Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин

Инструменты финансового рынка

Учебное пособие

Издание второе, исправленное и дополненное

ebooks@prospekt.org

Информация о книге

УДК 681.140

ББК 65.26Я73

Ш64

Авторы:

Ширшов Е. В., Северный (Арктический) федеральный университет, г. Архангельск, Высшая школа экономики, управления и права, профессор кафедры менеджмента; Петрик Н. И., Северный (Арктический) федеральный университет, г. Архангельск, Высшая школа экономики, управления и права, доцент кафедры финансов и кредита; Тутыгин А. Г., Фонд «Архангельский региональный центр микрофинансирования», г. Архангельск, исполнительный директор.

Рецензенты:

Скрипниченко В. А., д-р экон. наук, профессор кафедры финансов и кредита Высшей школы экономики, управления и права САФУ; Дрожжин Д. П., канд. с.-х. наук, доцент, ведущий консультант отдела науки и высшей школы Министерства образования и науки Архангельской области.

Систематизированы основные инструменты финансовых вычислений. Приведены различные математические методы и способы количественного финансового анализа, разнообразных финансовых и кредитных расчетов, определения доходности операций по ценным бумагам. Подробно рассмотрены методы начисления процентов, обобщающие характеристики рентных платежей, методики определения эффективности краткосрочных и долгосрочных финансовых вложений, представлены критерии оценки доходности операций с ценными бумагами.

Учебное пособие прошло многолетнюю апробацию на базе Высшей школы экономики, управления и права Северного (Арктического) федерального университета имени М. В. Ломоносова.

Для студентов экономических вузов, обучающихся по направлениям бакалавриата 38.03.01 «Экономика»; 38.03.02 «Менеджмент»; 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление» всех форм обучения, слушателей системы послевузовского образования, преподавателей.

УДК 681.140

ББК 65.26Я73

© Ширшов Е. В., Петрик Н. И., Тутыгин А. Г., 2015

© Ширшов Е. В., Петрик Н. И., Тутыгин А. Г., 2016, с изменениями

© ООО «Проспект», 2016

Введение

В любом из современных курсов экономики и управления используются инструменты финансового рынка. Профессиональное занятие бизнесом требует, прежде всего, умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки. Центральная проблема экономики и управления — это проблема рационального выбора, для этого необходимы определенные знания в области финансовых вычислений, оценки принимаемых финансовых и управленческих решений, основанные на теории и практике количественного финансового анализа.

В первом разделе пособия рассмотрены основные понятия финансового количественного анализа, приведены параметры финансовых вычислений — проценты, система процентных ставок, наращение процентов, дисконтирование платежей, финансовая эквивалентность платежей, влияние инфляционных процессов, консолидация платежей, аннуитеты, показана их взаимосвязь.

Во втором разделе уделено внимание вопросам, относящимся к количественному анализу разнообразных потоков платежей. Рассмотрены методы погашения долгов, ипотечное кредитование, операции с ценными бумагами, страхование.

Все разделы пособия содержат типовые примеры, что облегчает восприятие теоретического материала и делает его доступным для самостоятельного освоения и применения в практической деятельности как студентами, так и специалистами различных финансовых институтов. Изложение материала построено от простого к сложному, что позволяет сделать правильный математический расчет в определенной хозяйственной ситуации и сделать оптимальный выбор.

Изучение инструментария финансово-экономических расчетов позволит будущему специалисту сформировать необходимые знания в его профессиональной деятельности.

Учебное пособие прошло многолетнюю апробацию на базе Высшей школы экономики и управления Северного (Арктического) федерального университета имени М. В. Ломоносова.

Пособие представляет интерес не только для студентов экономических вузов, бизнес-школ, колледжей, но и для специалистов — сотрудников банков, инвестиционных компаний, пенсионных фондов и страховых компаний.

Раздел I. Основные понятия финансовых вычислений

1. Виды процентов

Проценты (процентные деньги) — это абсолютная величина дохода (interest) от предоставления капитала в долг в любой ее форме (выдача ссуды, покупка облигации, учет векселя, продажа товара в кредит и т. д.). Проценты обозначаются буквой I. Величина полученного дохода определяется исходя из:

• величины вкладываемого капитала P;

• срока n, на который вкладывается капитал;

• размера и вида процентной ставки (обозначения i, d, j, f, σ).

Наращение основной суммы S происходит за счет присоединения процентных денег к основному капиталу: S = P + I.

Коэффициентом наращения называется безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз вырос капитал.

Период начисления — это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может быть разбит на интервалы, по прошествии которых происходит начисление процентов.

Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из предоставляемого капитала P. Процентная ставка представляет собой отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода (процентов) к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала. Сумма процентных денег (дохода) определяется исходя из наращенной суммы. В этом случае процентная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный интервал, к величине наращенной суммы. Такая процентная ставка называется учетной (в широком смысле).

При обоих способах начисления проценты могут быть либо простыми, либо сложными.

1.1. Простые проценты

Величина процентной ставки определяется как

где IГ — сумма процентов за год; P — сумма капитала, предоставляемого в кредит. Процентная ставка выражается десятичной дробью.

Для простых процентов доход за n лет

I = IГ n.

Наращение основной суммы

S = P + I = P + Pin = P(1 + in),

где 1+ in = kн — коэффициент наращения.

Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, период начисления равен отношению числа дней ∂ функционирования сделки к числу дней в году K, т. е. n = .

В этом случае формула наращенной суммы примет вид

.

На практике применяются три варианта расчета процентов с использованием временной базы К.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Продолжительность года K (временная база) равна 365 (366) дням. Точное число дней ссуды ∂ определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. Для подсчета числа дней можно воспользоваться Приложением 1.

2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Величина ∂ рассчитывается, как в предыдущем случае, а временная база принимается равной K = 360 дн.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). В этом случае год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом, и временная база K = 360 дн.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимают за 1 день.

Пример 1.1. Банк выдал кредит 50 тыс. руб. 15 января. Срок возврата кредита — 12 сентября. Процентная ставка установлена в размере 10% годовых. Год невисокосный. Определить сумму, подлежащую возврату.

Р е ш е н и е. Наращенную сумму долга S, подлежащую возврату, рассчитаем тремя методами.

1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды определим по Приложению 1. Порядковый номер 15 января — 15, порядковый номер 12 сентября — 255. Точное число дней ссуды ∂ = 255–15 = 240 дн.

тыс. руб.

2. По формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды.

≈ 53, 333 тыс. руб.

3. По формуле обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды: январь — 16 дней, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август — 30 ⋅ 7 дн., сентябрь — 12 дн.

Тогда

∂ = 16 + 30 ⋅ 7 + 12–1 = 237 дней.

тыс. руб.

Начиная с 2000 г. в нашей стране для реальных расчетов применяется английская практика (начисление точных процентов).

Рассмотрим случай, когда на различных интервалах начисления процентов применяются различные простые процентные ставки. Наращенная сумма на конец срока определяется следующим образом:

,

где it — ставка простых процентов в периоде t, t = ; nt — продолжительность периода; .

Пример 1.2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 10%, в каждом последующем полугодовая ставка повышается на 1%. Необходимо определить коэффициент наращения за два года.

Р е ш е н и е. Находим коэффициент наращения:

kн = ￼ = 1 + 0,1 ⋅ 1 + 0,11 ⋅ 0,5 + 0,12 ⋅ 0,5 = 1,215.

Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случае, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.

На практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т. е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализацией процентов. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле

.

Пример 1.3. 200 руб. положены 1 марта на месячный депозит под 12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?

Р е ш е н и е. Если начисляются точные проценты, то

руб.

Начисление обыкновенных процентов (германская практика); наращенная сумма

1.2. Простые учетные ставки

Простая учетная ставка — антисипативный способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100%) принимается сумма погашения долга.

Введем обозначения:

d% — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина этой ставки;

Dг — сумма процентных денег за год;

D — сумма процентных денег за период, равный n.

Тогда простая учетная ставка

где S — наращенная сумма.

Сумма процентных денег за 1 год составит Dг = dS, а за период nD = Dгn = Sdn. Произведем преобразования:

S = P + D; S = P + Sdn; S — Sdn = P; P = S(1 — dn).

Получаем — основная формула для простых антисипативных процентов. Здесь — коэффициент наращения. Можно также записать

.

Пример 1.4. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база K = 360 дн.?

Р е ш е н и е. Первоначальная сумма долга — это величина P:

руб.

На практике расчеты по простым учетным ставкам чаще всего применяются при учете векселей и других краткосрочных долговых обязательств.

Пример 1.5. Владелец векселя учел его в банке по простой учетной ставке 9% за 30 дней до срока погашения, получив при этом 4963 руб. Определить номинал векселя.

Р е ш е н и е. Номинал векселя — это величина S:

руб.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.1. Сумма процентов, начисленных в период с 10 января по 31 октября, составила 1568 руб. Определить размер первоначального капитала, если банк начисляет проценты по ставке 11% годовых при условии, что год невисокосный.

Задача 1.2. Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30-дневному сертификату номиналом 100 тыс. руб. равна 10%. Год високосный. Определить сумму точных процентов, выплаченных при погашении сертификата.

Задача 1.3. Переводный вексель выдан на сумму 500 тыс. руб. с уплатой 19 декабря. Векселедержатель учел вексель в банке 25 октября по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка.

Задача 1.4. Сберегательный сертификат выдан на 186 дней под 16% годовых с погашением 50 тыс. руб. Год невисокосный. Определить доход держателя сертификата.

Задача 1.5. На какой срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб., если сумма погашения при 8% годовых составляет 10,5 тыс. руб.? Год невисокосный.

Задача 1.6. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб. выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб.

Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку.

За временную базу принять 360 дней.

Задача 1.7. По сберегательному сертификату, выданному на 210 дней, начисляется дисконт в размере 12% от суммы погашения. Год невисокосный.

Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку.

1.3. Сложные проценты

Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией.

Как и в случае простых процентов, существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный.

В случае декурсивного способа расчета сложных процентов начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.

В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:

S1 = P + Pi = P(1 + i).

В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму:

S2 = P(1 + i) + P(1 + i)i = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2.

И так далее, в конце n-го периода (года) наращенная сумма будет равна

Sn = P(1 + i)n.

Величина (1 + i)n является коэффициентом наращения сложных процентов (Приложение 2).

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом:

S = P(1 + i)[n](1 + {n}i),

где [n] — целая часть числа n; {n} — дробная часть числа n.

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В этом случае указывается годовая ставка j (номинальная). Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула

S = P (1+j/m)mn.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена по смешанному методу

S = P(1+ j/m)mn(1+ (j/m{n}),

где mn — число полных периодов начисления процентов, {n} — дробная часть одного периода начисления процентов.

Пример 1.5. На сумму 600 руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определить величину наращенной суммы двумя методами.

Р е ш е н и е. Общее число периодов начисления процентов составит:

mn = 4, {n} = 0,667.

Наращенная сумма

S = 600 (1 + 0,12/4)4,667 = 688,75 руб.

По смешанному методу начисления

S = 600 (1 + 0,12/4)4 ·(1 + 0,667 · 0,12/4) = 688,81 руб.ּ

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

,

где it — процентная ставка в периоде t, t = ; nt — продолжительность периода.

Способ начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов.

В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле:

,

во втором

,

в n-м

,

где — коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов; d — учетная ставка сложных процентов; n — число лет. При наращении сложных процентов по учетной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле

,

где f — номинальная учетная ставка; m — число период начисления процентов в течение года; n — число лет.

Пример 1.6. Срочный вклад в размере 800 руб. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисление процентов производится один раз в году по сложной учетной ставке d = 15% годовых. Определить наращенную сумму.

Р е ш е н и е. Наращенная сумма составит

руб.

Если наращение по учетной ставке производить не один, а два раза в год (m = 2), то наращенная сумма будет равна:

руб.

1.4. Непрерывные проценты

Начисление процентов на первоначальный капитал может производиться столь часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный.

При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма

S = P(1 + j/m)mn.

При m → ∞.

.

где ejn — коэффициент наращения при непрерывной капитализации процентов.

Если ставку непрерывных процентов j (силу роста) обозначить через σ, то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:

.

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства коэффициентов наращения

(1 + i)n = e σ n

следует, что

σ = ln(1 + i), i = e σ — 1.

Пример 1.7. На первоначальный капитал в сумме 500 руб. начисляются сложные проценты — 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Р е ш е н и е. Найдем сначала силу роста σ, а потом наращенную сумму S:

σ = ln(1 + i) = ln1,08 = 0,0769611;

S = Pe σ n = 500 · e0,0769611 ≈ 680,25 руб.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные проценты применяются крайне редко. Они имеют теоретическое значение, используются в анализе сложных финансовых проблем при обосновании и выборе инвестиционных проектов.

2. Дисконтирование и его сущность

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется. Величину P, найденную дисконтированием наращенной суммы S, называют современной стоимостью. С помощью дисконтирования в финансовых операциях учитывается фактор времени. Разность S — P можно рассматривать не только как проценты, начисленные на P, но и как дисконт D с суммы S: D = S — P.

2.1. Математическое дисконтирование

Запишем формулу наращения по простой ставке процентов следующим образом:

.

Величина = kd — коэффициент дисконтирования по простым процентам.

Пример 2.1. Владелец векселя номинальной стоимости 400 руб. и сроком обращения один год предъявил его банку-эмитенту для учета за 90 дней до даты погашения. Банк учел его по ставке 12% годовых (проценты простые). Определить дисконтированную величину и величину дисконта, временная база К = 360.

Р е ш е н и е. Сумма, полученная владельцем векселя в результате его учета:

Величина дисконта D = 400 – 388,35 = 11,65 руб.

2.2. Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d, т. е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

При банковском дисконтировании современная стоимость P величины S определяется по формуле: P = S(1 — dn), отсюда D = Sdn.

Рассмотрим пример 2.1. По условию S = 400, ∂ = 90, K = 360, возьмем учетную ставку d = 12%. Тогда дисконтированная величина

руб.

Величина дисконта

D = S — P = 400–388 = 12,00 руб.

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещают начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

S = P(1+in)(1 – dn′),

где n — общий срок платежного обязательства; n′ — срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, т. е. n′ < n.

Пример 2.2. Долговое обязательство в сумме 2000 руб. должно быть погашено через 90 дней по ставке 10% годовых. Владелец обязательства учел его в банке за 30 дней до наступления срока по учетной ставке 12%. Найти полученную после учета векселя сумму и величину дисконта.

В соответствии с приведенной выше формулой:

руб.

2.3. Дисконтирование по сложной процентной и по сложной учетной ставкам

Современная стоимость P величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле

где ki,n = (1 + i)–n — дисконтный коэффициент (коэффициент дисконтирования). Значения этого коэффициента табулированы (см. Приложение 3).

Величина дисконта

D = S — P = S(1 — (1+ i)–n).

При начислении процентов m раз в году получим

,

где = — можно определить, используя Приложение 3.

Величина дисконта

.

Пример 2.3. Определить современную стоимость 20 тыс. руб., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по 8% годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально.

Р е ш е н и е. Если начисление процентов производилось 1 раз в конце года, то современная величина 20 тыс. руб. составляет:

P = 20(1 + 0,08)-4 = 20 ⋅ 0,7350 = 14,700 тыс. руб.

Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то

тыс. руб.

В учетных операциях широко применяется сложная учетная ставка.

В этом случае:

P = S(1 — d)n.

D = S — P = S(1 — (1 — d)n) .

При дисконтировании m раз в году используется номинальная учетная ставка ƒ.

В этом случае:

P = S(1 — ƒ/m)mn .

D = S(1 — (1 — ƒ/m)mn).

Пример 2.4. Долговое обязательство на сумму 6 тыс. руб. со сроком погашения через два года было передано в банк для учета. Дисконтирование производилось по ставке ƒ = 9% при m = 4. Определить величину дисконта.

Р е ш е н и е. На руки владелец обязательства получит следующую сумму:

P = 6(1 – 0,09 / 4)2⋅4 = 5,001 тыс. руб.

Величина дисконта

D = 6000 – 5,0013 = 0,999 тыс. руб.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.1. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год — 60%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5%.

Требуется:

• определить наращенную стоимость облигации по простой и учетной ставкам;

• составить план наращения первоначальной стоимости по простым ставкам;

• рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и сложной учетной ставкам;

• составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

• построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставкам;

• проанализировать доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора (держателя облигаций) и заемщика (эмитента облигаций).

Задача 2.2. Вексель, выданный на 120 дней, с обязательством уплатить 50 тыс. руб., учитывается по ставке 8%.

Определить приведенную наращенную стоимость и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете.

Задача 2.3. Вексель на 100 тыс. руб., с обязательством уплатить через 180 дней, с 8 простыми процентами годовых учтен банком за 60 дней до наступления срока платежа по учетной ставке 6%.

Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка.

Задача 2.4. Сберегательный сертификат номиналом 30 тыс. руб. под 60% годовых выдан на 180 дней и учтен за 120 дней до даты погашения по учетной ставке 75%.

Определить:

• сумму, полученную держателем сертификата, при досрочном учете сертификата банком;

• доходы держателя сертификата и банка;

• выполнить проверку расчетом.

Задача 2.5. Сберегательный сертификат номиналом 100 тыс. руб. выдан на два года и 90 дней под процентную ставку 60%.

Определить сумму, полученную держателем сертификата при погашении займа.

Задача 2.6. Ставка по облигации номиналом 5 тыс. руб. — 6%.

Определить число лет, необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты: а) по процентной ставке; б) по учетной ставке.

Задача 2.7. За какой срок наращенная стоимость облигации номиналом 100 тыс. руб. достигает 140 тыс. руб. при условии, что на нее начисляются сложные проценты по ставке 10% в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

3. Эффективная ставка при начислении сложных процентов m раз в году

Эффективная ставка j — это годовая ставка сложных процентов, которую необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m — разовом начислении процентов в году по ставке j/m.

Наращенные суммы на один и тот же капитал равны:

P(1 + iэф)n = P(1 + j/m)mn,

откуда

iэф = (1 + j/m)m — 1.

Пример 3.1. Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки 8% при ежеквартальном начислении процентов (m = 4).

Р е ш е н и е. Эффективная ставка сложных процентов равна

iэф = (1 + 0,08/4)4 – 1 ≈ 0,0824 (8,24%).

Рассмотрим наращение на основе сложной учетной ставки. Здесь также возникает понятие эффективной ставки, под которой будем понимать сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной учетной ставке при заданном значении m.

Наращенные суммы на один и тот же капитал равны

.

Следовательно, эффективная учетная ставка равна

.

4. Эквивалентность процентных ставок

Ставки, обеспечивающие равноценность последствий финансовых операций, называются эквивалентными.

Формулы для расчета наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке имеют вид

S1 = P1(1 + in); S2 = P2(1/(1 – dn)).

Наращенные суммы и капиталы равны, т. е. S1 = S2 и P1 = P2. Тогда равны будут и коэффициенты наращения:

1 + in = 1/(1 – dn).

Отсюда следует, что

.

Пример. Определить размер ставки простых ссудных процентов, эквивалентной простой учетной ставке 8% годовых, если продолжительность финансовой операции составит 1 год.

Р е ш е н и е. Эквивалентная ставка простых ссудных процентов, которая даст тот же финансовый результат, что и учетная ставка, составит:

.

При расчете эквивалентности ставок следует иметь в виду, что для каждого периода наращения необходимо рассчитать свою эквивалентную ставку.

Рассмотрим эквивалентность простой и сложной процентных ставок при начислении процентов один раз в год.

Приравняем коэффициенты наращения

.

Отсюда следует, что

.

Самостоятельно разобрать эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки при начислении процентов m раз в году, эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в году и простой учетной ставки, эквивалентность сложных ставок и т. д.

5. Средние процентные ставки

Проблема эквивалентности ставок в некоторых случаях может быть решена с помощью равенства средних значений ставок.

Начнем с простой ставки. Пусть за периоды n1, n2, …, nm начисляются простые проценты по ставкам i1, i2, …, im на один и тот же капитал P. Тогда на основе равенства коэффициентов наращения

получим искомую среднюю

,

где — общий срок наращения.

Найденная характеристика представляет собой арифметическую среднюю взвешенную. Аналогичным способом получим среднюю учетную ставку

.

Рассмотрим сложные ставки. Из равенства коэффициентов наращения

следует

.

В этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

Пример 5.1. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка 8%, для следующих трех лет она составляет 10%. Найдите среднюю ставку за весь срок ссуды.

Р е ш е н и е. Средняя ставка за пять лет ссуды составит:

.

Рассмотрим случай, когда одновременно идет несколько однородных операций с разными ставками it и разными начальными суммами Pt, все суммы выданы на один и тот же срок n под простые проценты. Под какую ставку надо поместить чтобы получить тот же результат?

Составим уравнение эквивалентности:

откуда

.

Искомая ставка равна взвешенной средней арифметической, в качестве весов берутся размеры ссуд.

Если проценты сложные, то уравнение эквивалентности будет выглядеть так:

,

отсюда средняя ставка сложных процентов

.

Пример 5.2. Выданы две ссуды P1 = 1 тыс. руб., P2 = 2 тыс. руб. Первая выдана под 10% годовых, вторая — под 15%, сроки ссуд одинаковы и равны двум годам.

Р е ш е н и е. Найдем среднюю процентную ставку, если ставки простые:

.

Средняя процентная ставка для сложных ставок:

.

6. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных

За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые повышают доходность операции, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере P выдана на срок n. При ее выдаче удерживаются комиссионные. Величина комиссионных Pg, где g — доля комиссионных в относительных единицах.

Пусть для начала сделка предусматривает начисление простых процентов по ставке i. При определении доходности этой операции в виде годовой ставки сложных процентов iэф исходим из того, что наращение величины P – Pg по этой ставке должно дать тот же результат, что и наращение P по ставке i.

,

отсюда

.

Пример 6.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых (проценты простые) кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? (К = 365).

Р е ш е н и е. Доходность ставки

Предположим, что необходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов. Имеем:

(P – Pg)(1+iэфn) = P(1+in); ;

.

Если рассмотреть предыдущий пример, то эффективная ставка простых процентов составит:

.

Если ссуда выдается под сложные проценты и доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то исходное уравнение для определения iэф. с. имеет вид

.

Если доход извлекается из операции учета по простой учетной ставке, а доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то балансовое уравнение имеет вид

.

Пример 6.2. Вексель учтен по ставке d = 10% за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Временная база учета — 360 дней. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов?

Р е ш е н и е. Эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов равна

.

7. Налог на полученные проценты

В ряде стран проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму.

Обозначим наращенную сумму до выплаты налогов через S, а с учетом выплаты как S ʹ. Пусть ставка налога на проценты равна g. В случае простых процентов налог равен Ig = Ping. Найдем наращенную сумму S ʹ после выплаты налогов

S ʹ = S — (S – P)g = S(1 — g) + Pg = P(1 + in)(1 — g) + Pg == P + Pin(1 — g) = P(1 + in(1 — g)).

Таким образом, учет налога сводится к сокращению процентной ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка i(1 — g).

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты:

1) налог начисляется за весь срок сразу, т. е. на всю сумму процентов;

2) сумма налога определяется за каждый истекший год. Тогда ежегодная сумма налога будет величиной переменной, так как сумма процентов увеличивается во времени.

В первом случае сумма налога равна P((1+i)n — 1)g, а наращенная сумма после выплаты налога

.

Рассмотрим второй случай. Обозначим налог за год t как Gt. Тогда

.

За первый год налог составит G1 = Pig;

за второй G2 = P(1 + i)ig;

за n-й Gn = P(1 + i)n-1ig.

Налог за n лет

.

Пример 7.1. Пусть ставка налога на проценты равна 2%. Процентная ставка — 8% годовых, срок начисления — 3 года. Первоначальная сумма ссуды — 1000 руб. Определить наращенную сумму с учетом выплаты налога на проценты.

Р е ш е н и е. При начислении простых процентов за весь срок получим: наращенная сумма без уплаты налогов:

S = P(1 + in) = 1000(1 + 0,08 ⋅ 3) = 1240,00 руб.,

с учетом их выплаты в конце срока:

S ʹ = P(1 + n(1 — g)i) = 1000(1 + 3 ⋅ 0,98 ⋅ 0,08) = 1235,20 руб.,

сумма налога

1240 – 1235,2 = 4,80 руб.

Начислим теперь сложные проценты. Рассмотрим случай, когда сумма налога определяется за каждый истекший год.

Наращенная сумма без уплаты налогов

S = P(1 + i)n = 1000 ⋅ 1,083 ≈ 1259,71 руб.

Налог за t-й год равен Gt = P(1 + i)t-1ig, тогда

за первый год G1 = 1000 ⋅ 1,080 ⋅ 0,08 ⋅ 0,02 = 1,60 руб.,

за второй год G2 = 1000 ⋅ 1,08 ⋅ 0,08 ⋅ 0,02 = 1,728 руб.,

за третий год G3 = 1000 ⋅ 1,082 ⋅ 0,08 ⋅ 0,02 = 1,8662 руб.

Сумма налога G за 3 года равна 5,19 руб. Наращенная сумма после выплаты налога составляет 1254,52 руб.

8. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции

Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчетах.

Пусть за рассматриваемый промежуток времени стоимость потребительской корзины возросла с величины S до S1 руб., тогда стоимость потребительской корзины изменилась на величину

∆ S = S1 – S.

Величина называется уровнем инфляции. Она показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени.

Величина α = называется темпом инфляции, тогда

Величина 1 + α = IИ называется индексом инфляции. Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период.

Пусть α — годовой темп инфляции и пусть имеется некоторая сумма S. Для того чтобы сохранилась покупательская способность, сумма S должна составлять:

через один год S1 = S(1 + α),

через два года S2 = S(1 + α)2,

через n лет Sn = S(1 + α)n.

За рассматриваемый период (n лет) индекс инфляции составит IИn = (1 + α)n. Таким образом, инфляционный рост цен подчиняется закону сложного процента.

Пример 8.1. Цены за каждый месяц растут на 8%. Найдите годовой уровень инфляции.

Р е ш е н и е. По условию месячный темп инфляции α = 0,08, тогда индекс цен за год

IИn = (1 + α)n = 1,0812 ≈ 2,5182,

но

IИ1 = 1 + α1,

где α1 — темп инфляции за год.

Следовательно, α1 = 1,5182, и годовой уровень инфляции составляет 151,82%.

Пусть i — безынфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; iα — процентная ставка, которая учитывает инфляцию. Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит:

S = P(1 + iα) или S = P(1 + i)(1 + α),

отсюда

(1 + iα) = (1 + i)(1 + α),

iα = i + α + iα — формула Фишера.

Годовую ставку i, чтобы учесть инфляцию, нужно увеличить на величину α + iα, эта величина называется инфляционной премией.

Можно сделать следующие выводы:

• если ставка сложных процентов, в которую вложена инфляция, равна темпу инфляции (iα = α), то реальная доходность операции равна нулю;

• если iα < α, то i < 0, т. е. финансовая операция убыточна;

• если iα > α, то i > 0, т. е. финансовая операция приносит реальный доход.

Пример 8.2. Кредит в 10 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (проценты сложные). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Р е ш е н и е. Найдем годовую ставку процентов, учитывающую инфляцию:

iα = i + α + iα = 0,11 + 0,16 + 0,11 ⋅ 0,16 = 0,2876 (28,76%).

Наращенная сумма

Sα = 10 000(1 + 0,2876)2 = 16 579,14 руб.

В случае если период n отличен от одного года, для простых ссудных процентов мы имеем

IИ + iαn = (1 + in) IИn ,

отсюда

iα = .

Для сложных процентов

(1 + iα)n = (1 + i)n IИ ,

отсюда ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию,

.

Пример 8.3. Кредит 12 000 руб. выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% годовых по ставке сложных процентов.

Р е ш е н и е. Ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию,

iα = (1 + i) ‧ = (1 + 0,12) = 0,4566 (45,66%).

Наращенная сумма долга

Sα = 12 000(1 + 0,4566)3 = 37 085,33 руб.

Найдем номинальную ставку сложных процентов, учитывающую инфляцию:

(1+ jα /m)mn = (1 + j/m)mn · IИn

выполнив преобразования, получим

— 1 .

Пример 8.4. При уровне инфляции 80% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 50%, начисление процентов ежемесячное. Какова реальная доходность этой операции?

Р е ш е н и е. По условию n = 1, m = 12, α = 0,8, I = 1,8, jα = 0,5. Нам нужно найти безынфляционную номинальную ставку сложных процентов, чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравнения

(1 + jα /m)mn = (1 + j/m)mn · IИn

находим j:

— 1 = 12

Вывод: финансовая операция убыточна.

9. Финансовая эквивалентность обязательств

Две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке на один момент времени, одинаковы.

Пример 9.1. Имеются два обязательства. Условия первого — выплатить 400 руб. через четыре месяца; условия второго — выплатить 450 руб. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными?

Р е ш е н и е. Применим простую ставку, так как платежи краткосрочные. Возьмем ставку сравнения 12%. Тогда современные стоимости этих платежей:

руб., руб.

Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и не могут заменять друг друга.

Результат сравнения зависит от некоторой ставки. Существует критическая ставка i0, при которой P1 = P2. Отсюда

и .

Для рассмотренного выше примера i0 = 42,86%. Соотношение P1 < P2 справедливо для i < 42,86%; P1 > P2 при i > 42,86%.

Найти критическую ставку, если дисконтирование производится по сложной ставке (самостоятельно).

10. Консолидация платежей

Пусть платежи S1, S2, …, Sm со сроками уплаты n1, n2, …, nm заменяются одним в сумме S0 и сроком n0. Решим задачу: задан срок n0, найти сумму консолидированного платежа.

Применим простые процентные ставки. Запишем уравнение эквивалентности:

,

где Sj — размеры объединяемых платежей со сроками nj < n0; Sk — размеры платежей со сроками nk > n0.

В частном случае, когда n0 > nj, (j = ),

.

Пример 10.1. Два платежа 1000 руб. и 500 руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применение простой ставки, равной 10% годовых. Найдите консолидированную сумму долга. К = 365.

Р е ш е н и е. Консолидированная сумма долга составит:

руб.

При объединении обязательств можно применить сложные ставки. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид

.

Пример 10.2. Платежи в 1000 руб. и 2000 руб. со сроками уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Найдите сумму консолидированного платежа.

Р е ш е н и е. Сумма консолидированного платежа составит:

S0 = 1000 ⋅ 1,20,5 + 2000 ⋅ 1,2–0,5 = 2921,19 руб.

Пример 10.3. Имеются два кредитных обязательства — 500 руб. и 600 руб. со сроками уплаты 1.10 и 1.01 (нового года). По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 руб. должник вносит 1.02, остальной долг он выплачивает 1.04. При расчетах используется простая процентная ставка — 10% годовых. Необходимо определить величину второго платежа — S0.

Р е ш е н и е. За базовую дату, т. е. за дату приведения, примем 01.01 (нового года).

01.10 – 274-й порядковый день в году;

01.01 – 365-й или 1 день в новом году;

01.02 – 32-й день в году;

01.04 – 91-й день.

Запишем уравнение эквивалентности:

.

Решая уравнение, найдем, что S0 = 428,82 руб. За базу можно принять и другую дату, например 1.04. Тогда S0 = 428,41 руб.

Отличие результатов, полученных при расчете S0 на различные даты, неизбежно и обусловлено соотношением:

1 + ni ≠ (1 + n1i)(1 + n2i),

где n = n1 + n2.

При консолидации векселей в расчетах чаще всего используется учетная ставка. Записать уравнение эквивалентности для этого случая (самостоятельно).

11. Аннуитеты (финансовые ренты)

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой.

Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы в пенсионный фонд и так далее.

Аннуитет характеризуется следующими параметрами:

• величиной каждого отдельного платежа;

• интервалом между платежами;

• сроком от начала аннуитета до его конца (бывают вечные аннуитеты);

• процентной ставкой.

Введем обозначения:

R — величина годового платежа в аннуитете;

i — процентная ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей;

Ak — современная стоимость k-го платежа;

A — современная стоимость всего аннуитета;

Sk — будущая стоимость k-го платежа;

S — будущая стоимость всего аннуитета.

Обобщающими показателями аннуитета являются: современная стоимость всего аннуитета А и будущая стоимость всего аннуитета S.

Наращенная сумма — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока

.

Современная стоимость — сумма современных стоимостей членов потока платежей:

.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо, в котором платежи производятся в конце периодов. На вносимые платежи один раз в год начисляются проценты. Будущие стоимости членов аннуитета:

.

Будущая стоимость аннуитета

.

Величину называют коэффициентом наращения аннуитета, его обозначение — FVIFAi,n (Future Value of Interest Factor of Annuity). Значения коэффициента наращения табулированы (см. Приложение 4).

Итак, наращенная сумма аннуитета постнумерандо:

S = R · FVIFAi,n.

Если платежи производятся в начале периодов, то речь идет об аннуитете пренумерандо.

Формула расчета наращенной суммы аннуитета пренумерандо имеет вид

Таким образом, S′ = S(1 + i). Если платежи вносятся в середине периода, то наращенная сумма аннуитета

.

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

.

Величина называется коэффициентом приведения аннуитета, его обозначение PVIFAi,n (Present Value of Interest Factor of Annuity). Коэффициенты приведения аннуитета табулированы (см. Приложение 5).

Итак, формула расчета современной стоимости аннуитета постнумерандо

A = R · PVIFAi,n

Аналогично современная стоимость аннуитета пренумерандо

.

Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:

A(1+ i)n = S.

Это означает, что если мы внесем в банк разовый платеж величиной А, то через n лет мы будем иметь наращенную сумму S, т. е. аннуитет можно заменить разовым платежом.

Если платежи вносятся в середине периода, то современная стоимость

Aʹ = A(1+ i)1/2.

Пример 11.1. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты 5 лет, разовый платеж 4000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых.

Р е ш е н и е. Современная стоимость аннуитета

A = 4000 ⋅ PVIFA8%; 5 = 4000 ⋅ 3,99271 = 15 970,84 руб.

Будущая (наращенная) стоимость ренты:

S = 4000 ⋅ FVIFA8%; 5 = 4000 ⋅ 5,866601 = 23 466,40 руб.

Зная будущую стоимость аннуитета, ставку i, можно найти срок аннуитета. Так, например, преобразовав выражение

,

получим

.

Прологарифмируем это равенство:

.

Отсюда найдем срок аннуитета

.

Пример 11.2. Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс. руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс. руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.

Р е ш е н и е. Найдем срок аннуитета

Округляем срок кредита до n = 3. Тогда через три года наращенная сумма составит

S = 50 ⋅ FVIFA15%; 3 = 173,625 тыс. руб.

Наращенная сумма меньше 200 тыс. руб. Если фирме нужно создать фонд не менее 200 тыс. руб. за три года, следует увеличить размер рентного платежа.

Из равенства 200 = R ⋅ FVIFA15%, 3 находим величину рентного платежа: R = 57,595 тыс. руб.

11.1. Годовой аннуитет

Начисление процентов m раз в году. Рассмотрим годовую ренту постнумерандо. Проценты начисляются m раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

R, R(1+ j / m)m, R(1+ j / m)2m, …, R(1+ j / m)(n-1)m,

где j — номинальная ставка процентов.

Мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — (1+ j / m)m . Число членов n. Сумма членов этой прогрессии равна наращенной сумме аннуитета.

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета

S ʹ = S (1+ j / m)m .

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

Современная стоимость аннуитета пренумерандо:

Aʹ = A(1+ j / m)m .

Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:

A(1+ j / m)mn = S .

p-срочная рента. Рента называется р-срочной, если рентные платежи вносятся несколько раз (p раз) в году. Найдем наращенную сумму S p-срочной ренты постнумерандо при начислении процентов один раз в году. Общее число членов ренты равно np. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляют собой геометрическую прогрессию. Первый ее член равен R/p, а знаменатель (1 + i)1/p. Тогда

Наращенная сумма p-срочной ренты пренумерандо

S ʹ = S (1+ i)1/p.

При начислении рентных платежей p раз в году с начислением процентов m раз в году при условии p ≠ m,

если p = m; то

где R — сумма рентных платежей за год.

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

Расчет современной величины p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году при условии p ≠ m находится по формуле

если p = m,

Современная стоимость p-срочной ренты пренумерандо

Aʹ = A(1+ j / m).

Непрерывное начисление процентов. Рентные платежи вносятся один раз в год, в конце года. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывными процентами. Получим:

.

Просуммировав члены этой прогрессии, мы найдем наращенную сумму:

Для ренты постнумерандо:

для ренты пренумерандо:

,

для p-срочной ренты:

Современную стоимость:

ренты постнумерандо

,

ренты пренумерано

,

p-срочной ренты

Вечная рента (бессрочный аннуитет). Рассмотрим случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, т. е. она является вечной рентой. Примером вечной ренты является выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более.

Пусть А — это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке i. Тогда

.

Таким образом, величина годового платежа R = A · i.

Если вы взяли в долг 10 000 руб. под 10% годовых с условием, что его погашать не будете, а будете выплачивать рентные платежи в течение большого периода времени, то ежегодно вам придется платить 10 000 ⋅ 0,1 = 1000 руб.

Пример 11.3. Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 10% годовых.

Р е ш е н и е. Текущая стоимость аннуитета составит:

A = R/i = 400/0,1 = 4000,00 руб.

Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 4000 руб., он представляет собой выгодную инвестицию.

Для общего случая ренты, когда число рентных платежей p > 1, современная стоимость

,

если p = m, то

.

Пример 11.4. Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере 20 руб. дважды в год — в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, подлежащую выплате на каждую облигацию

Р е ш е н и е. Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа:

руб.

Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины для отложенных рент, т. е. таких, срок реализации которых откладывается на время, указанное в контракте.

Современная стоимость отложенной ренты является дисконтированной величиной современной стоимости немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рентных платежей и процентная ставка служат основанием для определения величины дисконтного множителя.

Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:

At = A · νt,

где At — современная величина отложенной ренты; А — современная величина немедленной ренты; νt = — дисконтный множитель за t лет.

Пример 11.5. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 25 тыс. руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.

Р е ш е н и е. Современная стоимость немедленной ренты

A = R ⋅ PVIFA10%; 3 = 25 ⋅ 2,4868520 = 62,171 тыс. руб.

Современная стоимость отложенной ренты

At = Aтыс. руб.

Выигрыш заказчика

62,17130–51,38124 = 10,790 тыс. руб.

11.2. Конверсия финансовых рент

На практике может возникнуть ситуация, когда один из партнеров, участвующих в сделке, предлагает изменить условия оплаты: разовый платеж заменить на рентные платежи, или наоборот. К более сложным случаям относятся: объединение рент в одну — консолидация рент; замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями, например немедленной ренты на отложенную, и т. д. Все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий, то ее необходимо основывать на принципе финансовой эквивалентности.

Платежи считаются эквивалентными, если, будучи приведены к одному моменту, они будут иметь одинаковую стоимость.

Рассмотрим некоторые случаи конверсии.

1. Выкуп ренты. Аннуитет с параметрами R, i, n заменяют разовым платежом. Решение проблемы простое. Размер выкупа должен быть равен современной стоимости ренты

A = R ⋅ PVIFAi, n.

2. Задача, обратная выкупу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму, то задолженность можно погашать частями — в рассрочку.

Величина отдельного платежа равна

R = A/PVIFAi, n,

где А — величина долга.

Величина 1/PVIFAi, n называется коэффициентом рассрочки.

3. Изменение продолжительности ренты. При замене обычной годовой ренты на новую с изменением срока ренты необходимо определить размер нового рентного платежа. Уравнение эквивалентности имеет вид:

.

Тогда величина рентного платежа новой ренты составит:

.

Пример 11.6. Первоначальный аннуитет имеет параметры R1 = 2 тыс. руб., i = 9%, n1 = 5 лет. Он заменяется на ренту с параметрами R2, i = 9%, n2 = 8 лет. Найти R2.

Р е ш е н и е. Размер нового рентного платежа

тыс. руб.

4. Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется аннуитет с параметрами R, i, n1. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Мы будем иметь новую ренту с параметрами R2, i, n2 (t не входит в срок ренты). Запишем уравнение эквивалентности:

.

Отсюда

.

Если n1 = n2, то

.

Пример 11.7. Пусть немедленная рента постнумерандо с ежегодным платежом R1 = 2 тыс. руб., i = 9% откладывается на два года без изменения срока самой ренты. Как изменится размер ежегодного платежа?

Р е ш е н и е. Размер ежегодного платежа

R2 = 2 ⋅ 1,092 = 2,376 тыс. руб.

Если же срок первоначальной ренты n1 = 5 увеличить на один год (n2 = 6), то размер ежегодного платежа составит:

тыс. руб.

Рассмотрим еще один вариант. Аннуитет с параметрами R, i, n1 откладывают на t лет, член ренты остается без изменения, срок ренты меняется, причем n2 > n1. Нужно найти срок новой ренты n2.

Составляем уравнение эквивалентности:

.

Отсюда

.

Решая это уравнение относительно n2 , найдем срок новой ренты:

.

Пример 11.8. Рента с параметрами R = 2 тыс. руб., n1 = 5 лет, i = 9% откладывается на два года без изменения размера ежегодного платежа. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат.

Р е ш е н и е. По последней формуле найдем n2:

года.

Продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) — шесть лет. Современная стоимость такой ренты

тыс. руб.

Современная стоимость заменяемой ренты

тыс. руб.

Разность в сумме 0,22788 тыс. руб. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент.

11.3. Консолидация рент

Консолидация рент — объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты А должна быть равна сумме современных величин объединяемых рент Аk, . Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и p-срочными и т. д.

Если объединяются годовые ренты, то легко можно найти размер годового платежа объединенного аннуитета из равенств:

.

Отсюда размер годового платежа объединенного аннуитета

.

Пример 11.9. Объединяются три аннуитета с параметрами:

R1 = 1000; n1 = 10; i1 = 0,06;

R2 = 500; n2 = 8; i2 = 0,05;

R3 = 2000; n3 = 12; i3 = 0,05.

Требуется заменить эти три ренты аннуитетом с параметрами n = 10; i = 0,06. Определить размер годового платежа.

Р е ш е н и е. Находим современные стоимости А1, А2, А3 трех рент:

A1 = R1 ⋅ PVIFA6%, 10 = 1000 ⋅ 7,3600871 = 7360,09 руб.;

A2 = R2 ⋅ PVIFA5%, 8 = 500 ⋅ 6,4632128 = 3231,61 руб.;

A3 = R3 ⋅ PVIFA5%, 12 = 2 000 ⋅ 8,8632516 = 17 726,50 руб.

Современная стоимость объединенного аннуитета:

A = A1 + A2 + A3 = 28 318,20 руб.

Теперь найдем размер годового платежа объединенного аннуитета:

R = A/PVIFA6%, 10 = 28 318,1967/7,3600871 = 3847,54 руб.

Какой вариант выгоднее?

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Семья хочет накопить 12 000 долл. на машину, вкладывая в банк 1000 долл. ежегодно. Годовая ставка процентов в банке 7%. Как долго ей придется копить?

2. Заем был взят под 16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д. е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть размер выплаты?

3. Годовая ставка простых процентов равна 12,5%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

4. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты за k-й год равны ik. Найдите наращенную сумму через n лет.

5. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи:

1) 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет;

2) 8000 долл. немедленно и по 300 долл. в течение 5 лет.

Какой вариант выгоднее при годовой ставке 10%?

Вариант 2

1. Обоснуйте решение, что выгоднее: купить оборудование стоимостью 20 000 долл. или арендовать его на 8 лет с ежегодным арендным платежом 3000 долл., если ставка процентов 6%, а норматив доходности 15%?

2. Семья хочет через 6 лет купить дачу за 12 000 долл. Какую сумму (равномерно) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на счет в банке, если годовая ставка 8%?

3. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры:

5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет;

8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение 5 лет.

Какой вариант выгоднее при годовой ставке процентов — 5%?

4. Наращение простых процентов за k-й год равно ik. Найдите наращенную сумму через n лет.

5. Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Вариант 3

1. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью 8 лет, чтобы ее современная величина была 16 000 руб. при ставке 10% годовых?

2. Сын в банке имел на счете 50 000 руб., на которые ежемесячно начислялись 0,8%. Сын уехал в командировку за границу, доверив отцу за 10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец?

3. Какая сумма предпочтительней при ставке 6%: 1000 долл. сегодня или 2000 долл. через 8 лет?

4. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом 1000 долл. на ренту с полугодовым платежом по 600 долл. Годовая ставка процентов 8%. Определить период ренты.

5. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая?

Вариант 4

1. Замените 10-летнюю годовую ренту с годовым платежом 600 долл. на 7-летнюю. Ставка 8% в год.

2. Найдите несколько сумм в прошлом и будущем, эквивалентных сумме 1000 ед. в момент 0 при ставке 8% годовых.

3. В ходе судебного заседания выяснилось, что по вине Пенсионного фонда г. N в течение 10 лет недоплачивали 100 руб. пенсии ежемесячно. Суд обязал фонд выплатить всю задолженность с процентами (12% годовых). Какова сумма выплаты?

4. Счет «СБ 100» в Сбербанке обещает 2,9% за 100 дней. Сколько это составит годовых?

5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г. N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3% ежемесячно). Какую сумму заплатит г. N?

Вариант 5

1. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000 ед. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно:

а) тому, кому будут платить;

б) тому, кто будет платить.

2. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру 500 долл. в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4% годовых (проценты сложные). Сколько накопится на счете через 5 лет?

3. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

4. Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 2000 руб., на которые банк начисляет каждые полгода 7% годовых (проценты сложные). Сколько будет на счете через 4 года?

5. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры при годовой ставке — 5%:

1) 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет;

2) 8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение 5 лет.

Какой вариант выгоднее?

Раздел II. Практические приложения количественного финансового анализа

12. Методы погашения долгов

Любой вид долгосрочного долга будет называться займом или долгом. Существует следующая классификация займов.

1. Займы без обязательного погашения. Взятая в долг сумма не возвращается, но проценты по займу выплачиваются неограниченное долгое время. Такой вид займа описывает механизм вечной ренты. Величина годового платежа

R = Ai.

2. Займы с обязательным погашением в один срок. Основная сумма долга выплачивается разовым платежом. Проценты кредитору могут выплачиваться разными способами.

3. Займы с погашением в несколько сроков.

Рассмотрим второй вид займов. Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга D в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга это обычно создание погасительного