Андрей Москаленко
Базовые механизмы аритмий сердца

Вступительная статья от Редакции

В первом номере «Обзоров задач кардиофизики» было представлено актуальное состояние физики сердца и даны пояснения причин формирования этого нового научного направления.

С момента первой публикации в 2009 году представленным здесь автором обзора со сходным названием прошло уже полтора десятилетия. В то время автор старался показать, как на смену концепциям классической физиологии постепенно пришли во второй половине XX столетия новые биофизические концепции, – а вместе с тем произошла и постепенная смена лексических и семантических единиц языка, с помощью которого в науке описывали деятельность сердца. Признавая, что весьма важным этапом в понимании причин нарушений деятельности сердца явилось открытие «животного электричества», автор указал тогда, что это открытие довольно быстро привело к разработке нового языка, языка электрофизиологии, удобного для обобщенного описания таких свойств биологической материи, которые прежде казались несопоставимыми. «Действительно, – задавал вопрос своим читателям автор, – что можно было прежде углядеть общего в деятельности мозга и мышц? Что общего, казалось бы, может быть между мышечной силой и силой мысли? Открытие же "животного электричества" позволило зарегистрировать и в нервной ткани и в мышечной ткани некий процесс, которому было дано название "возбуждение"». Развитие представлений о возбудимых тканях явилось важным обобщением тех экспериментальных данных, которые удалось накопить к концу XIX века. Ведь ещё в 1900 году T.W. Engelmann, K.F. Wenckebach и Bowditch постулировали основные свойства сердечной мышцы: 1) автоматию; 2) рефрактерный период; 3) ответ на стимулы разной силы по принципу «все или ничего»; 4) феномен лестницы после стимуляции. Представления о существовании «животного электричества» явились основополагающими для физиологических исследований. Однако затем на смену тем представлениям пришла новая наука, получившая название «биофизика», и в терминах языка новой науки удалось все перечисленные выше физиологические наблюдения описать единообразно в рамках новых представлений о предельном цикле двухкомпонентной системы типа «реакция—диффузия».

В 2021 году была этим же автором опубликована вторая версия обзора развития знаний о базовых механизмах аритмий сердца, и в нём был отражён исторический переход от биофизических концепций к концепциям физики сердца, кардиофизики. С дополнениями и исправлениями эта часть обзора 2021 года была изложена нами в первом выпуске ОЗК.

В представленном ниже обзоре тот же автор уже не останавливается на особенностях физиологического языка описания биологических объектов, так как об этом довольно много и подробно изложено в учебниках по физиологии; не затрагиваются и вопросы кардиофизики. Во втором выпуске ОЗК приведены сведения о представлениях специалистов в областях биофизики и кибернетики об организации работы сердца, накопленные к началу XXI столетия.

С уважением,

                 Ваша «Дорогая Редакция»,

                 в лице главного редактора выпуска А. В. Москаленко

Базовые механизмы аритмий сердца

А. В. Москаленко

Использованные сокращения

Хотя автор этого обзора старался материал излагать в научно-популярном жанре научного функционального стиля, всё же весьма полезным для удобства читателей представляется, в лучших традициях строгих научных публикаций, предварить основной текст перечислением сокращений, использование которых автор счёт уместным.

АВУ – атриовентрикулярный узел сердца.

Модель АП – математическая модель Алиева—Панфилова.

Модель БВП – математическая модель Бонхёффера—ван дер Поля.

БП – бифуркационная память.

ПВО – пространственно-временная организация.

ПД – потенциал действия, возникающий на мембранах живой клетки электровозбудимых тканей биоорганизма.

САУ – синоатриальный (синусовый) узел сердца.

СВ – спиральная волна (автоволна).

1. Исторические замечания

Как уже было отмечено в первом выпуске ОЗК, к концу XX века накопилось немало результатов наблюдений и экспериментов, которые плохо укладывались в рамки ограничений, установленных физиологическим языком – настало время для нового обобщения. Физикам и математикам удалось усмотреть, что процессы, которые происходят в «чисто физических» системах (например, в лазерах или даже просто в кипящей воде) по некоторым свойствам похожи на процессы, которые физиологи наблюдают в биологических возбудимых тканях. Это обобщение повлекло разработку нового, более универсального языка – языка биофизического. Новый язык, оперирующий понятиями «активные среды» и «автоволновые процессы», позволил не только воспроизвести описание всего того, что уже было описано ранее в рамках физиологии, но он также позволил в единых терминах представить широкий круг экспериментального материала, с описанием которого язык физиологов уже плохо справлялся. Именно об этом новом расширенном описании работы сердца и пойдёт дальше рассказ в следующих главах этого обзора.

Однако следует помнить, что примерно тогда же, ближе к концу XX века, стало формироваться также и понимание невозможности редукции математического описания биологических систем к описанию более простых физических систем. В какой-то момент биофизический редукционизм, обсуждение которого было приведено в первом выпуске ОЗК, стал препятствием на пути развития биологических наук.

Поскольку биофизическая теория возбудимых сред (автоволновых процессов) сыграла существенную роль в развитии биологической и медицинской наук в целом и аритмологии в частности, в этом выпуске ОЗК её основные положения представлены более детально. Но прежде чем перейти к более детальному рассмотрению биофизической концепции работы сердца, полезно вначале кратко напомнить основные этапы истории возникновения этого нового биофизического языка.

Из курса физиологии хорошо известно, что в 1952 году А. Л. Ходжкиным и А. Ф. Хаксли была предложена система математических уравнений для нервной ткани, состоящая из четырёх уравнений (1952, Hodgkin, Huxley). Эта модель описывает процесс возбуждения мембраны аксона гигантского кальмара в терминах ионной проводимости мембранных каналов.

Шестью годами ранее Н. Винер и А. Розенблют (1946, Wiener, Rosenblueth) для описания процесса распространения волны возбуждения в сердечной ткани предложили модель клеточного автомата, которая кардиомиоцит как элемент описывала весьма упрощённо. В модели Винера—Розенблюта кардиомиоцит представлен набором дискретных состояний, по заданным правилам сменяющих друг друга через дискретные промежутки времени. Такая «клетка» может находиться в одном из трёх состояний: покой, возбуждение или рефрактерность. В результате внешнего воздействия или спонтанно (в зависимости от установленных экспериментатором правил) «клетка» переходит из состояния покоя в состояние возбуждения, которое длится заданное время. По правилам этого автомата состояние возбуждения может передаваться соседним покоящимся «клеткам». По истечении заданного параметрами модели времени возбуждение сменяется состоянием рефрактерности, в котором «клетка» снова в состояние возбуждения переходить неспособна, а по истечении времени рефрактерности элемент снова возвращается в состояние покоя.

Несмотря на свою простоту, модель Винера—Розенблюта качественно воспроизводит многие феномены, наблюдаемые в реальном миокарде. Однако добиться количественного соответствия результатов, получаемых в этой модели, данным, результатам, наблюдаемым в экспериментах на реальном миокарде, оказалось невозможно. Поэтому исследователи-теоретики пошли по пути усложнения математических моделей, привнося в них всё больше деталей, соответствующих тем или иным процессам в реальном миокарде. В результате появились модели Нобла (1962, Noble), Билера-Рейтера (1972, Beeler, Reuter), Лео-Руди (1991, Lue, Rudy), – каждая из которых содержит уже около десятка переменных. В последующих всё более усложняющихся математических моделях кардиомиоцитов исследователи учитывали не только поведение ионных каналов клеточных мембран, но и ионных обменников («натриевый насос», Na-Ca-обменник, Ca-обменник саркоплазматического ретикулума), а также, в наиболее поздних моделях, и участие транспортёров, вовлечённых в контролирование внутриклеточного pH. Такое усложнение моделей оказалось весьма существенным при модельном исследовании некоторых болезней сердца, например, при исследовании ишемической болезни сердца (2002, Noble). К началу XXI века были разработаны модели всех типов кардиомиоцитов из всех областей сердца, и не только крысы, собаки и некоторых других млекопитающих, но также и человека, – и теперь они встроены в анатомически точную модель целого органа, при помощи которой исследователи XXI века стремятся постичь тайны работы сердца и причины сердечных аритмий (2002, Noble; 2003, Crampin, et al.). Весьма успешно показал себя подход к моделированию миокарда, получивший название «бидоменная модель» (2002a, Ефимов и соавторы), и именно при помощи этого подхода удалось проникнуть в тайны процесса дефибрилляции (2002b, Ефимов и соавторы; 2002c, Ефимов и соавторы). А в ходе сравнительно недавних исследований в результате объединения электрофизиологической модели Д. Нобла и модели механической активности миокарда, разработанной в Екатеринбурге сотрудниками лаборатории В. С. Мархасина, удалось получить новую модель миокарда (2003, Solovyova, et al.; 2006. Кацнельсон и соавторы), имеющую революционное значение для понимания механизмов регуляции сердечной деятельности и природы аритмий сердца, поскольку благодаря этой модели удалось осознать не только важность обратной связи между процессами сокращения и возбуждения миокарда, но также и существенное значение весьма тонкой функциональной организации миокарда.

Бегло представленное в предыдущих трёх абзацах, моделирование биологических возбудимых тканей развивалось некоторое время как бы параллельно с исследованиями, проводимыми в рамках классической математической физики. Более того, многие исследователи придерживались точки зрения, что бурно развиваемая биофизиками в конце XX века теория возбудимых сред представляет собой исключительно феноменологический подход, отражающий лишь специфику конкретных биологических систем. Однако ныне известно большое число возбудимых сред небиологической природы, в основе которых лежат простые физические или физико-химические процессы; соответствующие обзоры смотрите, например, в (1981, «Автоволновые процессы…»; 2006, Елькин). Наиболее наглядный пример – волна горения в среде, способной восстанавливать исходное состояние, – то есть в активной среде с восстановлением (1980, Зельдович и соавторы). Задача о движении фронта горения (волны распространения пламени) в активной среде без восстановления была решена ещё в 1938 году Я. Б. Зельдовичем и Д. А. Франк-Каменецким. Они выявили, что в однородной по своим свойствам среде фронт горения движется с постоянной скоростью, однозначно определяемой параметрами самой среды и не зависящей от начальных условий; универсальна и форма профиля такой волны. Процесс распространения волны горения можно описать на языке, близком модели Винера-Розенблюта. Например, в степи весной можно наблюдать движение фронта пламени по высохшей прошлогодней траве (возбуждение), затем в течение года на месте сгоревшей травы вырастает новая трава (рефрактерность), которая к следующей весне снова отмирает и высыхает, и потому снова готова к возгоранию (восстановление состояния покоя).

Сравнение математических описаний этих, казалось бы, разных явлений (пожар в степи и возбуждение миокарда) показало, что такие природные явления описываются однотипно. И это означает, что за всеми этими явлениями стоят одни и те же природные процессы. Именно осознание этой общности позволяет говорить, как уже было отмечено в первом выпуске ОЗК, о фундаментальности автоволновых механизмов природы, поскольку и при распространении пламени в степи, и при колебательных химических реакциях типа реакции Белоусова–Жаботинского, и при возникновении потенциала действия, и при аритмиях сердца говорить приходится, на мой взгляд, о столь всеобщих механизмах, всеобщность которых подобна закону всемирного тяготения.

Через некоторое время за обнаруженным новым классом природных процессов устойчиво закрепилось название «автоволновые процессы». Подчеркну снова, что отдельные проявления автоволновых процессов были известны очень давно, хотя их общность не осознавалась. Например, нервный импульс, служащий типичным примером автоволны в активной среде с восстановлением, изучался ещё Гельмгольцем в 1850 году. В последние два десятилетия XX века удалось понять, что многие уже ранее известные явления имеют на самом деле автоволновую природу. Примерами таких явлений служат волны в химической реакции Белоусова–Жаботинского (1970, Zaikin, Zhabotinsky), волны химической сигнализации в колониях некоторых микроорганизмов (1974, Alcantara, Monk), волны в межзвёздном газе, приводящие к образованию спиральных галактик (1987, Madore, Freedman), и многие другие. Существует попытка описать коррупцию в социальной среде при помощи автоволнового подхода (1999, Михайлов). Даже воспроизведение ДНК в живых клетках – самый основополагающий процесс жизни – имеет, похоже, автоволновую природу (2002, Пригожин)! Открытие автоволновых явления явилось революционным, поскольку позволило, наконец, подойти к научному объяснению основной тайны жизни: почему возможно устойчивое длительное существование систем вдали от термодинамического равновесия и каким образом смогла спонтанно зародиться жизнь. Удалось показать, что в открытых системах автоволновой природы происходит самоорганизация материи! И даже новая наука возникла – синергетика (1990, Лоскутов, Михайлов), в которой процессы самоорганизации материи как раз и изучаются. О том, что такое синергетика, весьма образно сказал А. П. Никонов (смотрите его книгу «Апгрейд обезьяны. Большая история маленькой сингулярности»): «Если в разнообразную систему закачивать энергию, то под действием этой энергии в системе неизбежно начнутся процессы самоорганизации материи. Впервые на это обратил внимание в середине XX века бельгийский физик Илья Пригожин, который занимался неравновесной термодинамикой. Он и положил начало новой науке о процессах организации материи, идущих в открытых системах. Позже её назвали синергетикой, хотя самому Пригожину это слово не очень нравилось. По сути, синергетика – наука об эволюции. Наука об усложнении материальных структур в открытых системах». С позиций синергетики, автоволны – это разновидность автокаталических процессов (2002, Пригожин).

С использованием математической модели Зарницыной—Морозовой—Атауллаханова (ЗМА), было убедительно показано (2002, Атауллаханов и соавторы; 2007, Атауллаханов и соавторы), что даже система свёртывания крови также является типичной возбудимой средой, и в ней образование кровяного тромба в месте повреждения ткани протекает как особый тип автоволнового импульса, и что именно автоволновой процесс является существенным для формирования тромба, а вовсе не просто смесь многочисленных «факторов свёртывания». Это обстоятельство указывает на чрезвычайную важность понимания медицинскими работниками хотя бы основ теории возбудимых сред и автоволновых процессов.

2. Математические аспекты автоволновых процессов сердца

В этом разделе изложены основные математические сведения из теории возбудимых сред (известна также под названиями: теория автоволновых процессов, теория автоволн). Возбудимые среды следует рассматривать как разновидность динамических систем. Более полно теория динамических систем изложена в хорошо известных классических книгах, – например, можно рекомендовать (1981, Андронов и соавторы; 1990, Лоскутов, Михайлов; 1991, Гласс, Мэки; 2002, Гукенхеймер, Холмс). Считается (2007, Атауллаханов и соавторы), что общей теории активных сред пока не существует, и каждое достаточно глубокое исследование какого-либо образца активной среды, как правило, даёт примеры новых типов динамики и самоорганизации, однако нет оснований думать, что эти примеры уникальны, поскольку весь предыдущий опыт исследований активных сред показывает скорее обратное – найденные новые режимы обнаруживаются затем и в других системах, причём нередко и в системах уже давно изучаемых. Можно быть уверенным, что и по прошествии четверти XXI столетия теория возбудимых сред как часть теории активных сред продолжает развиваться, приготовив ещё немало неожиданностей для новых исследователей.

В основном здесь будут затронуты лишь вопросы, наиболее существенные для понимания природы сердечной аритмии, без особого углубления в детали математического описания автоволновых процессов. Желающие углубить свои математические знания в этой области смогут легко найти литературу на эту тему (смотрите, например, указанную в предыдущем абзаце). В первую же очередь важно понять, читая материал этого раздела, что обобщение, которое логика исследователей совершила в отношении особых типов живых и неживых систем, называемых теперь автоволновыми системами, базируется на неких реальных свойствах самих таких систем. Дополнительный акцент ниже сделан на пояснении математических различий между понятиями, которые в их математическом оформлении могут для нематематиков выглядеть практически одинаковыми, – пояснения, которые математикам покажутся, наверное, излишними, но которые будут весьма полезны для медиков и биологов.

2.1. Активные среды, «реакция—диффузия» и автоволновые процессы

Попытка систематизировать несколько разрозненные сведения из теории автоволн была предпринята автором недавно, смотрите в (2024, Москаленко, Махортых); для удобства читателей здесь отчасти повторяются изложенные в указанной работе сведения, а за более полным списком библиографических ссылок читатели могут обратиться к указанному источнику.

Название «активные среды» используют в физике и в биофизике для таких систем, для которых «характерно наличие распределенных внешних источников энергии, то есть с термодинамической точки зрения это открытые системы, далекие от равновесия» (2006, Елькин). Именно это качество и делает поведение активных сред принципиально иным, чем поведение систем, которые были привычны для физиков XIX и XX веков. Даже волны в активных средах распространяются совсем по иным законам, чем хорошо известные всем ещё из школьного курса звуковые или электромагнитные волны: в активных средах наблюдаются волны нелинейные. В качестве одного из вариантов нелинейных волн в активных средах известны автоволны; они были изучены и описаны первыми. Наверное, автоволны можно считать наиболее простым вариантом нелинейных волн.

Автоволнами традиционно называют «волновые процессы, имеющие устойчивые ("самоподдерживающиеся") параметры – скорость, амплитуду, форму импульса» (2006, Елькин). Автоволны принято понимать как самоподдерживающийся волновой процесс в термодинамически неравновесной среде, остающийся неизменным при достаточно малых изменениях как начальных, так и граничных условий (1979, Васильев и соавторы). С тех пор, как удалось понять существенные особенности активных сред, наблюдаемые в них автоволновые процессы попали под пристальное внимание математиков, физиков и биологов, а накопленный прежде опыт физиологов оказался очень полезной базой для построения нового биофизического языка описания явлений, наблюдаемых в возбудимых тканях организма. В качестве активных сред могут быть объекты и живой и неживой природы. В качестве примера из неживой природы хорошо известны лазеры; в разделе 1 упоминался уже пример с сухой травой в степи, к нему же можно добавить леса, также известные пожароопасностью. Однотипность описания автоволновых явлений самой различной природы заключается в том, что все они описываются параболическими дифференциальными уравнениями с частными производными (параболическими системами), причём с нелинейным свободным членом специального вида.

Известно также, что многие динамические системы независимо от того, являются ли они физическими, химическими или биологическими, могут быть описаны в традиционных терминах «реакция—диффузия» (1991, Winfree; 2000, Твердислов, Яковенко; 2007, Лоскутов, Михайлов). На формальном языке математики это означает, что возможным оказывается описать такие системы при помощи систем дифференциальных уравнений, в которых одна группа членов правой части уравнений описывает локальную динамику («реакцию» в общем смысле; термин был заимствован из практики составления динамических систем, описывающих химические реакции в растворах), а второй группой членов описываются процессы пассивной диффузии. «Диффузию» в данном случае следует понимать в обобщённом смысле, а именно как некоторой природы связь между элементами (или точками) среды, описываемую при помощи диффузионных членов параболической системы (2006, Елькин, с. 29). Системами уравнений такого типа описываются многие активные среды, включая и системы с автоволновыми процессами (автоволновые системы). С позиций математики системы типа реакция—диффузия в общем случае также представляют собой параболические системы; подробнее об этом можно посмотреть, например, в (1995, Нахушев, с. 74; 2024, Москаленко, Махортых, с. 5).

Итак, автоволновые системы следует считать подмножеством систем типа реакция—диффузия, однако с некоторыми специальными требованиями к их правым частям, то есть к реакционным членам. С другой стороны, системы типа реакция—диффузия и активные среды следует считать, наверное, лишь пересекающимися множествами. Математически и семантически существенные различия между системами типа реакция—диффузия и автоволновыми системами пояснены в представленных здесь формулах (1)—(4).

В общем виде многокомпонентную систему типа реакция—диффузия можно записать следующим образом (1981, «Автоволновые процессы…»):

Отметим, что в формуле (1) член содержащий лапласиан, ∆, и называют диффузионным членом; а коэффициент D, связанный с лапласианом математической операцией умножения, называют в общем смысле коэффициентом диффузии. Причём коэффициент диффузии в самом общем смысле вовсе не должен представлять собой константу, а может, в зависимости от решаемого класса задач, и сам быть функцией от времени, от переменных состояния или от координат пространства. Лапласиан, или оператор Лапласа – это математический оператор, то есть его аргументом может быть только функция, а не число. Важно обратить внимание в формуле (1), что для каждого компонента такой системы диффузия лишь этого компонента влияет на изменение его локальной концентрации. Хотя тот или иной конкретный вид реакционной части (вектора свободных членов) может обеспечивать локальное уменьшение или увеличение любых компонентов за счёт химических реакций между ними (или в более общем случае, – например, при описании биологических популяций, – локальное изменение компонентов будет происходить за счёт иных процессов: например, пищевых или половых).

Некоторые исследователи предлагают системы типа реакция—диффузия записывать в ещё более общем виде. Так, например, в (2006, Елькин, с. 29) «общая двухкомпонентная РД-система» предложена в следующем виде:

В формуле (2): D = { Dij }– тензор диффузии; остальные математические символы имеют тот же смысл, как указано для (1). Следует обратить внимание в формуле (2), что изменение локальной концентрации каждого компонента происходит за счёт диффузии иного компонента. Для меня остаётся несколько неясным, каким реальным процессам это может соответствовать в химическом реакторе; однако для описания популяционных взаимодействий такой вариант записи систем типа реакция—диффузия, наверное, может иметь смысл. Следует также понимать, конечно же, что формулу (2) допустимо расширить на любое количество компонентов системы и что в таком случае количество диффузионных членов будет в каждом отдельном уравнении увеличиваться до числа, равного количеству компонентов системы, в общем случае. Иными словами, по каждому из компонентов системы диффузия идёт независимо и характеризуется своим отдельным коэффициентом диффузии, – который может быть равен и нулю в отдельных случаях. Таким образом, в более общем виде, то есть для случая многокомпонентной системы типа реакция—диффузия в более широком понимании, формулу (2) следует переписать в следующем виде (3):

Следует понимать, что свойства систем типа реакция—диффузия – в любом варианте написания из представленных выше (1), (2) или (3) – в общем случае оказываются иными, чем для систем, описанных как автоволновые. Как уже сказано, чтобы система типа реакция—диффузия соответствовала свойствам автоволновых систем, должны выполняться два условия, известных эмпирически на основе исследований XX столетия: 1) для каждого компонента такой системы диффузия лишь этого компонента влияет на изменение его локальной концентрации и 2) реакционные члены должны иметь некоторый специальный вид.

В начале 1990-х годов Артуром Винфри (1991, Winfree) была предпринята попытка систематизировать встречающиеся в литературе варианты математического написания двухкомпонентных систем типа реакция—диффузия, проявляющих автоволновые свойства. В результате ему удалось выделить четыре формата (пронумерованных им от 0 до 3) написания таких систем в их наиболее обобщённом виде; им также была предложена замена переменных для перехода из одного такого формата в другой. В (2019a, Москаленко и соавторы, с. 15) систематизация Винфри была дополнена пятым форматом (или форматом 4, при обозначении его в соответствии с порядком, введённым Винфри), который является более традиционным для советской научной школы:

В формуле (4): функции f(u, v) и g(u, v) представляют реакционную часть системы, а D∆u и δD∆u представляют диффузионную часть системы (где ∆ – оператор Лапласа и D – коэффициент диффузии). Переменными состояния u и v представлены обобщённые быстрые и медленные процессы соответственно; очевидно, что u и v в (4) соответствуют компонентам вектора функций из (1), описывающих динамику переменных состояния системы. Переменная u соответствует в (4) обобщённому активатору и переменная v – обобщённому восстановителю вне зависимости от материальной природы системы. Как отмечено в (1991, Winfree), в обычных приложениях активатор может соответствовать электрическому потенциалу, либо же концентрации, либо температуре; и восстановитель (ингибитор) может быть использован для учёта меры открытости ионных каналов клеточных мембран либо некоторой локальной химической концентрации, диффундирующей со скоростью δD. Очевидно, что δD в (4) соответствуют D₂₂ из (2). Обычно δ = 0 для задач электрофизиологических (случай «одиночной диффузии»). В случаях, когда D = 0, система типа реакция—диффузия превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и описывает динамику отдельного элемента среды; в таком виде её называют точечной системой. При ненулевой диффузии, то есть при сохранении частных производных по пространству, система называется распределённой. Отношение скорости восстановления к скорости возбуждения задаётся при помощи параметра ε (как правило, малого: ε << 1); этот параметр тесно связан с широко используемым в электрофизиологии показателем скорости распространения волны возбуждения, максимальной скоростью деполяризации в уединённом фронте импульса. Согласно (1991, Winfree, с. 306) этот параметр часто в литературе обозначают обобщённо как возбудимость; однако в советских источниках его принято называть релаксационностью среды (1981, «Автоволновые процессы…»; 1986, Кринский и соавторы). Параметр ε – в математике принято обозначать как «малый параметр» и он тесно связан с исследованием релаксационных, или «быстро-медленных», систем дифференциальных уравнений; об истории появления этого термина и особенностях его использования смотрите, например в (2019a, Москаленко и соавторы); там же представлен анализ различий между колебаниями релаксационными и колебаниями разрывными.

Активные среды характеризуются не только наличием связи между отдельными точками среды, её элементами: наличием потоков вещества и/или энергии, например диффузии или теплопроводности – диффузионный член в (1). Важной их особенностью является достаточно сложное нелинейное поведение каждого отдельного элемента, описываемое как раз нелинейным свободным членом в системах математических уравнений – реакционным членом формулы (1). Исторически сложилось так, что в первую очередь были изучены так называемые активные среды с восстановлением; их рассмотрим более детально в следующем разделе.

Однако перед тем представляется полезным уточнить, отчего форма реакционной части систем, описывающих активные среды, столь существенна. Дело в том, что именно их форма описывает положение и особенности стационарных состояний исследуемой системы. Вспомним, что стационарными состояниями называют те состояния динамической системы, к которым такая система самопроизвольно устремляется из начальных условий, в которых она оказалась по тем или иным причинам; различают стационарные состояния устойчивые и неустойчивые. То есть именно они-то и задают «целеустремлённость» системы. О важности изучения стационарных состояний динамической системы речь уже шла в разделе 1.7 первого выпуска ОЗК.

Нахожу полезным напомнить, что исследование динамических систем сводится в общем случае к четырём этапам: 1) нахождение стационарных состояний системы на её фазовом портрете; 2) выявление точек бифуркации, а также положения бифуркационной границы на её параметрическом портрете; 3) нахождение вариантов переходных процессов; 4) выявление особых случаев, представляющих тот или иной научный и практический интерес. Поиск стационарных состояний динамической системы является, как видим, первоочередной задачей её исследования. В (2019b, Москаленко и соавторы) проведён ретроспективный анализ литературы, посвящённой исследованию динамических систем, в ходе которого было выявлено три типа устойчивости динамических систем, в том или ином виде упоминаемых в научных публикациях; в (2023, Moskalenko, Makhortykh) он кратко повторен для иностранных коллег. Для удобства читателя, ниже приведены некоторые базовые понятия и положения теории динамических систем, чтобы прояснить важность и теоретическую обоснованность каждого из четырёх этапов исследование динамических систем.

Функции, описывающие реакционную часть систем активных сред, столь важны оттого, что они соответствуют так называемым нуль-изоклинам, то есть множеству точек фазового портрета системы, которые соответствуют стационарным значениям той или иной переменной состояния системы («химической компоненты» в терминах «реакция—диффузия»); места пересечения нуль-изоклин соответствуют совпадению стационарного состояния нескольких переменных состояния, а точки пересечения нуль-изоклин всех переменных состояния соответствуют общим стационарным состояниями. Полезно помнить также, что в теории динамических систем выделяют локальные стационарные состояния и глобальное стационарное состояние; каждое из них может быть либо устойчивым, либо неустойчивым. (Выделяют ещё полуустойчивые стационары, однако их обсуждение уже находится слишком далеко от темы этого обзора.)

Происходящие в динамической системе процессы принято, в рамках качественной теории дифференциальных уравнений, рассматривать в так называемом фазовом пространстве, – которое позволяет следить за последовательностью смены системой фаз её состояний без учёта привязки ко времени. Такие последовательности смены состояний называются фазовыми траекториями. Согласно (1981, Андронов и соавторы), фазовое пространство динамической системы – это эвклидово пространство с размерностью, в два раза превышающей число переменных состояния (поскольку отслеживаются в этом пространстве одновременно и переменные состоянии и их скорости). Фазовый портрет системы – разбиение фазового пространства на семейства фазовых траекторий; с его помощью изучают качественное поведение системы. Некоторые варианты фазового пространства базовой модели классических автоволн были представлены в первом выпуске ОЗК при обсуждении некоторых мифов.

Бифуркация динамической системы – это такие изменения в структуре динамической системы, которые приводят к соответствующим изменениям топологической структуры её фазового портрета. То есть такие изменения, связанные с заданием новых значений параметрам, приводят к появлению или исчезновению стационарных состояний, существующих лишь в некотором диапазоне значений параметров системы.

Академик А. А. Андронов, заложивший основы теории динамических систем, считал (1981, Андронов и соавторы, с. 217), что «точками бифуркации являются негрубые системы и только они»; и в то же время для систем с несколькими параметрами принято говорить о бифуркационной точке как о таком сочетании значений координат параметрического пространства, которое соответствует точке бифуркации (или ещё говорят: «имеет бифуркационное значение»). Таким образом, бифуркационная точка и точка бифуркации принадлежат к разным типам объектов, и это следует учитывать при изложении результатов в научных изданиях (хотя эти понятия и близки по смыслу, что создаёт соблазн их воспринимать в качестве синонимов).

Переходный процесс определяется как участок фазовой траектории протяжённостью от некоторых начальных условий до стационарного режима.

Диаграмма, с помощью которой иллюстрируют зависимость поведения системы от её параметров (её стационарные состояния, её бифуркационные точки, а также варианты переходных процессов), называют параметрическим портретом системы или бифуркационной диаграммой. Можно сказать и так: параметрический портрет динамической системы – это результат разбиения пространства параметров на области её различного поведения, соответствующие топологически разным её фазовым портретам; подробнее смотрите в (2019b, Москаленко и соавторы; 2023, Moskalenko, Makhortykh).

Принято различать три типа устойчивости (неустойчивости) динамических систем: 1) устойчивость стационарного режима относительно малых изменений начальных условий (устойчивость по Ляпунову; а также её варианты); 2) устойчивость стационарных режимов на фазовом портрете системы относительно малых изменений значений коэффициентов (представляется оправданным её обозначать как «бифуркационная устойчивость»); 3) устойчивость стационарных режимов на фазовом портрете системы относительно изменения количества степеней свободы системы (представляется оправданным её обозначать как «сингулярная устойчивость»).

Бифуркационная устойчивость динамической системы – это свойство системы сохранять топологическую эквивалентность её фазовых портретов при изменении значений коэффициентов системы уравнений без появления в системе новых степеней свободы.

Сингулярная устойчивость динамической системы – это свойство системы сохранять топологическую эквивалентность её фазовых портретов при появлении в системе новых степеней свободы.

Этим трём типам устойчивости системы соответствуют три типа «малых изменений» (по Андронову) системы: 1) изменение начальных условий; 2) изменение значений параметров системы (которым в уравнениях соответствуют коэффициенты) при сохранности количества степеней свободы системы; 3) изменение уровня сложности системы путём изменения количества её степеней свободы. А в кибернетике такому делению соответствуют представления о трёх видах воздействия на систему: 1) силовое воздействие; 2) управленческое воздействие 3) воздействие на уровень сложности системы.

Важным элементом параметрического портрета является бифуркационная граница. Было сформулировано (2019b, Москаленко и соавторы) следующее определение.

Бифуркационная граница динамической системы – это поверхность параметрического пространства этой системы, такая, что найдётся малая окрестность этой поверхности, в которой любым двум точкам по разные стороны от этой поверхности (сколь угодно близким к этой поверхности) соответствуют два топологически неэквивалентных фазовых портрета этой системы (в её фазовом пространстве).

Обсуждение некоторых особенных бифуркационных явлений, наблюдаемых иногда вблизи бифуркационной границы, можно найти в разделе 2.3 этого выпуска ОЗК.

Вопросы медицинской диагностики так или иначе сводятся к выяснению особенностей этих трёх видов устойчивости динамической системы, в каком-то смысле эквивалентной обследуемому пациенту. То есть это вопросы идентификации системы и идентификации её параметров, решение которых необходимо для последующего верного выбора способов лечения. Ранее с использованием представлений о пациенте, как о динамической системе, было проиллюстрировано в разделе 5.2 первого выпуска ОЗК, почему одни и те же лечебные воздействия могут приводить к противоположным результатам.

2.2. Концептуальная модель активной среды с восстановлением

В первом разделе уже упомянуто, что в 1952 году А. Л. Ходжкиным и А. Ф. Хаксли была предложена математическая система дифференциальных уравнений, которая описывает процесс возбуждения мембраны аксона гигантского кальмара в терминах ионной проводимости мембранных каналов. Позже появилось ещё некоторое количество аналогичных моделей для иных возбудимых тканей биологических существ.

В (1973, Кринский, Кокоз) было показано, что любая известная к тому времени система математических дифференциальных уравнений, описывающих процесс возбуждения биологических тканей (включая и упомянутые в разделе 1), после проведения стандартной математической процедуры упрощения этой системы сводится всего лишь к двум уравнениям, с приемлемой точностью дающим качественное описание реального объекта, для которого была составлена «точная», то есть более детальная, система из многих уравнений. В результате длительных исследований было выяснено, что такого рода системы являются весьма важной разновидностью активных сред с автоволновыми свойствами, и за ними было закреплено название «активные среды с восстановлением»; предложное определение в данном случае указывает, что после прохождения по среде процесса возбуждения такая среда через некоторое время способна снова восстановить свою готовность к новому возбуждению. Как пример среды без восстановления можно вспомнить горящий лист бумаги. В 1981, «Автоволновые процессы…») было признано, что базовой моделью активных сред с восстановлением следует считать систему двух уравнений; общий вид такой системы соответствует формуле (4) или легко может быть переписан в иной выделенный Артуром Винфри формат; однако реакционная часть таких систем должна удовлетворять некоторым общим требованиям. Что это за требования, рассматривается более детально в этом разделе.

Автоволновые системы, которые были изучены во второй половине XX века, для быстрой компоненты имеют нуль-изоклины характерного вида, который Артур Винфри (1991, Winfree) обозначил как Z-образный (ориг.: Z-shaped nullcline), и это означает, что функция f(u, v)=0 должна выглядеть примерно как буква Z (или как буква N, поскольку пространственная ориентация не важна в данном случае). Было описано и изучено некоторое количество таких систем. Для удобства дальнейшего изложения именно такие системы будем называть классическими системами автоволновых процессов, или же системами автоволновых процессов Z-типа; их следует считать наиболее изученной разновидностью «активные среды с восстановлением».

Безусловно весьма важным этапом исследования таких систем стала предложенная ФитцХью (1961, FitzHugh) модификация классического уравнения ван дер Поля, для которой её автором было предложено название «модель Бонхёффера—ван дер Поля» и которая теперь обычно обозначается в литературе как «модель ФитцХью—Нагумо»; об этой исторически сложившейся путанице смотрите подробнее в (2019a, Москаленко и соавторы; 2024, Москаленко, Махортых). Модель Бонхёффера—ван дер Поля (БВП) следует также признать и наиболее известной из автоволновых систем Z-типа. Из представления, предложенного в (1961, FitzHugh), запишем модель БВП в формате 0, по Винфри (но до совершённой Винфри замены переменных), поскольку в таком виде её удобнее сравнивать с моделью Алиева—Панфилова, обсуждаемой ниже (здесь намеренно для наглядности функции f(u, v) и g(u, v) выписаны отдельно):

В формуле (5): время и пространственные координаты измеряются в условных единицах времени и пространства: time units (t.u.) и space units (s.u.) соответственно; D – коэффициент диффузии, выраженный в единицах s.u.²/t.u. Смысл переменных для биологических мембран клеток возбудимых тканей: u – трансмембранный потенциал, и v – проводимость медленной компоненты мембранного тока (обеспечивает обобщённый учёт меры открытости ионных каналов клеточных мембран и соответствует процессам восстановления). Как видно, функция f(u, v)=0 в случае модели БВП является кубической параболой, соответствуя системам Z-типа.

Модель Бонхёффера—ван дер Поля (1961, FitzHugh) можно считать концептуальной моделью классических автоволновых процессов (систем Z-типа) точно так же, как модель ван дер Поля (1926, Van der Pol) считается (2012, Ginoux, Letellier) концептуальной моделью предельного цикла. Более детальное обсуждение можно найти в недавно опубликованных обзорах (2019a, Москаленко и соавторы; 2024, Москаленко, Махортых). Как уже отмечено в начале этого раздела, хотя для точного описания конкретной активной среды может потребоваться намного большее число уравнений (так, например, современная модель миокарда человека состоит более чем из двадцати уравнений), наиболее важные, базовые, свойства автоволновых процессов достаточно хорошо описываются уже в рамках этой концептуальной (базовой) модели активных сред с восстановлением. Как раз с использованием модели БВП были получены некоторые наиболее общие сведения об автоволновом поведении миокарда.

Представленная в (2024, Москаленко, Махортых) таблица 1 упрощает сравнение обсуждаемых в этом разделе трёх моделей и для удобства читателя воспроизведена здесь; смысл переменных u и v в таблице 1 такой же, как описан для системы (4); a, b, c и ε =1 / c – параметры соответствующей системы; точки над буквами указывают порядок производной по времени:

Как уже упомянуто в разделе 2.1, в научной литературе можно обнаружить пять форматов записи системы (4), это же справедливым можно считать и в отношении каждой модели, представленной в таблице 1.

Итак, сказанное в разделе 2.1 следует дополнить следующим замечанием: автоволновые системы с восстановлением, или классические системы автоволновых процессов, составляют подмножество систем типа реакция—диффузия с некоторыми специальными требованиями к их реакционным членам: для быстрой компоненты нуль-изоклины должны быть Z-образными. Такой более узкий класс систем представляет особый научный и практический интерес, поскольку с их помощью достаточно хорошо описываются многие биологические процессы (например, свойства возбудимых биологических тканей).

В самом деле, для получения активной среды с нелинейными пространственными волнами и для получения пейсмейкерной активности достаточно использовать модель ван дер Поля, поскольку эта модель имеет решение в виде предельного цикла, обеспечивающего «автоматизм» процесса возбуждения в модельной клетке проводниковой системы сердца. Однако обеспечить так называемый «режим ожидания», характерный для клеток рабочего миокарда, модель ван дер Поля неспособна; небольшое усложнение, которое приводит к модели БВП, добавляет модели кардиомиоцита такие свойства, которые обеспечивают надлежащее поведение.

Следует обратить внимание, что здесь обсуждается лишь влияние реакционной части автоволновых систем Z-типа; отсутствие диффузионной части в  таблице 1 обусловлено тоже этим обстоятельством. Влияние диффузии на поведение автоволновой системы рассматриваются в разделах 3 и 4 этого выпуска ОЗК. Чтобы более наглядно представить математические различия между этими двумя концептуальными моделями, полезно рассмотреть схематический фазовый портрет автоволновой системы Z-типа, изображённый на рисунке 1.

Прежде всего полезным нахожу дать по рисунку 1 несколько общих пояснений. Ранее этот рисунок уже публиковался в (2009, Елькин, Москаленко; 2014, Moskalenko; 2021, Москаленко), однако ограничения на объём текста, дозволенный редакциями каждому из авторов глав, препятствовал размещению более детальных пояснений этого рисунка, – едва ли полезных для представителей физико-математических наук, однако, как мне кажется, необходимых для представителей нематематических специальностей.

Во-первых, следует понимать, что розовым цветом указаны те сочетания значений переменных состояния u и v, при которых скорость изменения переменной u (иными словами производная по времени этой переменной, ut) остаётся больше нуля. То есть вектор этой скорости направлен вправо, тем самым обеспечивая движение системы (и движение ей соответствующей изображающей точки на фазовом портрете) в сторону увеличения значения u. Так происходит, пока система не достигнет состояния, соответствующего какой-либо точке на кривой f(u, v), то есть пока скорость изменения переменной u не станет нулевой. Этому движению на рисунке 1 соответствует линия AB, стрелка на которой указывает направление движения системы (её изображающей точки на фазовой плоскости). Аналогично, голубым цветом указаны те сочетания значений переменных состояния u и v, при которых ut остаётся меньше нуля; линия CD соответствует движению системы в противоположном направлении, в сторону уменьшения значения u. На практике знак ut проверяется путём прямой подстановки соответствующих значений u и v в уравнение f(u, v).

Во-вторых, понимать следует, что относительно кривой g(u, v) ситуация существует аналогичная, хотя это и не отражено на рисунке во избежание излишнего загромождения этой схематической иллюстрации. При всех сочетаниях значений переменных состояния u и v, расположенные выше кривой g(u, v), скорость изменения переменной v, то есть производная vt, остаётся меньше нуля; и при всех сочетаниях значений u и v, расположенных ниже кривой g(u, v), производная vt, – больше нуля. Это обстоятельство привносит некоторые изменения в фазовый портрет, не отражённые рисунке 1. А именно: линии AB и CD при учёте vt должны стать несколько скруглёнными; соответственно слегка изменится и форма волн, показанных в правой колонке рисунка 1. Эти поправки не принципиальны, однако их следует понимать. Грубая схема, изображённая на рисунке 1 – с прямыми перескоками с одной ветви на другую кривой f(u, v), – более соответствует автоволновой системе, реакционная часть которой представлена системой ван дер Поля, в которой влияние переменной v на поведение системы менее выражено; однако у такой системы останется возможным лишь поведение, показанное в нижнем ряду рисунка 1.

Третьим существенным обстоятельством, на которое следует обратить внимание, – это то, что на рисунке 1 нуль-изоклине g(u, v) соответствует изогнутая линия, кривая, в то время как из формулы (5) явствует, что g(u, v) должна выглядеть прямой. Такая вольность на рисунке 1 допущена умышленно, поскольку рисунок схематический, представляющий автоволновые системы Z-типа вообще и не соответствующий потому конкретной формуле (5). Такая вольность нацелена на то, чтобы читателю проще было осознать, что g(u, v) может быть представлена достаточно разнообразными функциями и может быть даже выглядеть, например, как окружность достаточно большого радиуса. До тех пор, пока локальная ситуация в интересующей области фазового портрета выглядит так, как изображено на схеме, соответствующая система будет вести себя как автоволновая система Z-типа если она остаётся в соответствующих пределах значений переменных состояния.

По объективным признакам принято различать три простейших типа элементов активной среды, возможных в автоволновой системы Z-типа (2006, Елькин): бистабильный, возбудимый и автоколебательный, – которым соответствуют типы составленных из этих элементов активных сред. Рассмотрим каждый из этих типов подробнее.

Возбудимый элемент (рис. 1.А) имеет только одно устойчивое стационарное состояние (состояние покоя – точка O, являющаяся пересечением нуль-изоклин). Внешнее воздействие, превышающее пороговый уровень (то есть большее, чем отрезок ОА), выводит элемент из устойчивого состояния и заставляет его совершить некоторую эволюцию (на фазовом портрете показано оранжевой линией), прежде чем он вновь вернётся в это состояние. Возбуждённый элемент может повлиять на связанные с ним элементы и в свою очередь вывести их из стационарного состояния. В результате по такой среде распространяется автоволна возбуждения. Из возбудимых элементов состоят возбудимые среды, подобные рабочему миокарду; по ним бегут волны возбуждения (1996, Gray). Автоволнами возбуждения являются и импульсы в нервной ткани (1983, Gorelova). Большее количество вариантов перехода возбудимого элемента из состояния ожидания в состояния возбуждения можно найти в разделе 1.3 первого выпуска ОЗК.

Бистабильный элемент (рис. 1.Б) обладает двумя устойчивыми стационарными состояниями (точки O₁ и O₂, в то время как точка O в данном случае всегда неустойчива), переходы между которыми происходят при внешнем воздействии, превышающем некоторый порог (аналогично тому, как это происходит и в возбудимом элементе). В таких средах возникают волны переключения из одного состояния в другое; отсюда и ещё одно название такого типа автоволновых элементов и режимов – триггерный. Классическим примером автоволны переключения, – пожалуй, самого простого автоволнового явления, – является падающее домино. Другим простейшим примером бистабильной среды является горящая бумага: по ней в виде пламени распространяется волна переключения бумаги из нормального состояния в её золу (1980, Зельдович и соавторы).

Автоколебательный элемент (рис. 1.В) не имеет устойчивых состояний (точка O в данном случае всегда неустойчива), и поэтому постоянно совершает колебания определённой формы, амплитуды и частоты. Внешнее воздействие способно возмутить эти колебания, однако по прошествии некоторого времени (времени релаксации), все характеристики этих колебаний, кроме их фазы, вернутся к своему устойчивому значению, но фаза может измениться. В итоге, в таких средах могут распространяться фазовые волны, как это происходит, например, в электрогирлянде (2006, Елькин; 2007, Лоскутов, Михайлов). Примером автоколебательной среды является синусовый узел сердца, в котором импульсы возбуждения возникают спонтанно.

Структура, которая возникает в фазовом пространстве автоколебательной системы, получила название «предельный цикл». Напомним, что такие структуры были впервые описаны знаменитым французским математиком Анри Пуанкаре, а несколько позже связь между предельным циклом и автоколебаниями была доказана знаменитым советским физиком и математиком академиком А. А. Андроновым; смотрите об этом подробнее в историческом обзоре (2019a, Москаленко и соавторы). Классический предельный цикл, согласно данному ему определению, обеспечивает существование строго периодических колебаний. Тем не менее, принципиально ситуация останется такой же и при наличии в фазовом пространстве структур, подобных классическому предельному циклу, но не обеспечивающих строгую периодичность фазовых движений системы;.

Автоколебания, близкие к периодическим, но не являющиеся строго периодическими, для систем биологических как раз более свойственны, и исследования таких более сложных систем приходится признавать ещё далеко не завершёнными. Обеспечиваться такая вариабельность ритма (автоколебаний; в интересующей нас предметной области это ритм автоколебаний САУ) может как непрерывными изменениями параметров системы (и им соответствующих коэффициентов модели) – то есть под управляющими и регуляторными воздействиями (например, со стороны гуморальной или вегетативной нервной систем), так и непосредственным изменением самих переменных состояния под силовым воздействием внешних событий. Более детальное рассмотрение различий управления и регуляции сердечной деятельности можно найти в разделе 5.1.

Таким образом, из фазового портрета базовой системы уравнений, описывающей автоволновую среду с восстановлением, хорошо видно, что существенное различие между тремя типами поведения среды вызвано количеством и положением особых точек системы. Форма же автоволн, наблюдаемых в реальности (например, на экране осциллографа или на ленте кардиографа), может быть весьма схожей у разных типов элементов активной среды, и по форме импульса возбуждения определить тип элемента может оказаться затруднительно.

Представляется полезным уточнить само понятие «возбуждение» в данном контексте. Оно было биофизиками заимствовано из физиологической науки по простой цепочке ассоциаций: если модель Ходжкина—Хаксли описывает возбудимые ткани живого организма, то её упрощение до двух уравнений обобщённо описывает некие абстракные возбудимые среды. В общем случае под «возбуждением» активных сред следует понимать обратимый переход элементов такой среды из некоторого устойчивого стационарного состояния в некоторое иное состояние, достаточно длительное. В случае автоволновых систем Z-типа возбуждение состоит в переходе системы с ветви нуль-изоклины, содержащей точку устойчивого стационарного состояния, на другую ветвь этой же нуль-изоклины, на которой такая точка отсутствует. Эти пояснения, полагаю, делают очевидным, почему при обсуждении бистабильного типа элементов активной среды понятие «возбуждение» утрачивает смысл. Однако следует отметить, что точно также оно лишено смысла и для автоколебательного элемента! Представители электрофизиологии используют этот термин лишь по устоявшейся традиции, однако совершенно неуместно. Иными словами, в отношении автоколебательного элемента употребление термина «возбуждение» можно считать уместным лишь в качестве метафоры.

Полезно также отметить, что в литературе встречается выражение «возбудимые среды с восстановлением» или просто «возбудимые среды». Эти выражения можно считать полностью тождественными выражению «активные среды с восстановлением», потому как из сказанного в предыдущем абзаце должно быть очевидным, что невозможны какие-либо активные среды с восстановлением, но без возбуждения. Вместе с тем выражение «возбудимые среды» нередко употребляется в более узком смысле, а именно в качестве синонимичного обозначения автоволновых системами Z-типа: обусловлено это, вероятно, тем обстоятельством, что иных процессов возбуждения активных сред пока, похоже, ещё не описано, насколько мне известно. Остаётся надеяться, что новое поколение талантливых и амбициозных исследователей восполнит этот пробел научных знаний.

Естественным выглядит предположение возможности существования и комбинированных активных сред, то есть составленных из разных типов элементов. И такое предположение является верным. Сердце как раз и можно рассматривать как один из ярких примеров высокоорганизованной комбинированной активной среды, – о чём более детально сказано в разделе 3.3 этого выпуска ОЗК.

Полезно также понимать, что оказаться может и так, что при помощи автоволновых систем Z-типа описать возможно вовсе не все существенные свойства миокарда, и применимость этих систем для такого описания обусловлена актуальным уровнем научных знаний – прежде всего тем, что именно такие активные среды были изучены в первую очередь, как наиболее простые из всевозможных систем с частными производными. Вполне может быть выявлено в будущем, что для правдоподобного описания некоторых свойств миокарда (о которых физиологи ещё, возможно, даже и не подозревают) потребуется использование более сложных моделей активных сред, общий вид которых задан формулой (1). В разделах 2.3 и 2.4 рассмотрены некоторые примеры активных сред, не соответствующих классическим автоволновым системам.

2.3. Активные среды с бифуркационной памятью

Кроме выше описанных вариантов автоволн в активных средах возможно наблюдать множество других интересных автоволновых явлений. Например, необычные переходные процессы, которые в научной литературе обозначают как «бифуркационные феномены памяти и запаздывания» были выявлены также и в активных средах: в миокарде (2007, Елькин и соавторы; 2009, Moskalenko, Elkin) и в системе свёртывания крови (2002, Атауллаханов и соавторы; 2007, Атауллаханов и соавторы). Обсуждение таких бифуркационных явлений, наблюдаемых иногда вблизи бифуркационной границы, можно найти в разделе 4.5 первого выпуска ОЗК. Как обобщение сведений из литературных источников о «задержке потери устойчивости», «решениях-утках» и «бифуркационной памяти», были сформулированы (2019b, Москаленко и соавторы) следующих три определения.

Динамика с явлениями бифуркационной памяти – это такой переходный процесс, при котором изменения во времени координат динамической системы происходят с приближением изображающей точки к той области фазового пространства, где прежде располагалось стационарное решение этой же самой динамической системы при близких значениях бифуркационного параметра или же где прежде располагалось стационарное решение сопряжённой с ней редуцированной (базовой, «статической», «вырожденной») системы. Особенность такой динамики выражается главным образом в двух феноменах, наблюдаемых на указанном участке переходного процесса: 1) в локальном уменьшении фазовой скорости и 2) в локальном сходстве фазовой траектории с той, которая характерна для уже не существующего стационарного решения.

Бифуркационное пятно семейства динамических систем – это множество точек (область) параметрического пространства этого семейства, расположенное непосредственно вблизи бифуркационной границы, причём точкам из этого множества присуще такое свойство, что у соответствующей им динамической системы наблюдается динамика с явлениями бифуркационной памяти.

Фазовое пятно динамической системы – это множество точек (область) фазового пространства динамической системы, которой присуще такое свойство, что на участке фазовых траекторий, проходящих через точки этой области, наблюдается динамика с явлениями бифуркационной памяти.

В первой статье о бифуркационной памяти (БП) в 2D-версии автоволновой среды с восстановлением (2007, Елькин и соавторы) описана ситуация, когда автоволновой вихрь в однородной изотропной среде спонтанно из режима, похожего на автоволновой меандр, переходит в режим кругового вращения; явлению этому было дано название «автоволновой серпантин» (англ.: autowave lacet). Поскольку результаты были получены с использованием модели Алиева—Панфилова – автоволновой системы, не относящейся к автоволновым системам Z-типа, – то уместно её обсудить здесь. Отметим, что в 2D-версии модели БВП таких феноменов наблюдать не удалось, хотя такие эффекты описаны для точечной версии модели БВП. Исходно модель Алиева—Панфилова (АП) представлена в следующем виде (1996, Aliev, Panfilov):

В таком виде она соответствует формату 0, по Винфри. Как указывают авторы модели, она имеет ряд существенных отличий от модели БВП, что позволяет с её помощью якобы более точно описывать свойства сердечной ткани. Существенным её отличием от классических автоволновых моделей является зависимость малого параметра, ε, от самих переменных состояния. Для удобства сравнения с двухкомпонентными системами типа реакция—диффузия, проявляющими классические автоволновые свойства, ранее представленными формулой (4), можно модель АП (6) переписать в виде, предложенном в (2024, Москаленко, Махортых, с. 11):

Как можно легко заметить в (7), после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых (обычные математические трудовые операции, изучаемые ещё в общеобразовательной средней школе) выявляется дополнительная функция h(u, v), которая отсутствует в автоволновых моделях Z-типа. Можно предположить, что особенности двумерных автоволновых вихрей, описываемых моделью АП, обусловлены функцией h(u, v), создающей дополнительную нелинейность всей системы. В разделе 4.3 особенности 2D-версии модели АП, описаны более детально.

В представлении (7) модель АП выглядит несводимой к какому-либо из перечисленных Винфри форматов, упомянутых выше. Существенно отличаются и фазовые портреты систем (5) и (6): таким образом, модель АП характеризуется нуль-изоклинами, существенно иными, чем у автоволновых систем Z-типа, и в вычислительных экспериментах демонстрирует поведение, существенно отличающее её от автоволновых систем Z-типа. В (2010, Алиев) приведено схематическое сравнение фазовых портретов моделей БВП и АП. Отметим, что, хотя в указанной работе схематически изображён предельный цикл как возможное стационарное состояние модели АП, его существование следует поставить под сомнение, ибо в этой модели, похоже, при всех вариантах значений её параметров остаётся одна устойчивая точка в нуле – стационар, к которому притягиваются все решения. При таких особенностях фазового портрета автоколебательный режим в модели АП невозможен. По тем же причинам невозможно в ней и существование триггерного режима, свойственного для автоволновых систем Z-типа. Другие различия модели АП и автоволновых систем Z-типа заинтересованные читатели могут найти в (2024, Москаленко, Махортых).

Все перечисленные признаки указывают на недопустимость считать модель АП принадлежащей классическим автоволновым системам Z-типа. Хотя она демонстрирует основные признаки классических автоволновых процессов и потому признание её принадлежащей к автоволновым системам выглядит уместным.

В общем же приходится признать, что исследование неклассических автоволновых систем находится ныне ещё в самом своём начале. В личной беседе Рубин Ренатович Алиев, один из авторов модели АП, мне признался, что сам он бифуркационной диаграммы не строил даже для точечной версии модели АП и потому ничего определённого утверждать не берётся по поводу возможности существования автоколебательного или триггерного режимов в этой модели. Ну, а роль феноменов бифуркационной памяти и в сердечной деятельности, и в работе других систем организма и вовсе остаётся пока ещё весьма недооцененной, на мой взгляд. Углубление понимания этих вопросов требует усилий нового поколения исследователей. Поскольку такие знания могут иметь фундаментальное значение для переосмысления основных положений биологической и медицинской наук.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.