, – писал он Эйнштейну, – ибо ты, во-первых, не преуспеешь, и даже если преуспеешь – тебе никто не поверит»[113].

Вот только ему поверили.

В гёттингенском сообществе нашлось несколько «саботажников», которые либо не приняли теорию, либо им не понравилось, как Эйнштейн ее изложил. Со своей стороны Клейн заметил, что Эйнштейн по большому счету не математик, но вместо этого, по всей видимости, опирается на малоизвестные, отчасти философские веяния, которые для почтенного профессора математики были по меньшей мере чем-то загадочным[114].

Но в целом в Гёттингене Эйнштейн имел большой успех. Он убедил большинство важных для этого сообщества людей, включая Гильберта, Вейля и, несмотря на его озадаченность, даже Клейна, что теория не лишена смысла. Они восприняли ее как теорию – ту самую теорию – тяготения.

Возвращение в Берлин

Гильберта, безусловно, удалось убедить. Он пригласил Эйнштейна из-за того, что сам глубоко интересовался физикой – интерес, который некоторые его коллеги не разделяли или даже не понимали[115].

Феликс Клейн тоже немедленно встал на сторону теории Эйнштейна. Заручиться его поддержкой было успехом, поскольку среди математиков и даже физиков его голос имел огромный вес. Подобно Гильберту, Клейн немедленно был заворожен тем, что вскоре стало общей теорией относительности, но не понял ее до конца. В некоторых случаях он не понимал математические выкладки и находил их интерпретацию сложным делом. Однако после возвращения Эйнштейна в Берлин Клейн вошел в небольшую группу тех, кто продолжал с ним переписываться, изучая различные подходы и поддерживая его на пути к завершению теории.

Как Клейн из смущенного наблюдателя превратился в одного из важнейших сподвижников Эйнштейна? Впоследствии он иногда объяснял это сам: он включился в работу благодаря «фройляйн Нётер». В этот период она также переписывалась с Эйнштейном, восхищавшимся тем, что происходило с его уравнениями в ее руках, и говорившего, что он и представить себе не мог, что можно что-то выразить с такой элегантностью и универсальностью. Он даже поддразнивал Гильберта в письме, высказывая предположение, что мужчины гёттингенского факультета математики могли бы многому у Нётер научиться, заполучи они ее раньше[116].

К сожалению, осталось мало свидетельств о 12-часовом семинаре Эйнштейна, посвященном теории относительности. Были найдены кое-какие заметки о первой лекции, но о следующих пяти нет никаких сведений[117]. А в обнаруженных заметках не сказано, кто на лекции присутствовал. Поэтому история не сохранила сведений о том, посещала ли лекции Нётер, или даже встретились ли они с Эйнштейном во время его первой поездки в Гёттинген. Как упоминалось выше, когда вскоре после переезда Нётер в Гёттинген ее мать неожиданно умерла, ей пришлось часто ездить в Эрланген и обратно и в течение нескольких месяцев проводить значительное время в родном городе.

Кажется маловероятным, что они познакомились во время первого визита Эйнштейна. Рассказывая в письмах друзьям о Гёттингене, он о ней не упоминает. Если бы он ее видел, она, несомненно, произвела бы на него сильное впечатление, и ему было бы что рассказать.

Не заметить присутствие Нётер в Гёттингене было невозможно. Даже сегодня женщина среди преподавателей математического факультета университета – зрелище несколько необычное[118]. В 1915 году в Германии женщин-профессоров и вовсе не было. Нётер была единственной в Европе женщиной с докторской степенью по математике, и на тот момент история знала совсем немногих женщин, добившихся подобной степени.

Конечно, Эйнштейн заметил бы женщину в столь необычном наряде, уделявшую так мало внимания своей прическе и одежде. Несомненно, он рассказал бы своим друзьям о столкновении со столь неординарным явлением – женщиной, которая так громко смеялась и разговаривала, схватывала все на лету и без колебаний перебивала собеседника, если у нее появлялась хорошая идея. Таково впечатление, которое у нас сложилось об Эмми Нётер того времени. Но, как мы увидим, они с Эйнштейном познакомились позднее.

Мы точно знаем, что Гильберт немедленно обратился к Нётер за помощью в решении проблем, связанных с общей теорией относительности. Ее рассказ об этой работе дает новые доказательства того, что она не могла посетить лекции Эйнштейна, поскольку складывается впечатление, что на этой стадии работы она не знала о контексте расчетов. Вскоре после лекций она написала домой о предмете этих вычислений, говоря, что «никто из нас не понимает, для чего это нужно»[119].

Однако, без сомнения, она об этом быстро узнала, поскольку начала работать напрямую с Эйнштейном. Превознося ее помощь, физик писал Гильберту: «Как Вам известно, фрл. Нётер постоянно дает советы по поводу моего предприятия, и как раз благодаря ей я теперь компетентен в этом вопросе»[120].

В любом случае неоплачиваемая помощница из Эрлангена быстро и всесторонне усвоила все подробности теории Эйнштейна. Об этом нам известно благодаря непрерывной переписке, последовавшей за лекциями, свидетельству Клейна и тому, что она вскоре совершит. Это свершение станет темой следующей главы.

* * *

Как я отмечал, уравнения Эйнштейна были не вполне доработаны. На июль 1915 года у его теории было две проблемы. Об одной Эйнштейн знал и перед ней капитулировал. О наличии второй он, кажется, не подозревал; или, быть может, его одержимость первой не оставила ему времени и сил входить в другие подробности.

Первая проблема, та, которой он посвятил больше всего времени в предыдущие (примерно) восемь лет, была проблемой ковариантности. Это – свойство множества уравнений быть независимыми от системы координат, используемой для измерения времени и пространства. Иными словами, уравнения должны в известном смысле быть объективными, не меняющими форму в зависимости от вашей точки зрения. Это свойство связано с инвариантностью векторов (как в примере со стрелкой компаса) и тензоров (как указывалось выше). Но здесь это вопрос статуса – не конкретного математического объекта, а всей системы уравнений, теории в целом. По крайней мере в начале пути философская позиция Эйнштейна была такова, что теория тяготения должна описывать абсолютно объективную реальность посредством уравнений, остающихся инвариантными с точки зрения любой системы отсчета, включая поворачивающиеся и ускоряющиеся. Он называл это свойство общей ковариантностью, а мы будем для краткости называть просто ковариантностью.

Эйнштейн сумел сформулировать специальную теорию относительности таким образом, чтобы она была абсолютно ковариантной – ее уравнения были полностью независимы от выбора инерционной системы отсчета – и он долгие годы полагал, что может достичь того же в случае теории тяготения. Если бы ему это удалось, теория тяготения стала бы поистине общей теорией относительности. Но к моменту июльского прибытия в Гёттинген он сдался. Он представил свою теорию как своего рода компромисс, говоря, что подобраться к ковариантности ближе ему не удалось. Это все еще была рабочая теория тяготения, и с ее помощью все еще можно было прогнозировать развитие событий. Но в некоторых ситуациях она давала сбой, а некоторые из прогнозов оказывались неверны.

С точки зрения науки самым важным, что произошло за неделю, проведенную Эйнштейном в Гёттингене, стало то, что тамошние математики (и прежде всего Гильберт) решили, что он зря сложил руки, и убедили его в этом. За немногие имевшиеся в их распоряжении дни они не могли понять, как именно достичь ковариантности, но были уверены, что то был лишь вопрос исправления каких-то деталей и что Эйнштейн стоял на верном пути. Для Эйнштейна эта поддержка была еще одним источником энтузиазма: эти люди не только согласились, что он установил, как должна выглядеть истинная и прекрасная теория тяготения, но и убедили его, что исполнение его мечты о подлинно общей теории относительности не за горами. Гильберт с его почти сверхъестественной способностью немедленно проникать в суть вещей и с его знакомством со всеми областями математики в особенности внимательно наблюдал за тем, как Эйнштейн пишет свои уравнения на доске. Математик видел в них то, чего Эйнштейн увидеть не мог. Вскоре Эйнштейну предстояло узнать, насколько глубоко проник взор Гильберта.

То, что Эйнштейн смог убедить своих гёттингенских слушателей, имело большое значение. До того момента лишь немногие его коллеги могли понять, чем он занят; теперь он испытывал почти экстатический восторг. Сразу же по возвращении домой он написал друзьям полные радости письма:

[Генриху Цангеру, 7 июля 1915 года]

Я прочитал там шесть двухчасовых лекций о теории тяготения, которая теперь уже стала гораздо яснее, и получил приятный опыт, полностью убедив тамошних математиков. В том, что касается живости научного интереса (по крайней мере, в этой области), Берлин не сравнится с Гёттингеном[121].

[Арнольду Зоммерфельду, 15 июля 1915 года]

В Гёттингене я испытал огромное удовольствие, увидев, что все было понято в малейших деталях. Я совершенно очарован Гильбертом. Что за замечательный человек! Мне очень любопытно узнать, что Вы думаете[122].

[Генриху Цангеру, между 24 июля и 7 августа 1915 года]

С того момента, как я повзрослел, мне еще не удавалось так хорошо отдохнуть! Конечно, я уже написал Вам о том, что прочитал шесть лекций в Гёттингене, где мне удалось убедить Гильберта в правоте общей теории относительности. Последний – человек поразительно энергичный и во всех отношениях независимый, – меня положительно очаровал[123].

Возможно, Эйнштейн даже не понимал, каким достижением было убедить Гильберта в том, что он не ошибается. В конце концов, прямолинейный математик незадолго до этого сострил, что «для физиков физика слишком сложна»[124].

Эйнштейн высоко оценил Гильберта не только из-за свойственной великому математику научной проницательности. За неделю эти двое провели вместе много времени, обсуждая политику и войну. Эйнштейну казалось, что он встретил родственную душу – человека, который тоже пытался оставаться выше бессмысленной межнациональной грызни и не упускать из виду истинное и прекрасное. Он был счастлив, что нашел нового друга. «Но в это время, – писал он Цангеру, – вдвойне высоко ценишь тех немногих, которые поднимаются над ситуацией [политикой, войной] и не позволяют бурному течению времени себя увлечь. Один из таких людей – Гильберт, гёттингенский математик. Я провел в Гёттингене неделю, где познакомился с ним и довольно сильно им увлекся»[125].

Хотя политические воззрения Эйнштейна и Гильберта были в целом схожи, как и смелость и независимость, которая требовалась, чтобы поступать в соответствии с такими взглядами, в тот момент и по крайней мере в течение несколько следующих лет Эйнштейн сохранял некоторую политическую наивность, которой Гильберт со свойственной ему известной прагматичностью не разделял. Это различие возымело последствия в апреле 1918 года, когда Эйнштейн, памятуя о политической независимости Гильберта и репутации, которой тот был ей обязан, написал ему о появившейся у него идее книги[126]

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Wilczek F. A Beautiful Question: Finding Nature’s Deep Design. New York: Penguin Press, 2015. P. 280.

Вернуться

2

Lederman L. M., Hill Ch. T. Symmetry and the Beautiful Universe. Amherst, NY: Prometheus Books, 2004.

Вернуться

3

Ледерман – лауреат Нобелевской премии и автор понятия «божественная частица». – Прим. авт.

Вернуться

4

Greene B. (@bgreene). Emmy Noether’s theorem is… твит в социальной сети X (бывший Twitter) от 23 марта 2017 года [Электронный ресурс]. URL: https://twitter.com/bgreene/status/844768785248641027.

Вернуться

5

Цитата из повести Марка Твена «Рассказ лошади» (1907). – Прим. пер.

Вернуться

6

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 9.

Вернуться

7

Duffey E. B. The Ladies’ and Gentlemen’s Etiquette. Philadelphia: Porter and Coates, 1877.

Вернуться

8

Stoll C. Acme Klein Bottle [Электронный ресурс]. URL: www.kleinbottle.com.

Вернуться

9

Лента Мёбиуса и бутылка Клейна – примеры так называемых неориентированых, или односторонних, поверхностей, представляют собой плоскую и объемную замкнутые фигуры, не имеющие двух различных сторон. Чтобы сделать ленту Мёбиуса, можно взять полоску бумаги, перевернуть один конец нижней стороной вверх и соединить края. При движении вдоль ленты Мёбиуса возврат в изначальную точку происходит после двух оборотов. Являются объектом изучения топологии – раздела математики, который изучает свойства пространств, сохраняющихся при непрерывных деформациях. – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.

Вернуться

10

Tobies R. The Development of Göttingen into the Prussian Centre of Mathematics and the Exact Sciences // Göttingen and the Development of the Natural Sciences / Ed. Nicolaas Rupke. Göttingen: Wallstein, 2002. P. 116–142.

Вернуться

11

Born M., Born H., Einstein A. The Born—Einstein Letters: Correspondence Between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916–1955 / Commentaries by Max Born; trans. Irene Born. New York: Macmillan, 1971. P. 13.

Вернуться

12

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 43.

Вернуться

13

Ibid. Р. 46.

Вернуться

14

Daubechies I., Hughes Sh. Konigsberg Bridge Problem // Math Alive: Graph Theory. Princeton University [Электронный ресурс]. URL: http://web.math.princeton.edu/math_alive/5/Lab1/Konigsberg.html.

Вернуться

15

Hilbert D. The Foundations of Geometry / Trans. E. J. Townsend. LaSalle, IL: Open Court, 1902. Перевод на русский язык: Гильберт Д. Основания геометрии / Под ред. А. В. Васильева. Петроград: Сеятель, 1923.

Вернуться

16

Lewis D. W. David Hilbert and the Theory of Algebraic Invariants // Irish Mathematical Society Bulletin. 1994. Vol. 33. P. 42–54.

Вернуться

17

Пространство-время Минковского – пространственно-временной континуум, четырехмерное пространство, точками которого являются события, каждое из которых задается тремя пространственными декартовыми координатами и временем, когда это событие произошло.

Вернуться

18

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. Р. 14.

Вернуться

19

Отсылка к перипатетикам – философской школе, основанной Аристотелем. Аристотель и его последователи вели философские беседы на прогулках.

Вернуться

20

Ibid. Р. 46.

Вернуться

21

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 11.

Вернуться

22

Lederman L. M., Hill Ch. T. Symmetry and the Beautiful Universe. Amherst, NY: Prometheus Books, 2004. P. 69.

Вернуться

23

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 13.

Вернуться

24

Ibid. Р. 122

Вернуться

25

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. Р. 48.

Вернуться

26

Ibid. Р. 49.

Вернуться

27

Ibid. Р. 52.

Вернуться

28

Ibid. Р. 53.

Вернуться

29

Weyl H. David Hilbert and His Mathematical Work // Bulletin of the American Mathematical Society. 1944. Vol. 50. Перевод этой статьи Германа Вейля на русский язык: Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество // Вейль Г. Математическое мышление / Под ред. Б. В. Бирюкова, А. Н. Паршина. М.: Наука, Гл. ред. физ. – мат. литературы, 1989. С. 214–255. Приведенные слова см. С. 217.

Вернуться

30

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 33.

Вернуться

31

Ibid. P. 94.

Вернуться

32

Hoffman P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998. P. 95.

Вернуться

33

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 53.

Вернуться

34

Ibid. P. 109.

Вернуться

35

Young L. Mathematicians and Their Times: History of Mathematics and Mathematics of History. Amsterdam; New York: North-Holland, 2012. P. 238.

Вернуться

36

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 91.

Вернуться

37

Ibid. P. 69.

Вернуться

38

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 13.

Вернуться

39

Здесь и далее под докторской степенью понимается PhD – доктор философии (philosophiae doctor), научная степень, примерно эквивалентная кандидату наук (в некоторых странах эта степень единственная), а под докторантурой – период времени, посвященный подготовке диссертации.

Вернуться

40

Ibid. P. 14.

Вернуться

41

Инварианты в математике – это величины или свойства, которые остаются неизменными при определенных преобразованиях объектов. Другими словами, инвариант – это характеристика объекта, которая не меняется при изменении каких-либо его параметров или при применении к нему определенных операций. Теория инвариантов – алгебраическая теория, изучающая алгебраические выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных заменах переменных.

Вернуться

42

«С отличием», буквально «с наибольшим почетом» (лат.).

Вернуться

43

Ibid. P. 120.

Вернуться

44

Pais A. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford, UK: Oxford University Press, 1982. P. 46.

Вернуться

45

Теория относительности описывает движение тел и пространственно-временны́е отношения при произвольных скоростях. Специальная теория относительности имеет дело со скоростями, приближенными к скорости света.

Вернуться

46

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 112.

Вернуться

47

Ibid. P. 152.

Вернуться

48

Gribbin J. Einstein’s Masterwork: 1915 and the General Theory of Relativity. New York: Pegasus Books, 2017. P. 117.

Вернуться

49

Kaku M. Einstein’s Cosmos: How Albert Einstein’s Vision Transformed Our Understanding of Space and Time. New York: W. W. Norton, 2004. P. 74.

Вернуться

50

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentschel. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 172.

Вернуться

51

Gribbin J. Einstein’s Masterwork: 1915 and the General Theory of Relativity. New York: Pegasus Books, 2017. P. 117.

Вернуться

52

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentschel. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 236.

Вернуться

53

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 19.

Вернуться

54

Ibid. P. 23.

Вернуться

55

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 87.

Вернуться

56

Ibid. P. 102.

Вернуться

57

Ibid. P. 104.

Вернуться

58

Ibid. P. 108.

Вернуться

59

Задача Эвальда состояла не только в записи лекций, но и в последующей их обработке для обсуждения и, возможно, публикации. – Прим. пер.

Вернуться

60

STANDS4 Network. What Does Geheimrat Mean? // Definitions & Translations, STANDS4 Network [Электронный ресурс]. URL: www.definitions.net/definition/Geheimrat.

Вернуться

61

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 88.

Вернуться

62

Wiener N. I Am a Mathematician. Cambridge, MA: MIT Press, 1956. P. 96.

Вернуться

63

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 68.

Вернуться

64

Ibid. P. 119.

Вернуться

65

Ibid. P. 85.

Вернуться

66

Ibid. P. 90.

Вернуться

67

Ibid. P. 100.

Вернуться

68

Lederman L. M., Hill Ch. T. Symmetry and the Beautiful Universe. Amherst, NY: Prometheus Books, 2004. P. 70.

Вернуться

69

Rowe D. E., Schulmann R. General Relativity in the Context of Weimar Culture. Preprint 456. Max-Planck-Inst. für Wissenschaftsgeschichte. Berlin, 2014.

Вернуться

70

Kaku M. Einstein’s Cosmos: How Albert Einstein’s Vision Transformed Our Understanding of Space and Time. New York: W. W. Norton, 2004. P. 108.

Вернуться

71

Bertsch McGrayne Sh. Nobel Prize Women in Science: Their Lives, Struggles, and Momentous Discoveries. Washington, DC: Joseph Henry Press, 2001.

Вернуться

72

Freund P. A Passion for Discovery. Hackensack, NJ: World Scientific, 2007.

Вернуться

73

Hilbert D. The Foundations of Geometry / Trans. E. J. Townsend. LaSalle, IL: Open Court, 1902.

Вернуться

74

Corry L. Hilbert and Physics (1900–1915) // The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890–1930 / Ed. Jeremy J. Gray. Oxford, UK; New York: Oxford University Press, 1999. P. 145.

Вернуться

75

Merzbach U. C. Emmy Noether: Historical Contexts // Emmy Noether in Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium / Ed. Bhama Srinivasan and Judith Sally. New York: Springer, 2011. P. 161–171.

Вернуться

76

Levenson T. The Hunt for Vulcan: …and How Albert Einstein Destroyed a Planet, Discovered Relativity, and Deciphered the Universe. New York: Random House, 2015.

Вернуться

77

Which Falls Faster—a Feather or a Hammer? // BBC Teach. 2024 [Электронный ресурс]. URL: www.bbc.co.uk/teach/terrific-scientific/KS2/zd9r2sg.

Вернуться

78

Lifshitz E. M., Landau L. D. The Classical Theory of Fields, 4th ed. Woburn, MA: Butterworth-Heinemann, 1980.

Вернуться

79

The Most Beautiful Theory // Economist. 28th November 2015.

Вернуться

80

Overduin J. Einstein’s Spacetime // Gravity Probe B. Testing Einstein’s Universe. Stanford University, 2007 [Электронный ресурс]. URL: https://einstein.stanford.edu/SPACETIME/spacetime2.html.

Вернуться

81

Stanley M. Einstein’s War: How Relativity Triumphed amid the Vicious Nationalism of World War I. New York: Dutton, 2019. P. 49.

Вернуться

82

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 5. The Swiss Years: Correspondence, 1902–1914. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1993. P. 188.

Вернуться

83

В оригинале слова Эйнштейна выглядели так: “Nun bin ich also auch ein offizieller von der Gilde der Huren etc.”. – Прим. пер.

Вернуться

84

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 24.

Вернуться

85

Phillips L. General Relativity: 100 Years of the Most Beautiful Theory Ever Created // Ars Technica. 3rd December 2015.

Вернуться

86

Reid С. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 103.

Вернуться

87

Leo Corry’s Website [Электронный ресурс]. URL: www.leocorry.com.

Вернуться

88

Corry L. Hilbert and Physics (1900–1915) // The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890–1930 / Ed. Jeremy J. Gray. Oxford, UK: Oxford University Press, 1999. P. 145–188.

Вернуться

89

Olesen Larsen P., von Ins M. The Rate of Growth in Scientific Publication and the Decline in Coverage Provided by Science Citation Index // Scientometrics. 2010. Vol. 83. No. 3. P. 575–603.

Вернуться

90

Corry L. Hilbert and Physics (1900–1915) // The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890–1930 / Ed. Jeremy J. Gray. Oxford, UK: Oxford University Press, 1999.

Вернуться

91

Hilbert D. The Foundations of Geometry / Trans. E. J. Townsend. LaSalle, IL: Open Court, 1902.

Вернуться

92

Corry L. David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918). New York: Springer, 2010. P. 379.

Вернуться

93

Euclid. Euclid’s Elements of Geometry / Trans. Richard Fitzpatrick. 2007.

Вернуться

94

Quod erat demonstrandum (лат.). Что и требовалось доказать. – Прим. пер.

Вернуться

95

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentsche. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 265.

Вернуться

96

Ibid. P. 418.

Вернуться

97

Pais A. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford, UK: Oxford University Press, 1982. P. 151.

Вернуться

98

Ibid. P. 152.

Вернуться

99

Ibid. P. 216.

Вернуться

100

Ibid. P. 209.

Вернуться

101

Ibid. P. 213.

Вернуться

102

Rowe D. E. Einstein Meets Hilbert: At the Crossroads of Physics and Mathematics // Physics in Perspective. 2001. Vol. 3. P. 379–424.

Вернуться

103

Singh S. The Wolfskehl Prize: The History Behind the Most Famous Prize in Mathematics // Open University Maths Society. October 1997.

Вернуться

104

Pais A. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford, UK: Oxford University Press, 1982. P. 236.

Вернуться

105

Rowe D. E. Einstein Meets Hilbert: At the Crossroads of Physics and Mathematics // Physics in Perspective. 2001. Vol. 3. P. 379–424.

Вернуться

106

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentsche. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 122.

Вернуться

107

Rowe D. E. Making Mathematics in an Oral Culture: Göttingen in the Era of Klein and Hilbert // Science in Context. 2004. Vol. 17. No. 1–2. P. 118.

Вернуться

108

Имеется в виду вклад Гаусса в дифференциальную геометрию поверхностей.

Вернуться

109

Mukunth V. Beyond the Surface of Einstein’s Relativity Lay a Chimerical Geometry // Wire. 10th September 2015.

Вернуться

110

Gray J. J. Bernhard Riemann // Encyclopedia Britannica. 2022.

Вернуться

111

Weyl H. Die Idee Der Riemannschen Fläche. Leipzig and Berlin: B. G. Teubner, 1913.

Вернуться

112

Einstein A. Maxwell’s Influence on the Development of the Conception of Physical Reality // James Clerk Maxwell: A Commemoration Volume 1831–1931 / J. J. Thomson et al. Cambridge, UK; New York: Cambridge University Press, 1931. P. 66–73.

Вернуться

113

The Most Beautiful Theory // Economist. 28th November 2015.

Вернуться

114

Kaku M. Einstein’s Cosmos: How Albert Einstein’s Vision Transformed Our Understanding of Space and Time. New York: W. W. Norton, 2004. P. 108.

Вернуться

115

Corry L. Hilbert and Physics (1900–1915) // The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890–1930 / Ed. Jeremy J. Gray. Oxford, UK: Oxford University Press, 1999.

Вернуться

116

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentsche. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 568.

Вернуться

117

Rowe D. E. Einstein Meets Hilbert: At the Crossroads of Physics and Mathematics // Physics in Perspective. 2001. Vol. 3. P. 379–424.

Вернуться

118

Charlesworth T. E. S., Banaji M. R. Gender in Science, Technology, Engineering, and Mathematics: Issues, Causes, Solutions // Journal of Neuroscience. 2019. Vol. 39. No. 37. P. 7228–7243.

Вернуться

119

Dick A. Emmy Noether: 1882–1935. Boston: Birkhäuser, 1981. P. 31.

Вернуться

120

Bertsch McGrayne Sh. Nobel Prize Women in Science: Their Lives, Struggles, and Momentous Discoveries. Washington, DC: Joseph Henry Press, 2001. P. 71.

Вернуться

121

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentsche. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 109.

Вернуться

122

Ibid. P. 111.

Вернуться

123

Ibid. P. 116.

Вернуться

124

Reid C. Hilbert. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1970. P. 127.

Вернуться

125

Einstein A. et al. The Collected Papers of Albert Einstein. Vol. 8. The Berlin Years: Correspondence, 1914–1918 (English translation supplement) / Trans. Ann M. Hentsche. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998. P. 109.

Вернуться

126

Ibid. P. 540.

Вернуться