Выполнение заданий по Комбинаторике и Теории вероятностей
Практикум
Николай Петрович Морозов

© Николай Петрович Морозов, 2025

ISBN 978-5-0065-7482-3

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Основое отличие этой книги от моих предыдущих книг, посвященных Комбинаторике и Теории вероятностей, заключается в том, что в ней основное внимание уделяется рассмотрению задач прикладного характера с широким применением соответствующего теоретического материала справочного характера. Так, например, предлагается решить разными способами следующую задачу:

«Танк делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то он делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?».

Рассматриваются варианты решения таких задач, как обычными методами, так и с использованием нейросетей.

I. Решение прикладных задач

Задача 1

Задача 2

II. Справочный материал

Комбинаторика

1.Основные понятия

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий способы формирования и выбора конечных множеств объектов.

Основные понятия включают:

– Множества: Совокупности объектов, которые могут быть определены и изучены. Объекты, являющиеся элементами множества, называются «элементами».

– Перестановки: Различные упорядоченные последовательности элементов множества. Перестановки можно рассматривать как требования к расположению объектов в определенном порядке.

– Сочетания: Подмножества, формируемые из заданного множества без учета порядка. Например, выбор двух элементов из четырех без учета их расположения.

– Разбиения: Способы разделения множества на непересекающиеся подмножества.

Размещениями называются выборки из n элементов по m элементов, комбинации, содержащие m элементов из данных n, отличающиеся составом или порядком элементов. Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов обозначается Anm

Перестановками n элементов называются комбинации, состоящие из всех n элементов, отличающиеся порядком элементов. Число всех возможных размещений из n элементов обозначается Pn

Сочетаниями по m элементов из данных n элементов называются комбинации, содержащие m элементов и отличающиеся их составом.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается Cnm

2. Перестановки

Перестановки могут быть классифицированы по:

– числу перестановок: Для множества из n элементов количество перестановок равно n = n! (n факториал). Например, для 3 элементов: 3! = 6.

– различным перестановкам с пробелами: Когда в перестановке учитываются некоторые элементы (например, пробелы), используются формулы с делением на факториалы для учета повторяющихся элементов. Например, для множества из n объектов, содержащего k одинаковых элементов, число перестановок рассчитывается как n!/k!.

Задачи на подсчет числа перестановок

1. Найти количество способов расставить n книг на полке.

2. Определить, сколькими различными способами можно задать участие в соревновании.

Задачи на количество различных перестановок с пробелами

1. Рассчитать число способов размещения n объектов с k пробелами между ними.

2. Узнать количество различных упорядоченных последовательностей, в которых некоторые элементы повторяются.

3. Сочетания

Сочетания можно делить на:

– Сочетания без повторений: Определяется как количество способов выбрать k элементов из n без учета порядка.

Формула: C (n, k) = n!/k! (n-k)!.

– Сочетания с повторениями: Число способов выбрать k элементов из n с учетом повторений.

Формула: C (n+k-1, k).

Задачи на выбор подмножеств

1. Выбрать k студентов из группы с n студентами.

2.Определить, сколько различных наборов фруктов можно выбрать, если некоторые фрукты могут повторяться.

4. Принципы счёта

Комбинаторика использует несколько принципов подсчета:

– Принцип умножения: Если существует m способов выполнить одно действие и n способов выполнить другое, то общее число способов выполнить оба действия равно m x n.

– Принцип сложения: Если одно из двух действий можно выполнить двумя различными способами, то общее число способов выполнения одного из этих действий равно сумме количества способов выполнения каждого из них.

– Принцип включения-исключения: Используется для подсчета количества элементов в объединении нескольких множеств, позволяя избежать двойного счета.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.