В. А. Зверева, Н. В. Земляная, В. В. Земляной, С. В. Бочаров, О. И. Якушкина, Л. В. Кучерова, А. А. Надежкина

Гидравлика

Учебно-методический комплекс

ebooks@prospekt.org

Информация о книге

УДК 532.(0.76)

ББК 30.123

З-43

Авторы: Зверева В. А., Земляная Н. В., Земляной В. В., Бочаров С. В., Якушкина О. И., Кучерова Л. В., Надежкина А. А.

Рецензенты: 

Головин В. Л., зам. директора по научной работе «ФГУП ДальНИИГиМ», ст. научн. сотр., канд. техн. наук;

Гунько Л. М., ст. преподаватель кафедры «Управление судном» Морского института Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Гидравлика» (УМКД) содержит учебную рабочую программу дисциплины, конспект лекций по дисциплине «Гидравлика», методические указания к практическим занятиям, лабораторный практикум, лабораторный практикум по механике жидкости на портативной лаборатории «Капелька», методические указания к выполнению самостоятельных работ студентов, контрольно-измерительные материалы в виде тестов для текущей и итоговой аттестации.

УМКД предназначен для студентов очной и заочной форм обучения специальности 270112 «Водоснабжение и водоотведение».

УДК 532.(0.76)

ББК 30.123

© Дальневосточный государственный технический университет, 2008

© ДВФУ, 2015

© ООО "Проспект", электронная версия книги, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебно-методический комплекс дисциплины «Гидравлика» (УМКД) предназначен для студентов очной и заочной форм обучения специальности 270112 «Водоснабжение и водоотведение» и может быть использован для подготовки студентов всех специальностей, обучающихся по направлениям «Строительство», «Горное дело», «Механика», «Охрана окружающей среды», имеющих аналогичные требования к содержанию дисциплины «Гидравлика».

Материал курса «Гидравлика» – неотъемлемая часть комплекса знаний, необходимых для подготовки инженеров по направлению «Строительство». Изучение материала курса направлено на освоение основных законов, действующих в жидкостях, находящихся в состоянии покоя (относительного и абсолютного) и в движущихся жидкостях, основных расчетных зависимостей, необходимых для гидравлического расчета систем, методов и технологий их применения; выработку навыка использования справочной и научной литературы при решении практических задач. Материал подготовлен в соответствии с ГОС ВПО направления подготовки дипломированных специалистов 653500 «Строительство» по специальности 270112 «Водоснабжение и водоотведение», утвержденных Минвузом РФ в 2000 г.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Гидравлика» (УМКД) содержит учебную рабочую программу дисциплины, конспект лекций по дисциплине «Гидравлика», методические указания к практическим занятиям, лабораторный практикум, лабораторный практикум по механике жидкости на портативной лаборатории «Капелька», методические указания к выполнению самостоятельных работ студентов, контрольно-измерительные материалы по дисциплине «Гидравлика» для текущего и итогового контроля студентов дневной и заочной форм обучения специальности 270112 «Водоснабжение и водоотведение».

Конспект лекций имеет целью оказать студентам необходимую методическую помощь по изучению дисциплины «Гидравлика».

В материале лекций отражены основные теоретические положения, представлены модели процессов, сопровождающих равновесие и движение жидкостей и газов.

Методические указания к практическим занятиям составлены в помощь студентам специальности 270112 «Водоснабжение водоотведение» для выработки навыков применения теоретических знаний для решения технических задач. Методические указания предусматривают решение задач по наиболее важным разделам дисциплины «Гидравлика».

Методические указания к самостоятельной работе предназначены для приобретения практических навыков гидравлических расчетов при проектировании различных сооружений, систем и устройств, анализа полученных результатов, развитие самостоятельной работы студентов в плане подготовки будущих специалистов строительной отрасли.

Лабораторный практикум составлен на основании государственного стандарта и рабочих учебных программ дисциплины «Гидравлика». Приведены основные теоретические сведения по изучаемым темам дисциплины, расчетные формулы и методика их применения. Каждая глава содержит описание лабораторных работ, порядок их выполнения и оформления, контрольные вопросы. Лабораторный практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлениям «Строительство», «Механика», «Горное дело», «Охрана окружающей среды».

Лабораторный практикум на портативных установках «Капелька» составлен на основании ГОС ВПО и рабочих учебных программ дисциплин «Гидравлика» и «Гидромеханика» для усвоения наиболее важных вопросов, предназначен для студентов очной и заочной форм обучения по направлениям «Строительство», «Горное дело», «Механика», «Охрана окружающей среды».

Методические указания содержат основные теоретические сведения по соответствующим темам выполнения лабораторных работ, порядок проведения испытаний и обработки результатов экспериментов. Для проверки знаний, полученных в результате выполнения лабораторных работ, составлены контрольные вопросы.

УМКД разработан сотрудниками кафедры «Гидравлика, Водоснабжение и водоотведение» ДВГТУ. Конспект лекций составлен профессором Н.В. Земляной, рабочая учебная программа и методические указания к практическим занятиям разработаны доцентом В.А. Зверевой; лабораторный практикум – профессором В.В. Земляным, доцентом С.В. Бочаровым и В.А. Зверевой; лабораторный практикум на портативной установке «Капелька» – профессором В.В. Земляным и доцентом В.А. Зверевой, методические указания по выполнению самостоятельной работы студентов – доцентом О.И. Якушкиной, старшими преподавателями Л.В. Кучеровой и А.А. Надежкиной.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

Цели и задачи дисциплины

Гидравлика – прикладная общетехническая наука, целью которой является изучение законов равновесия и движения жидкостей и газов и применение этих законов к решению различных задач инженерной практики в области водоснабжения и водоотведения населенных мест.

Начальные требования к освоению гидравлики (перечень предшествующих дисциплин)

Изучение дисциплины «Гидравлика» осуществляется с помощью и на основании знаний основных общенаучных и общетехнических дисциплин: высшей математики, физики, теоретической механики, сопротивления материалов.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате теоретического изучения дисциплины студент должен знать основные законы, действующие в жидкостях, находящихся в состоянии покоя (относительного и абсолютного) и в движущихся жидкостях, основные расчетные зависимости, необходимые для гидравлического расчета систем, методы и технологию их применения; уметь пользоваться при решении практических задач справочной и научной литературой.

Объем дисциплины и виды учебной работы

Очная форма обучения

Вид учебной работы | Всего, ч | Распределения по семестрам
IV |
Общая трудоемкость дисциплины | 90 | 90 |
Лекции | 18 | 18 |
Лабораторные занятия | 18 | 18 |
Практические занятия | 18 | 18 |
Всего самостоятельная работа | 36 | 36 |
В том числе: курсовое проектирование | – | – |
Другие виды (РГЗ, рефераты и др.) | – | – |
Вид итогового контроля (экзамен, зачет) | зачет | зачет |

Заочная форма обучения

Вид учебной работы | Всего, ч | Распределения по семестрам
IV |
Общая трудоемкость дисциплины | 90 | 90 |
Лекции | 8 | 8 |
Лабораторные занятия | 4 | 4 |
Практические занятия | – | – |
Всего самостоятельная работа | 78 | 78 |
В том числе: курсовое проектирование | – | – |
Контрольные работы | 1 | 1 |
Вид итогового контроля (экзамен, зачет) | зачет | зачет |

Содержание дисциплины

Распределение учебного материала по видам занятий

№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Распределение по видам (час)
Лек | ЛЗ | ПЗ | СРС
1 | Предмет гидравлики, краткая история ее развития | 1 |  |  |
2 | Физические свойства жидкостей | 1 | 2 | 2 | 2
3 | Гидростатика | 4 | 4 | 4 | 8
4 | Относительный покой жидкости. Сила давления жидкости на плоские поверхности | 2 |  |  |
5 | Гидродинамика. Основы кинематики. Уравнения количества движения и момента количества движения | 2 |  |  | 2
6 | Гидравлические сопротивления | 3 | 12 | 8 | 18
7 | Истечение жидкости из отверстий, насадков и из под затворов | 2 |  | 2 | 4
8 | Гидравлический расчет простых трубопроводов | 2 |  |  | 2
9 | Основы теории подобия. Численные методы расчета | 1 |  | 2 |

Содержание лекционного курса (наименование раздела, темы, краткое содержание)

Лекция 1. Предмет гидравлики, краткая история ее развития. Область применения гидравлики. Открытия древних ученых в области гидравлики. История развития гидравлики новой эры.

Лекция 2. Физические свойства жидкостей. Жидкости и их главнейшие отличия от твердых и газообразных тел. Плотность и удельный вес однородной жидкости. Упругие свойства жидкостей. Внутреннее трение или вязкость. Капиллярность, поглощение газов жидкостями. Особые свойства воды. Свойства идеального газов.

Лекция 3. Гидростатика. Силы, действующие в жидкостях. Гидростатическое давление и его свойства. Дифференциальные уравнения гидростатики (равновесия). Закон Паскаля.

Лекция 4. Относительный покой жидкости. Сила давления жидкости на плоские поверхности: Геометрическая и физическая интерпретация основного уравнения гидростатики. Относительный покой жидкости. Сила давления жидкости на плоские, произвольно ориентированные поверхности. Давление жидкости на цилиндрическую поверхность. Закон Архимеда и его приложение.

Лекция 5. Гидродинамика. Основы кинематики. Уравнения количества движения и момента количества движения: Основные понятия о движении жидкости. Модель идеальной жидкости. Уравнение количества движения. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли для реальной жидкости. Измерение скорости потока и расхода жидкости. Уравнение энергии в дифференциальной форме.

Лекция 6. Гидравлические сопротивления. Режимы движения жидкости. Кавитация. Потери напора при ламинарном течении жидкости. Потери напора при турбулентном течении жидкости. Местные гидравлические сопротивления.

Лекция 7. Истечение жидкости из отверстий, насадков и из-под затворов. Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре. Истечение при несовершенном сжатии. Истечение под уровень. Истечение через насадки при постоянном напоре. Истечения через отверстия и насадки при переменном напоре (опорожнение сосудов). Истечение из-под затвора в горизонтальном лотке. Давление струи жидкости на ограждающие поверхности.

Лекция 8. Гидравлический расчет простых трубопроводов. Классификация трубопроводов. Простой трубопровод постоянного сечения. Соединения простых трубопроводов. Сложные трубопроводы. Гидравлический удар. Изменение пропускной способности трубопроводов в процессе их эксплуатации.

Лекция 9. Основы теории подобия. Численные методы расчета.

Содержание практических и лабораторных занятий

Содержание лабораторных занятий

№ п/п | Номер раздела п. 5.1 | Наименование лабораторной работы
1 | 1 | Изучение основных физических свойств жидкости
2 | 2 | Изучение приборов для измерения давления
3 | 2 | Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде
4 | 3 | Приборы и методы измерения гидравлических величин
5 | 5 | Уравнение Д. Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости
6 | 5 | Режимы движения жидкости
7 | 5 | Экспериментальное определение коэффициента гидравлического трения
8 | 5 | Экспериментальное определение коэффициентов местных сопротивлений
9 | 5 | Истечение жидкости из отверстий и насадков

Содержание практических занятий

№ п/п | Номер раздела п. 5.1 | Наименование темы практического занятия
1 | 1 | Физические свойства жидкостей
2 | 2 | Гидростатическое давление
3 | 2 | Сила гидростатического давления на плоские стенки и цилиндрические поверхности
4 | 2 | Относительный покой жидкости
5 | 5 | Уравнение неразрывности. Уравнение Д. Бернулли
6 | 5 | Режимы движения жидкости
7 | 5 | Гидравлические сопротивления
8 | 5 | Истечение жидкости через отверстия и насадки
9 | 6 | Основы теории подобия и моделирования

График изучения дисциплины

Вид учебных занятий | № лекции
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18
Лекции | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |
ЛЗ |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | +
ПЗ | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |  | + |
Аттестация |  |  |  |  |  |  | А |  |  |  |  |  |  | А |  |  |  |

Учебно-методическое обеспечение дисциплины (рекомендуемая литература)

Основная литература

1. Штеренлихт Д.В.. Гидравлика: учебник. – В 2-х кн. Кн. 1. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1991.

2. Большаков В.А., Попов В.И. Гидравлика. Общий курс: учебник. – Киев: Выща шк.: Головное изд-во, 1989.

3. Лаптев Н.Н. Гидравлика: учеб. пособие. – СПб.: Стройиздат, 2006.

4. Чугаев Р.Р. Гидравлика (Техническая механика жидкости). – Л.: Энер-гоиздат; Ленинград. отд-е, 1982.

5. Сборник задач по гидравлике / В.А. Большаков, Ю.М. Константинов, В.Н. Попов и др. / под ред. В.А. Большакова. – Киев: Вища шк.: Головное изд-во, 1979.

6. Земляной В.В., Зверева В.А., Бочаров С.В. Гидравлика: лабораторный практикум. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2003.

7. Зверева В.А. Гидравлика: Лабораторный практикум на портативных установках «Капелька». – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2007.

Дополнительная литература

1. Богомолов А.И., Михайлов К.А. Гидравлика. – М.: Стройиздат, 1972.

2. Киселев П.Г., Альтшуль А.Д. Механика жидкости и газа. – М.: Стройиздат, 1985

Справочная литература

1. Справочник по гидравлике / под ред. В.А. Большакова. 2-е изд., переаб. и доп. – Киев: Вища шк.: Головное изд-во, 1984.

2. Справочник по гидравлическим расчетам / под ред. П. Г. Киселева. Изд. 5-е. – М.: Энергия, 1974.

3. Курганов А.М., Федоров Н.Ф. Гидравлические расчеты систем водоснабжения и водоотведения: справочник. – Л.: Стройиздат, 1986.

Программное обеспечение

1. Контролирующая программа (тесты).

2. Программа для подбора диаметра простого трубопровода на ЭВМ на языке FORTRAN.

3. Программы для построения графика потребного напора на ЭВМ на языке FORTRAN.

8. Технические и электронные средства обучения, иллюстрационные материалы, специализированное и лабораторное оборудование

Список иллюстрационных материалов (плакаты)

1. Физические свойства жидкостей.

2. Уравнение Д. Бернулли.

3. Примеры местных гидравлических сопротивлений структуры течения и расчетные формулы.

4. Графики Никурадзе зависимости

5. Силы давления покоящиеся жидкости на плоские симметричные стенки.

6. Давление на цилиндрические поверхности.

7. Графики Кольбрука-Уайта.

8. Структура потока в насадках разного типа.

9. Истечение через малые отверстия. Коэффициенты скорости, сжатия, расхода.

10. Структура потока в круглых трубах.

11. Основные зависимости для определения параметров свободной струи.

12. Вихревые линии и трубки. Циркуляция.

13. Напряженное состояние жидкой среды.

Специализированное и лабораторное оборудование

Специализированная лаборатория гидравлики

Перечень оборудования

1. Вискозиметр Энглера.

2. Капиллярный вискозиметр ВПЖ-2.

3. Механический манометр, вакуумметр, мановакуумметр.

4. Пьезометр.

5. Трубка Пито (скоростная трубка).

6. Опытная установка ГД-1. «Определение абсолютного, манометрического и вакуумметрического давления».

7. Опытная установка ГД-2. «Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде».

8. Опытная установка ГД-3. «Демонстрация уравнения Д. Бернулли».

9. Опытная установка ГД-4. «Демонстрация режимов движения жидкости».

10. Опытная установка ГД-5. «Экспериментальное определение коэффициента трения и коэффициентов местных гидравлических сопротивлений ».

11. Опытная установка ГС, позволяющая одновременно определять коэффициенты различных местных гидравлических сопротивлений , (колена, вентиля, сужения, расширения потока, коэффициента трения , потери напора на преодоление местных гидравлических сопротивлений и по длине трубы, демонстрировать режимы движения жидкости.

Портативная гидравлическая лаборатория «Капелька»

1. Изучение физических свойств жидкости: опытное определение плотности жидкости, коэффициента температурного расширения, коэффициента поверхностного натяжения, вязкости жидкости вискозиметром Стокса и капиллярным вискозиметром.

2. Изучение устройства и принципа действия жидкостных приборов для измерения давления.

3. Измерение гидростатического давления жидкостными приборами.

4. Изучение структуры потоков жидкости.

5. Определение режима течения.

6. Иллюстрация уравнения Бернулли.

7. Определение местных потерь напора.

8. Определение потерь напора по длине.

Текущий и итоговый контроль по дисциплине

Формы и методы текущего контроля

Формами текущего контроля являются выполненные лабораторные работы и задачи практических и домашних заданий. Методы текущего контроля по дисциплине – защита лабораторных работ, задач и определение уровня посещаемости занятий

Контрольные вопросы для определения минимального уровня освоения программы дисциплины

1. Плотность, объёмный вес жидкости, связь между ними, зависимость от температуры и давления.

2. Вязкость жидкости, единицы измерения, зависимость от температуры и давления.

3. Сжимаемость, упругость, температурное расширение жидкостей.

4. Гидростатическое давление и его свойства, единицы измерения давления.

5.Основные уравнения гидростатики, его энергетический смысл и геометрическая интерпретация.

6. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера) и их решение.

7. Сила давления жидкости на плоскую поверхность. Центр давления.

8. Сила давления жидкости на криволинейные цилиндрические поверхности.

9. Виды движения жидкости.

10. Линия тока, элементарная струйка, вихревая трубка.

11. Поток жидкости, живое сечение струйки и потока, расход и средняя скорость, смоченный периметр, гидравлический радиус.

12. Уравнение неразрывности элементарной струйки и потока в случае установившегося движения жидкости.

13. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера).

14. Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки установившегося движения и его энергетическая интерпретация.

15. Уравнение Д. Бернулли для потока невязкой и вязкой жидкости.

16. Энергетическая интерпретация уравнения Д. Бернулли для потока вязкой жидкости.

17. Геометрическая интерпретация уравнения Д. Бернулли для потока вязкой жидкости.

18. Уравнение количества движения для установившегося потока.

19. Виды потери энергии.

20. Режимы движения жидкости.

21. Критерии Рейнольдса для определения режима движения жидкости.

22. Зависимость потери напора от режима движения жидкости.

23. Распределение местных скоростей по сечению ламинарного потока.

24. Определение потери напора по длине при ламинарном режиме движения и турбулентном.

25. Особенности турбулентного потока.

26. Местные гидравлические сопротивления.

27. Определение потерь напора при внезапном расширении потока.

28. Виды местных потерь напора и их определения.

29. Математическое моделирование гидравлических явлений.

30. Геометрическое, кинематическое и динамическое подобие потоков.

31. Критерии гидродинамического подобия.

32. Основные правила моделирования.

33. Метод анализа размерностей (Пи - теорема).

34. Моделирование течений в напорных водоводах.

Рейтинговая оценка по дисциплине

Распределение баллов по видам учебных работ

№ п/п | Наименование работ | Распределение баллов
1 | Теоретический материал | 15
2 | Лабораторные работы | 20
3 | Индивидуальные домашние задания | 20
4 | Решение задач | 15
5 | Посещаемость | 10
6 | Зачет | 20
| Итого | 100

Перевод баллов в пятибалльную шкалу

Отлично | 76-100
Хорошо | 51-75
Удовлетворительно | 26-50
Неудовлетворительно | более 25

При набранной общей сумме менее 25 баллов по результатам третьей аттестации студент не допускается к итоговой аттестации по дисциплине.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Введение

Предлагаемый конспект лекций по дисциплине «Гидравлика» предназначен для студентов специальности «Водоснабжение и водоотведение» и рассчитан на 18 часов лекционных занятий.

Для инженеров по специальности «Водоснабжение и водоотведение» знание законов равновесия и движения жидкостей является необходимым компонентом профессиональной квалификации, т.к. эти законы используются практически во всех технологических процессах, связанных с транспортировкой и очисткой воды. УМКД построен таким образом, что теоретический лекционный материал используется вначале при решении практических задач, а затем закрепляется во время проведения лабораторных работ.

Курс гидравлики, или технической гидромеханики является традиционным предметом технического образования и обеспечен достаточным количеством учебной литературы. Темы лекций, примеры расчетов, иллюстрации в данном конспекте подобраны в соответствии с требованиями Государственного стандарта для строительных специальностей, детализация материала учитывает наличие и объем лабораторных работ по курсу.

При составлении конспекта лекций использованы издания, обозначенные в списке использованной литературы, а также материалы сайтов ИНТЕРНЕТ. Некоторые лекции были переработаны, дополнены, некоторый материал взят из источников без изменения, а некоторые темы написаны полностью авторами.

Цель составления данного конспекта лекций заключалась в том, чтобы из большого объема существующего учебного материала выбрать минимум, необходимый для инженеров по специальности «Водоснабжение и водоотведение» и довести степень освоения его с учетом практических, лабораторных занятий и самостоятельной работы до уровня навыков в гидравлических расчетах. Для специальностей «Водоснабжение и водоотведение», «Теплогазоснабжение и вентиляция» и «Гидротехническое строительство» общий курс гидравлики должен быть дополнен специальными курсами, а также лабораторными и практическими занятиями, в которых должны быть отражены вопросы, характерные для указанных направлений строительства.

Лекция 1. ПРЕДМЕТ ГИДРАВЛИКИ, КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ЕЁ РАЗВИТИЯ

1.1. Область применения гидравлики

Гидравликой называется техническая наука, изучающая формы и законы механического (молярного) движения и относительного покоя жидкостей и газов, а также разрабатывающая методы применения этих законов в различных областях производственной деятельности человеческого общества. Название «гидравлика» произошло от сочетания греческих слов «хюдор» – вода и «аулос» – труба, желоб и означало вначале учение о движении воды по трубам. В настоящее время трудно найти какую-либо область техники, в которой так или иначе не применялись бы эти законы. Главнейшими областями применения законов гидравлики являются гидротехника и мелиорация, водоснабжение и канализация, гидроэнергетика и водный транспорт.

1.2. Открытия древних ученых в области гидравлики

Развитие гидравлики исторически обусловлено и тесно связано с историей использования человеческим обществом воды.

Зачаточные, несистематические знания о некоторых вопросах гидравлики, по всей вероятности, возникли еще в доисторические времена, однако до нас дошли сведения лишь о более поздних открытиях.

Первым научным трудом в области гидравлики считают трактат Архимеда (287–212 до н.э.) «О плавающих телах», написанный за 250 лет до н.э. Древние водопроводы и большое количество водяных мельниц, построенных на Руси до XIII в. «водяными людьми», как называли тогда их строителей, доказывают, что многие вопросы практической гидравлики были известны в глубокой древности и русским людям.

На протяжении последующих после открытия Архимеда 17 столетий никаких новых открытии в гидравлике не произошло.

1.3. История развития гидравлики новой эры

Разрушение средневекового феодального строя и замена его капиталистическим строем содействовали развитию в то время многих научных проблем, в том числе и в области гидравлики.

К ранним работам по гидравлике следует отнести работу Леонардо да Винчи (1452–1519) «О движении и измерении воды», опубликованную только в XX в., т.е. через 400 с лишним лет после смерти ученого. Однако «есть основания считать, что с рукописями Леонардо да Винчи были знакомы и Стевин (1548–1620), и Галилей (1564–1612), и Торричелли (1608–1647), и Паскаль (1623–1662), работы которых оказали большое влияние на развитие гидравлики.

В 1586 г. была опубликована работа Стевина «Начала гидростатики», в 1612 г. – работа Галилея «Рассуждении о телах, пребывающих в воде, и о тех, которые в ней движутся»; в 1643 г. Торричелли открыл законы истечения жидкостей из отверстий; в 1650 г. Паскаль открыл закон о передаче давлений в жидкостях, опубликованный в 1683 г. в трактате «О равновесии жидкостей»; в 1685 г. Ньютон (16–52–1727) сформулировал гипотезу о внутреннем трении в жидкостях.

На этом закончился важнейший этап в развитии гидравлики. Несмотря на элементарные приемы, использованные при доказательствах основных законов, они были сформулированы настолько точно, что не претерпели изменений и в наше время.

Повсеместное использование водных сил способствовало накоплению практического опыта в области гидравлики и создавало благоприятные условия для развития ее основ. Этому содействовали успехи ученых в области математики и механики.

Однако теоретические основы гидравлики (гидромеханика) как учения о механическом движении жидкостей и газов были созданы значительно позднее в России трудами академиков Петербургской академии наук: Михаилом Васильевичем Ломоносовым (1711–1765), Даниилом Бернулли (1700–1782) и Леонардом Эйлером (1707–1783).

В замечательной работе Бернулли «Гидродинамика», «академическом труде, выполненном автором во время работы в Петербурге», как значится на титульном листе этой книги, опубликованной в 1738 г., дается фундаментальная теорема гидродинамики, известная под названием «уравнения Бернулли» и устанавливающая общую связь между давлением, высотой и скоростью движения жидкости. С выходом этого трактата связано и появление самого термина «гидродинамика».

Позже уравнение Бернулли было распространено и на газы, а после дополнения его членами, учитывающими влияние сил трения, оно стало основным уравнением современной гидравлики.

В своем трактате «Общие принципы движения жидкости» (1755 г.) Эйлер «первый вывел систему дифференциальных уравнений движения идеальной, т.е. абстрактной, лишенной трения, жидкости», положив тем самым начало аналитической механике сплошной среды. Эйлеру механика жидкостей обязана введением понятия давления в точке движущейся или покоящейся жидкости, а также выводом уравнения сплошности или непрерывности жидкости; формулировкой закона об изменении количества движения и момента количества движения применительно к жидким и газообразным средам; выводом «турбинного уравнения»; первоначальными основами теории корабля, а также выяснением вопроса о происхождении сопротивления жидкости движущимся в ней телам.

Работы основоположников гидродинамики Д. Бернулли и Л. Эйлера возникли на базе расцвета математики и механики в конце XVII в., обусловленного практическими задачами, выдвинутыми развитием производительных сил в эпоху разложения феодализма и рождения капиталистического строя.

Основой для развития гидродинамики явились гениальные естественнонаучные открытия Ломоносова, к которым относится, прежде всего, закон сохранении вещества и движения, впервые сформулированный в диссертации «Рассуждения о твердости и жидкости тела». Развернутое обоснование этого закона было дано Ломоносовым в открытом письме к Эйлеру от 5 июля 1748 г. Ломоносов при этом не только дал неопровержимые научные доказательства открытого им закона, но и поднялся до понимания его как всеобщего закона природы.

Наряду с теоретическими основами гидравлики – классической гидромеханикой - развивалась экспериментальная и практическая гидравлика.

В 1791 г. в Санкт-Петербурге вышла «Карманная книжка для вычисления количества воды, вытекающей через трубы, отверстия или по желобам; также и силы, какою они ударяют, стремясь с данной скоростью; с приложением правил для вычисления трений, производимых в машинах, в пользу находящихся при строении мельниц и проведении вод», написанная А. Колмаковым. Это была первая русская книга по практической гидравлике в современном автору понимании.

В 1836 г. майором корпуса инженеров путей сообщения И.П. Мельниковым (18004–1880) был издан первый общий курс гидравлики под названием «Основания практической гидравлики или о движении воды в различных случаях и действие ее ударом и сопротивлением». Ни в одной стране, кроме Франции, подобных курсов гидравлики еще не существовало. Возникали гидравлические и гидротехнические лаборатории. Первая гидравлическая лаборатория в России была создана еще в 1855 г. Соколовым, при Санкт-Петербургском институте путей сообщения, где был создан отдел гидравлики при кабинете прикладной механики. В 1902 г. И.Г. Есьманом и др. создается гидравлическая лаборатория при Санкт-Петербургском политехническом институте. В 1904 г. вступает в строй лаборатория при Московском техническом училище, развитием которой в дальнейшем занимался И.П. Куколевскому (1878–1960).

В 1903 г. В.Е. Лимонов (1862–1936) создал гидротехническую лабораторию при Санкт-Петербургском институте путей сообщения.

Нужно отметить, однако, что на дальнейшем развитии теоретической базы гидравлики – гидромеханики – сильно сказался механистический характер естествознания XVIII – начала XIX вв., вызвавший попытки универсализации механических воззрений на «природу». В результате этого создавалось противоречие между теоретической и практической частями гидравлики. Преодоление этой ограниченности могло стать возможным, очевидно, только после преодоления во всем естествознании механистической односторонности XVIII в.

«Оставьте трудиться напрасно, – писал знаменитый русский математик Н.И. Лобачевский (1793–1856), – стараясь извлечь из одного разума всю мудрость, опрашивайте природу, она хранит все тайны и на вопросы Ваши будет отвечать Вам непременно и удовлетворительно».

«Нужен, настоятелен и будет решать дело – разумный и твердый опыт, а молодое и неопытное умственное построение пойдет на поводу и в ту, и в другую сторону, пока, приученное опытом к верной дороге, само не станет возить за собой или на себе всю сущность опытного знания». Так писал великий русский ученый Д.И. Менделеев (1834–1907) в своей фундаментальной монографии «О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании», опубликованной в 1880 г. В этой монографии не только дано систематическое и критическое изложение существовавших к тому времени работ по теории сопротивления, но и приводятся оригинальные идеи Д.И. Менделеева по этому вопросу. В частности, указывается на важное значение вязкости жидкости при определении сопротивления трения хорошо обтекаемого тела; дается отчетливое разграничение трения жидкости о гладкие и шероховатые стенки; отмечается основная роль «прилипшего» к твердому телу слоя жидкости.

Глубоко анализируя и критикуя современную ему теорию сопротивления трения, Д.И. Менделеев с предельной ясностью устанавливает энергетическую сторону явления, отсутствовавшую в этой теории.

Работа Д.И. Менделеева позволила выдающемуся русскому ученому и инженеру Н.П. Петрову (1836–1920) окончательно установить в 1883–1885 гг. закон внутреннего трения жидкости, ставшей основой всей гидродинамической теории трения, и на его основе разработать знаменитую теорию гидродинамического трения в машинах. В своей трилогии «Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости», вышедшей в свет в 1883–1889 гг. и удостоенной Академией наук сначала Ломоносовской, а затем Макарьевской премий, Н.П. Петров блестяще сочетал свою теорию с тщательно проведенными опытами, с важнейшими нуждами производства и внедрил ее в практику «русского железнодорожного и бумагопрядильного дела». Н.П. Петрову по праву принадлежит роль создателя современной физической теории ламинарного движения; ему же первому принадлежит указание о том, что установленный им закон внутреннего трения справедлив только для этого движения, что характер гидравлических сопротивлений ламинарных и турбулентных потоков (согласно современной терминологии) совершенно различен.

Бурное развитие естествознания во второй половине XIX в. нашло свое отражение и в механике. Ее гениальный представитель – Н.Е. Жуковский (1847–1921) – «отец русской авиации», как он был назван в подписанном В.И. Лениным постановлении Совета Народных Комиссаров СССР, подняв рациональную механику до уровня естественнонаучной дисциплины, опирающейся в своей теоретической части на наблюдения и эксперимент, внес огромный вклад в развитие не только гидроаэродинамики, но и самых разнообразных областей науки, в том числе и гидравлики.

Н.Е. Жуковский является основоположником русской школы теории фильтрации, его последователи и ученики, среди которых Н.Н. Павловский (1884–1937), Л.С. Лейбензон (1879–1951), достигли в области подземной фильтрации воды, нефти и газов столь значительных успехов, что русским и советским ученым в этой области, несомненно, принадлежит ведущая роль в мировой науке.

Н.Е. Жуковский разработал классическую теорию гидравлического удара в водопроводных трубах, проверенную им с помощью великолепно поставленных опытов на московском водопроводе, создал теорию движения взвешенных наносов в водных потоках и решил ряд других вопросов, способствовавших сближению теоретического и практического направлений в гидравлике.

Самые общие механические и физические идеи, их многочисленные приложения к решению разнообразных частных задач как технической аэромеханики, так и гидравлики и гидротехники, которые были сначала выполнены самим Н.Е. Жуковским, а затем его последователями и учениками – С.А. Чаплыгиным (1869–1942), И.Г. Есьманом (1868–1955), Н.Н. Павловским, Л.С. Лейбензоном, С.А. Христиановичем с их школами, создали мировую славу русской гидротехнике и гидравлике.

Тесная связь гидравлики с запросами техники и практической жизни придала ей исключительную целеустремленность и открыла разнообразнейшие области ее применения.

Большое влияние на развитие гидравлики оказал также замечательный русский гидромеханик И.С. Громека (1851–1889).

Целью этого ученого, как и большинства учеников московской школы теоретической механики, являлось решение определенных реальных задач механики. В своей диссертации «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости» И.С. Громека положил начало новому, особому разделу механики вихревых движений жидкости – теории так называемых винтовых потоков и потоков с поперечной циркуляцией.

Такие потоки возникают, например, на изгибе русла. Особенно большое практическое значение приобрело изучение потоков с поперечной циркуляцией и винтовых потоков в связи с развитием гидротехники.

Теория И.С. Громеки нашла свое дальнейшее развитие в трудах А.Я. Миловича (1874–1958), М.В. Потапова (1887–1949), С.С. Бюшгенса (1882–1963) и других ученых.

Советскими гидротехниками разработан ряд оригинальных инженерных конструкций, основанных на возбуждении и применении поперечной циркуляции потока. Таковы плавучие направляющие системы М.В. Потапова, основоположника этого направления в гидротехнике.

Русские ученые – математики, механики, гидравлики и гидротехники, упорно и настойчиво работают над проблемами, которые ставит перед наукой бурное развитие производительных сил в нашей стране. Важнейшей из этих проблем в области гидравлики является проблема сопротивления жидкостей, оставшаяся после Н.П. Петрова, и до конца не решеной в области турбулентного движения жидкости. Кажущаяся «беспорядочность» движения частичек жидкости при этом режиме порождает большие трудности в экспериментальном и теоретическом их исследовании. Однако и в этой сложной области к настоящему времени достигнут определенный прогресс на основе работ А.Н. Колмогорова с его школой, М.А. Великанова, Л.Е. Лойцянского, Е.Н. Абрамовича и др.

Лекция 2. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ

2.1. Жидкости и их главнейшие отличия от твердых и газообразных тел

Жидкости – вещества в конденсированном агрегатном состоянии, промежуточном между состояниями газов и твердых тел. При высоких температурах они имеют сходство с газообразным состоянием, а при низких – с твердым. Благодаря этому жидкости обладают свойствами как газов, так и твердых тел.

Так, например, как и в газах, всякое повышение или понижение давления в однородной жидкости распространяется по всем направлениям с одной и той же (звуковой) скоростью, оставаясь в то же время неизменным по своей величине. В отличие от газов, жидкости, как и твердые тела, мало сжимаемы и не распространяются по всему объему, т.е. могут иметь свободную поверхность.

Как и в кристалле, молекулы жидкости колеблются (10¹³ колебаний в секунду) около временного положения равновесия ничтожно короткий срок (10¹⁰ с), но в отличие от кристалла молекулы жидкости несоизмеримо чаще меняют это положение равновесия, переходя из одного места в другое. Если отвлечься от колебательной составляющей движения, молекула жидкости описывает в своем плавном движении траекторию в виде ломаной линии, похожей на траекторию газовых молекул. Вследствие этого, в отличие от твердых тел, жидкости не имеют в конечном объеме кристаллической решетки, т.е. характеризуются неправильным расположением своих молекул.

Как и газы, жидкости характеризуются текучестью, и как твердые тела – упругостью на растяжение и сдвиг. Последняя обычно замаскирована большой текучестью.

2.2. Плотность и удельный вес однородной жидкости

Плотностью называется физическая величина, характеризующаяся распределением массы жидкости по объему.

Жидкость считают однородной, если плотность ее во всех точках одна и та же, для однородной жидкости плотность равняется отношению массы тела М (кг) к его объему W (м³):

(2.1)

Удельным весом называется физическая величина, характеризующая распределение силы тяжести по объему.

Для однородной жидкости удельный вес можно определить из отношения силы тяжести тела G к его объему:

(2.2)

Между удельным весом и плотностью существует зависимость:

(2.3)

Удельный вес и плотность жидкости зависят от температуры. Известно, что удельный вес воды (при нормальном атмосферном давлении) принимает максимальное значение при 4°С и уменьшается при изменениях температуры в любую сторону. Однако изменения удельного веса воды с изменением температуры довольно незначительны, как это видно из табл. 2.1 (все значения даны при нормальном атмосферном давлении). В условиях работы сооружений водоснабжения и гидротехнических сооружений температура воды обычно колеблется в пределах 0–35°С, следовательно, удельный вес и плотность в практических расчетах можно принимать постоянными и равными = 9807н / м³, = 1000кг / м³.

Таблица 2.1

Удельный вес воды при различной температуре

t° | 0 | 4 | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 | 100
, н/м³ | 9806 | 9807 | 9801 | 9789 | 9764 | 9730 | 9642 | 9399

2.3. Упругие свойства жидкостей

Сжимаемость жидкостей характеризуется коэффициентом объемного сжатия с. Он определяет относительное изменение объема жидкости W при изменении давления р на единицу давления и выражается формулой

(2.4)

При условии постоянства массы жидкости следует

(2.5)

Как видим, коэффициент объемного сжатия определяет также и относительное изменение плотности жидкости при изменении давления на единицу давления.

Отметим, что величина К, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем объемной упругости жидкости:

(2.6)

Средние значения К и с для воды при различной температуре приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Коэффициент объемного сжатия и модуль объемной упругости воды при различной температуре

T°С | 0 | 10 | 20 | 30
К, н/м² | 19,52·10⁸ | 20,30·10⁸ | 21,08·10⁸ | 21,48·10⁸
c, м²/н | 5,12·10⁻¹⁰ | 4,93·10⁻¹⁰ | 4 · 10⁻¹⁰74 | 4,66·10⁻¹⁰

Из табл. 2.2 следует, что сжимаемость воды весьма незначительна, потому в большинстве случаев на практике ею можно пренебречь. Так, например, если взять воду в объеме 0,001 м³ (1 л) при температуре t = 10°С и увеличить действующее на нее первоначальное давление на 20,3 · 10⁴ н/м², то, согласно формуле (2.4) и данным табл. 2.2, найдем, что первоначальный объем при этом уменьшится на величину 0,1 см³, составляющую всего лишь 0,01 % первоначального объема.

Допущение о несжимаемости жидкости чрезвычайно упрощает аналитические выкладки и позволяет получать вполне приемлемые для большинства решаемых в гидравлике вопросов результаты. Однако не следует при этом забывать, что такое допущение противоречит молекулярно-кинетической природе жидкостей и может привести в некоторых случаях к совершенно неверным результатам.

В самом деле, всякое достаточно малое изменение внешнего давления на жидкость распространяется не мгновенно, а с конечной, хотя и очень большой скоростью, равной скорости звука. Формулу (2.6) можно представить в виде

(2.7)

где – скорость распространения звука в однородной среде с объемным модулем упругости К и плотностью . Из формулы (2.7) видим, что допущение о несжимаемости жидкости (dp = 0) равносильно допущению, что с = ∞, т.е. что всякое достаточно малое изменение давления, возникшее в какой-либо точке жидкости, мгновенно передается во все другие ее точки. Такое допущение не внесет значительной погрешности в вычисления только в том случае, если объем, занятый жидкостью, будет достаточно мал или изменение давления будет весьма медленным и постепенным по сравнению со временем, необходимым для передачи давления в самые отдаленные точки того же объема.

Эти обстоятельства приходится учитывать при изучении явлений, происходящих, например, во время закрытия или открытия задвижек в трубопроводах, когда возникает так называемый гидравлический удар, т.е. повышение или понижение давления благодаря изменению скорости движения. Допущение о несжимаемости жидкости в таких случаях приведет к совершенно неверным результатам.

Сжимаемость жидкости необходимо учитывать также в процессах, в которых скорость движения самой жидкости имеет величину близкую к скорости распространения звука. (Такие случаи пока еще не реализованы в гидравлических процессах.)

При допущении несжимаемости жидкости объемный модуль упругости К обращается в бесконечность и уравнение (2.6) заменяется уравнениями

(2.8)

Отметим в заключение, что сжимаемость жидкостей весьма мала по сравнению со сжимаемостью газов, но по сравнению со сжимаемостью твердых тел, например, металлов или других строительных материалов, она сравнительно велика. Например, сжимаемость воды примерно в 100 раз больше сжимаемости стали.

2.4. Внутренне трение, или вязкость

Свойство жидкости оказывать при своем движении сопротивление относительному сдвигу своих частиц известно под названием вязкости, или внутреннего трения жидкости. Вязкость жидкости является одним из наиболее существенных ее свойств. Это свойство обусловливается внутримолекулярным движением жидкости и проявляется в том, что при относительном перемещении одних слоев жидкости по отношению к соседним, вызывающим деформацию объема, в ней возникают силы трения. Огромнейшее влияние на развитие теории вязкости оказали работы русского ученого А.И. Бачинского (1877–1944), еще в 1912 г. впервые установившего связь вязкости жидкости с ее удельным объемом (величиной, обратной удельному весу).

Дальнейшее развитие теория вязкости получила в трудах М.Ф. Широкова, Я.И. Френкеля, Г.М. Панченкова и др.

Силы трения обусловливают то, что слой жидкости, движущийся быстрее, увлекает слой жидкости, движущийся медленнее, и наоборот. Благодаря силам трения происходит преобразование механической энергии движущейся жидкости в тепловую.

Действие сил трения (значит, вязкости) можно наблюдать на следующем примере. Начнем вращать цилиндрический сосуд с жидкостью около вертикальной оси. Через некоторый промежуток времени вся жидкость в сосуде придет во вращение: сначала в движение придут частицы у стенок сосуда, постепенно движение передается благодаря силам трения остальным частицам.

Важно отметить, что после того как вся масса жидкости станет вращаться с одной и той же угловой скоростью, т.е. как твердое тело, силы трения между отдельными слоями обратятся в нуль.

Вязкость жидкости характеризуется коэффициентом вязкости . Для уяснения сущности этого коэффициента обратимся к частному случаю так называемого ламинарного движения в круглой трубе. В этом случае жидкость движется параллельными цилиндрическими слоями (рис. 2.1), причем скорость всюду имеет одно и то же направление, но уменьшается в направлении от оси трубы к стенкам.

Пусть dn – расстояние между двумя бесконечно близкими слоями; du – разность скоростей этих слоев. Согласно гипотезе Ньютона, касательное напряжение , равное силе трения, приходящейся на единицу площади ([] = н/м²) и возникающее между смежными слоями, пропорционально разности скоростей и обратно пропорционально расстоянию dn, т.е.

(2.9)

где – динамический коэффициент вязкости, или внутреннего трения, а du/dn – так называемый градиент скорости; эту величину можно рассматривать как угловую скорость скашивания прямого угла, образованного отрезком dn с осью потока.

Величину будем считать всегда положительной, поэтому в зависимости от знака du/dn в формуле (2.8) следует ставить знак плюс, когда du/dn положительно, и минус – когда оно отрицательно, что будет зависеть от закона изменения скоростей и выбора направления отсчета dn. Направление силы трения будет зависеть от того, к чему считать ее приложенной. Например, при распределении скоростей (рис. 2.1) жидкость, окружающая заштрихованный цилиндр, действует на его боковую поверхность с силой трения, направленной в сторону, обратную движению. При рассмотрении же действия жидкости в цилиндре на поверхность окружающей его жидкости сила трения останется равной по величине, но уже будет направлена в сторону движения.

Рис. 2.1. Возникновение силы трения между смежными слоями

Гипотеза Ньютона была подтверждена опытами Кулона (1736–1806) лишь 100 лет спустя, а затем точнейшими опытами основоположника гидродинамической теории смазки Н.П. Петрова и стала, таким образом, законом внутреннего трения жидкости при ламинарном движении. В опытах Кулона не было обнаружено какого-либо влияния давления на величину коэффициента вязкости воды.

Позднейшие опыты, однако, показали, что в действительности это влияние существует, но становится заметным лишь при больших давлениях. Во многих технических задачах с большими давлениями не приходится встречаться, поэтому пренебрежение влиянием давления на вязкость в этих случаях для инженерной практики вполне оправдано.

Коэффициент при постоянной температуре представляет собой для каждой жидкости величину, практически не зависящую от градиента скорости. Независимость величины была проверена для значений градиента скорости du/dn в пределах (0,05–5) · 10³ м/сек/м.

Таким образом, динамический коэффициент вязкости является вполне определенной физической характеристикой любой жидкости за исключением коллоидов и некоторых суспензий, для которых зависит от (du/dn).

Динамический коэффициент вязкости жидкости изменяется также и с изменением температуры. Так, например, по современным данным для воды имеет следующие значения.

Таблица 2.3

Зависимость от температуры

t° с | 0 | 10 | 20 | 30
10⁴ , н·с/м² | 17,92 | 13,04 | 10,04 | 8,00

Как видим, с увеличением температуры коэффициент вязкости значительно уменьшается. Эти значения довольно хорошо укладываются в формулу, данную Пуазейлем в первой половине прошлого столетия:

(2.10)

где t – температура, °С; 0 – динамический коэффициент вязкости воды при t = 0°С.

Касательные напряжения в различных жидкостях, движущихся ламинарно с одним и тем же градиентом скорости, относятся как соответствующие значения .

Отношение динамического коэффициента к плотности жидкости называется кинематическим коэффициентом вязкости v, м²/сек.

(2.11)

Это название коэффициент v получил благодаря своей размерности, в которую входят только кинематические характеристики.

В табл. 2.4 приведены числовые значения кинематического коэффициента вязкости v для воды при различной температуре.

Таблица 2.4

Значения кинематического коэффициента вязкости

t,°С | v, см² /сек | t,°С | v, см² /сек | t,°С | v, см² /сек
0 | 0,0178 | 12 | 0,0124 | 30 | 0,0.081
5 | 0,0152 | 15 | 0,0114 | 40 | 0,0066
10 | 0,0131 | 20 | 0,0101 | 50 | 0,0055

Отметим в заключение, что по мере накопления экспериментального материала по вязкости создавалась и ее теория, преимущественно трудами русских ученых. К настоящему времени мы имеем хорошо согласованные с опытом теоретические формулы для коэффициентов вязкости.

Необходимо, кроме того, отметить, что для случаев движения пульпы, глинистых растворов, гидроторфа, нефти (при температурах, близких к температуре застывания), формула (2.9) должна быть дополнена добавочным членом 0 – называемым «напряжением сдвига». Формула (2.8) в этих случаях принимает вид

(2.12)

Жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона (2.9), называются часто Ньютоновскими жидкостями в отличие от жидкостей, подчиняющихся формуле

2.5. Капиллярность, поглощение газов жидкостями

Известно, что свободная поверхность жидкости, т.е. поверхность жидкости на границе с газом или поверхность на границе двух не перемешивающихся жидкостей, находится в состоянии равномерного поверхностного натяжения. Поверхностное натяжение характеризуется силой поверхностного натяжения, отнесенной к единице длины «образующей линии» свободной поверхности, так называемым коэффициентом поверхностного натяжения , зависящим только от природы жидкости (газа) и ее температуры. Для воды, находящейся в соприкосновении с воздухом, при 20°С ( = 0,0726 н/м). С увеличением температуры значение уменьшается. Для ртути при тех же условиях = 0,540 н/м, т.е. почти в 7,5 раза больше.

В большинстве гидравлических процессов влиянием поверхностного натяжения ввиду его малости пренебрегают. Необходимость его учета возникает лишь в том случае, если свободная поверхность жидкости приобретает заметную кривизну, т.к. в этом случае силы поверхностного натяжения сказываются на давлении в жидкости. Действием поверхностного натяжения объясняется так называемое капиллярное поднятие жидкости (если жидкость смачивающая) или опускание (если жидкость не смачивающая) в трубках малого диаметра. Способность жидкости подниматься или опускаться в трубках малого диаметра под действием сил поверхностного натяжения называется капиллярностью.

Для воды при t = 20°С зависимость высоты капиллярного поднятия h (мм) в стеклянной трубке от ее диаметра d (мм) определяется формулой

(2.13)

Для ртути при t = 20° С зависимость между величиной опускания h (мм) и диаметром d (мм) дается в виде

(2.14)

Высоту капиллярного поднятия приходится иногда учитывать также при подземной фильтрации жидкости.

Жидкости обладают способностью поглощать и растворять соприкасающиеся с ними газы. Такое явление называется абсорбцией. При этом весовое количество растворенного (абсорбированного) газа изменяется при данной температуре пропорционально давлению жидкости, оставаясь по объему практически постоянным (закон Генри).

Вода в природном состоянии всегда содержит известное количество растворенного воздуха: при обычной температуре и нормальном атмосферном давлении оно составляет около 2 % объема воды. При уменьшении давления соответствующая часть растворенного воздуха выделяется из жидкости. Чем больше снижение давления, тем более бурно происходит выделение воздуха; при этом образуются и пары жидкости. Вода приходит в состояние холодного «кипения», нарушается ее сплошность и образуется своего рода эмульсия, обладающая гораздо большей сжимаемостью и совершенно отличными от прежнего физическими и механическими свойствами. Это явление бывает чаще всего на поверхности быстро движущихся в воде частей механизмов, в тех местах потока жидкости, где давление понижается до некоторого критического, например, у лопастей гребных винтов, лопаток турбин и насосов и известно под названием гидродинамической кавитации, борьба с которой является одной из существенных технических задач. В результате кавитационных явлений происходят механическое разрушение металлических деталей гидромашин (кавитационная эрозия), срыв работы насосов, уменьшение производительности трубопроводов и т.п.

Выделение воздуха и парообразование могут происходить и при давлениях, больших атмосферного, если температура воды увеличивается или вода слишком аэрирована. Это часто служит причиной образования воздушных «пробок» в длинных трубопроводах; выделяемый воздух и пары жидкости накапливаются в их наиболее высоких местах и могут затруднить или даже совсем прекратить движение воды.

К выделению воздуха и паров приводит также внезапное возникновение движения по трубам при очень быстром открытии задвижки или крана, когда происходит так называемый гидравлический удар.

Кавитации подвержены и другие жидкости.

2.6. Особые свойства воды

Кроме описанных свойств вода обладает еще особыми свойствами, называемыми «аномалиями воды», которые в основном заключаются в следующем.

1. В интервале температур от 4 до 0°С объем воды при ее охлаждении не уменьшается, а увеличивается. Плотность ее уменьшается. При замерзании объем воды увеличивается почти на 10 %.

2. Температура замерзания воды с увеличением давления до 2 000 ат понижается, а не повышается.

3. Теплоемкость воды чрезвычайно велика по сравнению с другими телами и имеет минимум примерно при 40°С.

4. Необычайно высокая теплота плавления (скрытая теплота плавления) с повышением давления убывает, а не возрастает, как можно было бы ожидать.

Перечисленные «аномалии» воды свидетельствуют о том, что вода не такое простое соединение, как часто думат. Даже «химически чистая» вода не является простым соединением Н₂O. С точки зрения современной молекулярной физики, эту «химически чистую» воду иногда представляют как смесь разного рода ассоциированных молекул (H₂O)₈, (H₂Q)₄, (H₂O)₂ и «простых» молекул Н₂O, различными особенностями которых и объясняют аномалии воды.

Еще более сложную ассоциацию представляет собой вода в природной обстановке в условиях искусственных сооружений, устраиваемых для использования ее. В этих условиях вода как «растворитель» не может идти в сравнение ни с каким другим веществом.

Вода как раствор сама по себе может агрессивно действовать на металл и бетон сооружений, приводя к их разрушению. Причиной последнего служит, прежде всего, действие так называемой агрессивной углекислоты, содержащейся в воде. Явление разъедания металлов и бетона под действием воды известно под названием коррозии.

Наконец, присутствие в воде растворенных солей и взвешенных частиц приводит к нежелательным явлениям инкрустации стенок.

2.7. Свойства идеального газа

Уравнение состояния идеального газа объединяет законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака и связывает между собой основные параметры газа – давление, температуру и удельный объем. Для 1 кг газа это уравнение выведено Клайпероном в следующем виде:

(2.15)

где Р – давление газа; V – удельный объем; Т – абсолютная температура; R – газовая постоянная.

Лекция 3. ГИДРОСТАТИКА

3.1. Силы, действующие в жидкостях

Гидростатика  – раздел гидравлики, в котором изучаются законы покоящейся жидкости, действующие при этом силы, плавание тела без их перемещения. Все частицы жидкости испытывают действие как вышележащих частиц, так и внешних сил, действующих по поверхности жидкости. Действие этих сил вызывает внутри жидкости напряжение, называемое гидростатическим давлением. Силы могут быть поверхностные и массовые. Поверхностными силами являются силы давления на свободной поверхности – атмосферное или отличное от него, внешнее давление (в случае если жидкость замкнута) или силы давления соседних частиц жидкости. Поверхностные силы распределены по поверхности и пропорциональны ее площади.

Массовыми силами являются силы, пропорциональные массе жидкости: силы тяжести и инерционные силы.

Жидкость, помещенная в резервуар, оказывает давление как на его стенки, так и на дно, зависящее от плотности жидкости и места положения рассматриваемой точки. Так, вода и ртуть при одинаковых прочих условиях будут оказывать разное силовое воздействие на стенки сосуда, а частицы жидкости, находящиеся внизу, будут сжиматься сильнее, чем верхние.

3.2. Гидростатическое давление и его свойства

Рассмотрим резервуар, представленный на рис. 3.1, а. На дно резервуара площадью abcd оказывает воздействие вес налитой жидкости, т.е. Р=gV, где  – плотность жидкости; V  – ее объем. Воздействие силы Р на площадь дна abcd представляет среднее гидростатическое давление p = P /abcd.

Выделим на боковой поверхности небольшую площадку mnkz, силу давления на нее обозначим через р. Отношение p / будет также средним гидростатическим давлением в пределах выделенной площадки. Если теперь выделенную площадку уменьшать до нуля, то р будет также стремиться к нулю, а отношение р / в пределе будет представлять собой гидростатическое давление (обозначается буквой р) в точке:

(3.1)

В качестве единицы этой величины применяют Па. Под паскалем понимают давление, создаваемое силой в 1н, равномерно распределенной по нормали к поверхности площадью 1 м².

Итак, гидростатическое давление в точке является пределом отношения силы гидростатического давления, действующей на элементарную площадку к самой элементарной площадке, если последняя стремится к точке.

Рассмотрим свойства гидростатического давления. На вертикальной левой стенке резервуара (рис. 3.1, а) выделим элементарную площадку . Предположим, что реакция стенки на жидкость будет приложена в точке А и направлена к ней под углом. Вектор R можно разложить на два направления – нормальное к стенке и касательное вдоль стенки: Rn и R. Сила Rn вызывает в жидкости сжатие, чему жидкость легко противостоит. Сила R должна была вызвать перемещение частиц жидкости вдоль стенки, но этого мы не наблюдаем (все рассматривается для случая покоя жидкости). Наше предположение о том, что вектор R направлен под углом – неверно.

Рис. 3.1. Схема иллюстрирующая первое свойство гидростатического давления

Из вышесказанного следует несколько свойств.

Свойство 1. В любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке касательной к выделенному объему и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Выделим из жидкости, заполняющей объем резервуара (рис. 3.1, а) – элементарный кубик со сторонами dх, dу, dz (рис. 3.1, б). Кубик находится в равновесии, та это значит, что уравновешены поверхностные и массовые силы по всем трем осям:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

где dхdуdх – объем кубика.

Сократив равенства, получим

(3.5)

Членом pgdz, бесконечно малым по сравнению с p'zr и p''z, можно принебречь, т.е.

(3.6)

Кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей, жидкость находится в покое), поэтому давления по различным осям одинаковы, а именно:

(3.7)

Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях, гидростатическое давление в любой точке одинаково по всем направлениям.

Рис. 3.2. Иллюстрация второго свойства гидростатического давления

Третьим свойством гидростатического давления является зависимость его от координат пространства р=f(х, у, z).

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Выясним характер этой зависимости. Выделим из жидкости, заполняющей резервуар (рис. 3.2), параллелепипед с основанием и высотой h. Давление на свободной поверхности резервуара равно р₀. Поскольку параллелепипед внутри жидкости находится в равновесии, то р'х = р"х, р'y = р"y. Сила, действующая с торца параллелепипеда p'z, уравновешивается силой давления р₀ и силой веса жидкости в объеме параллелепипеда, т.е.

(3.9)

Разделив полученное равенство на , получим

(3.10)

где р – гидростатическое давление жидкости на глубине h.

Это уравнение является основным уравнением гидростатики.

Полученное уравнение означает: полное или абсолютное давление в любой точке покоящейся жидкости складывается из давления на ее свободной поверхности ро и давления рgh, созданного весом выше лежащего слоя жидкости (так называемого столба жидкости).

В открытом резервуаре, находящемся на поверхности земли, первое слагаемое в последнем уравнении равно атмосферному давлению, второе слагаемое рgh называется избыточным давлением

(3.11)

В водоеме на глубине 10 м согласно формуле (3.11)

Таким образом, давление 1 м столба жидкости равно 9,8 кПа.

3.3. Дифференциальные уравнения гидростатики (равновесия). Закон Паскаля

Для выяснения закона распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости рассмотрим общий случай равновесия жидкого тела, находящегося в состоянии относительного покоя.

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед (рис. 3.3) со сторонами ЧНЯ и центром в точке Ц. Рассматриваемый параллелепипед находится в покое под действием: а) поверхностных сил давления окружающей жидкости, направленных внутрь параллелепипеда нормально к его граням; б) объемных (массовых) сил, действующих на каждую частицу жидкости (силы тяжести и силы инерции переносного движения в случае относительного покоя).

Рис. 3.3. Иллюстрация дифференциального уравнения гидростатики

Пусть р – гидростатическое давление в точке Ц, тогда, учитывая непрерывность изменения напряжения в жидкой среде и пренебрегая величинами бесконечно малыми, стремящимися к нулю при уменьшении параллелепипеда до размеров точки, мы можем определить среднее гидростатическое напряжение на соответствующих гранях параллелепипеда по следующим выражениям:

Аналогичные выражения могут быть написаны и для гидростатических напряжений по другим граням.

Равнодействующую массовых сил, действующих на единицу массы жидкости (ускорение массовых сил), обозначим через F, а проекции ее на оси координат – соответственно через Fх, Fу, Fz и на любое направление – через Fn, тогда, условие равновесия сил, действующих на выделенный параллелепипед, заключающееся в равенстве нулю суммы проекций всех сил на избранное направление, можно записать, например, для оси ОХ в виде

Или

Вообще, очевидно, для любого избранного направления будем иметь:

Система уравнений

(3.12)

представляет собой общие условия равновесия жидкости, данные Эйлером.

Умножив уравнения Эйлера соответственно на dх, dу, dz и сложив их, получим:

(3.13)

Учитывая, что левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал гидростатического давления, получим

(3.14)

Уравнение (3.14) может иметь смысл только при условии, что и выражение в скобках в правой части его также представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(х, у, z), которую по аналогии с теоретической механикой назовем силовой функцией. Следовательно, проекции ускорения массовых сил должны определяться следующими соотношениями:

Как известно из теоретической механики, в этом случае должна существовать некоторая функция координат П (х, у, z), называемая потенциальной энергией, равная силовой функции, взятой с обратным знаком. Из этого следует:

и уравнение (3.14) можно переписать в виде:

(3.15)

Интегрируя уравнение (3.15), получим

(3.16)

или

где С – произвольная постоянная интегрирования.

В нашем случае потенциальная энергия относится к единице массы, поэтому будем ее называть удельной потенциальной энергией.

В формуле (3.16) удельная потенциальная энергия П и давление р соответствуют одной и той же частичке жидкости, находящейся в относительном покое.

Для двух частиц одного и того же объема одной и той же однородной жидкости уравнение (3.16) можно написать в виде:

(3.17)

Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают одинаковое давление.

Уравнение такой поверхности мы получим из уравнений (3.14) или (3.17), полагая, что р = const или: dp = 0. При этом

(3.18)

или

(3.19)

Таким образом, все частички жидкости, расположенные на поверхности равного давления, обладают одинаковой удельной потенциальной энергией, соответствующей массовым силам.

Одной из поверхностей равного давления является свободная поверхность жидкости, т.е. поверхность жидкости, граничащая с газовой средой (в гидротехнике обычно с воздухом), т.к. во всех ее точках давление равно внешнему давлению р₀.

Уравнение поверхности равного давления (3.18) можно рассматривать как уравнение работы массовых сил при элементарном перемещении по поверхности равного давления. Из равенства нулю этой работы следует: ускорение массовых сил, действующих на жидкость, находящуюся в относительном покое, в любой точке жидкости направлено по нормали к поверхности равного давления, проходящей через эту точку.

В условиях земного притяжения в гидростатике из массовых сил действует только сила тяжести. Принимая положительным направление оси z вертикально вверх и считая для небольших поверхностей силы тяжести параллельными друг другу, будем иметь:

и, согласно уравнению (3.14),

или

(3.20)

Интегрируя уравнение (3.20), получим:

или (т.к. pg = )

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Полученное уравнение делением обеих частей на можно привести к виду

(3.21)

Для любых двух частиц одного и того же объема жидкости уравнение (3.21) можно представить в виде:

(3.22)

Это уравнение выражает гидростатический закон распределения давления и называется основным уравнением гидростатики.

Основное уравнение гидростатики было получено ранее при помощи анализа действия сил, поделив формулу (3.10) на , мы получим правую часть формулы (3.21). Однако зависимость, полученная интегрированием дифференциальных уравнений движения, имеет более обобщенный характер.

Основное уравнение гидростатики (3.22) может быть использовано для обоснования закона Паскаля.

Возьмем внутри однородной покоящейся жидкости две произвольные точки с отметками z₁ и z₂ относительно некоторой произвольно выбранной плоскости отсчета. Давления в этих точках равны соответственно р₁ и р₂ и связаны уравнением (3.22).

Увеличим, не нарушая равновесия, в точке z₁ давление на р₁. В этом случае соответственно должно измениться давление и в точке z₂ на величину р₂. Для нового состояния основное уравнение будет иметь вид:

что дает

Отсюда следует закон Паскаля: всякое изменение давления в какой-либо точке покоящейся жидкости, не нарушающее ее равновесия, передается в остальные ее точки без изменений.

Для решения прикладных задач важно уметь определять гидростатическое давление в точке.

Пусть z – координата произвольной точки А (рис. 3.4) внутри покоящейся жидкости, в которой необходимо определить давление р. z ₀ – координата точки В того же объема, давление в которой известно и равно р₀

Применим основное уравнение гидростатики (22):

откуда

(3.23)

где z₀ – z есть не что иное, как глубина погружения одной точки под другой.

Из этой формулы следует, что чем ниже расположена точка, тем большее давление она испытывает.

Рис. 3.4. Схема для определения гидростатического давления в точке

Если точка В взята на свободной поверхности (рис. 3.4), то z₀ – z есть глубина h погружения точки, а р₀ – давление на свободной поверхности и

(3.24)

Формула (3.24) является формулой гидростатического давления в точке на глубине h под свободной поверхностью. Таким образом, гидростатическое давление в данной точке покоящейся жидкости складывается из внешнего давления на поверхности р₀ и давления h, зависящего только от глубины погружения h и удельного веса жидкости .

В гидротехнической практике в большинстве случаев внешним давлением является давление атмосферы (р₀ = рam).

Эпюра гидростатического давления на наклонную стенку показана на рис. 3.5, а давление в точке поверхности находится по формуле

(3.25)

т.е. в системе координат р, l зависимость p = f (l) изображается прямой линией. Треугольник АВС представляет собой диаграмму давления и называется эпюрой манометрического давления.

Рис. 3.5. Схема к определению гидростатического давления на стенку

Лекция 4. ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ ЖИДКОСТИ. СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

4.1. Геометрическая и физическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Величина имеет размерность длины и определяет высоту, на которую поднимется жидкость в трубке, один конец которой запаян и из которой полностью удалены воздух и пары жидкости, а у другого конца жидкость воспринимает полное (абсолютное) давление полн. Если бы трубка была открыта сверху, а давление на свободной поверхности равнялось атмосферному, то жидкость в стеклянной трубке поднялась бы на высоту, соответствующую манометрическому давлению.

Заметим, что стеклянная трубка может служить для измерения давления в жидкости и поэтому называется пьезометром.

В гидравлике высоту, соответствующую манометрическому давлению, называют пьезометрической высотой и пьезометрическим напором, мы будем называть пьезометрической высотой или напором величину р/ и в том случае, когда р является полным (абсолютным) давлением. В необходимых случаях к названию будем добавлять «соответствующая полному давлению».

Величину z, отсчитываемую от некоторой произвольной горизонтальной плоскости – плоскости отсчета, называют высотой положения и геометрическим напором.

Сумму двух напоров – геометрического и пьезометрического называют гидростатическим напором.

Основное уравнение гидростатики (3.21) обычно формулируют в виде так называемого закона гидростатического распределения давлений: гидростатический напор одинаков в любых точках покоящейся однородной жидкости.

С физической точки зрения, гидростатический напор Н есть не что иное, как удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости, состоящая из удельной энергии положения z и удельной энергии давления р / .

Под удельной энергией при этом подразумевается энергия единицы веса жидкости.

4.2. Относительный покой жидкости

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня, или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции РM, равная по величине mа. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом , тангенс которого равен

Свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, поэтому она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом .

Рассмотрим еще один частный случай относительного покоя жидкости. Жидкость находится в сосуде, вращающемся равномерно с угловой скоростью вокруг своей вертикальной оси (рис. 4.2). Когда движение установится, жидкость будет вращаться вместе с сосудом и будет относительно последнего находиться в покое.

Из массовых сил на каждую частицу жидкости, например М (рис. 4.2), в данном случае будут действовать сила тяжести и центробежная сила инерции переносного движения, вызванная вращением жидкости вместе с сосудом.

Рис. 4.2. Сосуд, вращающийся равномерно с угловой скоростью вокруг своей вертикальной оси

Для ускорения сил тяжести:

(4.1)

Для ускорения центробежных сил инерции переносного движения:

(4.2)

Прежде всего на основе полученных выражений исследуем форму свободной поверхности жидкости в сосуде, рассматривая ее как поверхность равного давления. Воспользуемся дифференциальным уравнением поверхности равного давления

(4.3)

Подставив значения Fх, Fу, Fz, под которыми следует понимать алгебраическую сумму проекций ускорений силы тяжести и силы инерции, получим

(4.4)

откуда после интегрирования найдем:

(4.5)

Это уравнение показывает, что поверхности равного давления представляют собой параболоиды вращения. Придавая С различные значения, получим семейство параболоидов вращения. Для того чтобы получить уравнение свободной поверхности, надо определить С₀ для нее. Обозначим ординаты свободной поверхности через zCB. Учитывая, что в самой низкой точке свободной поверхности при zCB =z₀ х = 0 и у = 0, получим:

Окончательно, имея в виду, что x² + у² = z², получим:

(4.6)

Из формулы (4.6) следует, что каждая точка свободной поверхности, например, М', находится над уровнем zO на высоте

(4.7)

где u = r – линейная скорость частицы, участвующей во вращательном движении вместе с сосудом и находящейся на расстоянии z от оси вращения.

Теперь найдем закон распределения давления по объему жидкости. В соответствии с выражением для полного дифференциала гидростатического давления в рассматриваемом случае получим

(4.8)

Интегрируя, найдем

(4.9)

или

(4.10)

где r – расстояние частицы от оси вращения. Постоянную С₁ определим по давлению р₀ в точке свободной поверхности, расположенной на оси OZ. При этом r = 0; z = z₀ и

(4.11)

Подставляя значение С₁ в формулу для р, найдем:

(4.12)

Здесь z – координата любой частинні в объеме жидкости.

В связи с тем, что, согласно уравнению (4.7) для любой точки, расположенной внутри жидкости, формула (4.12) может быть представлена в виде

(4.13)

где h – глубина погружения частицы, измеряемая от свободной параболической поверхности. Из уравнения (4.13) видно, что давление распределяется по гидростатическому закону.

4.3. Сила давления жидкости на плоские, произвольно ориентированные поверхности

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом . Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b (рис. 4.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закону Р = gh, поэтому для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например, А и В.

Рис. 4.3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно РА = h = ·0 = 0. Соответственно давление в точке В: РB = h = Н, где Н – глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равнаН, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку А с концом отрезка Н, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым углом в точке В. Среднее значение давления будет равно

(4.14)

Если площадь наклонной стенки S = bL, то равнодействующая гидростатического давления равна

(4.15)

где hс = Н/2 – глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления Ц.Д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки

(4.16)

где JАх – момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ах.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника с размерами bL и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления Ц.Д. находится на расстоянии h/3 от нижней стороны.

4.4. Давление жидкости на цилиндрическую поверхность

Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную поверхность АВС (рис. 4.4), простирающуюся в направлении от читателя на ширину b. Восстановим из точки А перпендикуляр АО к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсеке АОСВ находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объема V, и силы веса взаимно уравновешиваются.

Рис. 4.4. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на цилиндрическую поверхность

Представим, что выделенный объем V представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и жидкость (этот объем на рис. 4.4 заштрихован). Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная стенка АО) имеет площадь Sх = bН, являющуюся проекцией криволинейной поверхности АВС на плоскость уОz.

Сила гидростатического давления на площадь Sх равна Fх = Sхhс. С правой стороны на отсек будет действовать реакция R цилиндрической поверхности. Пусть точка приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис. 4.4. Реакцию R разложим на две составляющие: Rх и Rz. Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности Р₀. Если резервуар открыт, то естественно, что давление Р₀ одинаково со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается.

На отсек АВСО будет действовать сила собственного веса G = V, направленная вниз.

Спроецируем все силы на ось Ох: Fх - Rх = 0, откуда Fх = Rх = Sхhс. Теперь спроецируем все силы на ось Оz: Rz - G = 0, откуда Rz = G = V. Составляющая силы гидростатического давления по оси Оу обращается в нуль, значит Rу = Fу = 0.

Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна

(4.17)

а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давления R=F, то делаем вывод, что

(4.18)

4.5. Закон Архимеда и его приложение

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела

(4.1 9)

Для однородного тела, плавающего на поверхности, справедливо соотношение

(4.20)

где V – объем плавающего тела; m – плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) – центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис. 4.5.).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол , часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилась в нее. При этом получили новое положение центра водоизмещения d'. Приложим к точке d'подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным – в противном случае.

Рис. 4.5. Поперечный профиль судна

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;

2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;

3) если h < 0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна.

Лекция 5. ГИДРОДИНАМИКА. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ. УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

5.1. Основные понятия о движении жидкости

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями.

Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.

Живым сечением (м²) называют площадь поперечного сечения потока, перпендикулярную к направлению течения. Например, живое сечение трубы – круг (рис. 5.1, а); живое сечение клапана – кольцо с изменяющимся внутренним диаметром (рис. 5.1, б).

Рис. 5.1. Живые сечения: а – трубы, б – клапаны

Смоченный периметр – часть периметра живого сечения, ограниченная твердыми стенками (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Смоченный периметр

Для круглой трубы, если угол задан в радианах,

(5.1)

или

(5.2)

если угол задан в градусах.

Расход потока Q равен объему жидкости V, протекающему за единицу времени t через живое сечение

(5.3)

Средняя скорость потока v – скорость движения жидкости, определяемая отношением расхода жидкости Q к площади живого сечения, :

(5.4)

Понятие средней скорости вводят, поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она равна нулю.

Гидравлический радиус потока R – отношение живого сечения к смоченному периметру:

(5.5)

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени:

(5.6)

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся, или нестационарным:

(5.7)

Линия тока это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной.

Трубка тока – трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.

Рис. 5.2. Линия тока и струйка тока

Течение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное течение наблюдается в закрытых руслах без свободной поверхности. Напорное течение наблюдается в трубопроводах с повышенным (пониженным давлением). Безнапорное – течение со свободной поверхностью, которое наблюдается в открытых руслах (реки, открытые каналы, лотки и т.п.).

Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений. Представим трубу с переменным живым сечением (рис.5.4). Расход жидкости через трубу в любом ее сечении постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, откуда

(5.8)

Рис. 5.4. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе

Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:

(5.9)

Уравнение неразрывности в гидродинамике – одно из уравнений, выражающее закон сохранения массы для любого объёма движущейся жидкости (газа). Оно может быть представлено не только в интегральном виде (5.8, 5.9), но и в дифференциальном. В переменных Эйлера уравнение неразрывности имеет вид:

(5.10)

где – плотность жидкости, v – её скорость в данной точке, a vx, vy, vz – проекции скорости на координатные оси. Если жидкость несжимаема ( = const), уравнение неразрывности принимает вид:

(5.11)

Движение жидкости, сопровождающееся вращением частиц вокруг осей, через них проходящих, называется вихревым движением. Для вихревого движения угловая скорость вращения не должна быть равна нулю r 0 . Безвихревое (потенциальное) движение возможно, если соблюдаются условие

или

5.2. Модель идеальной жидкости

Одной кинематической характеристики потока недостаточно для практики, необходимо знать, какие силы действуют внутри жидкости и в каком соотношении находятся они с кинематическими характеристиками потока: с какой силой действует поток на обтекаемые тела и обратно, какова реакция последних на набегающий поток и т.д. Решение этих вопросов сразу с учетом всех свойств жидкости весьма сложно, поэтому сначала рассмотрим динамику некоторой абстрактной жидкости, не имеющей свойства вязкости. Такую абстрактную жидкость, у которой, следовательно, при движении не будут возникать касательные напряжения (не будет трения), назовем невязкой (идеальной) жидкостью.

Изучение основ динамики невязкой жидкости позволит нам далее перейти к рассмотрению динамики реально существующих в природе жидкостей, характеризующихся той или иной степенью вязкости.

5.3. Уравнение количества движения

Второй Закон Ньютона связывает изменение количества движения жидкости с приложенной к ней силой. Изменения имеют вид:

(5.12)

где F – сила, v – скорость, m – масса. Здесь мы должны использовать полную производную, т.к. мы рассчитываем силу для частицы жидкости. Мы можем принять массу постоянной и написать:

(5.13)

где fm – это сила, действующая на единицу массы (массовая сила).

Для нас важны четыре силы: градиента давления, сила Кариолиса, сила тяжести и сила трения. Не раскрывая вид этих сил, можно записать что:

(5.14)

Ускорение равно отрицательному градиенту давления минус сила Кориолиса плюс сила тяжести плюс другие силы. Здесь g – ускорение силы тяжести, – угловая скорость вращения Земли (2 разделить на 24 часа), Fr - сила трения.

В трехмерном пространстве полная производная имеет вид:

(5.15)

Принимая во внимание, что для гидравлических задач силы Кориолиса учитывающие вращение Земли, не являются значимыми, мы не будем их учитывать в дальнейших расчетах.

Раскрыв производные и переписав компоненты уравнения (5.15) в прямоугольной системе координат, получим уравнение движения:

(5.16)

где vx, vy, vz – компоненты скорости по оси x, у, z; Fi – компоненты всех сил трения, действующих по оси x, у, z.

Уравнение (5.16) написано для реальной жидкости. Исключив из него силы трения, получим уравнение для идеальной жидкости Эйлера.

В гидравлике часто бывает полезным использование интегральной формы уравнения количества движения (К.Д.), которая имеет вид:

(5.17)

В простейшем случае, когда скорости потока одинаковы по сечению т (идеальная жидкость), уравнение К.Д. упрощается и имеет вид:

(5.18)

5.4. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением Р, средней скоростью v и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: 1-1 и 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры – тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении (1-1 и 2-2) установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубкой Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечениями 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис. 5.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений (1-1 и 2-2) потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

(5.19)

Сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, поэтому полученное уравнение можно переписать иначе:

(5.20)

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z₁ и z₂ – удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;

– удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;

– удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис. 5.5, можно заметить, что z₁ и z₂ – геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения;

– пьезометрические высоты;

– скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

5.5. Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

(5.21)

Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

(5.22)

Из рис. 5.6 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента: 1 и 2, которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости ( = 2 для ламинарного режима, = 1 для турбулентного режима).

Потерянная высота складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)

(5.23)

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, , g, а для другого сечения одна или несколько величин подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости

5.6. Измерение скорости потока и расхода жидкости

Для измерения скорости в точках потока широко используется работающая на принципе уравнения Бернулли трубка Пито (рис. 5.7), загнутый конец которой направлен навстречу потоку. Пусть требуется измерить скорость жидкости в какой-то точке потока. Поместив конец трубки в указанную точку и составив уравнение Бернулли для сечения 1-1 и сечения, проходящего на уровне жидкости в трубке Пито, получим

(5 24)

где Н – столб жидкости в трубке Пито.

Рис. 5.7. Трубка Пито (а) и расходомер Вентури (б)

Для измерения расхода жидкости в трубопроводах часто используют расходомер Вентури, действие которого основано также на принципе уравнения Бернулли. Расходомер Вентури состоит из двух конических насадков с цилиндрической вставкой между ними (рис. 5.7, б). Если в сечениях I-I и II-II поставить пьезометры, то разность уровней в них будет зависеть от расхода жидкости, протекающей по трубе.

Пренебрегая потерями напора и считая z₁ = z₂, напишем уравнение Бернулли для сечений I-I и II-II:

(5.25)

или

(5.26)

Используя уравнение неразрывности

сделаем замену в полученном выражении:

(5.27)

Решая относительно Q выражение (5.27), получим

(5.28)

Выражение, стоящее перед , является постоянной величиной, носящей название постоянной водомера Вентури.

Из полученного уравнения видно, что h зависит от расхода Q. Часто эту зависимость строят в виде тарировочной кривой h = f(Q).

5.7. Уравнение энергии в дифференциальной форме

Из дифференциальных уравнений Эйлера можно получить уравнение энергии для невязкой жидкости в дифференциальной форме. Это уравнение имеет следующий вид:

(5.29)

где – потенциальная энергия жидкости во всем объеме W; Эn – потенциальная энергия жидкости, рассчитанная на единицу массы в том же объеме, – кинетическая энергия; vn – проекция скорости на внешнюю нормаль к поверхности s.

Из этого уравнения следует, что если во всех точках поверхности, ограничивающей объем потока W, гидродинамические давления одинаковы, то в таком объеме сумма потенциальной и кинетической энергии во времени не меняется.

Лекция 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

6.1. Уравнения движения вязкой жидкости

Уравнения движения вязкой жидкости носят название уравнений Навье-Стокса. Смысл этих уравнений можно понять, учитывая что от уравнений Эйлера для невязкой жидкости уравнения Навье-Стокса должны отличаться членом, учитывающим силы вязкости. Эти силы представлены последним членом уравнений Навье-Стокса (6.1):

(6.1)

Полная производная составляющих скорости и оператор² (набла) имеют вид:

(6.2)

6.2. Режимы движения жидкости

Потери энергии (уменьшение гидравлического напора) можно наблюдать в движущейся жидкости не только на сравнительно длинных участках, но и на коротких. В одних случаях потери напора распределяются (иногда равномерно) по длине трубопровода - это линейные потери; в других – они сосредоточены на очень коротких участках, длиной которых можно пренебречь, – на так называемых местных гидравлических сопротивлениях: вентилях, всевозможных закруглениях, сужениях, расширениях и т.д., короче, всюду, где поток претерпевает деформацию. Источником потерь во всех случаях является вязкость жидкости.

Следует заметить, что потери напора и по длине, и в местных гидравлических сопротивлениях существенным образом зависят от так называемого режима движения жидкости.

При наблюдении за движением жидкости в трубах и каналах можно заметить, что в одном случае жидкость сохраняет определенный строй своих частиц, а в других они перемещаются бессистемно. Однако исчерпывающие опыты по этому вопросу были проведены Рейнольдсом в 1883 г. На рис. 6.1 изображена установка, аналогичная той, на которой Рейнольдс производил свои опыты.

Установка состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.

Первый случай движения жидкости. Если немного приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Если при этом к трубе подсоединить пьезометр или трубку Пито, то они покажут неизменность давления и скорости по времени. Такой режим движения называется ламинарным.

Рис. 6.1. Схема установки Рейнольдса

Второй случай движения жидкости. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходу из трубки начинает колебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито при этом покажут непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды. Такое течение называется турбулентным (рис. 6.1).

Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической vкр.

Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости и обратно пропорционально диаметру трубы:

(6.3)

где v – кинематическая вязкость; k – безразмерный коэффициент; d – внутренний диаметр трубы.

Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом Рейнольдса Rекр и определяется следующим образом:

(6.4)

Как показывает опыт, для труб круглого сечения Rекр примерно равно 2300.

Таким образом, критерий подобия Рейнольдса позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. При Rе < Rекр течение является ламинарным, а при Rе > Rекр – турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при Rе и примерно равно 4000, а при Rе = 2300.. .4000 имеет место переходная, критическая область.

Режим движения жидкости напрямую влияет на степень гидравлического сопротивления трубопроводов.

6.3. Кавитация

В некоторых случаях при движении жидкости в закрытых руслах происходит явление, связанное с изменением агрегатного состояния жидкости, т.е. превращение ее в пар с выделением из жидкости растворенных в ней газов.

Наглядно это явление можно продемонстрировать на простом устройстве, состоящем из трубы, на отдельном участке которой установлена прозрачная трубка Вентури (рис. 6.2). Вода под давлением движется от сечения 1-1 через сечение 2-2 к сечению 3-3. Как видно, сечение 2-2 имеет меньший диаметр. Скорость течения жидкости в трубе можно изменять, например, установленным после сечения 3-3 краном.

Рис. 6.2. Схема трубки для демонстрации кавитации

При небольшой скорости никаких видимых изменений в движении жидкости не происходит. При увеличении скорости движения жидкости в узком сечении 2-2 трубки Вентури появляется отчетливая зона с образованием пузырьков газа. Образуется область местного кипения, т.е. образование пара с выделением растворенного в воде газа. Далее при подходе жидкости к сечению 3-3 явление исчезает.

Это явление обусловлено следующими причинами. Известно, что при движении жидкой или газообразной среды давление в ней падает. Причем, чем выше скорость движения среды, тем давление в ней ниже, поэтому при течении жидкости через местное сужение 2-2, согласно уравнению неразрывности течений, увеличивается скорость с одновременным падением давления в этом месте. Если абсолютное давление при этом достигает значения, равного давлению насыщенных паров жидкости при данной температуре или значения равного давлению, при котором начинается выделение из нее растворимых газов, то в данном месте потока наблюдается интенсивное парообразование (кипение) и выделение газов. Такое явление называется кавитацией.

При дальнейшем движении жидкости к сечению 3-3 пузырьки исчезают, т.е. происходит резкое уменьшение их размеров. В то время, когда пузырек исчезает (охлопывается), в точке его охлопывания происходит резкое увеличение давления, которое передается на соседние объемы жидкости и через них – на стенки трубопровода. От таких многочисленных местных повышений давлений (гидроударов), возникает вибрация.

Таким образом, кавитация – это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке.

Кавитация в обычных случаях является нежелательным явлением, и ее не следует допускать в трубопроводах и других элементах гидросистем. Кавитация возникает в кранах, вентилях, задвижках, жиклерах и т.д.

Кавитация может быть в гидромашинах (насосах и гидротурбинах), снижая при этом их коэффициент полезного действия, а при длительном воздействии кавитации происходит разрушение деталей, подверженных вибрации. Кроме этого разрушаются стенки трубопроводов, уменьшается их пропускная способность вследствие уменьшения живого сечения трубы.

6.4. Потери напора при ламинарном течении жидкости

Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы.

У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастают плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью – квадратичную параболу (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Схема для рассмотрения ламинарного потока

Уравнение, связывающее переменные v и r, имеет следующий вид:

(6.5)

где Р₁ и Р₂ – давления соответственно в сечениях 1 и 2.

У стенок трубы величина r = R, значит, скорость v = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной:

(6.6)

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, поэтому расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем.

Максимальная скорость дает высоту параболоида

(6.7)

Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью R² равен

(6.8)

а в нашем случае

(6.9)

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула (6.9) приобретет вид:

(6.10)

Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость

(6.11)

откуда

(6.12)

Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис. 6.3).

Потеря давления в трубопроводе будет равна

(6.13)

Если в формуле динамический коэффициент вязкости заменить через кинематический коэффициент вязкости v и плотность ( = v) и разделить обе части равенства на объемный вес жидкости = g, то получим

(6.14)

Левая часть полученного равенства равна потерям напора hпот в трубе постоянного диаметра, поэтому окончательно это равенство примет вид:

(6.15)

Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так:

(6.16)

где – коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению

(6.17)

Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения Т.М. Башта рекомендует при Rе < 2300 применять формулу

(6.18)

6.5. Потери напора при турбулентном течении жидкости

Как было указано в п. 6.1, для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерять пульсации, например, скорости по времени в фиксированной точке потока, то получим картину, подобную показанной на рис. 6.4. Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осредненного по времени значения vоср, которое в данном случае остается постоянным.

Характер линий тока в трубе в данный момент времени отличается большим разнообразием (рис. 6.5).

Рис. 6.4. Пульсация скорости в турбулентном потоке

Рис. 6.5. Характер линий тока в турбулентном потоке

При турбулентном режиме движения жидкости в трубах эпюра распределения скоростей имеет вид, показанный на рис. 6.6. В тонком пристенном слое толщиной жидкость течет в ламинарном режиме, а остальные слои текут в турбулентном режиме и называются турбулентным ядром. Таким образом, строго говоря, турбулентного движения в чистом виде не существует. Оно сопровождается ламинарным движением у стенок, хотя слой с ламинарным режимом весьма мал по сравнению с турбулентным ядром.

Рис. 6.6. Модель турбулентного режима движения жидкости

Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха-Дарси.

Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения . Этот коэффициент зависит от числа Рейнольдса Rе и от безразмерного геометрического фактора – относительной шероховатости /d (или /r₀, где r₀ – радиус трубы).

Впервые наиболее исчерпывающей работой по определению были опыты И.И. Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости Ig(1000) от IgRе для ряда значений /r₀. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклейки песчинок определенного размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рис. 6.7. Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости.

Далее на графике можно рассматривать три области.

Первая область – область малых Re и /r₀, где коэффициент не зависит от шероховатости, а определяется лишь числом Rе (отмечена на рис. 6.7 прямой II). Это область гидравлически гладких труб. Если число Рейнольдса лежит в диапазоне 4000 < Rе < 10(d/,) коэффициент определяется по полуэмпирической формуле Блазиуса:

(6.19)

Для определения существует также эмпирическая формула П.К. Конакова, которая применима для гидравлически гладких труб

(6.20)

Рис. 6.7. График Никурадзе

Во второй области, расположенной между линий II и пунктирной линией справа, коэффициент зависит одновременно от двух параметров – числа Re и относительной шероховатости /r₀, которую можно заменить на э. Для определения коэффициента в этой области может служить универсальная формула А.Д. Альтшуля:

(6.21)

где э – эквивалентная абсолютная шероховатость.

Характерные значения э (в мм) для труб из различных материалов приведены ниже.

Таблица 6.1

Эквивалентная шероховатость некоторых труб

Стекло | 0
Трубы, тянутые из латуни, свинца. меди | 0...0,002
Высококачественные бесшовные стальные трубы | 0,06...0,2
Стальные трубы | 0,1...0,5
Чугунные асфальтированные трубы | 0,1...0,2
Чугунные трубы | 0,2...1,0

Третья область - область больших Re и /г₀, где коэффициент не зависит от числа Re, а определяется лишь относительной шероховатостью (область расположена справа от пунктирной линии). Это область шероховатых труб, в которой все линии с различными шероховатостями параллельны между собой. Эту область называют областью автомодельности, или режимом квадратичного сопротивления, т.к. здесь гидравлические потери пропорциональны квадрату скорости.

Определение для этой области производят по упрощенной формуле Альтшуля:

f6.22(6.22)

или по формуле Прандтля - Никурадзе:

f6.23(6.23)

Итак, потери напора, определяемые по формуле Вейсбаха-Дарси, можно получить, зная коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется в зависимости от числа Рейнольдса и от эквивалентной абсолютной шероховатости э. Для удобства сводные данные по определению представлены в табл. 6.1.

Пользоваться приведенными в табл. 6.2 формулами для определения коэффициента не всегда удобно. Для облегчения расчетов можно воспользоваться номограммой Колбрука-Уайта (рис. 6.8), при помощи которой по известным Rе и э/ d весьма просто определяется .

Таблица 6.2

Формулы для определения коэффициента гидравлического трения

Рис. 6.8. Номограмма Колбрука-Уайта для определения коэффициента гидравлического трения

6.6. Местные гидравлические сопротивления

Все гидравлические потери энергии делятся на два типа: потери на трение по длине трубопроводов (рассмотрены в п. 6.3 и 6.4) и местные потери, вызванные такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв потока от стенок русла и возникновение вихреобразования.

Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить на расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или постепенным. Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.

Рассмотрим простейшие местные сопротивления при турбулентном режиме течения в трубе.

1. Внезапное расширение русла. Потеря напора (энергии) при внезапном расширении русла расходуется на вихреобразование, связанное с отрывом потока от стенок, т.е. на поддержание вращательного непрерывного движения жидких масс с постоянным их обновлением.

Рис. 6.9. Внезапное расширение трубы

При внезапном расширении русла (трубы) (рис. 6.9) поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как русло, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри, которые и являются причиной потерь энергии. Рассмотрим два сечения потока: 1-1 – в плоскости расширения трубы и 2-2 – в том месте, где поток, расширившись, заполнил все сечение широкой трубы. Поток между рассматриваемыми сечениями расширяется, поэтому скорость его уменьшается, а давление возрастает. Поэтому второй пьезометр показывает высоту на H большую, чем первый; но если бы потерь напора в данном месте не было, то второй пьезометр показал бы высоту большую еще на hрасш. Эта высота и есть местная потеря напора на расширение, которая определяется по формуле

(6.24)

где S₁, S₂ – площадь поперечных сечений 1-1 и 2-2.

Это выражение является следствием теоремы Борда, которая гласит, что потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определенному по разности скоростей:

(6.25)

Выражение (1 - S₁/S₂)² обозначается греческой буквой (дзета) и называется коэффициентом потерь, таким образом,

(6.26)

2. Постепенное расширение русла. Постепенно расширяющаяся труба называется диффузором (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Постепенное расширение трубы

Течение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления и, следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления. В диффузоре, также как и при внезапном расширении русла, происходит отрыв основного потока от стенки и вихреобразования. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора .

Кроме того, в диффузоре имеются и обычные потери на трение, подобные тем, которые возникают в трубах постоянного сечения. Полную потерю напора в диффузоре рассматривают как сумму двух слагаемых:

(6.27)

где hmр и hрасш – потери напора на трение и расширение (вихреобразование),

(6.28)

где n = S₂/S₁ = (r₂/r₁)² – степень расширения диффузора. Потеря напора на расширение hрасш имеет ту же самую природу, что и при внезапном расширении русла:

(6.29)

где k – коэффициент смягчения, при = 5...20°, k = sin.

Учитывая это, полную потерю напора можно переписать в виде:

(6.30)

откуда коэффициент сопротивления диффузора можно выразить формулой

(6,31)

Функция = f() имеет минимум при некотором наивыгоднейшем оптимальном значении угла , оптимальное значение которого определится следующим выражением:

(6.32)

При подстановке в эту формулу Т =0,015...0,025 и n = 2...4, получим опт = 6 (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Зависимость диф от угла

3. Внезапное сужение русла. В этом случае потеря напора обусловлена трением потока при входе в более узкую трубу и потерями на вихреобразование, которые образуются в кольцевом пространстве вокруг суженой части потока (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Внезапное сужение трубы

6.13. Конфузор

Полная потеря напора определится по формуле

(6.33)

где коэффициент сопротивления сужения определяется по полуэмпирической формуле И.Е. Идельчика:

(6.34)

в которой n = S₁/S₂ – степень сужения.

При выходе трубы из резервуара больших размеров, когда можно считать, что S₂/S₁ = 0, а также при отсутствии закругления входного угла, коэффициент сопротивления суж = 0,5.

4. Постепенное сужение русла. Данное местное сопротивление представляет собой коническую сходящуюся трубу, которая называется конфузором (рис. 6.13). Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления. В конфузоре имеются лишь потери на трение

(6.35)

где коэффициент сопротивления конфузора определяется по формуле

(6.36)

в которой n = S₁/S₂ – степень сужения.

Небольшое вихреобразование и отрыв потока от стенки с одновременным сжатием потока возникает лишь на выходе из конфузора в месте соединения конической трубы с цилиндрической. Закруглением входного угла можно значительно уменьшить потерю напора при входе в трубу. Конфузор с плавно сопряженными цилиндрическими и коническими частями называется соплом (рис. 6.14).

Рис. 6.14. Сопло

5. Внезапный поворот трубы (колено). Данный вид местного сопротивления (рис. 6.15) вызывает значительные потери энергии, т.к. в нем происходят отрыв потока и вихреобразования, причем потери тем больше, чем больше угол . Потерю напора рассчитывают по формуле

(6.37)

где кол – коэффициент сопротивления колена круглого сечения, который определяется по графику в зависимости от угла колена (рис. 6.16).

Рис. 6.15. Колено

Рис. 6.16. Зависимости кол от угла

Рис. 6.17. Отвод

6. Постепенный поворот трубы (закругленное колено, или отвод). Плавность поворота значительно уменьшает интенсивность вихреобразования, а, следовательно, и сопротивление отвода по сравнению с коленом. Это уменьшение тем больше, чем больше относительный радиус кривизны отвода R/d (рис. 6.17). Коэффициент сопротивления отвода отв зависит от отношения R/d, угла , а также формы поперечного сечения трубы.

Для отводов круглого сечения с углом = 90 и R/d 1 при турбулентном течении можно воспользоваться эмпирической формулой:

(6.38)

Для углов 70° коэффициент сопротивления

(6.39)

а при 100°

(6.40)

Потеря напора в колене определится как

(6.41)

Все выше изложенное относится к турбулентному движению жидкости. При ламинарном движении местные сопротивления играют малую роль при определении общего сопротивления трубопровода. Кроме этого закон сопротивления при ламинарном режиме является более сложным и исследован в меньшей степени.

Лекция 7. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ, НАСАДКОВ И ИЗ-ПОД ЗАТВОРОВ

7.1. Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре

Рассмотрим различные случаи истечения жидкости из резервуаров, баков, котлов через отверстия и насадки (коротки трубки различной формы) в атмосферу или пространство, заполненное газом или той же жидкость. В процессе такого истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость, находящаяся в резервуаре, превращается в кинетическую энергию свободной струи.

Основным вопросом, который интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков.

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью под давлением Р₀, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н₀ от свободной поверхности (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Истечение из резервуара через малое отверстие

Жидкость вытекает в воздушное пространство с давлением Р₁. Пусть отверстие имеет форму, показанную на рис.7.2, а, т.е. выполнено в виде сверления в тонкой стенке без обработки входной кромки или имеет форму, показанную на рис.7.2, б, т.е. выполнено в толстой стенке, но с заострением входной кромки с внешней стороны. Струя, отрываясь от кромки отверстия, несколько сжимается (рис. 7.2, а). Такое сжатие обусловлено движением жидкости от различных направлений, в том числе и от радиального движения по стенке, к осевому движению в струе.

Рис. 7.2. Истечение через круглое отверстие

Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия

(7.1)

где Sс и S₀ – площади поперечного сечения струи и отверстия соответственно; dс и d₀ – диаметры струи и отверстия соответственно.

Скорость истечения жидкости через отверстие такое отверстие

(7.2)

где Н – напор жидкости, определяется как

(7.3)

– коэффициент скорости

(7.4)

где – коэффициент Кориолиса; – коэффициент сопротивления отверстия.

Расход жидкости определяется как произведение действительной скорости истечения на фактическую площадь сечения

(7.5)

Произведение и принято обозначать буквой и называть коэффициентом расхода, т.е. = .

В итоге получаем расход

(7.6)

где Р – расчетная разность давлений, под действием которой происходит истечение. При помощи этого выражения решается основная задача – определяется расход.

Значение коэффициента сжатия , сопротивления скорости и расхода для круглого отверстия можно определить по эмпирически построенным зависимостям. На рис. 7.3 показаны зависимости коэффициентов , и от числа Рейнольдса, подсчитанного для идеальной жидкости

(7.7)

где v – кинематическая вязкость.

Рис. 7.3. Зависимость , и от числа Reи

При истечении струи в атмосферу из малого отверстия в тонкой стенке происходит изменение формы струи по ее длине, называемое инверсией струи (рис. 7.4). Обусловливается это явление в основном действием сил поверхностного натяжения на вытекающие криволинейные струйки и различными условиями сжатия по периметру отверстия. Инверсия больше всего проявляется при истечении из некруглых отверстий.

Рис. 7.3. Инверсия струй

7.2. Истечение при несовершенном сжатии

Несовершенное сжатие наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Схема несовершенного сжатия струи

Боковые стенки частично направляют движение жидкости при подходе к отверстию, поэтому струя по выходу из отверстия сжимается в меньшей степени, чем из резервуара неограниченных размеров, как это было описано в п. 7.1.

При истечении жидкостей из цилиндрического резервуара круглого сечения через круглое отверстие, расположенное в центре торцевой стенки, при больших числах Rе коэффициент сжатия для идеальной жидкости можно найти по формуле, представленной Н.Е. Жуковским:

(7.8)

где n – отношение площади отверстия S₀ к площади поперечного сечения резервуара S₁

(7.9)

Расход жидкости при несовершенном сжатии

(7.10)

где напор Н нужно находить с учетом скоростного напора в резервуаре

(7.11)

7.3. Истечение под уровень

Часто приходится иметь дело с истечением жидкости не в атмосферу, а в пространство, заполненное этой же жидкостью (рис. 7.6), такой случай называется истечением под уровень, или истечением через затопленное отверстие.

Рис. 7.6. Истечение под уровень

В этом случае вся кинетическая энергия струи теряется на вихреобразование, как при внезапном расширении.

Скорость истечения в сжатом сечении струи

(7.12)

где – коэффициент скорости; Н – расчетный напор,

(7.13)

Расход жидкости равен

(7.14)

Таким образом, имеем те же расчетные формулы, что и при истечении в воздух (газ), только расчетный напор Н в данном случае представляет собой разность гидростатических напоров по обе стенки, т.е. скорость и расход жидкости в данном случае не зависят от высот расположения отверстия.

Коэффициенты сжатия и расхода при истечении под уровень можно принимать те же, что и при истечении в воздушную среду.

7.4. Истечение через насадки при постоянном напоре

Внешним цилиндрическим насадком называется короткая трубка длиной, равной нескольким диаметрам без закругления входной кромки (рис. 7.7). На практике такой насадок часто получается в тех случаях, когда выполняют сверление в толстой стенке и не обрабатывают входную кромку. Истечение через такой насадок в газовую среду может происходить в двух режимах.

Первый режим – безотрывный.