Николай Морозов
Методы определения производных функций и нейросети.Выполнение экзаменационных заданий.

Глава 1

Данная книга является второй книгой с курсом практических занятий по математическому анализу. Точнее, по второй его части: дифференциальному исчислению, практической основой которого являются способы и методы нахождения производных функций.

1.1.Методы определения производной функции.

Разговор о производной функции и методах и способах ее нахождения начнем с предложения к нейросетям дать характеристику этим методам и способам:

Маша (ChatGPT на русском: вход в ChatGPT онлайн MashaGPT)

Существует несколько методов определения производных функций:

1. **Определение с помощью предела**:

Производная функции \( f(x) \) в точке \( x = a \) определяется как:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]

2. **Правила дифференцирования**:

– **Правило суммы**: \( (f + g)' = f' + g' \)

– **Правило разности**: \( (f – g)' = f' – g' \)

– **Произведение**: \( (fg)' = f'g + fg' \)

– **Частное**: \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g – fg'}{g^2} \)

3. **Стандартные производные**: Знание производных основных функций:

– \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

– \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)

– \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)

– \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)

– \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)

4. **Цепное правило**:

Если \( y = f(g(x)) \), то производная будет:

\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

5. **Implicit Differentiation (неявное дифференцирование)**:

Используется для нахождения производной функции, выраженной

в неявном виде.

Каждый из этих методов позволяет находить производные функций в различных ситуациях и облегчает вычисления.

ChatGPTOnline – AIChatGPT

Метод дифференциального исчисления: определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Правила дифференцирования: набор правил, которые позволяют находить производные сложных функций, используя известные производные базовых функций.

Геометрический метод: определение производной как угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Метод дифференциалов: рассмотрение производной как дифференциала функции, то есть бесконечно малого приращения функции при бесконечно малом приращении аргумента.

Производные от элементарных функций: знание производных от базовых функций, таких как константы, степенные функции, тригонометрические и логарифмические функции.

Таблицы производных: специальные таблицы, содержащие производные от известных функций, которые можно использовать для быстрого нахождения производных функций.

Метод конечных разностей: численный метод нахождения производной путем вычисления приращения функции в двух близких точках и деления его на приращение аргумента.

GPTutor

Определение производных функций является важным аспектом математического анализа и имеет широкое применение в различных научных и инженерных дисциплинах. Вот основные методы определения производных функций:

Аналитический метод (первые принципы):

Этот метод основан на определении предела отношения изменения функции к изменению её аргумента при стремлении последнего к нулю.

Пусть ( f(x) ) – функция, тогда производная ( f'(x) ) определяется как:

[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}]

Этот метод требует знания основных пределов и правил работы с ними.

Геометрический метод:

Производная функции в точке также может быть определена как угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.

Например, если ( y = f(x) ), то производная ( f'(x) ) в точке ( x ) – это тангенс угла наклона касательной к графику функции ( y = f(x) ) в этой точке.

Дифференциальный метод:

Вводится понятие дифференциала функции ( dy ), который определяется как ( dy = f'(x) \cdot dx ), где ( dx ) – малое приращение аргумента функции.

Дифференциал используется для приближенного вычисления изменения функции в окрестности заданной точки.

Численные методы:

В случае, когда функция задана таблицей значений или с помощью компьютерной программы, производные могут быть численно вычислены с использованием различных методов аппроксимации, таких как конечные разности.

Каждый из этих методов имеет свои преимущества в зависимости от контекста задачи и доступных ресурсов для вычислений. В современной математике и приложениях используются все эти подходы для определения производных функций и дальнейшего анализа их свойств.

Данные неросети правильно определили круг способов, методов и подходов для определения производных функций.

Мне только остается к зтому добавить еще и хорошее знание всего арсенала справочных средств и материалов по математическому анализу и вычислению производных.

Основные справочные материалы по математическому анализу и вычислению производных приведены ниже.

1.2.Замечательные пределы.

Что думают по этому поводу наши нейросети7

МАША

В теории пределов существует несколько замечательных пределов, которые широко используются в математике, особенно в анализе. Вот некоторые из них:

Предел при стремлении к бесконечности: [ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 ] Этот предел показывает, что при увеличении (x) значение функции ( \frac{1}{x} ) стремится к нулю.

Предел синуса: [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 ] Один из самых важных пределов, который используется в анализе и дифференцировании.

Предел экспоненты: [ \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 ] Это значение связано с производной функции экспоненты в нуле.

Пределы последовательностей: [ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e ] Предел, который определяет основание натурального логарифма (e).

Лемма об известном пределе: [ \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 ] Также важен для понимания поведения экспоненциальной функции.

Эти пределы образуют основу для более сложных концепций в математическом анализе и применяются в различных областях науки и техники.

GPTutor

В теории пределов существует несколько замечательных пределов, которые часто используются для упрощения вычислений и анализа функций. Вот некоторые из них:

1.Предел суммы:

Lim𝑛→∞∑𝑘=1𝑛1𝑘𝑝=𝜁(𝑝),

где (\zeta(p)) – функция Римана, для (p > 1).

2.Предел геометрической прогрессии:

lim𝑛→∞(1+𝑥𝑛)𝑛=𝑒𝑥,

где (e) – основание натурального логарифма.

3.Предел функции к самой себе:

lim𝑥→0sin𝑥𝑥=1.

4.Предел экспоненты в комплексной плоскости:

lim𝑥→0(1+𝑖𝑥𝑛)𝑛=𝑒𝑖𝑥.

Эти пределы играют ключевую роль в анализе и математических приложениях, обеспечивая базовую основу для понимания поведения функций и последовательностей.

Такое название получили следующие 5 пределов:

1) замечательный тригонометрический (первый замечательный) предел;

2) замечательный показательно-степенной (второй замечательный) предел;

3) замечательный логарифмический предел;

4) замечательный показательный предел;

5) замечательный степенной предел.

ChatGPTOnline – AIChatGPT

В теории пределов математики существует несколько замечательных пределов, которые часто используются для упрощения вычислений и анализа функций. Вот некоторые из них:

1.      Предел постоянной функции:

lim𝑥→𝑎𝑐=𝑐

где ( c ) – константа, а ( a ) – точка, к которой стремится переменная ( x ).

2.      Предел линейной функции:

lim𝑥→𝑎(𝑚𝑥+𝑏)=𝑚𝑎+𝑏

где ( m ) и ( b ) – коэффициенты линейной функции.

3.      Предел степенной функции:

lim𝑥→𝑎𝑥𝑛=𝑎𝑛

для любого целого ( n \geq 0 ).

4.      Предел рациональной функции:

lim𝑥→𝑎𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)=𝑃(𝑎)𝑄(𝑎)

при условии, что знаменатель ( Q(a) \neq 0 ).

5.      Предел экспоненциальной функции:

lim𝑥→𝑎𝑒𝑥=𝑒𝑎

6.      Предел логарифмической функции:

для lim𝑥→𝑎ln⁡(𝑥)=ln⁡(𝑎),для 𝑎>0

7.      Предел синуса и косинуса:

lim𝑥→0sin⁡(𝑥)𝑥=1lim𝑥→0tan⁡(𝑥)𝑥=1lim𝑥→01−cos⁡(𝑥)𝑥2=12.

Эти замечательные пределы являются основой для более сложных вычислений и асимптотического анализа функций в математическом анализе.

В настоящем разделе в качестве замечательных пределов выбраны пять. Они были особенно популярны при решении математических задач и примеров в ходе занятий по высшей математике со студентами СПбГУКИ.

I. lim (n -> r бесконечности)(1 +1/n)^n = e, или lim (x -> r бесконечности) (1 +1/x)^x = e, или или lim (у -> 0) (1 +y)^(1/y) = e.

II. lim (x -> 0) sinx/x = 1.

III. lim (x -> 0) ln(1 +x)/x = 1.

IV. lim (x -> 0) (a^x – 1)/x = lna или, при a = e, lim (x -> 0) (e^x – 1)/x =1.

V. lim (x -> 0) ((1+x)^k – 1/x)/x = k, где k – любое вещественное число.

Кроме того, в этом разделе помещен справочный материал, без которого даже стоять на пороге математического анализа просто не рекомендуется.

1.3.Справочный материал.

Алгебра.

1. Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:

(a + b)^2 = a^2 +2ab +b^2

(a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2

(a + b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b +3ab^2 – b^3

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab +b^2)

a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 – ab +b^2)

ax^2 + bx + c =a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax^2 + bx + c.

2. Степени и корни.

Для любых натуральных p и q;

(a^p)*(a^q) = a^(p+q); a^p/a^q = a^(p – q) a =/ 0;

(a^p)^q = a^(pq); a^p/b^p = (a/b)^p b =/ 0;

(a^p)*(a^p) = (ab)^p; a^0 = 1 a =/ 0;

a^(– p) = 1/a^p a =/ 0; a^(1/p) = корень степени р от a;

(a^p)^(1/q) = a^(p/q); [a^(1/q)]^(1/p) = a^(1/pq);

(ab)^1/p = (a^1/p)* (b^1/p); (a/b)^1/p = (a^1/p)/(b^1/p) b =/ 0.

3. Квадратные уравнения.

ax^2 + bx + c, a =/ 0, где x1 и x2 – корни этого уравнения, могут быть определены с помощью:

x1, 2 = (– b + – D^1/2)/2a, где D = b^2- 4ac;

если D > 0, то x1=/x2;

если D = 0, то x1=x2;

если D < 0, то корней нет.

Теорема Виета:

x1+ x2 = – b/a; x1*x2 = c/a

Приведенное квадратное уравнение:

x^2 + px + q = 0

x1+ x2 = – p; x1*x2 = q

Если p =2k (p – четное), то x1, 2 = – k +– (k*2 – q)^1/2

4. Логарифмы.

Если log a от (x) =b, то a^b = x (a>0, a =/ 1,x>0);

a^(log a от (x)) = x; log a от (a) = 1; log a от (1) = 0;

log a от (b) =1/ log b от (a);

log a от (x*y) = log a от (x) + log a от (y);

log a от (x/y) = log a от (x) – log a от (y);

log a от (x^k) = klog a от (x);

log a^k от (x) =(1/k) log a от (x)

Замена основания:

log a от (x) = log c от (x)/ log c от (a) , c > 0 и c=/1

5. Прогрессии.

Арифметическая

a(от n членов прогрессии) = a(n – 1) +d; 2a(n) = a(n – 1)+ a(n – 2); a(n) = a1 +d(n – 1);

Cумма n членов арифметической прогрессии:

S(n) = n/2*(a1 + an)

Геометрическая

b(n) (n – 1)*q, q=/1; b(n) = b1*q^(n – 1);

[b(n)]^2 = b(n – 1)* b(n + 1)

Cумма n членов геометрической прогрессии:

S(n) = b1*(1 – q^n)/(1 – q)

Cумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = b1/(1 – q)

6.Тригонометрия.

Основные тригонометрические тождества:

(sin B)^2 + (cos B)^2 = 1

tg B = sin B/ cos B; ctg B = cos B/ sin B;

sec B =1/ cos B; cosec B =1/ sin B;

tg B*ctg B = 1; 1 + (tg B)^2 = 1/(cos B)^2;

1 + (ctg B)^2 = 1/(sin B)^2

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций:

sin(B + Z) = sinB*cosZ + sinZ*cosB

sin(B – Z) = sinB*cosZ – sinZ*cosB

cos(B + Z) = cosB*cosZ – sinZ*sinB

cos(B – Z) = cosB*cosZ + sinZ*sinB

tg(B + Z) = (tgB + tgZ)/(1 – tgB*tgZ)

tg(B – Z) = (tgB – tgZ)/(1 + tgB*tgZ)

Четность и нечетность тригонометрических функций:

sin(– B ) = – sinB; cos(– B) = cosB; tg(– B) = – tgB;

ctg(– B) = – ctgB; sec (– B) = secB; cosec(– B) = – cosecB

Формулы двойного аргумента:

sin2B = 2sinB cosB;

cos2B = (cosB)^2 – (sinB)^2 = 2(cosB)^2 – 1 =1 – 2(sinB)^2

(sinB)^2 = (1 – cos2B)/2

(cosB)^2 = (1 + cos2B)/2

tg2B = 2tgB/[1 – (tgB)^2]

Формулы половинного аргумента:

[sin(B/2)]^2 = (1 – cosB)/2; [cos(B/2)]^2 =(1 + cosB)/2;

[tg(B/2)]^2 =(1 – cosB)/(1 + cosB); [ctg(B/2)]^2 = (1 + cosB)/(1 – cosB);

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

sinB*cosZ = [sin(B +Z) + sin(B -Z)]/2;

cosB*cosZ = [cos(B +Z) + cos(B -Z)]/2;

sinB*sinZ = [cos(B – Z) – cos(B -Z)]/2;

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sinB + sinZ = 2 sin[(B +Z)/2]*cos[(B – Z)/2];

sinB – sinZ = 2 sin[(B – Z)/2]* cos[(B – Z)/2];

cosB + cosZ = 2 cos[(B +Z)/2]*cos[(B – Z)/2];

cosB – cosZ = – 2 sin[(B +Z)/2]*sin[(B – Z)/2];

tgB + tg Z = sin(B +Z)/ (cosB*cosZ);

tgB – tg Z = sin(B – Z)/ (cosB*cosZ);

ctgB + ctg Z = sin(B +Z)/ (sinB*sinZ);

ctgB – ctg Z = sin(Z – B)/ (sinB*sinZ);

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла:

sinB = 2 tg(B/2)/{1 +[tg(B/2)]^2}; cosB ={1 – [tg(B/2)]^2}/{1 +[tg(B/2)]^2};

tgB = 2 tg(B/2)/{1 – [tg(B/2)]^2}; ctgB = {1 – [tg(B/2)]^2}/2tg(B/2)

Глава 2

2.1.Основные понятия и определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

Производной данной функции y = f (x) при данном значении аргумента х0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆x, когда ∆x произвольным образом стремится к нулю.

Если такого предела не существует, то данная функция в точке х0 производной не имеет. В том случае, когда предел равен + или – бесконечности, говорят, что существует бесконечная производная.

Если функция у = f (х) имеет конечную производную в точке x₀ , то говорят, что она дифференцируема в точке x₀.

Нахождение производной такой функции называется дифференцированием.

Примеры:

Движение автомобиля, поезда, человека и т.д.

Но можно говорить и о других смыслах: например,экономическом:

Скорость падения акций на рынке ценных бумаг, изменение курса валют, падение покупательского спроса на определенные виды товаров, изменение инфляции, зарплаты и т.д.

2.2.Правила дифференцирования

Правило 1

Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их сумма также дифференцируема в точке x₀, при чем производная суммы равна сумме производных, т.е. (U + V)' = U' + V'.

Правило 2

Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их произведение также дифференцируемо в точке x₀, при чем (U x V)' = U'V + UV'.

Правило 3

Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀ и (х₀ ) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x₀, при чем (U/V)' = (U'V – UV')/V^2.

Правило 4

Если функция U дифференцируема в точке x₀ и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x₀ , при чем (C*U)' = C*U'.

Правило 5

Если f(g(х)) – сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е.

[f(g(х))]'= f'(g)*G'(x).

Опираясь на математическое определение производной, а также на ее физический и геометрический смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.

Давайте подключим к этому процессу нейросети.

Пример 1. Найти производную функции y = sinx и описать по шагам.

GPTutor

Конечно, давайте найдем производную функции ( y = \sin x ) пошагово.

Шаг 1: Запись исходной функции

У нас есть функция:

[ y = \sin x ]

Шаг 2: Применение правила дифференцирования для синуса

Известно, что производная синуса ( \sin x ) по переменной ( x ) равна косинусу этой переменной ( x ):

[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]

Это основное правило, которое используется для дифференцирования синуса.

Шаг 3: Запись производной

Используя правило из шага 2, мы получаем:

[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]

Таким образом, производная функции ( y = \sin x ) равна ( \cos x ).

Эти шаги демонстрируют процесс нахождения производной с использованием базового правила дифференцирования для синуса. Если у вас еще есть вопросы или нужно что-то еще объяснить, пожалуйста, сообщите!

А что же по этому примеру думает МАША?! (ChatGPT на русском: ChatGPT онлайн MashaGPT)

Производная функции ( y = \sin x ) равна:[ \frac{dy}{dx} = \cos x ].

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.