# Диверсификация инвестиционного портфеля. Теория Марковица-Шарпа

Евгений Миронов

Нобелевскую премию по экономике просто так не дают. В 1990 году Гарри Марковиц, Уильям Шарп и Мертон Миллер получили нобелевскую премию за разработку основ теории портфельных инвестиций. В России ежегодно увеличивается количество частных инвесторов. Но большинство из них не слышали про портфельную теорию. А если слышали, то думают, что это не для них, а для каких-то крупных компаний с большим капиталом. В книге сделана попытка познакомить читателя с основами портфельной теорией, с одной стороны, с минимальным использованием математики, а, с другой стороны, без сильного упрощения математики, чтобы у читателя не появилось ощущение, что будто бы эта теория является бесполезной игрушкой. В книге рассматриваются 9 портфельных стратегий, в том числе и относительно новая стратегия портфеля иерархического паритета риска, появившаяся в 21 веке. Показана проблема использования на практике весовых коэффициентов теоретического портфеля и рассматривается онлайновый инструмент решения этой проблемы.

## Введение

Портфельная теория Марковица и модель Шарпа являются фундаментальными концепциями в области инвестиций и управления инвестиционным портфелем. Эти теории позволяют инвесторам оптимизировать свои портфели, стремясь к максимизации доходности при определенном уровне риска. Или, наоборот, оптимизировать портфели так, чтобы при определенном уровне доходности сделать минимальный риск. Портфельная теория Марковица предлагает способы диверсификации активов для достижения индивидуального оптимального баланса между риском и доходностью.

Модель Шарпа предлагает метрику оценки эффективности портфеля, учитывая его риск. Эта модель помогает инвесторам оценить, насколько хорошо портфель компенсирует риск, и позволяет сравнивать различные портфели по их эффективности. Понимание модели Шарпа позволяет инвесторам принимать обоснованные решения о структуре своих портфелей.

Изучение портфельной теории Марковица и модели Шарпа не только помогает инвесторам принимать обоснованные решения, но и способствует пониманию основных принципов диверсификации и управления риском. Эти концепции играют ключевую роль в формировании успешной стратегии инвестирования на фондовой бирже и позволяют минимизировать потенциальные убытки при максимизации возможной доходности.

В первой части книги рассматриваются основы теории Марковица, даются определения доходности и риска, и показывается нелинейный характер риска портфеля, когда активы портфеля не коррелируют друг с другом. Очень подробно всё показывается на примере самого простого портфеля, который состоит всего из двух рисковых активов. Показано, как результаты для двух активов обобщаются на портфель с 3 активами и N активами.

Во второй части дается обзор классических портфелей, их сильные и слабые стороны, стратегия их диверсификации. Основы модели Шарпа рассматриваются при рассмотрении темы комбинированных портфелей, которые состоят из рисковых и безрисковых активов.

Третья часть книги посвящена проблеме формирования такого реального инвестиционного портфеля, долевые коэффициенты активов которого максимально приближаются к долевым коэффициентам теоретического портфеля. Решение такой проблемы очень актуально для инвесторов с небольшим капиталом, когда на практике невозможно в точности повторить долевые коэффициенты, вычисленные в теории.

В четвертой части книги дается краткий обзор онлайнового калькулятора Дивайдер, который производит все необходимые математические вычисления для формирования и анализа инвестиционного портфеля из рисковых активов Московской фондовой биржи.

В приложении дается базовый математический аппарат. Математика теории Марковица выходит за рамки школьного курса математики. Автор постарался вести изложение материала так, чтобы использовать как можно меньше математики. Например, автор нигде не мучает читателя выводом формул. Главной целью книги является формирование у читателя правильной интуиции по теории Марковица и модели Шарпа.

Книга, в первую очередь, предназначена для биржевых инвесторов, которые инвестируют с горизонтом от 5–10 лет и более. Поэтому в книге не описывается более общая теория, которая, например, рассматривает короткие позиции на продажу и использование заемного капитала в виде кредитного плеча. То есть в книге не рассматривается тема активной биржевой торговли и всё, что связано с ней.

### Уведомление о рисках

Инвестиции связаны с различными рыночными, экономическими, политическими, и другими рисками. Инвестиции не всегда приносят доход. Поэтому надо полностью осознавать, что инвестирование в финансовые активы требует обширных знаний и значительного опыта. А также инвестору необходимо понимание природы и сложности финансовых инструментов, способности определять объем инвестирования и оценивать связанные с этим риски.

Читатель должен понимать, что инвестированием занимаются только на свои личные свободные средства, которые не обременены кредитами и обязательными расходами на содержание самого себя и своей семьи.

Как определить, есть ли у вас личные свободные средства? У вас есть личные свободные средства, если у вас есть такие деньги, которые вы можете, например, отдать на благотворительность или на подарок малознакомому человеку (или, как экстремальный вариант, сжечь их на костре или утопить в болоте), и от этого не пострадает ваш текущий уровень жизни и текущий уровень жизни вашей семьи. Если текущий уровень жизни от этого снизится, значит, это у вас совсем не свободные деньги.

И ни в коем случае нельзя пытаться с помощью инвестирования заработать деньги для того, чтобы расплатиться с банковскими кредитами. Если у вас есть банковские кредиты, то самым лучшим инвестированием будет ускоренное погашение этих кредитов.

### Снятие ответственности

Автор данной книги не несет никакой ответственности за неправильное понимание материала данной книги и неправильное применение этого материала на практике. Поэтому автор не принимает никаких претензий от читателей по поводу того, что они не смогли получить доход в таком размере, на который они рассчитывали, планировали, надеялись, хотели, мечтали, грезили, фантазировали или видели во сне. Также не принимаются любые претензии, связанные с тем, что читатели, вообще, не получили никакого дохода, или даже остались в убытках.

Данная книга не является индивидуальным инвестиционным предложением.

Вся информация в данной книге предоставляется с образовательной и ознакомительной целями.

Автор не может знать, на сколько правильно читатель понимает материал данной книги и как он использует эти знания на практике. Это точно также, как то, что автор никак не распоряжается жизнью и личностью читателя. Автор не распоряжается вашими деловыми качествами, этическими нормами поведения, направлениями деятельности, и всем тем, что может повлиять на вероятность получения вами доходов. Поэтому, читая данную книгу дальше, вы даете согласие на то, что все риски по неполучению доходов при использовании материала данной книги вы берете на себя.

## 1. Основы теории Марковица

### 1.1. Описание проблемы

#### 1.1.1. Опасность для инвестора

Инвесторы хотят купить какие-нибудь биржевые активы, которые приносят им доходы в течение срока владения и/или приносят доход при продаже этих активов в конце срока владения.

Цены биржевых активов меняются не монотонно. Это явление называется волатильностью. Волатильность приводит к тому, что некоторые активы у инвестора во время всего или части срока владения активом показывают отрицательную доходность.

Возникает риск того, что инвестор может купить какой-то актив и вместо ожидаемой прибыли он получит убытки.

#### 1.1.2. Идея защиты от убытков с помощью диверсификации

Иногда можно встретить утверждение, что будто бы идея теории Гарри Марковица состоит в том, чтобы, как говорится, "не класть все яйца в одну корзину", то есть распределять финансы по разным активам.

На самом деле, эта идея о распределении средств инвестора по разным «корзинам» была известна задолго до появления теории Марковица. Финансовые консультанты всегда рекомендовали вместо вложения в один актив, провести диверсификацию своих инвестиционных средств.

Диверсификация, это мера разнообразия распределение средств инвестора по разнородным активам. Например, инвесторам рекомендуется часть средств вложить в акции, другую часть в облигации, третью часть в иностранные валюты, четвертую в банковский депозит, пятую часть в недвижимость, шестую в драгоценные металлы, и т. д.

Акции, облигации, банковские депозиты, и т. п., это всё примеры разнородных активов. Но даже разные акции являются в какой-то мере разнородными активами, особенно, если они соответствуют разным отраслям экономики.

Такая диверсификация финансов по разным активам приводит к понятию инвестиционного портфеля, как совокупность инвестиционных вложений инвестора.

Однако, распределение финансов инвестора в портфеле "на глаз" по интуиции часто очень плохо защищает инвестора от убытков.

Рассмотрим очень простой пример. Допустим, инвестор разделил свои средства на 2 части и на эти части купил иностранные валюты, которые ему показались хорошо растущими относительно его национальной валюты. Допустим, это евро и британский фунт.

Здесь есть диверсификация средств, но эта диверсификация очень плохая. Дело в том, что если евро начнет падать относительно национальной валюты инвестора, то с очень большой вероятностью будет падать и британский фунт. И таким образом весь инвестиционный портфель потеряет свою первоначальную стоимость.

Может вместо британского фунта надо было вложиться в швейцарский франк? Или добавить швейцарский франк к этим двум валютам в качестве третьего актива для подстраховки?

Обе эти идеи очень плохие, так как швейцарский франк в среднем статистически ведет себя также, как евро и британский фунт. Все 3 валюты с большой вероятностью одновременно растут и с большой вероятностью одновременно падают. Если начнет падать одна из этих трех валют, то с очень большой вероятностью упадет стоимость всего инвестиционного портфеля, так как другие валюты тоже упадут.

По аналогии с яйцами и корзинами, эта ситуация соответствует такой, когда все яйца хотя и разложили по двум или трем корзинам, но все эти корзины несет в руках один человек. Если этот человек запнется и упадет, то одновременно разобьются яйца во всех его корзинах. Разложение по разным корзинам тут ничем не поможет.

Понятно, что в портфель с евро надо включить не британский фунт и не швейцарский франк, а какие-то другие валюты, которые при падении евро не стали бы падать вместе с евро. Нужен какой-то актив, поведение которого не зависит от поведения валюты евро.

Есть много других валют, которые можно попробовать сочетать в одном портфеле с евро. Но сразу же возникают 2 вопроса:

1. А какая из этих валют лучше всего будет сочетаться с евро? То есть, что в первую очередь надо добавить к евро?

2. А если добавить к евро не одну валюту, а несколько, то как они будут сочетаться уже между собой? Не получится ли, например, с долларом США и канадским долларом такая же ситуация, как с евро и британским фунтом?

Если продолжать нашу аналогию с корзинами и яйцами, то получается, что все корзины надо не просто раздать нескольким людям. Нужно, чтобы все эти люди не пошли бы одновременно одной компанией и не поскользнулись бы на одном и том же месте. Чтобы донести максимальное количество яиц, все эти люди должны идти разными дорогами в разное время в разной обуви. Тогда какая-нибудь случайность, плохо повлиявшая на одного человека, не скажется на других людях.

Так вот теория Марковица все эти качественные рассуждения переводит в строгие числа. В результате мы получаем инструмент для оценки того, на сколько хорош наш инвестиционный портфель. Мы можем сравнивать друг с другом разные инвестиционные портфели не по качественным рассуждениям, а по количественным параметрам и выбирать более лучший портфель, сравнивая между собой уже числа.

### 1.2. Суть теории Марковица

Инвестиции, это вложение капитала с целью получения прибыли. Инвестиции, это рискованное занятие, так как можно не получить прибыль или даже потерять все средства, направленные на инвестирование.

В инвестициях существуют разного рода риски. Теория Марковица, это не какая-то универсальная теория, которая рассматривает все риски, какие только бывают. В портфельной теории Марковица рассматриваются только риски, связанные с волатильностью доходности инвестиционного актива (см. ранее раздел 1.1.1.). Чем выше волатильность доходности инвестиционного актива, тем выше у него риск получения убытков. И, наоборот, чем ниже волатильность доходности актива, тем инвестиции в этот актив более надежные.

Гарри Марковиц заметил, что если купить не один, а несколько активов, то их риски, понимаемые именно, как волатильность доходности, в общем случае, складываются нелинейно. И результат общего риска зависит от взаимной корреляции доходности этих активов.

Здесь уже не обойтись без небольшого введения в математику.

#### 1.2.1. Количественные показатели

Доходностью в теории Марковица считается возврат на инвестицию:

Допустим, инвестор купил актив стоимостью Pm-1, а вернул себе (например, продал этот актив) стоимость Pm. Значит, инвестор заработал разницу Pm – Pm-1. Эту разницу надо разделить на сумму вложений, то есть на стоимость актива Pm-1, по которой он приобрел этот актив. Эта формула и выражает определение понятия доходности инвестиции (возврата на инвестицию).


Получается, что доходность, это безразмерная величина, которая выражается в виде десятичной дроби. Но часто для удобства доходности выражают в процентах. Для этого безразмерную доходность умножают на 100 % и получают процентную доходность. Например, доходность 0.2, это то же самое, что и доходность 20 %, а доходность 2.3, это доходность 230 %. В этой книге, в основном, используется безразмерная доходность.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор положил в банк 1000 рублей на 10 лет под 10 % годовых с ежегодной капитализацией дохода. На рис. 1 показано, как в течение 10 лет меняется величина его вклада по схеме сложных процентов. А на рис. 2 показано, какая была каждый год доходность банковского вклада.


Рис. 1. Рост вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме сложных процентов.


Рис. 2. Поведение годовой доходности вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме сложных процентов.


Рассмотрим случай, когда инвестор положил в банк 1000 рублей на 10 лет под 12 % годовых, но с начислением простых процентов на сумму вклада. На рис. 3 показано, как в течение 10 лет меняется величина его вклада по схеме простых процентов. А на рис. 4 показано, какая была каждый год доходность его банковского вклада.


Рис. 3. Рост вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме простых процентов.


Рис. 4. Поведение годовой доходности вложения 1000 руб. на банковском вкладе за 10 лет по схеме простых процентов.


Пусть на каком-то интервале ежедневные цены закрытия какого-то биржевого актива в торговые дни представляют собой следующий временной ряд из M+1 цен закрытия:


Представим себе ситуацию так, что инвестор каждый раз покупает этот актив по цене закрытия текущего дня, а на следующий день продает его по цене закрытия следующего дня, и тут же снова покупает этот актив по цене закрытия этого следующего дня, чтобы послезавтра снова повторить все эти операции. Если не учитывать всякие расходы на комиссии брокера, то это в точности эквивалентно тому, как если бы инвестор купил бы этот актив по цене P0 и держал бы его все эти M дней, а затем в M-й день продал бы его по цене PM. В этом можно убедиться просуммировав все доходности за каждый торговый день.

Поэтому, для анализа того, как вела себя доходность в эти M торговых дней, мы будем рассматривать временной ряд доходностей длины M для ежедневных доходностей:


Еще раз обратите внимание, хотя мы рассматриваем ежедневные доходности, это не означает, что инвестор ежедневно инвестирует и ежедневно фиксирует прибыли/убытки. Он инвестирует только в начале интервала из M дней, а прибыль/убыток фиксирует через M дней. При этом инвестор в конце интервала получает доходность равную сумме ежедневных доходностей, хотя никакой торговли ежедневно он не вел.

Понятно, что вместо дневных цен закрытия мы можем взять какой-нибудь другой временной ряд, например, временной ряд вычисленный по часовым ценам закрытия, или по недельным ценам закрытия. Но для анализа поведения биржевых активов на дистанции от одного квартала до 20 лет чаще всего используют временные ряды доходности, вычисленные именно по дневным ценам.

Недельные и месячные цены закрытия чаще используют, когда хотят проанализировать поведение активов за много десятилетий. А часовые цены закрытия чаще используют для анализа поведения активов за несколько недель или дней.

Но это не наши случаи. Данная книга предназначена для инвесторов, которые занимаются портфельными биржевыми инвестициями с горизонтом примерно 5–20 лет. Поэтому везде далее, по умолчанию, будем считать, что рассматриваются временные ряды дневных цен закрытия и соответствующие им временные ряды дневных доходностей.

Мерой рискованности вложения в актив в теории Марковица является стандартное отклонение доходности от средней доходности за период владения. То есть величина риска S, это квадратный корень из дисперсии D доходности за период владения (см. Приложение П.4):


Здесь <R>, это средняя доходность за период владения активом (см. Приложение П.2.3):


Обратите внимание, что существуют доходности в каждый конкретный день, и эти доходности могут не совпадать со средней доходностью за весь рассматриваемый интервал. В то время, как риск вычисляется только на интервале в несколько торговых дней (минимум 2 дня). Значит, риск уже сам по себе является средним на заданном интервале.

Но мы не будем здесь в формулах вместо буквы S обозначать риск в угловых скобках <S>, так как у нас нет понятия риска за один торговый день. И соответственно в данной книге не применяются обозначения, типа Sm, в качестве риска в m-й день.

Это не означает, что не существует риска Sm в пределах одного торгового дня. Но такой риск не вычисляется по дневным ценам закрытия. Его можно вычислить, например, по часовым ценам закрытия внутри торгового дня. Но, как уже было сказано выше, мы минимальной единицей времени в этой книге считаем торговый день.

Чтобы у читателя сложилась правильная интуиция по теории Марковица, посмотрим очень простые синтетические примеры. Начнем с портфеля, который содержит только 2 актива.

#### 1.2.2. Пример с двумя активами

Допустим, есть какие-то 2 актива, назовем их A и B, у которых вычислили средние доходности и риски на каком-то интервале времени.

A: Более доходный с доходностью <R>A = 0.2045, но и более рискованный с риском SA = 0.083.

B: Менее доходный с доходностью <R>B = 0.0144, но и менее рискованный с риском SB = 0.061.

На графике «Риск-Доходность» эти активы на рис. 5 изображены крупными синими точками. По горизонтальной оси графика отложены риски S, а по вертикальной оси средние доходности <R>.


Рис. 5. График "Риск-Доходность для двух активов.


Оба актива на рассматриваемом интервале времени имеют свои временные ряды ежедневных доходностей:


Здесь M, это количество торговых дней, за которые анализируется поведение этих двух активов, то есть M торговых дней, это тот интервал, за который вычислены доходности и риски активов A и B.

А портфель из этих двух активов, в свою очередь, сам тоже имеет свой ряд доходностей в эти же самые M дней:


А значит, портфель, состоящий из этих активов, имеет свою среднюю доходность и свой риск на этом же интервале M дней. И мы можем на графике «Риск-Доходность» нарисовать точку, которая соответствует этому портфелю. Положение этой точки зависит от того, как инвестор распределил свои средства по активам A и B.

Если инвестор распределил свой начальный капитал по активам A и B так, что на долю своих средств WA он купил актив A, а на долю WB купил актив B, то этой покупкой инвестор зафиксировал количество активов A и B в своем портфеле. Так как цены этих активов могут изменяться, то в портфеле могут изменяться и доли финансов инвестора между активами A и B. Но количество купленных активов и их соотношение не меняются, так как инвестор ничего не продает из портфеля и ничего не докупает в свой портфель в течение M дней.

Так как доходность, это относительная величина и она не зависит от количества купленных активов, то доходность портфеля в m-й день линейно зависит от доходностей двух активов в m-й день с коэффициентами пропорциональности равными долям начального распределения средств инвестора по активам:


Подставив, это выражение в две последние формулы предыдущего раздела, получаем:


Здесь CAA, CBB и CAB, это элементы матрицы ковариаций доходностей (см. Приложение П.5.2) активов A и B.

Как уже говорилось выше, WA, это доля финансов, которая пошла на покупку актива A, а WB, это доля средств, которая была вложена в актив B. Эти доли принято называть весовыми коэффициентами или просто весами активов.

Все эти веса могут меняться только в пределах от 0 до 1:


Это правило выполняется не только, когда в портфеле всего 2 актива, но и когда в портфеле любое количество активов. Если вес какого-то актива равен нулю, то это означает, что в рассматриваемом портфеле данный актив отсутствует.

В теории отрицательные веса соответствуют шортовым продажам. В данной книге такие ситуации не рассматривается, так как книга посвящена не трейдингу, а инвестированию.

Сумма всех весов обязательно всегда должна быть равна единице:


Последнее условие называется условием нормировки на единицу.

Если вес какого-то актива равен 1, значит, веса всех других активов должны быть равны 0. То есть портфель состоит только из одного актива, а все другие рассматриваемые активы в нет отсутствуют.

По диагоналям ковариационной матрицы С всегда стоят дисперсии активов. Стандартные отклонения (риски) активов, это, как раз, корни квадратные из дисперсий. Значит, формулу риска для портфеля с двумя активами можно переписать так:


Связь коэффициента корреляции CorrAB со взаимной ковариацией CAB следующая (см. Приложение П.5.3):


Поэтому формулу для риска портфеля из двух активов, в общем случае, можно еще переписать так:


Посмотрим, какой будет риск портфеля с этими активами в зависимости от того, как коррелируют между собой доходности этих активов.

1.2.2.1. Коэффициент корреляции Corr=1

Пусть временные ряды доходностей активов A и B очень сильно коррелируют между собой с коэффициентом корреляции CorrAB=1.0. В этом случае в формуле для риска под квадратным корнем получаем полный квадрат, и квадратный корень извлекается. И тогда общий риск портфеля с двумя сильно коррелированными активами будет:


Получается, что для сильно коррелирующих активов риск портфеля, это просто взвешенный риск его активов. На графике «Риск-Доходность» на рис. 5 в этом случае получаем портфели на черном отрезке между точками A и B. Каждая точка черного отрезка соответствует своему соотношению весовых коэффициентов WA и WB.

Например, если 50 % всех своих финансов инвестор вложит в актив A и 50 % в актив B, то получаем портфель, показанный черной точкой на черном отрезке. Эта точка лежит в середине черного отрезка. У такого портфеля с равными вложениями в 2 актива с нашими данными получились следующие средняя доходность <R> и средний риск S:


Теперь посмотрим на еще одном синтетическом примере, как это всё выглядит на временных графиках. На рис. 6. показано поведение цен двух активов с сильной корреляцией их доходностей за 43 торговых дня.


Рис. 6. Изменение цен двух активов с сильной корреляцией их доходностей за 43 торговых дня.


Эти цены меняются очень похоже друг на друга. Они одновременно растут и одновременно падают. Доходности этих активов в этом примере коррелируют друг с другом коэффициентом корреляции очень близким к единице: Corr = +0.95.

Средняя доходность первого актива на интервале 43 торговых дня <R>1=0.045, а риск S1=0.202. Средняя доходность второго актива <R>2=0.017, а риск S2=0.072.

На рис. 7 показан график доходностей этих активов. Хорошо видно, что эти доходности одновременно друг с другом становятся отрицательными и одновременно становятся положительными. Отрицательные доходности означают убытки.


Рис. 7. Изменение доходностей двух сильно коррелирующих активов за 43 торговых дня, их средние доходности и диапазоны риска.


На этом же рисунке горизонтальными штрихпунктирными линиями показаны средние за интервал доходности этих активов. Хотя средние доходности находятся выше нуля, то есть активы за все 43 дня оказались не убыточные, но в конкретные торговые дни обе доходности могут быть одновременно отрицательными.

Наконец, на рис. 7 тонкими пунктирными линиями показаны диапазоны риска активов. Диапазон риска, это отклонение доходности вверх и вниз от средней доходности на величину стандартного отклонения, то есть на величину риска. Хорошо видно, что нижние границы этих диапазонов очень сильно залезают в отрицательную область доходностей.

На рис. 8 показаны эти же самые доходности двух активов и доходность портфеля, который состоит из этих активов с весовыми коэффициентами W1 = W2 = 0.5.


Рис. 8. Доходности двух сильно коррелирующих активов и их портфеля с долями 1/2.


Какое бы соотношение долей активов мы бы не взяли, кривая доходностей портфеля всегда будет находится между кривыми доходностей этих двух активов. Кривая доходностей портфеля, как бы заперта, между кривыми доходности сильно коррелирующих активов. Она будет расположена ближе к кривой первого или второго актива в зависимости от соотношения долей этих активов в портфеле: W1 и W2.

Средняя доходность портфеля <R>12 всегда будет находиться между средними доходностями этих двух активов (<R>2 ≤ <R>12 ≤ <R>1) и риск портфеля S12 тоже будет находиться между рисками этих двух активов (S2 ≤ S12 ≤ S1). А значит, нижняя граница диапазона риска портфеля в нашем примере всегда будет находиться в отрицательной области.

1.2.2.2. Коэффициент корреляции меньше единицы и больше минус единицы

Вернемся к нашему примеру с активами A и B из начала раздела 1.2.2. Если коэффициент корреляции временных рядов доходностей двух активов будет в диапазоне от -1 до +1 (-1<CorrAB<+1), то формула доходности портфеля будет точно такая же, как и раньше:


А в формуле для риска портфеля двух активов (см. последнюю формулу раздела 1.2.2), в общем случае, квадратный корень в аналитическом виде не извлекается. Но хорошо видно, что подкоренное выражение будет уменьшаться вместе с уменьшением коэффициента корреляции CorrAB. Значит, риск портфеля из двух активов будет уменьшаться вместе с уменьшением коэффициента корреляции.

Вот это и есть главный вывод теории Марковица. Чем коэффициент корреляции доходности активов меньше, тем меньше риск портфеля. Мы здесь этот вывод увидели на примере портфеля из двух активов.

На графике «Риск-Доходность» (см. рис. 5) портфели из двух активов будут уже располагаться не на отрезке, который соединяет два актива, а на кривых линиях, которые соединяют эти активы. Эти кривые имеют выпуклость в сторону меньшего риска.

На рис. 5 показано, как меняются линии местоположения портфелей для разных долей активов A и B, и разных коэффициентов корреляции. Разные цвета кривых на рис. 5 соответствуют разным коэффициентам корреляции CorrAB. А конкретные точки на кривой фиксированного цвета соответствуют разным соотношениям весов активов WA и WB.

Цветными точками на рис. 5 показаны портфели с минимальными рисками для данного коэффициента корреляции.

Черными точками на рис. 5 показаны положения портфелей с равными весами активов WA = WB = 0.5. Доходности таких портфелей одинаковые. Но риски этих портфелей тем меньше, чем меньше коэффициент корреляции между доходностями активов.

Обратите внимание, что равные веса активов еще не гарантируют, что получится портфель с минимальным риском. Хорошо видно, что цветные точки находятся левее черных точек на соответствующих цветных кривых.

1.2.2.3. Антикорреляция Corr=-1

При самой маленькой корреляции между доходностями активов (CorrAB=-1) кривые линии портфелей переходят в 2 отрезка, лежащих на прямых линиях, как показано голубым цветом на рис. 5. Эти отрезки касаются вертикальной оси координат в одной точке.

Но все точки на вертикальной оси координат соответствуют портфелям с нулевым риском. Значит, если доходности двух активов в точности антикоррелируют друг с другом, то можно так подобрать весовые коэффициенты этих двух активов, что результирующий портфель не будет иметь никакого риска (то есть станет безрисковым активом). Найдем эти весовые коэффициенты.

Если в последнюю формулу для риска из раздела 1.2.2 подставить CorrAB=-1, то квадратный корень извлекается в аналитическом виде и получаем результат для весов в виде:


Итак, если портфель состоит только из двух активов, и доходности этих активов антикоррелируют, то получаем идеальную ситуацию: портфель становится безрисковым, если веса активов взаимно пропорциональны риску друг друга.

Снова посмотрим, как это всё выглядит на временных графиках для какого-нибудь синтетического примера. На рис. 9. показано поведение цен двух активов с сильной антикорреляцией их доходностей за 43 торговых дня.


Рис. 9. Изменение цен двух активов с сильной антикорреляцией их доходностей за 43 торговых дня


Эти цены локально меняются очень по-разному. Когда цена одного актива растет, то цена другого падает, и, наоборот. Доходности этих активов в этом примере почти антикоррелируют друг с другом, с коэффициентом корреляции очень близким к минус единице: Corr = -0.91.

Средняя доходность первого актива на интервале 43 торговых дня <R>1=0.045, а риск S1=0.206. Средняя доходность второго актива <R>2=0.020, а риск S2=0.075.

На рис. 10 показан график изменения доходностей этих активов за 43 дня. Хорошо видно, что, когда доходность первого актива становится положительной, доходность второго актива становится отрицательной, и, наоборот.

Поэтому убытки этих активов не складываются друг с другом. Когда доходность более волатильного актива сильно уходит в минус, в это время менее волатильный актив находится в плюсе по своей доходности и частично компенсирует убытки более волатильного актива. Понятно, что если долю менее волатильного актива взять побольше, а долю более волатильного поменьше, то можно так подобрать эти доли, что ухода в минус почти не будет.


Рис. 10. Изменение доходностей двух сильно антикоррелирующих активов за 43 торговых дня, их средние доходности и диапазоны риска.


На этом же рис. 10 горизонтальными штрихпунктирными линиями показаны средние за интервал 43 торговых дня доходности этих активов. А тонкими пунктирными линиями показаны диапазоны риска активов. Это отклонения доходности вверх и вниз от среднего значения на величину стандартного отклонения, то есть на величину риска. У актива с большим риском диапазон риска шире, чем у актива с меньшим риском.

На рис. 11 показаны доходности двух портфелей, составленных из этих активов. Кривая синего цвета соответствует такому портфелю, который состоит из этих активов с весовыми коэффициентами W1 = W2 = 0.5. Хорошо видно, что даже такое наивное распределение средств уже сильно уменьшает волатильность портфеля. Риск портфеля стал всего S12 = 0.070. Это меньше, чем риски и первого и второго активов.


Рис. 11. Доходности портфеля с активами, у которых доходности сильно антикоррелируют.


Но наивная диверсификация в данном примере не является самой лучшей возможной диверсификацией. Если распределить средства инвестора в портфеле с такими весами, как W1 = 0.267 и W2 = 0.733, то получим колебания доходности портфеля еще меньше. На рис. 11 изменение доходности такого оптимального портфеля показана кривой красного цвета.

Если бы в данном примере у нас была бы точная антикорреляция (Corr12 = -1), то мы получили бы не кривую линию красного цвета, а прямую горизонтальную линию на уровне доходности <R>12 = W1<R>1 + W2<R>2 = 0.027. Но наш пример более реалистичен, и, как было сказано выше, коэффициент корреляции у нас не равен точно минус единице, а только близок к минус единице (Corr = -0.91).

Поэтому оптимальный портфель с минимальным риском у нас не имеет нулевого риска. Но его риск очень маленький: S12 = 0.057. Это меньше, чем риск наивного портфеля с одинаковыми весами, который, как было уже показано выше, равен S12 = 0.070.

#### 1.2.3. Пример с тремя активами

На примере портфеля с двумя активами мы всё так очень подробно рассмотрели для того, чтобы читатель понимал теорию Марковица на интуитивном уровне. Далее считаем, что интуитивно всё уже понятно, поэтому дальнейшее рассмотрение проведем уже не так подробно.

Если активов в портфеле будет уже не 2, а 3, то всевозможные портфели с разными весами этих активов будут располагаться уже не на кривой линии, а на некоторой площади на плоскости "Риск-Доходность".

Добавим к активам A и B из нашего синтетического примера еще третий актив C со средней доходностью <R>C = 0.0752 и риском SC = 0.092.

1.2.3.1. Все коэффициенты корреляции равны единице

Если все 3 актива максимально коррелируют друг с другом с парными коэффициентами корреляции равными единице (CorrAB = CorrBC = CorrCA = +1), то на графике «Риск-Доходность» все возможные портфели располагаются внутри треугольника ABC, как показано на рис. 12. На рисунке эти точки внутри треугольника показаны серым цветом.

Отрезок AB соответствует таким портфелям, когда актив C имеет нулевой вес WC = 0. Этот случай мы рассматривали в предыдущем разделе. Аналогично, отрезок BC соответствует таким портфелям, когда актив A имеет нулевой вес WA = 0. И, наконец, отрезок CA соответствует таким портфелям, когда актив B имеет нулевой вес WB = 0.

Серые точки внутри треугольника ABC соответствуют ситуации, когда все 3 веса отличаются от нуля. В центре серого треугольника находится портфель с равными весами активов: WA = WB = WC = 1/3.


Рис. 12. График «Риск-Доходность» для трех активов.


1.2.3.2. Все коэффициенты корреляции меньше единицы

А если все три коэффициента корреляции меньше единицы (CorrAB < 1, CorrBC < 1 и CorrCA < 1), то зона всех возможных портфелей на графике «Риск-Доходность» сдвигается влево в сторону уменьшения риска. На рис. 12 показан пример такой зоны для таких портфелей. Эта зона закрашена светло-голубым цветом. Эта область ограничена тремя кривыми линиями, которые на рисунке показаны голубым цветом.

Здесь важно понимать, что дуга AB, это теперь уже не те дуги AB, которые мы видели на рис. 5. В формировании самой крайней левой дуги, в общем случае, принимают участие все 3 актива, а не только 2 самых менее рискованных активов A и B.

В общем случае, у самого наименее рискованного портфеля Z на рис. 12 все три весовых коэффициента отличаются от нуля (WA ≠ 0, WB ≠ 0 и WC ≠ 0). При этом вес самого рискованного актива WC в портфеле Z может быть достаточно большим, если активы A и B сильнее коррелируют друг с другом, чем они по отдельности коррелируют с активом C, то есть CorrAB > CorrBC и CorrAB > CorrCA.

То есть для уменьшения риска портфеля часто бывает более эффективно взять самые большие весовые коэффициенты не у самых менее рисковых активов, а у тех активов, которые меньше коррелируют и/или больше антикоррелируют с другими активами портфеля. И эта задача нахождения оптимальных долей активов для трех активов становится уже очень нетривиальной. В общем случае эта математическая задача уже не решается в Экселе. В разделе 4 мы познакомимся с одним онлайновым инструментом, который решает эту задачу.

1.2.3.3. Эффективная Граница

Задача формирования хорошего инвестиционного портфеля из трех активов A, B и C состоит в том, чтобы найти такие весовые коэффициенты WA, WB и WC долей этих активов, которые давали бы максимальную доходность и минимальный риск.

Понятно, что светло-голубая область на графике «Риск-Доходность» на рис. 12 около точки B нам никак не подходит, так как там находятся портфели с такими весами, которые дают плохую доходность. Также нам не подходит и светло-голубая область около точки С, так как это портфели со слишком большим риском.

В точке A находится портфель с самой высокой доходностью. Это портфель из одного единственного актива A, с весовыми коэффициентами WA = 1, WB = WC = 0. Но этот портфель имеет очень большой риск.

В точке Z находится портфель с самым минимальным риском. Но доходность этого портфеля почти в 2 раза ниже, чем доходность портфеля, который состоит только из одного актива A.

Таким образом, нам не подходит и самый доходный портфель из-за его высокого риска и не подходит портфель минимального риска из-за его плохой доходности. Нам хочется, чтобы портфель был одновременно и самым доходным и самым менее рискованным среди всех возможных портфелей.

Увы, но в жизни так не бывает, чтобы был одновременно и минимальный риск, и высокие доходы. Это, кстати, справедливо для любой сферы бизнеса и инвестиций. Портфельные инвестиции в биржевые активы не являются каким-то исключением.

Можно только из всех портфелей с фиксированным риском найти самый доходный портфель. Или, наоборот, можно только среди всех портфелей с фиксированным доходом найти наименее рискованный портфель.

Все такие портфели на рис. 12 находятся на дуге AZ, которая показана пунктирной линией. Это и есть место расположения самых лучших портфелей. Более лучшие портфели по доходности (с фиксированным риском) не существуют, так как нет портфелей, которые находятся выше этой кривой. И также не существуют менее рискованные портфели (с фиксированной доходностью), так как нет портфелей, которые находятся левее этой кривой.

Эта кривая, которая ограничивает область всех допустимых портфелей сверху и слева, называется Эффективная Граница.

Обычно, инвесторы хотят так подобрать весовые коэффициенты активов, чтобы их портфель попал на Эффективную Границу или был как можно ближе к ней.