К. П. Горбачев

Сопротивление материалов

Конспект лекций

ebooks@prospekt.org

Информация о книге

УДК 530.152.1

ББК 30.121

Г67

Автор: Горбачев К. П.

Рецензенты:

Друзь И. Б., д-р техн. наук, проф., зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов МГУ им. Г. И. Невельского;

Лукьянова Г. В., канд. техн. наук, доц., зав. каф. теоретической и прикладной механики Дальрыбвтуза.

В основу конспекта лекций положены требования государственного образовательного стандарта для направления 652900 «Кораблестроение и океанотехника», согласно которому объем лекционного курса «Сопротивление материалов» составляет 54 часа. 

Материал полностью соответствует действующим государственным стандартам и учебным программам и в достаточной мере раскрывает содержание разделов, традиционно изучаемых в курсе сопротивления материалов. Кроме того, приводятся решения, устраняющие некоторые методологические неточности, содержащиеся в учебной литературе и отвечающие стандартным представлениям многих авторов учебников и пособий. 

Теоретический материал раскрывается с помощью решения типовых задач. Отличительной особенностью изложения решений задач является полное соответствие требованиям выполнения технических расчетов. Единообразное представление материала в ясной и доступной форме облегчит студентам его усвоение. 

Усвоению курса способствуют иллюстрации, соответствующие содержанию материала.

В приложении приведен материал для самостоятельного освоения темы «Геометрические характеристики».

УДК 530.152.1

ББК 30.121

© Дальневосточный государственный технический университет, 2007

© ДВФУ, 2015

© ООО "Проспект", электронная версия книги, 2015

Лекция 1. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ В ИНЖЕНЕРНОМ ОБРАЗОВАНИИ

Любое инженерное сооружение (рис. 1.1–1.3) – корабль, самолет, здание, мост, тоннель, автомобиль и т.д. – обязательно имеет несущие элементы.

Рис. 1.1. Элементы корпуса грузового судна

Рис. 1.2. Каркас высотного дома и трансляционной вышки

Рис. 1.3. Несущие и опорные элементы моста

Несущие элементы конструкции должны проектироваться и создаваться так, чтобы они были долговечными, т.е. могли воспринимать все силовые воздействия, не разрушаясь в течение эксплуатации конструкции. Кратко говоря, конструкции должны быть прочными.

Конструкция может быть прочной, но излишне деформативной, т.е. недостаточно жесткой. Как следствие, могут возникать колебания, затрудняющие и даже делающие невозможной ее эксплуатацию (рис. 1.1–1.5).

Рис. 1.4. Поперечные колебания корпуса судна

Рис. 1.5. Висячий мост через р. Такома (США). Вскоре после ввода в эксплуатацию мост начал интенсивно раскачиваться под действием ветра и затем рухнул

Сжатая недостаточно жесткая конструкция может изогнуться (выпучиться) от действия сжимающей нагрузки, что приведет к потере ее несущей способности или поломке. Это связано с так называемым явлением потери устойчивости (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Простейшая иллюстрация явления потери устойчивой формы равновесия

Проблемами расчета различных типов сооружений и их несущих конструкций на прочность, жесткость и устойчивость занимается инженерная наука – строительная механика. Сопротивление материалов является учебной дисциплиной, в которой знакомятся с основными понятиями и принципами, используемыми в строительной механике, и обычно ограничиваются расчетами отдельных элементов конструкций: стержнями, балками или простейшими системами, составленными из них.

В курсе сопротивления материалов последовательно рассматриваются основные виды деформаций: растяжение, сжатие, кручение, изгиб стержней. Наряду с введением соответствующих понятий большое внимание уделяется умению представить работу элемента конструкции с помощью сознательно упрощенной расчетной схемы и соответствующих аналитических зависимостей, что принято называть построением физико-математической модели работы элемента или части конструкции.

Правильно и грамотно построенные расчетные модели позволяют ответить на многие важные инженерные вопросы: дать оценку прочности существующей конструкции; определить предельно допустимые нагрузки; подобрать необходимые размеры элементов и выбрать подходящие материалы, обеспечивающие их прочность и экономичность; провести оптимизацию параметров конструкции, т.е. найти параметры, обеспечивающие в определенном смысле наилучшие свойства этой конструкции.

Изучение сопротивления материалов требует знаний по физике, математике, теоретической механике и базируется на сведениях, изучаемых в курсах этих предметов. Знание основ сопротивления материалов является важнейшим требованием при подготовке инженеров.

Твердые тела и идеализация их свойств.

Допущения о свойствах материалов элементов конструкций

Элементы конструкций изготавливаются из различных материалов – металлов, бетона, дерева, полимеров и др. Их структура и физические свойства могут быть весьма разнообразны. Любой материал состоит из молекул и атомов. Реальные материалы всегда имеют те или иные дефекты в виде неоднородности кристаллической решетки, микротрещин, пор или инородных включений. Расчет конструкций с учетом всего многообразия физико-механических свойств материалов является или невозможным, или в силу своей сложности практически неприемлемым. Кроме того, одновременный учет всех факторов – основных и второстепенных – нецелесообразен с точки зрения влияния каждого из них на окончательный результат.

Для построения логически стройной теории деформирования тел приходится прибегать к определенной идеализации свойств материалов, т.е. возникает необходимость использовать некоторые гипотезы и допущения, идеализирующие реальные материалы.

В связи с этим вводятся соответствующие понятия:

• сплошность;

• однородность или неоднородность;

• изотропность или анизотропность;

Сплошность – полное заполнение материалом всего объема тела без учета конкретной структуры материала (зернистая, кристаллическая и др.) (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Структура реального материала с дефектами и включениями и гипотетический сплошной материал

Однородность – отсутствие включений со свойствами, отличными от основного материала, т.е. весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Структура реального материала с инородными включениями и гипотетический однородный материал: а) инородные включения; б) однородный материал

Изотропность – механические свойства материала во всем объеме тела по различным направлениям одинаковы. В противном случае материал называется анизотропным.

Все реальные тела на молекулярном уровне анизотропны. Однако элементарные объемы состоят из большого количества молекул, а если тело кристаллическое, то из большого числа различно ориентированных кристаллов. Такой элементарный объем может быть изотропным в среднем (квазиизотропным), поэтому многие материалы с достаточной точностью можно рассматривать как изотропные. Однако существует много анизотропных материалов, например, слоистые пластики или обыкновенное дерево (вдоль волокон одни свойства, а поперек – другие) (рис. 1.9).

Пример анизотропного материала (дерево)

Рис. 1.9. Пример анизотропного материала

Использование некоторой структурной идеализации материала существенно упрощает изучение механики деформирования элементов конструкций.

Соответствие условного материала реальному достигается тем, что в расчет вводятся экспериментально получаемые усредненные характеристики механических свойств реальных материалов.

Не менее важным понятием является понятие деформируемости. С деформируемостью связаны такие понятия как упругость, пластичность и т. д.

Под упругостью понимается свойство тела принимать начальные размеры и форму после устранения причин, вызвавших его деформацию. Наличие остаточных изменений в размерах и форме тела свидетельствует о признаках пластичности и (или) начале процесса разрыхления, предшествующего разрушению.

Деформируемость присуща всем реальным телам. Изменение размеров и формы тела под действием нагрузки называют деформацией тела. Именно в результате деформации тела или конструкции возникают внутренние силы, определяющие прочность материала конструкции. На рис. 1.10 изображены три характерные диаграммы деформирования, связывающие значения силы F и деформацииz1l при нагружении и разгрузке.

Рис. 1.10. Характерные диаграммы деформирования материалов: а) схема деформирования образца; б) упругопластический материал с нелинейно диаграммой деформирования; в) упругий материал с нелинейной диаграммой деформирования; г) линейно-упругий материал

Материал элементов конструкций будем в дальнейшем считать сплошным, однородным, изотропным и линейно-упругим.

Лекция 2. ВНЕШНИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛА

Сила является мерой механического взаимодействия тела с окружающими телами или средой.

Механика твердого деформируемого тела и сопротивление материалов в частности изучает прочность и деформирование реальных тел (конструкций и их элементов) под действием приложенных к ним внешних сил (рис. 2.1–2.5), температурных, магнитных полей и других воздействий.

Рис. 2.1. Поверхностные внешние сипы, действующие на корпус судна (волновые динамические нагрузки)

Рис. 2.2. Ледовая нагрузка на корпус судна

Рис. 2.3. Ледовая нагрузка на такелаж судна при обледенении в море

Рис. 2.4. Подвижная нагрузка на несущие элементы моста как результат взаимодействия электровоза и балок моста. Точки приложения зависят от скорости движения электровоза

Рис. 2.5. Статические нагрузки, действующие на панель здания (статические нагрузки определяются как результат взаимодействия рассматриваемой панели со смежными панелями с учетом массовых сил и реакций взаимодействия)

При всем многообразии действия сил внешние силы могут быть классифицированы по нескольким признакам.

По способу приложения внешние силы разделяются на объемные, поверхностные и сосредоточенные.

Объемные силы

Объемные силы (силы тяжести, инерции, магнитные и т.д.) непрерывно распределены по объему, занятому телом. Объемную силу, действующую на тело, можно определить как сумму объемных сил, действующих на каждый элементарный объем тела. Например, силу веса элементарного объема z1V с точки зрения физики можно определить как произведение плотности материала на ускорение свободного падения и величину элементарного объема, т.е. z1G = z2 · g · z1V. При стягивании элементарного объема к точке (единице объема) сила веса, действующая на все тело, будет равна +1

В данном случае произведение z2 · g рассматривают как интенсивность объемной силы, т.е. силы, приходящейся на единицу объема. Таким образом, для оценки объемных сил (силы тяжести, инерции, магнитные и т.д.) вводится понятие интенсивности объемных сил: отношение величины объемной силы, передающейся через элементарный объем, к величине самого элементарного объема.

Если в окрестности некоторой точки выделить конечный элементарный объем z1V, то усилие (поток условного внешнего воздействия), передающееся через этот объем, будет равно z3, а осредненной интенсивностью объемной силы в пределах этого объема будет отношение z3 к z1V:

f2.1(2.1)

Здесь специально оговаривается понятие осредненной интенсивности, так как в пределах конечного объема физический параметр, например, плотность, может быть переменной величиной. Для получения интенсивности объемной силы в каждой точке тела необходимо рассматривать объемы, выражающиеся в объемные точки. Объем таких элементов стремится к нулю и физический параметр, определяющий внешнее воздействие, становится практически постоянной величиной в пределах рассматриваемого элементарного объема, т.е., стягивая объем к точке, получим

f2.2(2.2)

где К – вектор интенсивности объемной силы в рассматриваемой точке.

Вектор интенсивности объемных сил обычно задают в проекциях на координатные оси. Правило знаков обычное, как для проекций. Проекции вектора интенсивности объемной силы на оси 0х, 0у, 0z можно обозначить как z4 или иначе.

Размерность объемных сил определяется как отношение z5, т.е. Н/м³ или как величина, кратная Н/м³.

Например, средняя интенсивность массовых сил автомобиля при его общей массе m и объеме кузова V (рис. 2.6) будет равна:

Рис. 2.6. Пример представления объемной силы в виде сосредоточенного силового фактора

Однако в каждой точке объема интенсивность объемных сил будет своя, так как она определяется насыщенностью и положением узлов конструкции кузова, агрегатов двигателя и подвижной части (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Представление объемных сил в виде дискретного их распределения по длине автомобиля

При детальном анализе, например, анализе прочности кузова автомобиля, это необходимо учитывать, т.е. без формулы (2.2) как основы трудно обойтись.

Важно усвоить, что эти силы, внутренние по своей природе, искусственно относятся к разряду внешних сил. Это можно делать только тогда, когда они определены величинами и направлением действия.

Поверхностные силы

Поверхностные силы могут быть следствием воздействия другого соприкасающегося с ним тела – твердого, жидкого или газообразного. Поверхностные силы – это силы взаимодействия между соседними телами или между рассматриваемым элементом конструкции и окружающей средой. Например, на рис. 2.8, а показана некоторая система взаимодействующих тел – груз массой m транспортируется на платформе, которая, в свою очередь, через шаровые опоры взаимодействует с грунтовым основанием.

Рис. 2.8. Поверхностные силы: а) расчетная схема; б) основная схема

Объектом расчета является платформа, поэтому необходимо определить нагрузки, действующие на нее как результат взаимодействия платформы с взаимодействующими телами:

1) внешние усилия от взаимодействия платформы с массой перевозимого груза. В данном случае особенностью взаимодействия является то, что часть груза контактирует с платформой в пределах малой площадки (практически взаимодействие сосредоточено в точке), а другая часть поверхности груза соприкасается с платформой в пределах площадки конечных размеров;

2) внешние усилия от взаимодействия платформы с грунтовым основанием. В данном случае взаимодействие осуществляется через шаровые опоры.

Характер взаимодействия тел (рис. 2.8, б) в расчетных схемах отражается в виде векторов (R, F, q и т.д.), по виду которых можно оценить характер соприкосновения.

Обычно используют следующие обозначения:

R – для реакций оснований;

F – для результирующих внешних сил;

Q, q – для распределенной нагрузки.

Поскольку соприкосновение реальных деформируемых тел всегда происходит не в точке, а по некоторой площадке, поверхностные нагрузки являются распределенными. Имея некоторое тело (рис. 2.9), рассмотрим элементарную площадку z1Av на его поверхности с внешней нормалью v.

Рис. 2.9. Схема определения интенсивности поверхностной нагрузки

Поверхностную нагрузку, действующую на эту площадку, обозначим z6. Направление этой силы составляет в общем случае какой-то угол с нормалью v. Отношение нагрузки z6 к площадке z1Av определяет среднюю интенсивность поверхностной нагрузки в пределах площадки.

Интенсивность переменной поверхностной нагрузки задается для каждой точки поверхности. В этом случае площадка стягивается к точке, т.е. необходимо перейти к пределу:

f2.3(2.3)

где z7 (х, у, z) – вектор интенсивности поверхностной нагрузки в точке z.

Также как и интенсивность объемной силы, интенсивность поверхностной нагрузки проецируется на координатные оси. Обозначим эти проекции на оси 0х, 0у, 0z соответственно z8. Тогда

Размерность интенсивности поверхностной нагрузки Н/м² = Па.

Сосредоточенные силы

В тех случаях, когда площадка контакта пренебрежимо мала по сравнению с размерами нагружаемой поверхности, вводят понятие сосредоточенной силы Р как равнодействующей нагрузки по указанной площадке (рис. 2.10). Размерность сосредоточенной силы – Н (ньютон).

Рис. 2.10. Пример сосредоточенной силы

В практических расчетах часто встречается нагрузка, распределенная по длине элемента конструкции. Так, если на верхний поясок балки действует нагрузка интенсивностью Рv (рис 2.11), то вводится понятие погонной интенсивности Q = Pvb, где b – ширина верхнего пояска.

Погонная интенсивность нагрузки выражается в единицах силы, отнесенных к единице длины (Н/м, кН/м и т.д.).

Таким образом, интенсивность поверхностной нагрузки в общем случае определяется как предел отношения равнодействующей сил, действующих на площадку, к ее площади, стремящейся к нулю.

Для интенсивности нагрузки применимо следующее правило знаков: компонента вектора интенсивности положительна, если она совпадает с направлением соответствующей оси координат.

Рис. 2.11. Внешняя нагрузка: а) распределенная; б) погонная

Возможны и моментные воздействия в виде сосредоточенных и распределенных по длине моментов (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Сосредоточенный и распределенный моменты

Сосредоточенные моменты выражаются в единицах сил, умноженных на единицу длины (Н·м, кН·м и т.д.).

Распределенный по длине момент имеет размерность силы (Н), т.к. определяет величину момента, приходящегося на единицу длины (Н·м/м = Н).

По характеру изменения в процессе действия нагрузки делятся на статические (рис. 2.13, а), динамические и повторно-переменные (2.13, б, в).

К статическим относятся нагрузки, при действии которых силами инерции массы тела, возникающими в процессе нагружения, можно пренебречь.

Динамические нагрузки, в отличие от статических, вызывают большие ускорения и силы инерции, что приводит к колебаниям конструкций, сооружений и их элементов.

Повторно-переменными называются нагрузки, многократно (до нескольких миллионов раз) изменяющие со временем значение и знак. Разрушение материала под действием таких нагрузок называется усталостным.

Схема определения внешних сил, действующих на конструкцию

Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, а практически это неизбежно, то их действие на рассматриваемую конструкцию заменяется силами, которые мы называем внешними. Их величина и характер распределения зависят в первую очередь от того, где проходит граница между рассматриваемым объектом и окружающими его телами.

Положим, нас интересует прочность железнодорожной платформы (рис. 2.13, а). Это – объект нашего исследования. Если этот объект рассматривается изолированно, то его взаимодействие с окружающими телами заменяется системой сил (рис. 2.13, в).

Рис. 2.13. Виды нагружения: а) статическое; б) динамическое; в) повторно-динамическое

Эти силы для нашего объекта – внешние. В их число включается не только сила тяжести платформы Р₂, но также реакции взаимодействия автомобиля и платформы R₁, R₂ и реакции опор R₃, R₄, дополняющие систему внешних сил до равновесной.

Реакции R₁, R₂ можно заменить силой веса автомобиля Р₁, которую они уравновешивают. Но при оценке прочности платформы положение и величины реакций могут иметь принципиальное значение, поэтому решение задачи целесообразно начинать с определения значений реакций R₁, R₂ (рис. 2.13, б). При найденных значениях R₁, R₂ решается задача прочности платформы в заданных границах объекта (рис. 2.13, в).

Таким образом, взаимодействие рассматриваемого объекта с телами, расположенными за пределами условно очерченной границы объекта, характеризуются силами, которые называем внешними (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Внешние сипы, действующие на платформу (конструкцию)

На рис. 2.15 приведены условия для определения соответствующих реакций взаимодействия между теми или иными частями рассматриваемого объекта. Такими условиями могут служить уравнения равновесия, которые принимают тот или иной вид в соответствии с расчетной схемой.

Рис. 2.15. Схемы определения компонентов внешней нагрузки: а) определение реакций взаимодействия автомобиля с платформой; б) определение реакций взаимодействия груженной платформы с полотном дороги

Лекция 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

Внутренние силы

Между частицами твердого тела до приложения внешних нагрузок действуют внутренние силы, обеспечивающие неизменность его формы. Под влиянием приложенных нагрузок силы взаимодействия получают приращения, между частицами тела несколько изменяются расстояния и тело деформируется.

В сопротивлении материалов под внутренними силами понимаются приращения сил взаимодействия между частицами, возникающими при его нагружении.

В условном материале (сплошном и однородном) внутренние силы передаются сплошным потоком от одной части тела к другой через разделяющую эти части воображаемую поверхность (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Условное отражение потоков внутренних сип через разделяющие поверхности (грани микрообъемов)

Таким образом, в недеформированном состоянии, т.е. при отсутствии внешних воздействий, связанность частиц тела обусловлена силами их взаимодействия. Эти силы стремятся сохранить тело как единое целое, препятствуя любой попытке изменить взаимное расположение микро- и макрочастиц и таким образом деформировать его. Внешние воздействия, наоборот, стремятся вызвать деформирование тела путем изменения положения частиц и сил их взаимодействия.

Если бы механика деформируемого твердого тела ставила перед собой задачу изучать силы, действующие на каждый атом или даже кристалл в отдельности, пользоваться ее аппаратом было бы чрезвычайно трудно, поэтому механика деформируемого твердого тела рассматривает поведение микрообъемов, основываясь на принятых гипотезах сплошности и однородности. Сплошное однородное тело не имеет в своем составе взаимодействующих дискретных частиц, и целостность объема обеспечивают внутренние связи.

Из теоретической механики известна так называемая аксиома связей, согласно которой равновесие тела сохраняется, если действие связей, закрепляющих тело в пространстве, заменить их реакциями. Применяя эту аксиому к деформированному телу, можно мысленно рассечь его, отделить одну часть от другой и вместо нарушенных связей приложить к каждой части силы, равные усилиям связей. Такие силы называются внутренними.

Для определения этих сил используется специальный прием – метод сечений. В механике деформируемого твердого тела метод сечений применяют для выделения сечений (рис. 3.2, а), микрообъемов (рис. 3.2, б) и вывода уравнений равновесия сил, действующих на них.

Внутренние силы непрерывно распределяются по образовавшемуся сечению вследствие допущения о сплошности материала. Так как внутренние силы z1Р, действующие на каждую элементарную площадку (рис. 3.2, б), могут иметь произвольные значения и произвольные направления их главных векторов, то графически представить такую объемную эпюру (закон распределения) достаточно сложно. Более того, она не будет наглядной.

Если силы распределяются по сплошному сечению непрерывно, то их проекции также будут распределены непрерывно. Учитывая это, на рис. 3.2, в приведен график, показывающий распределение проекций внутренних сил на ось У. Показаны только силы, действующие на элементарные площадки, центры тяжести которых лежат на линии m – m.

Каждая проекция представляет собой проекцию главного вектора сил, действующих на элементарную площадку.

По своей природе (согласно гипотезе сплошности и идее метода сечений) внутренние силы являются поверхностными, так как они действуют на поверхности граней бесконечно малых элементов, из которых складывается объем тела.

Рис. 3.2. Графическая схема метода сечений и эпюра распределения проекций внутренних сил, действующих по линии т – п на ось У

Напряжения

Воспользовавшись методом сечений, выделим в окрестности некоторой точки элементарную призму, на грани которой действуют внутренние силы (рис.3.3,а).

Рис. 3.3. Силовое поле в окрестности точки

Если уменьшить объем элементарной призмы, силовое поле будет более точно отражать действительную напряженность в окрестности точки. При этом силы, действующие на грани этой призмы, в общем случае будут отличны как по величине, так и по направлению от сил, действующих на грани первой призмы. Уменьшая объем (рис. 3.3,6, в), мы в предельном случае сведем его к объему бесконечно малой призмы, на грани которой действуют внутренние силы. Так как внутренние силы, в соответствии с гипотезой сплошности, рассматриваются как распределенные по поверхности, то величина этих сил может быть определена только в том случае, если известна их интенсивность. Размерность интенсивности равна +2. Если интенсивность обозначить через z9, то усилие, действующее на элементарную площадку, будет равно +3 – площадь бесконечно малой грани призмы. Таким образом, зная интенсивность внутренних сил, можно определить усилие, действующее на грань бесконечно малой призмы в окрестности малой точки.

Интенсивности внутренних поверхностных сил называются напряжениями. Понятие интенсивности внутренних сил, передающихся через проведенное сечение от одной части тела к другой и наоборот (действие и противодействие равны и противоположно направлены), впервые было введено французским математиком и механиком Огюстеном Луи Коши (1789–1857).

Напряжение, как и интенсивность поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенной к единице площади. В международной системе единиц измерений оно выражается как давление в Па (паскалях). В технических расчетах используют кратную единицу – (мегапаскаль): 1МПа = 10⁶ Па:

Рассмотрим некоторое тело (рис. 3.4, а), внутри которого выделим точку В. Мысленно рассечем его плоскостью, проходящей через эту точку. Отбросим одну из частей тела.

Рис. 3.4. Процедура метода сечений для определения внутренних сил: а) сечение тела плоскостью; б) внутреннее усилие; в) полное напряжение и его составляющие

Согласно аксиоме связей, действие отброшенной части необходимо заменить усилиями, которые в соответствии с гипотезой о сплошности распределены по всему сечению. Положение сечения определяется направлением внешней нормали v (обычно задаются косинусы углов между нормалью и координатными осями, т.е. так называемые направляющие косинусы). Через малую площадку z1А от отброшенной части тела передается усилие z6. Отношение z6 к z1А определяет среднюю интенсивность внутренних сил в пределах площадки z1А или среднее напряжение по этой площадке. При уменьшении размеров площадки (стягивании ее к точке В) в пределе получаем вектор полного напряжения в данной точке В по рассматриваемому сечению:

f3.1(3.1)

Эта векторная величина является мерой интенсивности внутренних сил.

Как следует из рис. 3.4, в общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное z9 (направленное по нормали v к площадке) и касательное z10 (действующее в плоскости площадки). Как следует из того же рисунка, они являются компонентами полного напряжения Pv, т.е. +4.

Понятие напряжения является фундаментальным для механики деформируемого тела.

Во многих случаях прочность материала в окрестности данной точки определяется именно напряжением, поэтому очень важно уметь вычислять напряжения в точках деформируемого тела.

Напряжение в твердом теле напоминает давление в жидкости или газе. Однако нужно иметь в виду, что давление действует в любом направлении внутри жидкости, тогда как напряжение является величиной, характеризующейся определенными направлениями действия. Напряжение, в частности, может действовать в одном-единственном направлении.

Рассмотрим несколько частных случаев нагружения простейших элементов деталей машин или оборудования.

Предположим, что стержень с поперечным сечением А [м²] (рис. 3.5) нагружен силой Р. Такая схема нагружения отвечает растяжению стержня. На закрепленном конце стержня возникает реакция R, уравновешивающая силу Р. Обе силы действуют по оси бруса. Рассмотрим участок стержня длиной X. Этот участок, также как и все тело, находится в состоянии равновесия, поэтому в поперечном сечении на каждой элементарной площадке dA = A / n, где n → ∞, должно возникнуть внутреннее сопротивление dR = z9dA.

Рис. 3.5. Растяжение стержня постоянной силой: а) расчетная схема; б) основная схема; в) элемент стержня

Здесь z9 – внутреннее сопротивление на единицу площади, равное +5, т.е. а представляет собой интенсивность внутреннего сопротивления, действующего на элементарную площадку. Если просуммировать все внутренние сопротивления в пределах рассматриваемой площади сечения, получим значение реакции, которая уравновешивает действие силы

Предположим, что все элементы площади сечения равномерно участвуют в передаче действия силы Р. Тогда для рассматриваемого случая z9 = const и последнее равенство примет вид:

Откуда следует, что интенсивность внутреннего сопротивления для данного случая может быть определена с помощью формулы

В данном случае интенсивность внутреннего сопротивления z9 называется нормальным напряжением, поскольку направление этого вектора совпадает с направлением нормали к площадке.

Реакция внутреннего сопротивления R представляет собой внутреннюю силу, действующую в рассматриваемом поперечном сечении, которая в общем случае может принимать от сечения к сечению различные значения, поэтому вместо символа R, который обычно используется для отражения силового взаимодействия между конструкцией и опорными устройствами, будем использовать символ N, определяющий значение внутреннего сопротивления в произвольном поперечном сечении стержня. Тогда формула для определения нормального напряжения в рассматриваемом случае примет вид:

f3.2(3.2)

Величина напряжения, как показывает формула (3.2), не зависит от свойств материала, а определяется только внутренней силой N и площадью поперечного сечения А.

Если представить нормальные напряжения отрезками, отложенными вдоль оси стержня от каждой точки его поперечного сечения, то эти отрезки заполнят пространственную область, называемую телом напряжений. Объем тела напряжений составляет +6, т.е. равен по величине внутренней силе, уравновешивающей внешнюю нагрузку.

Проекция тела напряжений на плоскость называется эпюрой напряжений.

В качестве второго примера рассмотрим расчетную схему (рис. 3.6), отвечающую другому виду сопротивления – сдвигу или срезу заклепки.

Мысленно рассечем заклепку поперечным сечением, совпадающим с плоскостью стыковки листов, и разведем обе части соединения на некоторое расстояние.

Для того чтобы каждая из частей находилась в равновесии, также как и все соединение, необходимо в плоскости поперечных сечений приложить внутренние силы S, уравновешивающие действие внешних сил Р (рис. 3.6, б). Обе силы действуют поперек оси заклепки, поэтому их называют поперечными силами.

Рассмотрим любую из частей рассматриваемого соединения, находящихся в равновесии. Повторим рассуждения, приведенные выше.

На каждой элементарной площадке площади поперечного сечения заклепки dA = А / n, где n → ∞, должно возникнуть внутреннее сопротивление dS = tdА. Здесь z10 представляет собой интенсивность внутреннего сопротивления, действующего на элементарную площадку, но отвечающую не отрыву или сжатию, а срезу и определяется по формуле +7. Если просуммировать все внутренние срезывающие сопротивления в пределах рассматриваемой площади сечения, получим значение реакции, которая уравновешивает действие силы +8.

Рис. 3.6. Сдвиг. поперечные силы.

Предположим, как и выше, что все элементы площади сечения равномерно участвуют в передаче действия силы Р. Тогда для рассматриваемого случая z10 = const и последнее равенство примет вид:

Откуда следует, что интенсивность внутреннего сопротивления для случая сдвига или среза может быть определено с помощью формулы

Напряжение, определяемое последней формулой, называется средним касательным напряжением.

Полное напряжение и его компоненты

Выше приведены простейшие случаи оценки напряженного состояния деталей. В общем случае для определения компонентов напряженного состояния используется аппарат сопротивления материалов, теории упругости, текучести, ползучести и т.д.

Полное напряжение характеризует поверхностную плотность внутренней силы взаимодействия между частями тела на данной площадке. Напряжение играет важнейшую роль в расчетах на прочность. Непременно предполагается, что рассчитываемый элемент, согласно принятому выше допущению, выполнен из сплошного материала. Для материалов, имеющих молекулярную структуру, невозможно связать элемент площадки с силой, действующей на этот элемент. Иначе говоря, для дискретной механики деформируемого твердого тела указанная выше формулировка напряжения неприемлема.

Разложим вектор напряжения z7 на две составляющие: нормальную к площадке и лежащую в ее плоскости, которые называются нормальным и касательным напряжениями (рис. 3.7). Нормальные напряжения препятствуют отрыву одной части тела от другой или их взаимному прижатию. Касательные напряжения препятствуют взаимному сдвигу.

Если разложить на составляющие не напряжение, а саму силу z11, то ей будут соответствовать две скалярные величины – нормальное усилие z1N = z12 · v и полное касательное усилие z1Q = (z11 · z11 — z12)1/2. Откуда получим следующие выражения:

для нормального напряжения

f3.3(3.3)

для касательного

f3.4(3.4)

Следовательно, напряжение z9v можно рассматривать как полное напряжение в точке:

f3.5(3.5)

Через любую точку можно провести бесчисленное множество сечений. В каждом сечении получим свое полное напряжение. Совокупность напряжений по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, определяет напряженное состояние в точке.

Если известны напряжения в трех площадках, проходящих через точку тела, то легко найти напряжение в любой четвертой площадке, проходящей через эту точку. Для этого необходимо у рассматриваемой точки четырьмя сечениями выделить бесконечно малый элемент (рис. 3.7). Чаще всего три сечения проводят перпендикулярно координатным осям, а четвертое – наклонно. Полученная фигура называется тетраэдр.

Если известны векторы P₁, P₂, P₃, то из уравнений равновесия выделенного тетраэдра нетрудно найти вектор z13. Таким образом, напряженное состояние в точке определяется значениями напряжений в трех сечениях.

Рис. 3.7. Напряжения в четырех площадках в окрестности точки

Такими сечениями обычно являются сечения, перпендикулярные координатным осям. Если рассматривается наклонное сечение, то происходит как бы поворот координатных осей таким образом, чтобы одна из осей оказалась перпендикулярной этому сечению.

На рис. 3.7 наклонное сечение не проходит через точку В. Однако элемент бесконечно малый и при предельном переходе сечение пройдет через точку В.

Каждый вектор определяется тремя компонентами (проекции вектора на координатные оси) и представляет собой тензор первого ранга. Напряженное состояние в точке определяется тремя векторами (значениями напряжений в трех площадках), то есть девятью компонентами, и представляет собой тензор второго рода.

Не трудно показать, что при повороте площадки конец вектора полного напряжения перемещается по поверхности эллипсоида, т.е. каждому напряженному состоянию в точке соответствует свой эллипсоид напряжений – эллипсоид Ламе (Lame Gabriel (1795–1870) выдающийся французский инженер).

Обозначения компонентов напряжений.

Тензор напряжений (в декартовых координатах)

Выше указывалось, что напряжения в трех сечениях, проходящих через рассматриваемую точку, определяют напряженное состояние в точке. Рассмотрим напряженное состояние в точке В (рис. 3.8, а). Через точку В проведем сечение, перпендикулярное оси 0х (рис. 3.8, г), и оставим ту часть элемента, внешняя нормаль к сечению которой направлена в положительную сторону оси 0х. В точке В этого сечения действует напряжение, которое можно обозначить Рх.

Разложим этот вектор на составляющие вдоль координатных осей. Каждую составляющую обозначим буквой z9 с двумя индексами. Первый индекс будет указывать на положение сечения (обозначение нормали к сечению). Если сечение перпендикулярно оси 0х, следовательно, первый индекс х (нормаль параллельна оси 0х). Второй индекс указывает на направление, т.е. вдоль какой оси направлена составляющая вектора полного напряжения.

Рис. 3.8. Обозначения напряжений в сечениях, перпендикулярных координатным осям: а) сечение тела плоскостью; б) плоскость сечения, перпендикулярная оси 0у; в) плоскость сечения, перпендикулярная оси 0z; г) плоскость сечения, перпендикулярная оси 0х

В результате получаем напряжение z9хх, перпендикулярное плоскости сечения, направленное по внешней нормали к сечению (нормальное напряжение), и два касательных z9xy и z9хz, расположенных в плоскости сечения и направленных вдоль осей 0у и 0z. В сопротивлении материалов касательное напряжение обычно обозначают буквой z10 (букву z9 заменяют z10), а для нормальных напряжений оставляют букву z9.

В этом случае у нормального напряжения можно опустить второй индекс, т.к. ясно, что нормальное напряжение в сечении, перпендикулярном оси 0х, направлено вдоль этой оси. При такой замене получим

Эти напряжения определяют усилия, которые передаются через единичную площадку от одной части элемента конструкции к другой. Действие и противодействие равны и противоположно направлены, поэтому от одной части к другой передаются такие же усилия, но противоположного направления (см. правую часть рис. 3.8, г).

На рис. 3.8, б изображены напряжения в точке В сечения, перпендикулярного оси 0z. Напряжения численно равны усилиям, передающимся через единичную площадку, поэтому по своему характеру они не должны отличаться от внутренних силовых факторов (нормальных и поперечных сил), значит правило знаков для напряжений логично принять таким же, как и для внутренних силовых факторов. Показанные на рис. 3.8 направления векторов напряжений принято считать положительными

Следовательно, если внешняя нормаль к сечению совпадает с положительным направлением координатной оси, то положительные компоненты напряжений (нормальное и касательные) направлены в положительные стороны соответствующих координатных осей. И наоборот (см. правую часть рис. 3.8, г), если внешняя нормаль направлена в отрицательную сторону координатной оси, то положительные компоненты напряжений направлены в отрицательные стороны соответствующих координатных осей.

При этом положительное нормальное напряжение (также как и положительная нормальная сила в поперечном сечении бруса) всегда направлено по внешней нормали к сечению, что соответствует растяжению в рассматриваемом направлении.

Итак, напряженное состояние в точке определяется значениями напряжений в трех сечениях.

Следовательно, рассмотренные напряжения в координатных плоскостях определяют напряженное состояние в точке.

Обозначая полное напряжение для точки как Рv, а нормаль к данной площадке через v, будем иметь очевидное равенство: Р²v = z9²vх + z9²vy + z9²vz.

Расположим все напряжения, определяющие напряженное состояние в рассматриваемой точке, в виде следующей матрицы:

f3.6(3.6)

Эта матрица называется тензором напряжений. Напряженное состояние в точке вполне определено, если задан тензор напряжений для этой точки.

Главные площадки. Главные напряжения

Полуоси эллипсоида напряжений определяют значения полных напряжений в трех взаимно перпендикулярных площадках, которые равны нормальным напряжениям в этих площадках. Таким образом, в каждой точке элемента конструкции можно провести не менее трех сечений (площадок), в которых отсутствуют касательные напряжения.

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными нормальными напряжениями. Они обозначаются z9₁, z9₂, z9₃. По умолчанию принимается, что

Виды напряженного состояния

В общем случае напряженное состояние в теле неоднородно, оно различно в разных точках, поэтому в любом сечении тела напряжения распределены неравномерно. Для изучения напряженного состояния в точке рассматриваются элементарные объемы в ее окрестности. Форма этих объемов (элементов) зависит от вида секущих плоскостей, которые, в свою очередь, определяются принятой системой координат.

Наиболее распространенными являются прямоугольная и цилиндрическая формы. Выбор системы координат зависит от особенностей геометрии исследуемого тела. Удачно выбранная система координат способствует минимуму затрат при решении конкретной задачи. Существуют различные виды классификации напряженного состояния.

В зависимости от значений главных напряжений предлагается следующая классификация напряженного состояния:

объемное состояние (ни одно из главных напряжений не равно нулю);

плоское состояние (два главных напряжения не равны нулю, а одно главное напряжение равно нулю);

одноосное (линейное) состояние (только одно из главных напряжений не равно нулю).

Следует отметить, что при изучении пластического деформирования и разрушения материалов предлагаемая классификация видов напряженного состояния неудобна. В этих случаях вместо главных напряжений для классификации вида напряженного состояния принимаются другие инвариантные параметры.

Говоря о том или ином напряженном состоянии, следует иметь в виду, что эта классификация в общем случае условна. Она предполагает, что те компоненты напряженного состояния, которыми мы пренебрегли по сравнению с рассматриваемыми в данном случае напряжениями, тождественно равны нулю. В действительности они отличны от нуля, но их учет в расчетной схеме не приводит к заметным поправкам решения, а только усложняет его.

Изменение величин и направлений главных напряжений при переходе от одной точки тела в другую происходит непрерывно. Может случиться, что в некоторой точке В напряженного тела одно главное напряжение равно нулю, в таком случае напряженное состояние в этой точке называется плоским. Уже в соседних точках тела напряженное состояние может быть пространственным (объемным), при котором ни одно из главных напряжений не равняется нулю.

Наряду с этим встречаются и такие случаи, которые характеризуются тем, что во всех точках тела напряженное состояние плоское, и при этом главные площадки с нулевым главным напряжением во всех точках тела параллельны друг другу. В таком случае можно сказать, что все тело в целом испытывает плоское напряженное состояние.

Линейное напряженное состояние в точке возникает в двух случаях.

В первом случае, когда в отдельных точках пространственно или плоско напряженного тела два из трех главных напряжений равны нулю.

Во втором случае, когда во всех точках тела наблюдается однородное напряженное состояние, которое можно представить как равномерное, возникает одинаковое по величине растяжение или сжатие в параллельных для всех точек направлениях.

Лекция 4. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Обозначения компонентов перемещения

Рассмотрим произвольное тело при определенной температуре окружающей среды, которое не подвергается воздействию внешних сил. Выделим в пределах объема этого тела точку В (рис. 4.1, а).

Рис. 4.1. Компоненты смещения точек тела: а) тело до деформации; б) тело после деформации

После приложения внешних сил, а также изменения температуры тело может изменить форму и размеры, а каждая его точка получит соответствующее перемещение. Точка В перейдет в новое положение В₁ (рис. 4.1, б). z14 – вектор перемещения точки В. Перемещения всех точек определяют вид тела в деформированном состоянии и его положение в пространстве. Проекции вектора перемещения каждой точки на координатные оси 0х, 0у, 0z обозначим через u, v, w и будем называть их компонентами перемещения. Правило знаков обычное как для проекций. Компоненты перемещения точек непрерывны и могут быть представлены как некоторые функции координат точки, т.е.

Полное перемещение точки определяется как +9, т.е. некоторой функцией координат. Положение элемента после смещения в деформированном виде изображено на рис. 4.1, б сплошной линией. Сплошными линиями показана и поверхностная нагрузка, действующая на элемент. Перемещения u, v, w однозначно определяют геометрию деформированного тела.

Деформации

Силы, как основной фактор взаимодействия между телами, представляют собой меру механического действия тел друг на друга и взаимодействия частей одного тела между собой.

В результате силового взаимодействия материальные частицы тела приходят в движение и расстояния между ними изменяются, что приводит к деформации формы тела и изменению его объема.

Существует, по крайней мере, два понятия о деформациях. Первое, назовем его "обобщенное", используется в обыденном общении и связанно с нашими представлениями о видимых изменениях формы и размеров некоторого объекта. Например, изменение объема велосипедной камеры.

Второе определяется с учетом основ механики деформируемого твердого тела, теории, которая построена на представлении материала как сплошного и непрерывного массива. Разрушение начинается тогда, когда в пределах некоторого микрообъема создается определенная ситуация, приводящая к микроразрушениям, их росту и объединению и, наконец, к критической ситуации, предшествующей разрушению.

Таким образом, анализ состояния конструкции надо начинать с анализа напряженно-деформированного состояния некоторой точки или области этой точки, поэтому, рассуждая выше о напряжениях, мы говорили, что они представляют интенсивность внутренних сил (реакций), действующих на бесконечно малых площадках. Точно также общие деформации тела складываются из суммы деформаций бесконечно малых объемов. Если эти объемы представить как совокупность бесконечно малых призм или тетраэдров, то изменение формы и объема тела будет связано с изменением длин граней элементарных объемов и их перекашиванием (сдвигом).

Деформации принято делить на линейные, связанные с изменением длин граней бесконечно малых объемов, и угловые, возникающие при изменениях первоначально существующих углов между гранями. Линейные деформации приводят к изменению объема, а угловые – к изменению формы.

При изучении курсов, имеющих прикладное направление, например, сопротивления материалов, с понятиями линейных деформаций часто знакомят студентов на примере растяжения или сжатия образца или стержня. При этом у некоторых студентов создается представление, что под линейной деформацией понимается отношение приращения (в алгебраическом смысле) длины образца или стержня к его первоначальной длине. Так можно рассуждать только в частном случае, когда рассматривается стержень, находящийся в условиях одноосного и однородного напряженно-деформированного состояния. Рассмотрим два примера (рис. 4.2).

Рис. 4.2. К определению линейных деформаций по длине стержня

Рассмотрим стержень (рис. 4.2, а), растягиваемый силами Р. Среднее сечение с помощью некоторых конструктивных решений не смещается и остается плоским. Тогда одна половина стержня удлиняется на некоторую величину z1l, а другая укорачивается на эту же величину. Суммарное изменение длины стержня будет равно нулю. Следовательно, согласно сказанному выше, деформмация должна быть равна нулю, так как +10. В действительности средняя деформация на первом участке равна +11, на втором +12. Таким образом, согласно определению, линейные деформации в общем случае нельзя оценивать как отношение удлинения стержня к его первоначальной длине.

Если стержень разбить на малые участки, в пределах которых реализуется однородное напряженно-деформированное состояние (рис. 4.2, б), то средние линейные деформации в пределах этих участков можно с достаточной точностью для практики определять по формуле:

f4.1(4.1)

где z1li – удлинение длины участка; li – длина участка, стремящаяся к нулю.

В частном случае, когда по длине рассматриваемого стержня сохраняется однородное напряженное состояние, для определения деформаций можно пользоваться формулой

f4.2(4.2)

В механике деформируемого твердого тела под термином "деформация" обычно понимают локальную деформацию, связанную с изменением расстояния между близкими материальными точками тела, и изменение взаимной ориентации отдельных волокон тела малой длины.

Для изучения деформации тела представим его рассеченным на множество элементов, которые будут изменять свою форму и объем при действии внешних сил или температурных полей (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Деформация тела и его элементов: а) тело до деформации и после; б) элементарный параллелепипед до деформации; в) элементарный параллелепипед после деформации

Пунктиром изображено тело в свободном состоянии (до приложения внешних сил и изменения температуры). Ось 0х перпендикулярна плоскости чертежа. Оси 0у и 0z расположены в плоскости чертежа.

Рассмотрим изменение формы и размеров одного из параллелепипедов в результате действия на тело внешней нагрузки. До деформирования тела одна из вершин параллелепипеда находилась в точке В. Длины его ребер были равны соответственно dх, dу и dz, а углы между гранями – 90°. В результате действия внешних сил (на рис. 4.3 они не показаны) бесконечно малый параллелепипед изменяет форму и объем. Вершина В переходит в точку В₁. Форма и объем любого деформированного параллелепипеда вполне определяется удлинением (укорочением) его ребер и искажением первоначально прямых углов между гранями. Возможными искривлениями ребер и граней элемента пренебрегаем, так как его размеры могут быть сколь угодно малыми.

Введем понятие деформаций в точке тела как количественную меру деформирования микрообъема в окрестности рассматриваемой точки.

До нагружения, как уже указывалось, длины ребер параллелепипеда равны dх, dу и dz (рис. 4.2, б). После нагружения, а также в результате изменения температуры длины ребер изменились на величины z1х, z1у и z1z соответственно. Отношение абсолютных удлинений z1 к первоначальной длине ребер параллелепипеда называется линейной деформацией.

В соответствии с этим получим:

f4.3(4.3)

где z15х, z15у и z15z – линейные деформации в направлении осей 0х, 0у и 0z.

Если принять dx, dy, dz равными единице, то линейную деформацию можно отождествить с изменением длины единичного отрезка. Линейная деформация — величина безразмерная.

Если длина отрезка была равна dх, то она изменется на величину z15хdх и, следовательно, станет равной dх + z15хdх = dх(1 + z15х).

Линейная деформация считается положительной при увеличении и отрицательной при уменьшении длины отрезка.

Бесконечно малые параллелепипеды определяются положением их вершин в координатных плоскостях, поэтому изменение углов между гранями (угловые деформации) следует рассматривать в той или иной координатной плоскости (рис. 4.4).

Угловой деформацией называется изменение первоначально прямого угла между гранями элемента.

Если угол между положительными направлениями координатных осей уменьшается, то угловая деформация считается положительной. Первоначально прямой угол z16CBD (рис. 4.4, а) становится острым (z16C₁B₁D₁ рис. 4.4, б). Разность между углами можно определить, проведя перпендикуляр к ребру В₁D₁ (рис. 4.4, б) и измерив угол уху между перпендикуляром и вторым ребром В₁С₁.

Аналогично можно провести перпендикуляр к ребру В₁С₁ и измерить угол уху между ним и ребром В₁D₁.

Рис. 4.4. Угловая деформация в плоскости хОу: а) вид элемента до деформации; 6) элемент в деформированном состоянии

Угловую деформацию в плоскости х0у определяют, суммируя углы – z17ху/2 и z17ух/2, т.е.

Аналогично z17уz = z17zy определяет угловую деформацию в плоскости у0z, а z17zх = z17хz – угловую деформацию в плоскости z0у.

Таким образом, деформированное состояние в точке (бесконечно малый параллелепипед можно рассматривать как точку) определяется шестью компонентами деформации: линейными – z15х, z15у, z15z и угловыми – z17ху, z17уz, z17zх.

Напряженное состояние в точке также определяется шестью независимыми компонентами:

Деформированное состояние в точке, аналогично напряженному состоянию, определяется тензором деформаций (афинным ортогональным тензором второго ранга), имеющим девять компонентов:

f4.4(4.4)

Элемент перемещается из точки В в точку В₁ поворачиваясь на некоторый угол, а затем получает угловую деформацию в результате одинакового поворота ребер в положение В₁С₁ и В₁D₁.

Используя аналогию между тензорами, можно все формулы, которые были получены для компонентов тензора напряжений, записать и для компонентов тензора деформаций. Для этого необходимо z9х заменить на z15х, а z10ху на z17ху /2 и т.д.

В каждой точке тела можно провести три взаимно перпендикулярных направления, которые останутся взаимно перпендикулярными и после нагружения. В этих направлениях отсутствует угловая деформация. Такие направления принято называть главными.

Линейные деформации в главных направлениях называются главными деформациями и обозначаются z15₁, z15₂, z15₃. Индексы даны в соответствии с неравенством z15₁ > z15₂ >z15.

Главные деформации определяют из решения соответствующего кубического уравнения. Для изотропного тела главные оси напряжений совпадают с главными осями деформаций.

Максимальному касательному напряжению соответствует максимальная угловая деформация (максимальный сдвиг)

f4.5(4.5)

Аналогично может быть найдена линейная деформация в направлении, перпендикулярном октаэдрической площадке:

f4.6(4.6)

а также угловая деформация в октаэдрической площадке (октаэдрический сдвиг):

f4.7(4.7)

Деформации, как и перемещения, определяют геометрию деформированного тела, но без учета его смещения как жесткого целого. Между перемещениями и деформациями имеются определенные зависимости. Деформации определяются через перемещения путем дифференцирования, а для нахождения перемещений необходимо интегрировать деформации. Постоянные интегрирования определяются из условий закрепления, если тело закреплено в пространстве.

Основными, не связанными с системой координат, характеристиками деформированного состояния в точке являются инвариантные величины:

интенсивность деформаций сдвига

f4.8(4.8)

интенсивность деформаций

f4.9(4.9)

Объемная деформация

Рассматривая бесконечно малый элемент в главных осях деформаций до нагружения (рис. 4.5, а) и после приложения внешних сил (рис. 4.5,6), определим относительное изменение объема элемента.

Интенсивностями внешних сил для бесконечно малого элемента будут соответствующие напряжения (на рис. 4.5 не показаны).

Для относительно жестких материалов деформации существенно малы и поэтому их произведениями пренебрегают. Тогда формулу для объема элемента после нагружения можно записать в виде:

Изменение объема элемента

Относительное изменение объема (объемная деформация)

f4.10(4.10)

Рис. 4.5. Исходные размеры элемента (а) и размеры после нагружения (б)

Таким образом, объемная деформация в точке равна сумме линейных деформаций в трех взаимно-перпендикулярных направлениях.

Угловая деформация, превращающая боковую грань элемента из прямоугольника в параллелограмм той же площади, не вызывает изменения объема.

При выводе выражения для относительного изменения объема не обязательно рассматривать деформацию элементарного параллелепипеда. К тем же результатам можно прийти, если в качестве элементарного объема принять другой, например, сферический с радиусом dz18.

Объем шарика до деформации:

После деформации шарик превращается в эллипсоид с полуосями:

Объем эллипсоида после деформации:

что и было получено выше. При нулевых линейных деформациях относительное изменение объема отсутствует. Это характерно, например, для чистого кручения.

Дифференциальные зависимости компонентов малой деформации от компонентов смещения

Около заданной точки внутри сплошного тела мысленно, как и прежде, выделим плоскостями, параллельными координатным, бесконечно малый параллелепипед с ребрами dх, dу, dz. При искажении формы тела и изменении его объема элемент займет новое положение и изменит свою первоначальную форму. При этом изменится длина его ребер и исказятся первоначально прямые углы между гранями (на рис. 4.6).

Грань с вершинами а, b, с, d – проекция элемента до его перемещения и деформации, а грань с вершинами а₁, b₁, c₁, d₁ – проекция после перемещения и деформации. Перемещения являются непрерывными функциями координат точек. Если они для некоторой точки с координатами х, у, z вдоль осей соответственно равны u, v и w, то для точки с координатами х+dх, у+dу, z+dz перемещения вдоль этих же осей будут u+du, v+dv, w+dw. Приращение перемещения можно принять равным полному дифференциалу функции. Следовательно,

Аналогично можно определить dv и dw (рис. 4.5). Компоненты перемещения точки а (точка а переходит в точку а₁ вдоль осей 0х и 0у) соответственно равны u и v. Тогда компоненты перемещения точки d (переходит в точку d₁) вдоль осей 0х и 0у будут равны +13 (координаты точек а и d вдоль осей 0 и 0z одинаковы).

Точка b переходит в точку b₁. Компоненты перемещения точки b вдоль осей 0х и 0у равны

Относительное удлинение ребра аd, первоначальная длина которого была dх, записывается (с точностью до бесконечно малых первого порядка) так:

Рис. 4.6. Проекция бесконечно малого параллелепипеда до и после его перемещения и деформации

Аналогично для относительного удлинения вдоль оси 0у имеем:

Для угла поворота ребра аb в плоскости х0у получим

Отбрасывая в знаменателе +14 как весьма малую величину по сравнению с единицей, получаем +15. Аналогично для угла поворота ребра аб в плоскости +16.

Следовательно, относительный сдвиг, т.е. искажение прямого угла bad, записывается так:

При помощи круговой подстановки, не делая специальных выкладок, можем записать выражения для сдвигов и в других координатных плоскостях.

В итоге приходим к следующим дифференциальным зависимостями (уравнениям Коши):

для линейных деформаций (относительных удлинений):

f4.11(4.11)

для угловых деформаций (относительных сдвигов):

f4.12(4.12)

Лекция 5. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Закон Гука (Растяжение-сжатие)

Решение любой задачи механики деформируемого твердого тела невозможно без физических уравнений, устанавливающих зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций. Эти зависимости могут быть найдены только на основании экспериментов. В свое время Роберт Гук установил, что на начальной стадии деформирования перемещения пропорциональны действующим усилиям.

Рассмотрим некоторые результаты испытаний однородного и изотропного материала при простейшем нагружении в соответствии с расчетной схемой растяжения стержня единичной толщины (рис. 5.1, а).

Рис. 5.1. Расчетная схема растяжения стержня постоянного сечения: а) расчетная схема; б) основная схема для стержня постоянного сечения

В соответствии с принципом Сен-Венана исключим концевые участки стержня, где прикладываются сосредоточенные внешние силы Р, и рассмотрим деформирование части стержня длиною l₀. Будем предполагать, что, согласно этому принципу, поперечные сечения на протяжении рабочей длины l₀ деформируются (депланируют) одинаково. Тогда ввиду симметрии расчетной схемы среднее сечение 1–1 стержня должно оставаться плоским. Проведем сечение 2–2 и отбросим левую часть стержня. Заменяя действие отброшенной части силой N = Р, получим новую расчетную схему. В этой расчетной схеме средним сечением, которое ввиду симметрии должно оставаться плоским, является сечение 3–3. Рассуждая таким образом, приходим к выводу, что при растяжении такого стержня все поперечные сечения перемещаются, оставаясь плоскими. В этом случае каждое продольное волокно (геометрическое место точек, лежащих на прямой, параллельной оси стержня) получит одинаковое удлинение и, следовательно, в соответствии с законом Гука, будет испытывать одинаковое усилие. Таким образом, во всех точках поперечного сечения будет действовать одинаковое нормальное напряжение, которое, очевидно, определяется путем деления нормальной силы на площадь поперечного сечения:

f5.1(5.1)

На рис. 5.1,а изображена эта часть длины стержня до приложения внешних сил, которая обозначена как l₀. Поперечный размер стержня обозначим символом b₀. После приложения внешних сил длина l₀ увеличивается до размера l (рис.5.1, б), а в поперечном направлении, как показывают результаты эксперимента, стержень уменьшится до размера b.

Определим изменение длины и высоты стержня:

Продольная деформация (деформация вдоль оси стержня) будет равна

поперечная деформация

При растяжении продольная деформация будет положительной, а поперечная – отрицательной.

Результаты экспериментов показывают, что на начальном участке деформирования напряжение z9 ропорционально продольной деформации z15:

f5.2(5.2)

Полученная по результатам испытаний зависимость (5.2) называется законом Гука для материала.

Коэффициент пропорциональности Е между z9 и z15 называется модулем продольной упругости, или модулем Юнга, названного в честь английского ученого Томаса Юнга. Таким образом, модуль продольной упругости определяется в условиях растяжения или сжатия как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к относительному удлинению или укорочению. В таком виде модуль упругости впервые был введен известным французским инженером и ученым Навье. Модуль Юнга имеет размерность напряжения, т.к. линейная деформация является величиной безразмерной.

Рис. 5.2. Диаграмма растяжения в пределах справедливости закона Гука

Уравнение (5.2) представляет собой уравнение прямой в координатах z9 – z15, проходящей через начало координат (рис. 5.2). Наибольшее напряжение, для которого справедлив закон Гука, называется пределом пропорциональности z9п. Экспериментальные исследования показывают, что в пределах справедливости закона Гука поперечная деформация стержня пропорциональна продольной. Учитывая знаки деформаций, эту зависимость можно записать в виде:

f5.3(5.3)

Коэффициент пропорциональности v, который можно определить как абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной

f5.4(5.4)

называют коэффициентом Пуассона, по имени известного французского ученого.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v являются константами материала. Если материал изотропен и однороден, то достаточно знать значения лишь этих двух констант, чтобы записать физические уравнения на начальной стадии деформирования при любом напряженном состоянии. Такие уравнения называют обобщенным законом Гука. Следует отметить, что при проведении эксперимента по определению модуля Юнга и коэффициента Пуассона необходимо осуществить одноосное напряженное состояние, когда два главных напряжения равны нулю. Могут быть лишь два вида одноосного напряженного состояния: центральное растяжение (рис. 5.3, а) и центральное сжатие (рис. 5.3, б). В первом случае z9₁ = z9, z9₂ = z9₃ = 0, а во втором z9₁ = z9₂ = 0, z9₃ = -z9.

Рис. 5.3. Одноосные напряженные состояния: а) растяжение; б) сжатие

Не следует путать одноосное напряженное состояние с одноосной деформацией. При одноосном напряженном состоянии появляется трехосная деформация, т.к. при растяжении или сжатии в одном направлении материал деформируется и в поперечном направлении.

В нашем случае тензор напряжений имеет вид:

f5.5(5.5)

а тензор деформаций

f5.6(5.6)

где z15х = z15у = -vz15 – поперечные деформации.

Пример 1. Стальной стержень длиной l₀ = 0,42 м и площадью поперечного удлинения А₀ = 0,0003 м² при нагрузке Р = 30000 Н удлинился на z1l = 0,0002 м. Чему равны напряжения, относительное удлинение и модуль упругости?

Решение.

В данном случае из условий равновесия следует, что внутренние силы во всех сечениях стержня равны нагрузке, т.е. N = Р.

По формуле (3.9)

По формуле (4.2)

По формуле (5.2)

Пример 2. Провод энергосети, представляющий собой медный трос площадью поперечного сечения 50 мм² и длиной 300 м, натянут силой 8000 Н.

Какова величина удлинения? Модуль упругости для медной проволоки Е = 130000 МПа, для троса Е₁ = 0.85 Е.

Решение.

Из формулы (5.2) следует, что

Удлинение будет равно

Закон Гука. (Сдвиг)

По аналогии с зависимостью, выражающей связь между нормальными напряженями и линейным деформациями, экспериментально можно получить зависимость между касательными напряжениями и угловыми деформациями:

f5.7(5.7)

Выражение (5.7) соответствует закону Гука при сдвиге. Оно указывает на то, что касательное напряжение пропорционально угловой деформации и наоборот.

Коэффициент пропорциональности +17 называется модулем упругости второго рода (модуль сдвига). Иногда эту константу материала называют постоянной Ламе.

Наряду с коэффициентом Пуассона модули упругости Е и G полностью характеризуют упругие свойства изотропных материалов. Их величины различны для разных материалов и устанавливаются опытным путем по результатам измерения на специальных образцах деформаций и соответствующих им напряжений. Они характеризуют способность данного материала в зависимости от его физического строения сопротивляться упругим деформациям: Е – линейной, G – угловой. Измеряются они в тех же единицах, что и напряжение (н/м², кн/м²).

Значения этих физических констант, например для углеродистых сталей, колеблются в зависимости от марки стали в пределах (н/м²):

Для других материалов их можно найти в технических справочниках. Таким образом, в случае одноосного состояния закон Гука имеет вид:

растяжение-сжатие

сдвиг

Обобщенный закон Гука

Для самого простейшего в реологическом смысле изотропного и однородного тела, а именно – для линейно упругого тела, в общем случае пространственно напряженного состояния в точке (рис. 5.6) связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций легко установить путем обобщения закона Гука.

Рис. 5.4. Общий случай пространственного напряженного состояния

Практическая возможность такой экстраполяции оправдывается опытом с учетом следующих условий:

• одновременное наличие всех компонентов напряжений, а равно их действие порознь (если такое возможно) не приводят материал в пластическое состояние, т.е. материал пребывает в рамках упругих деформаций;

• материал практически можно считать изотропным;

• деформации ничтожно малы по сравнению с размерами изучаемого тела;

• процесс деформации изотермичен.

Эти условия делают возможным применение принципа независимости действия сил и вычисление деформаций по любому направлению внутри рассматриваемого параллелепипеда.

Учитывая вначале действие одних только напряжений z9х, т.е. одноосное напряженное состояние, мы должны признать, что элементарный параллелепипед получит следующие относительные удлинения:

в направлении оси 0х, согласно закону Гука,

а в направлении осей 0у и 0z, являющихся поперечными по отношению к направлению действующих усилий, согласно закону Пуассона,

Аналогично рассуждая, получим значения деформаций вдоль осей 0х, 0у, Оz от действия одних только напряжений z9у:

Наконец, рассматривая действие напряжений z9z, имеем

Во всех трех порознь рассматриваемых случаях при действии нормальных напряжений, конечно, отсутствует искажение прямых углов (углов сдвига) на гранях элементарного параллелепипеда.

Касательные напряжения, наоборот, как известно, влекут за собой искажение формы параллелепипеда, удлинения же ребер не происходит, точнее, эти удлинения пренебрежительно малы по сравнению с деформациями сдвига.

Совокупность касательных напряжений z10ху = z10ух будет вызывать перекашивание граней, параллельных плоскости х0у, и оставлять без искажения другие грани параллелепипеда.

Согласно закону Гука, при сдвиге имеем

Аналогично от действия напряжений z10zу = z10уz получим

От действия касательных напряжений z10zx = z10xz деформации будут равны

В соответствии с принципом независимости действия сил линейная деформация вдоль оси 0 равна

или

Все компоненты напряжений определяют следующие составляющие деформации:

f5.8(5.8)

Таким образом, компоненты тензора деформаций в данной точке тела находятся в линейной зависимости от компонентов тензора напряжений, относящихся к той же точке. Решая уравнения (5.8) относительно напряжений, получим

f5.9(5.9)

Здесь введены следующие обозначения:

+18 – объемная деформация;

+19 – средняя деформация;

+20 – постоянные Ляме.

Характеристики прочности

Если нагружать образец (рис. 5.5), последовательно увеличивая от нуля растягивающую силу Р, и фиксировать в прямоугольной системе координат по горизонтальной оси относительное удлинение z15, а по вертикальной оси – соответствующее напряжение z9, то, соединяя экспериментальные точки, получим график, который наглядно представляет процесс растяжения и носит название диаграммы растяжения (рис. 5.6).

Рис. 5.5. Стандартный образец для построения диаграмм растяжения

Рис. 5.6. Диаграмма растяжения

При нагружении вначале можно обнаружить, что каждый раз после снятия нагрузки соответствующая ей деформация исчезает. В дальнейшем, однако, при некоторой нагрузке Ре появляется ощутимое остаточное удлинение.

Напряжение +21 называют пределом упругости. При меньших напряжениях остаточное удлинение исчезающе мало и им можно пренебречь, т.е. до напряжения z9е материал можно считать совершенно упругим. Одновременно устанавливается, что в упругой области между относительными удлинениями и напряжениями вначале сохраняется постоянное отношение, выражаемое законом Гука. При определенной нагрузке Рпр эта зависимость нарушается. Напряжение +22 называется пределом пропорциональности. При дальнейшем возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. внезапный рост удлинения образца при практически постоянной нагрузке Рт. При этом течение материала происходит равномерно по всей длине образца. Напряжение +23 называют пределом текучести. По окончанию периода текучести нагрузку необходимо повышать, чтобы вызвать последующее удлинение образца. Наконец, в некотором месте образца можно заметить образование шейки а (рис. 5.5), после чего в ослабленном сечении происходит разрыв. Напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке РB, называют пределом прочности материала при растяжении z9B или пределом прочности материала при сжатии z9-B. При определении характеристик упругости и прочности нагрузки РЕ, Рпр, РT и РB всегда должны относиться к первоначальной площади поперечного сечения образца А₀ (см. табл. 5.1).

Начальный участок ОР изображается отрезком прямой, так как напряжения подчиняются закону Гука. Точка Е соответствует пределу упругости z9е. От точки S начинается участок текучести, и линия диаграмм проходит приблизительно параллельно оси абсцисс, поднимаясь затем до точки В, ордината которой равна наибольшему напряжению z9МАХ = z9B. Некоторому значению относительного удлинения z15 оответствует определенное напряжение z9. При возрастании относительного удлинения на весьма малую величину z1z15 напряжение увеличивается до z9 + z1z9. Между ординатами z9 и z9 + z1z9 заключена узкая трапеция шириной z1z15. Чем меньше z1z15, тем меньше разница между площадями трапеции и прямоугольника z9 · z1z15. Площадь z9 · z1z15 имеет размерность +24, т. е. выражает работу внутренних сил сопротивления, отнесенную к единице объема. Сумма площадей всех прямоугольников от z15 = 0 до z15 = 5 дает площадь диаграммы ОРЕSВZZ₀О, или удельную работу деформации.

Таблица 5.1

Характеристики упругости и прочности, МПа

Лекция 6. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Ни одно из проектных заключений, где приводятся результаты расчетов, произведенных по личной инициативе или по согласованию с заказчиком, не является документом, дающим право на эксплуатацию сооружения или просто некоторой конструкции. В каждой отрасли существуют правила, нормативы, стандарты и т.д., на основе которых выносится решение о допуске к эксплуатации того или иного сооружения.

Критериев допуска к эксплуатации конструкций с точки зрения прочности материала существует несколько. Ни один из них не может претендовать на исключительное право. Однако практика показывает, что существуют критерии, более или менее правильно отражающие условия, при неудовлетворении которых может возникнуть ситуация, приводящая к опасному состоянию с точки зрения эксплуатации конструкции к разрушению последней (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Перелом корпуса танкера

Оценка прочности является инженерной задачей, в которой напряженное состояние в "опасной точке" (точках) элемента конструкции сопоставляется с предельным состоянием. Обычно в качестве характеристик, определяющих предельное состояние, выбирают предел текучести, предел прочности и т.п. Такая оценка оказывается достаточно точной, когда материал конструкции находится в одноосном напряженном состоянии (растяжение, сжатие). Например, в качестве условия прочности можно использовать выражение

где [z9] = nz9T – некоторый допускаемый уровень напряжений в точках конструкции; n – коэффициент запаса прочности.

Оценка прочности оказывается достаточно точной и в случае, когда главные напряжения в каждой точке равны между собой по величине, но противоположны по знаку (сдвиг, кручение).

Однако многие элементы конструкций работают в условиях сложного напряженного состояния. При этом возникает вопрос, каким образом совокупность напряжений в окрестности точки элемента сопоставить с механическими характеристиками его материала.

Поставленная задача является достаточно сложной. Наиболее точный ответ можно получить, испытав до разрушения образец из материала детали при заданном соотношении главных напряжений. Но такие испытания требуют очень сложных машин и приборов.

В связи с этим учеными предложен ряд гипотез (теорий) прочности, которые позволяют без трудоемких экспериментов оценить опасность перехода в предельное состояние материала элементов конструкций, находящихся в сложном напряженном состоянии.

В основу этих теорий положено понятие эквивалентного напряжения как некоторой совокупности напряжений в окрестности рассматриваемой точки, т.е. необходимо установить некоторое эквивалентное напряжение, которое следует создать в образце, чтобы его состояние было равноопасным с заданным (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Объемное и эквивалентное напряженные состояния: состояние А равноопасно состоянию В

Ниже рассмотрены лишь теории, которые наиболее широко применяются в инженерных расчетах.

Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности) основывается на предположении, что опасное состояние материала наступает, когда какое-либо из главных напряжений достигает опасного значения.

Согласно этой теории, связанной с именем Галилея, сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если максимальное нормальное напряжение (z9mах = z9₁) равно нормальному напряжению при растяжении, т.е.

f6.1(6.1)

Напряжения z9₂ и z9₃ по этой теории не влияют на прочностную надежность элемента конструкции, которая определяется условием

где z9₀ – предельное напряжение, полученное при растяжении стандартного образца.

Теория наибольших нормальных напряжений дает достаточно удовлетворительные результаты при расчете деталей из хрупких материалов. Начало разрушения пластичных материалов, т.е. появление в них текучести вследствие больших касательных напряжений, этой теорией не объясняется.

Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности) основывается на предположении, что материал, независимо от вида напряженного состояния, разрушается тогда, когда наибольшее относительное удлинение или укорочение в каком-либо направлении достигает такой величины, при котором происходит разрушение при простом растяжении (сжатии).

Условие прочностной надежности по этой теории

f6.2(6.2)

где z15₀ – предельное значение относительного удлинения при растяжении стандартного образца.

Эта теория прочности была разработана Сен-Венаном в XIX в., но недостаточно хорошо подтверждается экспериментальными исследованиями. Лучшие результаты получаются для хрупких материалов (легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска и т.д.).

Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) основывается на предположении, что основной причиной появления опасного состояния (текучести) материала являются наибольшие касательные напряжения.

По этой теории текучесть материала независимо от напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, при котором возникает опасное состояние (текучесть) в случае простого растяжения.

Для плоского напряженного состояния максимальное касательное напряжение определяется по формуле +25.

Если деформация бруса происходит по трем взаимно-перпендикулярным направлениям с напряжениями z9₁, z9₂ и z9₃, то касательные напряжения определяются по формулам:

Каждое напряжение подставляется в эти формулы со своим знаком. Если z9₁ > z9₂ > z9₃, то наибольшее касательное напряжение будет

При z9₁ > z9₂ > 0 и z9₃ = 0 максимальное касательное напряжение +26.

Условие прочности по этой теории запишется в виде:

где z10₀ – предельное значение касательного напряжения при кручении.

Применяя последнее условие для растяжения стержня и учитывая, что при растяжении стержня +27 и в предельном случае +28, получим

f6.3(6.3)

Для плоского напряженного состояния с учетом выражений для главных напряжений условие прочности примет вид:

На практике встречаются случаи, когда z9у = 0, тогда

f6.4(6.4)

Рассмотренная теория была предложена Кулоном в конце XVIII в., она хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов.

Энергетическая теория прочности основывается на предположении, что сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если они имеют одинаковые удельные энергии изменения формы.

В общем случае деформации тела часть накапливаемой энергии Vо расходуется на изменение объема, другая часть энергии Vф – на изменение формы тела, т.е.

f6.5(6.5)

Формула (6.5) равносильна представлению напряженного состояния в виде суммы двух состояний (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Расчетная схема к энергетической теории прочности

Первое из этих состояний соответствует гидростатическому растяжению (сжатию), при котором на всех гранях кубика действуют одинаковые средние напряжения

Под действием этих напряжений форма кубика не меняется, а изменяется лишь его объем за счет одинакового удлинения (укорочения) длин всех ребер.

Подставив выражение для среднего напряжения в формулу для энергии, расходуемой на изменение объема элемента, получим

Второе напряженное состояние с компонентами напряжений на гранях кубика

изменяет лишь форму тела.

Потенциальная энергия изменения формы элемента тела равна

Для простого растяжения (z9₁ = z9экв; z9₂ = z9₃ = 0) следует:

Сравнивая последние два равенства, устанавливаем:

f6.6(6.6)

Выражение в правой части равенства часто называют интенсивностью напряжений и обозначают z9i.

Для плоского напряженного состояния условие прочности принимает вид:

f6.7(6.7)

В частном случае, когда z9у = 0 при обозначениях z9х = z9 и z10ху = z10, найдем

f6.8(6.8)

Эта теория предложена в начале XX в. Губером и Мизесом. Она хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов и широко применяется на практике.

Последние три соотношения используются в качестве условий пластичности, определяя условия возникновения пластических деформаций в материале:

f6.9(6.9)

При чистом сдвиге z9 = 0, z10 = z10T предел текучести при z9экв = z9T будет равен

f6.10(6.10)

Аналогично для третьей теории – z10T = 0,5 z9T.

Описанная теория показывает одинаковую прочность при растяжении и сжатии, так как эквивалентные напряжения в обоих случаях одинаковы.

Допускаемое напряжение. Коэффициент запаса

То напряжение, которое данный материал практически может выдержать, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допускаемым и обозначают [z9]. Допускаемое напряжение выбирается меньшим, чем z9п р, поэтому все расчеты основаны на законе Гука.

Приведенные в табл. 5.1 характеристики прочности являются средними значениями, найденными из многочисленных опытов. Для обеспечения прочности при всех обстоятельствах допускаемое напряжение выбирается как часть предела прочности:

где vB – коэффициент запаса прочности.

В машиностроении, если нормативами не предусмотрены другие допускаемые напряжения, принимают vB = 4 - 5 для стали и vB = 10 для дерева.

Учитывая, что при напряжениях z9T возникают большие остаточные деформации (пластическое состояние), т.е. начинается процесс разрушения, следует считать более правильным выбор допускаемых напряжений по пределу текучести:

Как в первом, так и втором вариантах выбора [z9] одинаково трудно оценить истинный коэффициент запаса из-за целого ряда факторов, не поддающихся учету. Если коэффициент запаса прочности мал, возникает опасность разрушения, если он велик, конструкция оказывается неэкономичной.

Во всех случаях нужно различать действительный коэффициент запаса по пределу прочности:

и действительный коэффициент запаса по пределу текучести:

Лучше всего, когда допускаемые напряжения устанавливаются на основе опыта эксплуатации оправдавших себя конструкций.

Пример

Определить запас прочности по пластическим деформациям болта соединения (рис.6.4) с резьбой М24х1,5, если в результате затяжки в нем создано усилие F₀ = 45 кН, а момент затяжки (крутящий момент) составлял Мз = 200 Н·м. Материал болта углеродистая сталь (z9T = 650 МПа).

Решение. Оценим прочность болта в сечении минимального диаметра по впадинам резьбы. По стандарту находим, что внутренний диаметр резьбы d₁ = 22,38 мм.

Рис. 6.4. Болтовое соединение

Определяем напряжение растяжения в болте от усилия затяжки:

Вычисляем касательные напряжения от момента в резьбе (обусловлен трением и подъемом витков):

Находим эквивалентное напряжение:

Определяем запас прочности:

Основные принципы

Если какие-то предпосылки носят общий характер и лежат в основе подавляющего числа задач, их называют руководящими правилами, или принципами.

Принцип – основополагающее и недоказываемое в общем виде утверждение. Он связан с общими установками разумного подхода к исследованию.

В линейной механике деформируемого твердого тела три главных принципа:

1) начальных размеров;

2) суперпозиции, или принцип независимости действия сил;

3) Сен-Венана.

Прежде чем знакомиться с указанными выше принципами, остановимся на понятиях линейных и нелинейных систем.

Линейные системы

Любая практическая задача, связанная с расчетом на прочность, требует предварительной схематизации. Сохраняется существенное и отбрасывается второстепенное –несущественное. Этих упрощений обычно недостаточно. После выбора расчетных схем мы вынуждены принять еще некоторые предпосылки, развивающие идеализацию реальной конструкции.

Роберт Гук, английский ученый-естествоиспытатель (1636–1703), проводя опыты над различными пружинами, стержнями и натянутыми нитями, пришел к выводу о том, что перемещения пропорциональны величине действующих сил.

Рис. 6.5. Линейная система

Положим, что балка нагружена силой Р (рис. 6.5). Перемещение некоторой точки под действием силы пропорционально этой силе. Следовательно, δА = kР, где под δА понимается перемещение точки А, а под k – некоторый коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент зависит, очевидно, от физических свойств материала, от геометрических размеров тела и от взаимного расположения рассматриваемой точки и точки приложения силы, вообще – от свойств системы. Представленная зависимость носит название закона Гука для системы.

Таким образом, закон Гука — это закон прямой пропорциональности между силами и перемещениями. Однако что такая трактовка закона является лишь предварительной, она носит исторический характер.

Коэффициент пропорциональности к зависит от очень большого числа параметров, поэтому для решения большинства задач механики деформируемого твердого тела удобнее трактовать закон Гука не для системы, а для материала. В такой формулировке коэффициенты пропорциональности представляют собой константы материала (только материала!) и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом.

Системы, в которых перемещения пропорциональны силам, называют линейными (или линейно деформируемыми).

Заметим еще, что, говоря о линейности, мы обычно имеем в виду общий линейный закон как для нагрузки, так и для разгрузки. А это значит, что после снятия нагрузки перемещения становятся равными нулю, а размеры тела полностью восстанавливаются. Такое свойство тел мы называем упругостью. Следовательно, если система линейная, то она одновременно упругая. Обратное утверждение неверно. Системы могут