Борис Садыков
Как решать задачи по генетике на применение уравнения Харди-Вайнберга

Преамбула

В этом небольшом руководстве разбирается, так скажем, не самый любимый большинством учащихся раздел генетики – решение задач по популяционной генетике с применением уравнения Харди-Вайнберга.

А почему "не самый любимый" – тому есть веские причины. В большинстве учебников по биологии и даже в специальных пособиях по генетике приводится лишь описание самого закона Харди-Вайнберга и в каких случаях он применяется.

Так, хорошо известно, что этот закон применим лишь для идеальных популяций: достаточно высокая численность особей в популяции; популяция должна быть панмиксной, когда нет ограничения к свободному выбору полового партнера; практически должно отсутствовать мутирование изучаемого признака; отсутствует приток и отток генов и нет естественного отбора.

Вот и все… А что конкретного могут дать эти знания для решения генетических задач по популяционной генетике? Практически ничего… Поэтому, попытаюсь восполнить этот пробел и научить вас конкретному пониманию того, что в задачах дано, а что требуется определить.

Сам закон Харди-Вайнберга формулируется следующим образом:

в идеальной популяции соотношение частот аллелей генов и генотипов из поколения в поколение является величиной постоянной.

Так вот, на что я хочу обратить ваше внимание при использовании закона Харди-Вайнберга при решении генетических задач. Не случайно я выделил в формулировке закона его две части:

1) соотношение частот аллелей генов и

2) соотношение частот генотипов – это величины постоянные из поколения в поколение.

(Чтобы хорошо разбираться в самих генетических терминах, понять самые основы основ генетики, рекомендую приобрести мою книгу «Как быстро научиться решать задачи по генетике»).

Совсем немного теории, потом разберем несколько различных типов задач – и Вы поймете, что все не так уж и сложно…

Что значит "соотношение частот аллелей генов" и "соотношение частот генотипов" – величины постоянные?

Чему равны эти величины? Так вот, как правило, в решении задач по популяционной генетике нам надо пользоваться уравнением Харди-Вайнберга хорошо понимая основную суть того, что вложено в сами буквенные обозначения.

Кажется, я говорю тривиальные вещи, но надо понять то, что при решении подобного рода задач, мы должны использовать не только само основное уравнение Харди-Вайнберга, а фактически всегда решать систему уравнений. А именно:

Пусть частота встречаемости какого-либо гена в доминантном состоянии (А) равна p, а рецессивного аллеля (а) этого же гена равна q (можно и наоборот, а можно и вообще одной буквой, выразив одно обозначение из другого). Понимая, что сумма частот доминантного и рецессивного аллелей одного гена в популяции равна 1 (единица, то есть вся совокупность), мы получим первое уравнение:

1) p + q = 1

Откуда берется само уравнение Харди-Вайнберга?

Формирование потомков по закону чистоты гамет Менделя можно представить, как выбор двух гамет из общего пула всех половых клеток (так как все скрещивания в идеальной популяции равновероятны).

Тогда вероятность получения гомозиготной особи по доминантному аллелю означает вероятность двух независимых выборов гаметы с аллелем А: f(AA) = p x p = p² . Аналогично частота рецессивных гомозигот с аллелем а составит: f(aa) = q x q = q².  Частота гетерозигот составит: f(Aa) = p x q + q x p = 2pq.

Таким образом, получаем второе уравнение в системе

2) p²AA+2pqAa+q²aa= 1,

которое и является уравнением Харди-Вайнберга.

Графически закон Харди – Вайнберга может быть представлен следующим образом:

Для решения задач по популяционной генетике, мы должны использовать систему двух уравнений: в первом уравнении рассматривается сумма частот доминантного и рецессивного аллелей изучаемого гена (признака), а во втором – сумма частот генотипов рассматриваемых организмов.

В задачах по популяционной генетике требуется:

а) найти частоты встречаемости каждого из аллельных генов по известному соотношению частот генотипов особей;

или, наоборот,

б) найти частоту встречаемости какого-либо из генотипов особей по известной частоте встречаемости доминантного или рецессивного аллеля изучаемого признака.

Поэтому, подставляя известное значение частоты встречаемости какого-то из аллелей гена в первую формулу и найдя значение частоты встречаемости второго аллеля, мы всегда сможем по уравнению Харди-Вайнберга найти частоты встречаемости самих различных генотипов потомства. Справедливо и обратное рассуждение.

Обычно некоторые действия (из-за их очевидности) решаются в уме. Но, чтобы было ясно то, что и так очевидно, надо хорошо понимать, что собой представляют буквенные обозначения в формуле Харди-Вайнберга.

Для закрепления всего вышеизложенного приведу примеры решений некоторых различных по типу заданий с применением уравнения Харди-Вайнберга. Пробуйте сначала каждое задание решить самостоятельно. Если не получится, потом внимательно проследите за моим ходом рассуждений при решении.

Задача 1. Кажется, как всё просто, что можно и без формулы Харди-Вайнберга обойтись

В популяции человека количество индивидуумов с карим цветом глаз составляет 51%, а с голубым – 49%. Определите процент доминантных гомозигот в данной популяции.

Сложность решения подобных заданий в их кажущейся простоте. Раз так мало данных, то и решение должно быть, как будто очень короткое. Оказывается, не очень.

По условию подобного рода заданий нам, как правило, дается информация об общем количестве фенотипов особей в популяции. Поскольку фенотипы особей в популяции с доминантными признаками могут быть представлены как гомозиготными по генотипу особями АА, так и гетерозиготными Аа, то для определения частот встречаемости каких-то конкретных генотипов особей в этой популяции, необходимо предварительно вычислить частоты встречаемости аллелей гена А и а по отдельности.

Как мы должны рассуждать при решении этой задачи?

Поскольку известно, что карий цвет глаз доминирует над голубым, обозначим аллель, отвечающий за проявление признака кареглазости А, а аллельный ему ген, ответственный за проявление голубых глаз, соответственно, а. Тогда кареглазыми в исследуемой популяции будут люди как с генотипом АА (доминантные гомозиготы, долю которых и надо найти по условию задачи), так и – Аа гетерозиготы), а голубоглазыми – только аа (рецессивные гомозиготы).

По условию задачи нам известно, что количество людей с генотипами АА и Аа составляет 51%, а количество людей с генотипом аа – 49%. Как, исходя из этих статистических данных (большая выборка должна быть, репрезентативная), можно вычислить процент кареглазых людей только с генотипом АА?

Для этого вычислим частоты встречаемости каждого из аллельных генов А и а в данной популяции людей. Закон Харди-Вайнберга, применяемый для больших свободно скрещивающихся популяций, как раз и позволит нам сделать это.

Обозначим частоту встречаемости аллеля А в данной популяции буквой p, а частоту встречаемости аллельного ему гена а = q. Тогда формула Харди-Вайнберга для расчета частот генотипов при моногибридном скрещивании при полном доминировании одного аллельного гена над другим будет выглядеть вот так:

p²AA+2pqAa+q²aa=1.

Ну, а теперь уже все просто, вы наверняка догадались, что в этом уравнении нам известно, а что следует найти?

q²= 0,49 – это частота встречаемости людей с голубыми глазами.

Тогда q = корень квадратный из 0,49 = 0,7; p = 1 – 0,7 = 0,3, тогда p²= 0,09.

Это значит, что частота кареглазых гомозиготных особей АА в данной популяции будет составлять 0,09 или доля их будет равна 9%.

Задача 2. Не очень тривиальная по постановке вопроса

У клевера лугового поздняя спелость доминирует над скороспелостью и наследуется моногенно. При апробации установлено, что 4% растений относятся к раннеспелому типу клевера, какую часть от позднеспелых растений составляют гетерозиготы?

Почему я пишу, что задача не совсем тривиальная? Да потому, что не все могут знать, что означает термин апробация.

В данном контексте апробация означает оценку чистоты сорта. А что, разве сортом не является чистая линия как сорта гороха у Менделя, например. Теоретически "да", но на практике (поля то большие – это не опытные делянки гениального Менделя) в каждом производственном сорте могут находиться в каком-то количестве и "мусорные" аллели генов.

В данном случае с позднеспелым сортом клевера, если бы сорт был чистым, присутствовали бы только растения с генотипом АА. Но сорт оказался на момент проверки (апробации) не очень чистым, так как 4% особей составляли раннеспелые растения с генотипом аа. Значит в этот сорт "затесались" аллели а.

Так вот, раз они "затесались", то в данном сорте должны присутствовать и особи, хотя по фенотипу и позднеспелые, но гетерозиготные с генотипом Аа – их количество нам и надо определить?

По условию задачи 4% особей с генотипом аа составят 0,04 часть от всего сорта. Фактически это q², значит частота встречаемости рецессивного аллеля а равна q = 0,2. Тогда частота встречаемости доминантного аллеля А равна p = 1 – 0,2 = 0,8.

Отсюда количество позднеспелых гомозигот p2 = 0,64 или 64%. Тогда количество гетерозигот или организмов с генотипом Аа будет составлять100% – 4% – 64% = 32%. Поскольку всего позднеспелых растений 96%, то доля гетерозигот среди них составит: 32 х 100 : 96 = 33,3%.

Задача 3. С применением формулы Харди-Вайнберга при неполном доминировании

При обследовании популяции каракульских овец было выявлено 729 длинноухих особей (АА), 111 короткоухих (Аа) и 4 безухих (аа). Вычислите наблюдаемые частоты фенотипов, частоты аллелей, ожидаемые частоты генотипов по формуле Харди-Вайнберга.

Мы видим, что это задание надо решать не как обычную задачу на полное доминирование одного аллеля над другим, а на неполное доминирование, так как особи с гетерозиготным генотипом (Аа) фенотипически другие, чем гомозиготы (АА).

То есть, при неполном доминировании количественное распределение особей по генотипу и фенотипу совпадают (1:2:1). Поэтому ответить на первый и третий вопрос задачи довольно просто.

Поскольку общее количество проанализированных организмов – 844, то сначала найдем долю длинноухих, короткоухих и безухих в процентах: 86.37%, 13.15% и 0.47%, соответственно. А в долях частот это составит 0.8637, 0.1315 и 0.00474.

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, рассчитать частоты самих аллелей генов А и а, надо дополнительно учитывать их концентрацию в гетерозиготных генотипах, так как гетерозиготы в этом случае фенотипически не являются особями с гомозиготным доминантным генотипом, а являются третьим типом организмов.

Концентрация аллеля а, например, в этой задаче будет рассчитываться не как корень квадратный из частоты особей с генотипом аа, а как сумма особей с генотипом аа и 1/2 особей с генотипом Аа, разделенная на общее количество проанализированных организмов: (4 + 111:2):844 = 0,0705.

Соответственно, концентрация аллеля А будет: (729 + 111:2):844 = 0,9295 (или, что тоже самое 1 – 0,0705 = 0,9295).

Задача 4. Почему доля альбиносов в популяциях так мала

В выборке, состоящей из 84 000 растений ржи, 210 растений оказались альбиносами, т.к. у них рецессивные гены находятся в гомозиготном состоянии. Определите частоты аллелей А и а, а также частоту гетерозиготных растений.

Обозначим частоту встречаемости доминантного аллельного гена А буквой p, а рецессивного а – буквой q. Тогда, что нам может дать формула Харди-Вайнберга p²AA + 2pqAa + q²aa = 1 для применения её к этой задаче?

Поскольку общая численность всех особей данной популяции ржи нам известна 84000 растений, а в частях это и есть 1, то доля гомозиготных альбиносных особей с генотипом аа равная q², которых всего 210 штук, составит q² = 210 : 84000 = 0,0025, тогда q = 0,05; p = 1 – q = 0,95 и тогда 2pq = 0,095.

Ответ: частота аллеля а – 0,05; частота аллеля А – 0,95; частота гетерозиготных растений с генотипом Аа составит 0,095.

Задача 5. Выращивали кроликов шиншилл, а получили брак в виде альбиносиков

У кроликов окраска волосяного покрова "шиншилла" (ген Cch) доминирует над альбинизмом (ген Ca). Гетерозиготы CchCa имеют светло-серую окраску. На кролиководческой ферме среди молодняка кроликов шиншилл появились альбиносы. Из 5400 крольчат 17 оказались альбиносами. Пользуясь формулой Харди-Вайнберга, определите, сколько было получено гомозиготных крольчат с окраской шиншилла.

А как Вы думаете, полученная выборка в популяции кроликов в количестве 5400 экземпляров, может позволить нам использовать формулу Харди-Вайнберга? Да выборка значительная, популяция изолированная (кролиководческая ферма) и действительно можно применить в расчетах формулу Харди-Вайнберга. Чтобы правильно её использовать, надо четко представлять, что нам дано, а что требуется найти.

Лишь для удобства оформления, обозначим генотип шиншилл АА (количество их нам и надо будет определить), генотип альбиносиков аа, тогда генотип гетерозиготных серячков будет обозначаться Аа.

Если "сложить" всех кроликов с разными генотипами в изучаемой популяции: АА + Аа + аа, то это и будет в сумме 5400 штук особей.

Да еще нам известно, что кроликов с генотипом аа было 17 штук. Как же нам теперь, не зная сколько было гетерозиготных серых кроликов с генотипом Аа, определить сколько в этой популяции шиншилл с генотипом АА?

Как мы можем видеть эта задача является почти "копией" первой, только там нам даны были результаты подсчетов в популяции людей кареглазых и голубоглазых индивидов в %, а здесь фактически нам известна сама численность альбиносов кроликов 17 штук и всех гомозиготных шиншилл, и гетерозиготных серячков в сумме: 5400 – 17 = 5383 штук.

Примем 5400 штук всех кроликов за 100%, тогда 5383 кролика (сумма генотипов АА и Аа) составит 99,685% или в частях это будет 0,99685.

q² + 2q(1 – q) = 0,99685 – это частота встречаемости всех шиншилл и гомозиготных (АА), и гетерозиготных (Аа).

Тогда из уравнения Харди-Вайнберга: q²AA + 2q(1 – q)Aa + (1 – q)²aa = 1, находим

(1 – q)² = 1 – 0,99685 = 0,00315 – это частота встречаемости альбиносных кроликов с генотипом аа. Находим чему равна величина 1 – q. Это корень квадратный из 0,00315 = 0,056. А q тогда равняется 0,944.

q² равняется 0,891, а это и есть доля гомозиготных шиншилл с генотипом АА. Так как эта величина в % составит 89,1% от 5400 особей, то количество гомозиготных шиншилл будет 4811 шт.

Задача 6. Определение частоты встречаемости гетерозиготных особей по известной частоте встречаемости рецессивных гомозигот

Одна из форм глюкозурии наследуется как аутосомно-рецессивный признак и встречается с частотой 7:1000000. Определить частоту встречаемости гетерозигот в популяции.

Обозначим аллельный ген, отвечающий за проявление глюкозурии а, так как сказано, что это заболевание наследуется как рецессивный признак. Тогда аллельный ему доминантный ген, отвечающий за отсутствие болезни, обозначим А.

Здоровые особи в популяции людей имеют генотипы АА и Аа; больные особи имеют генотип только аа.

Обозначим частоту встречаемости рецессивного аллеля а буквой q, а доминантного аллеля А – буквой р.

Поскольку нам известно, что частота встречаемости больных людей с генотипом аа (а это значит q²) равна 0,000007, то q = 0,00264575

Так как p + q = 1, то р = 1 – q = 0,9973543, и p² = 0,9947155

Теперь подставив значения р и q в формулу: p²AA + 2pqAa + q²aa = 1, найдем частоту встречаемости гетерозиготных особей 2pq в популяции людей:

2pq = 1 – p² – q² = 1 – 0,9947155 – 0,000007 = 0,005277.

Таким образом, количество гетерозиготных особей составляет 5277:1000000.

Задача 7. Как и предыдущая задача, но про альбинизм

Альбинизм общий (молочно-белая окраска кожи, отсутствие меланина в коже, волосяных луковицах и эпителии сетчатки) наследуется как рецессивный аутосомный признак. Заболевание встречается с частотой 1:20 000 (К. Штерн, 1965). Определите процент гетерозиготных носителей гена.

Так как этот признак рецессивный, то больные организмы будут иметь генотип аа – это их частота равна 1:20 000 или 0,00005.

Частота аллеля а составит корень квадратный из этого числа, то есть 0,0071. Частота аллеля А составит 1 – 0,0071 = 0,9929, а частота здоровых гомозигот АА будет 0,9859.

Частота всех гетерозигот 2Аа = 1 – (АА + аа) = 0,014 или 1,4%.

Задача 8. Кажется, как все просто, когда знаешь как решать

Популяция европейцев по системе групп крови резус содержит 85% резус положительных индивидуумов. Определите насыщенность популяции рецессивным аллелем.